学科教师辅导讲义
（华杯赛）第一桶柴油的重量是第二桶的
考点一：总量不变；
策略的程序:
第21讲“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题1】将 61 43 的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81 分子：81×79 ＝63 81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将 7 9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63 81 所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？
3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23 ，那么减去的数是多少？ 【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ” 可知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12 分母：12×32 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 ①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。23 ＝46 ＝1218 ，45 ＝1215 ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 答：这个分数为1217 。 练习2： 1、将一个分数的分母加上2得79 ，分母加上3得34 。原来的分数是多少？ 2、将一个分数的分母加上3得34 ，分母加上2得4 5 。原来的分数是多少？ 3、将一个分数的分母加上5得37 ，分母加上4得49 。原来的分数是多少？ 4、将一个分数的分母减去9得58 ，分母减去6得74 。原来的分数是多少？
讲义 1、理解浓度的含义及相关的数量关系理清稀释和蒸发以及两种溶液混合等相关浓度问题的解题思路灵活解答浓度问题。 2、在探究例题的基础上联系生活实际掌握浓度问题的特点及解题规律
答：需要加入20克糖。 练习1： 1．现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？ 2．有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？ 3．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？ 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800千克1.75％的农药含纯农药的质量为800×1.75％＝14（千克） 含14千克纯农药的35％的农药质量为14÷35％＝40（千克） 由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－40＝760（千克） 答：用40千克的浓度为35％的农药中添加760千克水，才能配成浓度为1.75％的农药800千克。 练习2： 1．用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水30千克，配置时需加水多少千克？ 2．仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。一星期后再测，发现含水量降低到80％。现在这批水果的质量是多少千克？ 3．一容器内装有10升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出5升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？ 【例题3】现有浓度为10％的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？ 【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。
第二十一周 抓“不变量”解题 专题简析： 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 例1． 将4361 的分子与分母同时加上某数后得7 9 ，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以， 原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的7 9 ， 由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7 9 ）＝81 分子：81×7 9 ＝63 81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，79 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将7 9 的 分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 ① 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） ② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63 81 ③ 所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 练习1： 1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 5 ，那么减去的数是多少？ 2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3 5 ，那么同加的这个数是多少？ 3、 319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5 7 ，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 3 ，那么减去的数是多少？ 例2： 将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2 3 ，求这个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4 5 ”可 知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3 2 倍少1，从而将 原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －5 4 ）=12 分母：12×3 2 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
