六年级奥数同余问题附答案
1、求437×309×1993被7除的余数。
思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=269120769，此数被7除的余数为1。但是能否寻找更为简变的办法呢?
437≡3(mod7)
309≡1(mod7)
由“同余的可乘性”知：
437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
又因为1993≡5(mod7)
所以：437×309×1993≡3×5(mod7)
≡15(mod7)≡1(mod7)
即：437×309×1993被7除余1。
2、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这个行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这个行数最右边的一个数被6除的余数是几?
思路分析：如果将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是能够的，但计算量太大。
即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?
0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是
0，1，3，2，3，1，0，……
结果余数有类似的规律，继续观察，能够得到：
0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……
能够看出余数前12个数一段，将重复出现。
70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。
第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理
小学奥数同余问题Prepared on 21 November 2021
同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52 小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再 加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1.同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7） “”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2.同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减 性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。
所以a最大是31。 例2.除以19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。 【模拟试题】（答题时间：20分钟） 1.求下列算式中的余数。 （1）（2） （3）（4） 2.6254与37的积除以7，余数是几？ 3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？ 同余问题（二） 【例题分析】 例1.除以7，余数是几？ 分析与解答： 例2.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？
小学六年级数学期中测试卷 (2016-2017学年第一学期 ) 得分： 一、用心思考，正确填写（每空1分，共23分） 1. 48的 512 是（ ）； （ ）的 35 是27。 2. 比80米多 12 是（ ）米； 300吨比（ ）吨少 16 。 3. 5 和（ ）互为倒数，（ ）没有倒数。( )的倒数是它本身。 4.“红花朵数的 23 相当于黄花的朵数”是把（ ）的朵数看作单位“1”， 等量关系式是（ ）。 5. 学校在小红家北偏西20度的方向上，距离是 400米，那么小红在学校（ ） 的（ ），距离是（ ）米。 6. 在○里填上＞、＜或 =。 56 ÷ 13 ○ 56 × 13 49 ○ 49 ÷ 27 710 × 52 ○ 710 ÷ 25 7、35 吨＝ （ ）千克 40分＝（ ）小时 8、把7 6米平均分成3段，每段占()()，每段长（ ）米。 9. 小青125小时走了65千米，小红3 2小时走了2千米，（ ）走得快些。 10． 一本书120页，第一天看了全书的14，第二天看了全书的13 ，第三天从第( )页开始看起，还剩 ( )页没看完。 二、我会选。(每题1分，共5分) 1．6×16 ÷6×16 = ( )。 A ．1 B ．36 C ．36 1 2．有30本故事书，故事书比连环画少16 ，连环画有( )本。 A ．36 B ．30 C ．25 3．小红向东偏北60度方向上行300米，能原路返回的路线是（ ） A ．北偏东30度方向上300米 B ．西偏南60度的方向上300米 C ．西偏南30度的方向上300米 D. 北偏东60度方向上300米 班级： 姓名：
小学六年级奥数学习攻略 现在正是小升初特别关键的一个时期，无论从信息还是自身的学习方面都要做好充分的准备，首先要明确一点，小升初并不是我们的最终目标，而只是为了孩子今后的学习打下一个良好的基础。所以我们一定要重视孩子学习习惯的培养，举个很简单的例子：很多同学做题的时候审题不认真，经常把会做的题目做错，即使是最厉害的学生，如果把题目看错了，那也是不可能把题目做对的。这一点特别特别的重要，无论是小升初还是今后的中考高考，因为现在的衡量标准其实并不是比谁更聪明，而是比谁更认真，学习更扎实。从最近的一些学校的考试我们就可以看出一个趋势，就是题量大，时间段，对于单位时间内的做题效率有很高的要求，这个效率体现在两个方面，就是速度和正确率。 1、先拣西瓜 先把重点常考的专题学好，我们知道在每个专题里都有核心的知识点，可以这么说，把最简单而又最重要的那些东西掌握好基本上就够了，并不一定非得做太多的题目。比如说行程问题里，一定要熟练
运用时间速度路程三个量之间的比例关系来解题。直线形面积问题其实主要就是一个面积比和线段比怎么转化的问题，等等。 2、查缺补漏 每个孩子起步的早晚不同，难免有些内容是别人学过而我没学过的，一旦考到就非常吃亏。那么怎么去补呢，我想也没有必要专门做这个事情，在平时上课的时候，如果老师讲到了你不太会，没学过的地方，给你几个建议： 1.立即举手请老师详细讲解，我相信每一个负责任的老师都会帮你把问题解释清楚的，但你不问老师就很难发现你没懂。 2.课后请教老师，有的同学和家长总觉得下课时间很短，老师没时间帮我讲，其实情况确实如此，但有时候一个问题你想半天没搞懂，可能老师的一句话就会对你有启发，进而把问题弄明白。
小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：
1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b
1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃9法，并运用其解题 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同． 二、弃九法原理 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 知识点拨 教学目标 5-5-3.余数性质（三）
小学奥数五年级同余 问题
同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
（时间：80分钟满分：100分） 班级__________ 姓名__________ 得分__________ 一、填一填。（16分） 1.（） 3 :109 5 ==÷（）=（）（小数） 2.一块铁与锌的合金，铁占合金质量的2 9 ，那么铁与锌的质量之比是（）：合金的质量是销的质量的 （）倍。 3.海洋动物乌贼每分钟游 9 10 km，15分钟游（）km，1小时游（）km。 4. 1 2: 4 的比值是（），把这个比化成最简单的整数比是（）。 5.甲、乙两数的比是2:7，它们的平均数是，乙数是（）。 6.比的前项扩大到原数的10倍，后项缩小到原数的 1 10 ，比值（）。 7.比值为的最简单的整数比是（）。 8.确定一个物体的位置需要（）和（）两个条件。 9.8t的3 4 是（）；（）的 4 9 是3.6m。 二、判一判。（正确的画“√”，错误的画“×”。）（5分） 和1的倒数都是它本身。（） 2.1 3 的分子加上2，要使比值不变，分母也应加上2。（） 3.比的前项和后项可以是自然数、分数和小数。（） 4.5352 1 6263 ?÷?=（）
5.一种商品先降价1 3 ，后又提价 1 3 ，价格不变。（） 三、选一选。（5分） 1.计算 27 27 28 ?的简便方法是（）。 A.按整数乘法的法则进行计算 B. 27272727 27(281)28 28282828?=-?=?- C. 271 272727 2828 ?=+? 2.某种商品，降价后的价格是90元，比原价降低了1 4 ，求原价的算式是（）。 A. 1 901 4 ÷- （） B. 1 901 4 ÷+ （） C. 1 901 4 ?- （） 3.甲3 5 小时做18个零件，乙做21个零件要用 3 4 小时，（）的工作效率高。 A.甲 B.乙 C.无法比较除以b，商正好是b的倒数，a是（）。 5.下面（）杯中的糖水最甜。 四、算一算。（30分） 1.直接写得数。（10分）
数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c
的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除
六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；