六年级奥数 浓度问题讲义 一、专题引导： 什么是浓度呢？（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。） 三者之间关系：浓度＝ ×100％＝ ×100％ 二、典型例题 例1、有浓度为30％的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24％的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？ 思路导航：稀释问题是溶质的重量是不变量。 例2、有浓度为7％的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10％，需要加盐多少克？ 思路导航：溶剂重理不变。 [练习]海水中盐的含量为5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2％？ 例3、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？ 思路导航：混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。 [练习]配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？ 溶质溶液溶质溶质＋溶剂
例4、从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？ 思路导航：反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为100克，由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？ [练习]①有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2％,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?又问未加入水时盐水浓度是多少? ②有含糖6％的糖水900克,要使其含糖量加大到10％,需加糖多少克? 比和比例应用题 例4、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是5 0:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？ 思路导航:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1 [练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？ 例5、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5:6，乙商品与丙商品的数量之比为4:11，且购买丙商品比
1、阅览室看书的同学中，女同学占12 7；从阅览室走进15名女同学后，看书的同学中，女同学占5 3。原来阅览室里一共有多少名同学在看书？ 2、数学课外兴趣小组，上学期男生占59；这学期增加21名女生后，男生就只占25 了。这个小组现有女生多少名？ 3、一堆什锦糖，其中奶糖占 920；再放入16千克其他糖后，奶糖只占14。这堆糖中有奶糖多少千克？ 4、某小学你年级原有少先队员是非少先队员的13 ，后来又有39名同学加入了少先队组织。这样，少先队员是非少先队员的78 。低年级有学生多少人？ 5、甲书架上的书是乙书架上的56 ，两个书架上各拿出154本后，甲书架上的书是乙书架上的47 。甲、乙书架上原有书各多少本？ 6、某校六年级男生人数是女生人数的23 ，后来转进来2名男生，转走3名女生，这是男生、人数是女生的34 。原来男、女生各多少人？ 7、某工厂第一车间的人数比第二车间的45 少30人，如果从第二车间调10到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34 。求原来每个车间的人数。 8、某学校的男教师比女教师的38 多8人，如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
1一车间三个小组共做一批零件，第一小组做二三小组之和的 21 ，二小组做了1500个，三小组做了一二小组的31，这批零件有多少个？ 2、某校六年级女生人数比男生的10 9多1人，后来又转来了5名女生，这时女生人数与男生人数的比是19:20。求六年级男生有多少人？ 3、某队修一条水渠，三天修完。第一天修了全长的25%，第二天与第三天修的比是7:8，第一天修的比第三天修的少21米，这条水渠全长多少米？ 4、某校今年有学生880人，和去年相比男生人数增加了25%，女生人数减少了15%，全校总人数增加了10%，求该校今年有男生多少人？ 5、六年级240人，喜欢语文与不喜欢语文的比是5:3，喜欢数学与不喜欢数学的比是7:5，两门都喜欢的是86人，两门都不喜欢的有多少人？ 6、两种糖果，其单价比是4:5，重量比是4:1，把两种糖果混合在一起。成为100千克的混合糖，单价为8.4元，原来每种糖果的单价各多少元？ 7、甲乙丙三人共有54元，甲用去了自己钱数的 53，乙用去了自己钱数的43，丙用了自己钱数的 32，各买了一支相同价钱的钢笔，那么他们三人原来各有多少元？ 8、甲乙丙三人共有人民币100元，甲用去自己钱数的83，乙用去53，丙用去4 1，结果乙剩下的钱数比甲剩下的钱少4元，丙剩下的钱比甲剩下的钱多1元，求他们三人原来各有多少元？
六年级冲刺重点中学必读——小升初奥数易错题精讲附答案 （一）计算篇： 1、乘法分配率+积不变定律 2、除法的性质 3、裂项法 4、约分法 5、化繁为简设重复运算为A、B 6、等差数列求和 7、先去括号、再结合。 8、解方程、解比例 【典型考题-计算题】 （1）8.15×158+67.6×18.5+81.5×51.8 =(8.15*158+8.15+518)+67.6*18.5 =8.15*676+1.85+676 =10*676 =6760 1×4.3-0.9×125%-1 （2）4.6×1.25+1 4 =4.6*1.25+4.3*1.25-0.9*1.25-1 =8*1.25-1 =10-1
=9 （3）4.8÷0.5+0.33÷0.05+19÷5 =0.48\0.05+0.33\0.05+0.19\0.05 =(0.48+0.33+0.19)*20 =1*20 =20 (4) 4131 ×43+5141×54+6151×6 5 =124/3*3/4+205/4*4/5+306/5*5/ 6 =31+41+51 =72+51 =123 (5) 4 1×(4.85÷ 18 5 -3.6+6.15×353) =0.25*(4.85*3.6-1*3.6+6.15*3.6) =0.25*3.6*(4.85+6.15+1) =0.9*10 =9 (6) 12 1+26 1+3 121+4201+5301+ … +10110 1 =(1+2+3+...+10)+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)...-1/10) =55+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...-1/10
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：六年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：奥数学科教师： 授课主题第15讲——抓“不变量”解题 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结 掌握“总量不变”，“相差量不变”和“部分量不变”三种不变量思想，并能用这些思想教学目标 解决现实生活中的问题。 授课日期及时段 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。如“某班转走3名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。 典例分析 考点一：总量不变 题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。 例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?