第十一讲 数论之同余（选讲） 一、 余数定理：若A x ÷余a ，B x ÷余b ，则有 ① ()A B x ?÷的余数=()a b x ?÷的余数； ② 当,A B a b >>时，()A B x ±÷的余数=()a b x ±÷的余数； ③ 当,A B a b ><时，()A B x -÷的余数=()x a b x +-÷的余数； ④ ()()A B a b x +-+÷????的余数为0； ⑤ 若a 、b 相等，则()A B x -÷的余数为0 【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？ 【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数． 【例 2】 求4373091993??被7除的余数． 【巩固】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？
【例 3】 20032与22003的和除以7的余数是多少？ 【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？ 【例 4】 19977 77777???个除以41的余数是多少？ 【巩固】 已知20082008 200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？
【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和是多少？ 【巩固】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？ 【例6】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是多少元？ 【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是多少千克？
从课本到奥数六年级期中质量检测 一、填空。【每题2分】 1、圆心决定圆的（ ），半径决定圆的（ ）。 2、圆的直径增加1cm,周长增加（ ）。 3、两个圆，小圆的半径是大圆半径的4 1，则小圆的面积与大圆的面积之比 是（ ）:（ ）。 4、正方形周长与边长之比（ ）。 5、男生和女生的人数比是5:4，男生人数和全班人数的比是（ ）。 6、把15克糖放在200克水中，糖和糖水的质量比是（ ），水与糖水的质量比是（ ）。 7、半圆的周长等于圆周长的一半加（ ）。 8、一辆自行车的车轮半径是30cm,车轮转动两周前进的距离是（ ） 9、 一个圆的周长增加了12.56分米，则它的半径增加了（ ）分米。 10、甲数+乙数=39，甲数：乙数=1:2，则甲数=（ ），乙数=（ ）。 二、选择题（每题3分） 1、一个半圆的半径是r ，它的周长是（ ） A 、πr+2r B.πr C.?πr D.2πr 2、一个人要从A 地到B 地，走路①与路②的结果是（ ） A 、路①远 B 、路②远 C 、一样远 D 、无法判断 3、两个圆 的半径值比是2:1，面积之比是（ ） A 4:1 B 2:1 C 不确定 4、一件上衣和一条裤子的价钱之比是9:4，买一条裤子花80元则买上衣花（ ）元钱。 A 180 B 60 C 160 5、一个三角形三个内角度数之比是1:2:3，这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B,钝角三角形 C 直角三角形 三、我来判一判。（每题3分） 1、50米：50米=1米 （ ） 2、比的前项和后项同时乘以一个数，比值不变。 （ ） 3、3与它的倒数之比是1. （ ） 4、三角形的对称轴比梯形的对称轴多。 （ ） 5、两端都在圆上的线段，叫作圆的直径。 （ ） 四， 计算题（每小题5分） 2014÷2014 20152014 87：12 1
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．
1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题
⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数 节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，(12,108)12 -=，14739108 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6
2020-2021学年度第二学期期中测试 六年级数学试题 一．解答题（共12小题，满分24分） 1．7÷＝＝25%＝4：＝（填小数） 2．a÷b＝6，a和b成比例；ab＝7，a和b成比例． 3．等底等高的圆柱体积比圆锥的体积多48立方厘米，这个圆柱的体积为，这个圆锥的体积为． 4．小敏用一些黄豆种子做发芽试验，最后计算出发芽率只有25%，则发芽的黄豆种子的数量和种子的总数的比是，没有发芽的黄豆种子的数量是发芽种子数量的倍． 5．用3、5、8三个数字能组成种不同的三位数，其中偶数有个，组成偶数的可能性是． 6．某市1月份的平均气温是零下2℃，写作．2月份的平均气温比1月份升高了6℃，该市2月份的平均气温是． 7．一个比例中，两个内项的积是1，其中一个外项是1.25，另一个外项是． 8．一项工程，甲、乙两队合作4天能完成，甲队独做需要6天完成，乙队单独做完成这项工程的需要天． 9．在一幅比例尺是1：4000000地图上，量得玉田到沈阳的距离是14厘米，则玉田到沈阳的实际距离是千米． 10．把甲班人数的调入乙班，则两班人数正好相等，原来乙班与甲班的人数比是．11．小亚做一个圆柱形笔筒，底面半径4cm，高10Ccm．她想给笔筒的侧面和底面贴上彩纸，至少需要平方厘米的彩纸． 12．：化成最简整数比是，1.02：0.3的比值是． 二．判断题（共5小题，满分5分，每小题1分） 13．圆锥的底面半径扩大到原来的3倍高不变，它的体积不变．（判断对错）14．甲数比乙数少，则甲数与乙数的比是4：3．（判断对错） 15．把一个三角形按2：1放大后，它每个角的度数仍然不变．（判断对错）