例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？ 例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？ P(Practice-Oriented)——实战演练 实战演练 ?课堂狙击 1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？
一、基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） （3） 列方程或方程组求解 （1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 例题精讲 重难点 知识框架 浓度问题 =100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液::乙溶液质量 甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y %浓度x % 混合浓度z%
一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题 【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？ 【巩固】1000千克葡萄含水率为%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%； 第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加 入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？ 【例 6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液
六年级抓不变量解答分数应用题 一、抓住和不变 1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各 有多少吨？ 练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，甲乙原来各有多少吨？ 2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动参加，实际 参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人? 练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1/8。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，这幢楼有多少住户? 2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，原来两人各有多少元钱? 3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的 只数同样多，这群鸭子有多少只? 二、抓住部分不变 1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？ 练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重多少千克? 2、现有质量分数为20％的食盐水80克。把这些食盐水变为质量分数为75%的食盐水，需要再加食盐多少克? 练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那么，这堆糖中奶糖有多少块?
2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的5/13，阅览室原有多少人？ 三、抓住差不变 王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？ 综合练习： 1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个? 2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克? 3、乙队原有人数是甲队的3/7。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的2/3。甲乙两队原来各有多少人？ 4、有一堆糖果，其中奶糖占9/20，再放入16块水果糖后，奶糖就只占1/4。这一堆糖果原来共有多少块？
不变量应用题 题目1： 工程队修一条公路,已修了全长的5分之1,如果再修300米,已修的是全长的4分之1。这天公路长多少米？ 题目2： 工程队修一条公路，已修的占未修的3分之1，如果再修250米，已修的占未修的2分之1。这条公路长多少米？ 题目3： 某小学组织学生参加清扫环境卫生活动，其中女生是男生的5分之4，后来因有别的任务，需要调走22名女生，又调入同样多的男生，这时女生是男生的4分之1，这个小学原来参加活动的有多少人？ 题目4： 甲乙两人收集的伤害世博会吉祥物”海宝”的数量之比是3:1,如果甲给乙6个,则两人的”海宝”数量之比变为2:1,两人共收集了多少个”海宝”? 题目5： 明读一本书,第一天读了全书的5分之1,第二天比第一天多读了6页,这时读的页数与剩下的页数的比是5:6,小明再读多少页就读完这本书?
题目6： 光明小学原有男、女生人数的比是4:3，这个学期转来2个女生后，女生人数是男生的6分之5。这个学校原有男、女生各多少人？ 题目7： 甲、乙两箱粉笔的盒数之比是5:1，如果从甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔的数量比是7:5，两箱粉笔共有多少盒？ 题目8： 有两筐梨。乙筐是甲筐的5分之3，从甲筐取出5千克放入乙筐，乙筐的梨是甲筐的9分之7，甲、乙两筐共有多少千克？ 题目9： 有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？ 题目10： 王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？
讲义
联系生活实际掌握浓度问题的特点及解题规律 2、在探究例题的基础上抓住不变量及用方程解决浓度问题。学习重点理解浓度的含义及数量关系，灵活解决浓度问题学习难点上次作业检查 一、知识回顾 日常生活中，我们将一定量的水放入玻璃杯中，并放入一定量的盐，经搅拌后形成均匀的混合物，成为盐水溶液，被溶解的盐称为溶质，溶解盐的水称为溶剂。 1、溶液（盐水）质量、溶质（盐）质量和溶剂（水）质量三者之间存在怎样的关系？ 2、当盐水过“咸”时，可向玻璃杯中加水，即增加了溶剂，因而溶液重量增加，但溶质（盐）没有变化，那么是溶液的什么发生了变化，从而使盐水溶液变得不“咸”了呢？它与溶质质量和溶液质量存在怎样关系呢？ 3、(1)若盐水a千克，含盐5％，则该盐水中含盐多少千克？ （2)水90千克，盐10千克，混合后含盐的百分比是多少？ （3）水100千克，盐10千克，混合后含盐的百分比是多少？ 二、精讲精练 【例题1】有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？ 【思路导航】根据题意，在7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量：558÷（1－10％）＝620（克） 加入糖的质量：620－600＝20（克）
克糖。20答：需要加入．
练习1：％的糖水，需要加糖多300克，要把它变成浓度为401．现在有浓度为20％的糖水少克？千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？2．有含盐15％的盐水20毫升纯酒精。第200毫升清水，乙瓶里装了2003．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了毫升溶液倒回乙瓶，此时甲毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20一次把20 瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ ％时，治虫最有效。用多少千克浓度％的新农药，如稀释到1.75【例题2】一种35 800千克？35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药为把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这【思路导航】种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。（千克）×1.75％＝141.75800千克％的农药含纯农药的质量为800 （千克）÷35％＝40含14千克纯农药的35％的农药质量为14 （千克）40＝760由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800－％的760千克水，才能配成浓度为1.75答：用40千克的浓度为35％的农药中添加农药800千克。练习2： 配置时需加30千克，0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨16％的氨水1．用含氨水多少千克？千克。一星期后再测，发现含水量降低1002．仓库运来含水量为90％的一种水果％。现在这批水果的质量是多少千克？到80升，再用水加5升纯酒精，倒出2.5升后，用水加满；再倒出3．一容器内装有10 满。这时容器内溶液的浓度是多少？ ％的盐水，千克。再加入多少千克浓度为30现有浓度为3】10％的盐水20【例题％的盐水？22可以得到浓度为这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶【思路导航】质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的量。（千克）220千克10％的盐水中含盐的质量×10％＝20 （千克）4.4％＝22×20千克溶液中含盐的质量
六年级奥数——抓“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题1】 437将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。619解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是7分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”97分母：（61-43）÷（1－）＝81 97分子：81×＝63 981-61＝20或63-43＝20 437解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以6197将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。97①的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）9777×963②约分后所得的在约分前是：＝＝98199×9③所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。 1 练习1： 9721、分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？1815132、分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？13535 的分子、分母加上同一个数并约分后得、，那么加上的数是多少？31975824、将这个分数的分子、分
母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是793多少？ 【例题2】 42将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。 534解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”5523可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，432从而将原题转化成一个盈亏问题。35分子：（2+1）÷（－）=12 243分母：12× -1＝17 2解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 2412412①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝36185152 ②原分数的分母是： 18-1＝17或15+2＝17 12 答：这个分数为。17练习2： 731、将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？94342、将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？ 45343、将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？ 79574、将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？ 84 【例题3】 5在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，71这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。2510解法
2015年暑期六年级奥数——抓住不变量解题讲义 姓名 一、抓住和不变 1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，甲乙原来各有多少吨？ 2．某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1 4 ，后来又有2个同学主动参加，实 际参加的人数是未参加人数的1 3 ，问某班五年级有学生多少人? 3．甲、乙两人原有钱的比是3∶4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1 2 ，原来两人 各有多少元钱? 二、抓住部分量不变 4．有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1 9 ，现在又买来一些科技书，此时 科技书占总数的1 6 。又买来多少本科技书？ 5．有10千克蘑菇，它们的含水量是99%，稍经晾晒，含水量下降到98%，晾晒后的蘑菇重多少千克? 6．现有浓度为20%的食盐水80克。把这些食盐水变为浓度为75%的食盐水，需要再加食盐多少克? 三、抓住差不变 7．王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3∶2，他们两家每月支出为1200元，两家每月结余的钱数比为9∶4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？ 8．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖和巧克力各有多少个?
姓名 1．甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1 3 给乙，甲还比乙多 1 5 ，甲乙原来各 有多少吨？ 2．明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3 4 ，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的 只数同样多，这群鸭子有多少只? 3．煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户 数的1 8 。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的 1 6 ，这幢楼有多少住户? 4．有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放16块水果糖后，奶糖就占25%，那么，这堆糖中奶糖有多少块? 5．在阅览室里，女生占全室人数的1 3 ，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的 5 13 ， 阅览室原有多少人？ 6．现有浓度为20%的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75%的食糖水，需加食糖多少克? 7．乙队原有人数是甲队的3 7 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 2 3 。甲 乙两队原来各有多少人？ 8．有一堆糖果，其中奶糖占9 20 ，再放入16块水果糖后，奶糖就只占 1 4 。这一堆糖果 原来共有多少块？ 9．新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48人，六年二班有学生56人，两个班 各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2 11 ，两个班各转出多少人？
六年级奥数——抓“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题1】 将4361 的分子与分母同时加上某数后得7 9 ，求所加的这个数。 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是 分母的7 9 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 分母：（61-43）÷（1－7 9 ）＝81 分子：81×7 9 ＝63 81-61＝20或63-43＝20 解法二：4361 的分母比分子多18，7 9 的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以 将7 9 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。 ① 7 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） ② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝63 81 ③ 所加的数是81-61＝20 答：所加的数是20。