16．六年级共有400名同学，至少有2名同学的生日在同一天．（判断对错）17．妈妈把10万元定期存入银行2年，已知年利率为0.1%，那么2年后妈妈可取出本息共12万元．（判断对错） 三．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分） 18．x和y是两种相关联的量，下面四个等式中，x和y不成比例的是（）A．x﹣2y＝0B．C．0.6x＝D．（x+y）×2＝10 19．张磊准备把长50米、宽38米的长方形菜地画在一张长30厘米、宽25厘米的图纸上，选用下面的比例尺（）会比较合适． A．200：1B．1：400C．1：100D．1：200 20．一种录音机，每台售价从220元降低到120元，降低了百分之几？正确的列式是（）A．120÷220B．（220﹣120）÷120 C．（220﹣120）÷220 21．一个圆柱的展开图如图（单位：厘米），它的表面积是（）平方厘米． A．36πB．60πC．66πD．72π 22．在8：9中，如果前项增加16，要使比值不变，后项应（） A．增加16B．乘2C．乘3D．不变 四．计算题（共5小题，满分42分） 23．直接写得数 72÷0.8＝48×12.5%＝0.81÷9＝＝ 2.7×4×0.25＝7﹣2.8＝＝＝ 5.6÷0.07＝ 3.3×9.9+0.33＝24．计算（能简算的要简算）： 58.9﹣12.42﹣6.48 （+﹣） 7.8÷[32×（1﹣）+3.6]
第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1
的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2
同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？
分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2)
精选完整教案文档，希望能帮助到大家，祝心想事成，万事如意！ 完整教案@_@ 部编版小学六年级数学上册期中考试试题及答案
一、用心思考，正确填写（每空1分，共20分） 1. 48的 512 是（ ）；（ ）的 3 5 是27。 2. 比80米多 12 是（ ）米；300吨比（ ）吨少 1 6 。 3. 5 和（ ）互为倒数，（ ）没有倒数。 4. 65 ＝18∶（ ）＝（ ）∶20＝（ ）25 ＝（ ）÷40 5. 18∶12化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。 6.“红花朵数的 2 3 相当于黄花的朵数”是把（ ）的朵数看作单位“1”，等 量关系式是（ ）。 7. 甲乙两数的比是4∶5，则甲数是乙数的（ ） （ ） ，乙数是甲乙两数和的 （ ） （ ） 。
8. 在○里填上＞、＜或 =。 5 6÷ 1 3 ○ 5 6 × 1 3 4 9 ○ 4 9 ÷ 2 7 7 10 × 5 2 ○ 7 10 ÷2 5 9. 一个三角形三个角的比是3∶4∶5，最大的角是（）度。 二、仔细推敲，判断对错 (对的打“√”，错的打“×”。每题1分，共5分） 1. 4米长的钢管，剪下1 4 米后，还剩下3米。（） 2. 4分米∶8厘米化简成最简单的整数比是1∶2。（） 3. 10千克水加入1千克盐后，盐占盐水的1 10 。（） 4. 两个真分数的积一定小于1。（） 5. 松树的棵数比柏树多1 5 ，柏树的棵数就比松树少 1 5 。（） 三、反复比较，择优录取。(选择正确答案的序号填入括号,每题2分，共10分） 1.一个比的比值是7 8 ，如果把它的前项和后项同时扩大3倍，这时的比值（）。 A.不变 B.扩大3倍 C.扩大9倍 2.第二列第四行，用数对（2，4）来表示，第六列第一行，可以用（）来表示。 A.（1，6 ） B.（6，1） C.（0，6） 3. 一件商品涨价 1 10 后，又降价 1 10 ，现价比原价（）。 A.贵 B. 同样多 C. 便宜 4.有30本故事书，故事书比连环画少1 6 ，连环画有（）本。 A.36 B.30 C.25 5.一袋土豆，吃了它的2 5 ，还剩30千克，这袋土豆原有（）千克。 A.20 B.50 C.18 四、看清题目，巧思妙算（35分） 1.直接写得数 (8分) 3 4×16= 12÷ 3 5 = 3 5 × 5 6 = 0× 7 8 ＋ 1 8 = 1÷7 8 = 3 5 ÷ 9 10 = 5 7 ÷ 5 7 = 1 2 × 1 3 ÷ 1 2 × 1 3 =