练习1： 1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 5 ，那么减去的数是多少？ 2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得3 5 ，那么同加的这个数是多少？ 3、 319 的分子、分母加上同一个数并约分后得5 7 ，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是2 3 ，那么减去的数是 多少？ 【例题2】 将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得2 3 ，求这个分数。 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得4 5 ” 可知，分母比分子的54 倍还多2。由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的3 2 倍少1， 从而将原题转化成一个盈亏问题。 分子：（2+1）÷（32 －5 4 ）=12 分母：12×3 2 -1＝17 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 ① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。23 ＝46 ＝1218 ，45 ＝12 15
六年级奥数小升初难题易错精讲(附答案) （一） 计算篇： 1、 乘法分配率+积不变定律 2、 除法的性质 3、 裂项法 4、 约分法 5、 化繁为简设重复运算为A 、B 6、 等差数列求和 7、 先去括号、再结合。 8、 解方程、解比例 【典型考题-计算题】 （1）8.15×158+67.6×18.5+81.5×51.8 =(8.15*158+8.15+518)+67.6*18.5 =8.15*676+1.85+676 =10*676 =6760 （2）4.6×1.25+141 ×4.3-0.9×125%-1 =4.6*1.25+4.3*1.25-0.9*1.25-1 =8*1.25-1 =10-1 =9 （3）4.8÷0.5+0.33÷0.05+19÷5 =0.48\0.05+0.33\0.05+0.19\0.05 =(0.48+0.33+0.19)*20 =1*20 =20 (4) 4131×43+5141×54+6151×65 =124/3*3/4+205/4*4/5+306/5*5/6 =31+41+51 =72+51 =123
(5) 41×(4.85÷185-3.6+6.15×353 ) =0.25*(4.85*3.6-1*3.6+6.15*3.6) =0.25*3.6*(4.85+6.15+1) =0.9*10 =9 (6) 121+261+3121+4201+5301+ … +101101 =(1+2+3+...+10)+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)...-1/10) =55+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4...-1/10 =55+1-1/10 =55.9 (7) 23-65+127-209+3011-4213+5615-7217+9019 =(1+1/2)-(1/2+1/3)+(1/3+1/4)...+(1/9+1/10) =1+1/2-1/2-1/3+1/3+1/4-1/4...+1/9+1/10 =1+0.1 =1.1 (8) (40.2×8.1×4.8)÷(0.048×0.81) =40.2*8.1*4.8/0.048*0.81 =40.2*1000*8.1*4.8/4.8*8.1 =40.2*1000 =40200 (9) 2010×2011000-2011×2010000 =2010*2011*1000-2010*2011*1000 =0 (10) (1-41)×(1-91)×(1-161)×(1-251)×(1-361)×(1-491 ) =3/4*8/9*15/16*24/25*35/36*48/49 =5/28 (11) (1+3+5+7+...+2011)-(2+4+6+8+ (2010)
一、基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） 知识框架 浓度问题 =100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y % 浓度x %混合浓度z%
（3）列方程或方程组求解 重难点 （1）重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2）难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 例题精讲 一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题 【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？ 【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克.
【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？【例 6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶 液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？ 【例 7】甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、 乙两瓶酒精分别有多少升？ 【巩固】纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如果每种酒精都多取20克，混合后纯酒精的含量变为45%．求甲、乙两种酒精原有多少克？
六年级奥数牛吃草问题 分析 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
专题一 牛吃草问题分析 牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思 维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点 知识要点 一、定义 伟大的科学家牛顿着的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧 草33 1格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。 这类问题难在哪呢？大家看看它的特点 二、特点 在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这 类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。 难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这例题 典例评析 例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23 头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？ 【分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量— —即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。 从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a 份，设原来的草的数量为b 份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a ；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20 头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？
一、 基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、 基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） （3） 列方程或方程组求解 （1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 重难点 浓度问题 知识框架 =100%=100%+??溶质溶质浓度 溶液溶质溶液
例题精讲 一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题 【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？
【巩固】1000千克葡萄含水率为%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？