2016-2017学年高二下学期第二次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)-+∞
2.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为( ) A ．)()(q p ?∨? B ．)()(q p ?∨ C ．)()(q p ?∧? D ．)()(q p ∨? 3．若复数i
i
a z 21-+=
（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于 ( ) A. 2 B. 22 C. 4 D. 8 4．已知函数()sin cos f x x x =-，且)(2)(00x f x f =',则02tan x 的值是( )
A.43-
B.43
C.34-
D.34
5．已知平面向量(2,3)a =- ，(1,2)b =
，向量a b λ+ 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）
A ．
413 B ．413- C ．5
4
D ．54-
6.若函数??
?
??≤+->=1
,2)24(1
,)(x x a
x a x f x 在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[)4,8 B ．()1,+∞ C ．()4,8 D ．()1,8
,000
2,.7??
?
??≤≤≤-≥++=k y y x y x y x y x z 满足、其中实数设若z 的最大值为6，z 的
最小值为（ ）
A.0
B.-1
C.-2
D.-3 8.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ） A ． 2016 B ．1024 C. 1
2
D ．-1
9．已知函数2()2cos 22f x x =-．给出下列命题：①函数()f x 的值域为[2,0]-；②点)0,8
(π
为函
数)(x f 的对称中心；③,()R f x ββ?∈+为奇函数；④3(0,)4
π
α?∈，()(2)f x f x α=+对x R ∈恒成立．其中的真命题有（ ）
A ．①②
B ．③④
C ． ②③
D ．①④
10．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．27π B ．48π C ．64π D ．81π 11.定义在R 上的奇函数)(x f 和定义在{
}0≠x x 上的偶函数
)(x g 分别满足)0(log )(,1,110,12)(2>=???
??≥<≤-=x x x g x x
x x f x ，
若存在实数a ，使得)()(b g a f =成立，则b 的取值范围是（ ） A ．]2,2[- B ．]2,21[]21
,2[?-- C ．]2
1
,0()0,21[?-
D ．),2[]2,(+∞?--∞ 12．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若A 、B 是椭圆长轴的两个
端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ ）
A.
85
B ．65 C.32 D ．4
5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则
c o s B = .
14.)1,1(M 到抛物线2
ax y =准线的距离为2，则=a . 15.若函数)2
)(2sin(2)(π
??<
+=
x x f 的图像关于直线12
π
=
x 对称，当
2121),3
2,1217(,x x x x ≠--
∈π
π时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f . 16.已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+.若动
点),(y x P 满足等式0)382()22(22=+++++y y f x x f ,则y x +的最大值为 .
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n b 满足*112311
11
1,1()23n n b b b b b b n N n
+=+
+++=-∈ 各项都为正数的数列{}n a 满足 *
112
1,2,02)12(,1N n n a a a a a n n n n ∈≥=---=--
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ?的前n 项和n T .
18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= 6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． （Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积 19．（本小题满分12分）
从四月份开始，九江街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率． 参考数据：
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20.设点M 是x 轴上的一个定点，其横坐标为a （a R ∈），已知当1a =时，动圆N 过点M 且与直线1x =-相切，记动圆N 的圆心N 的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）当2a >时，若直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y （00y >），且l 与以定点M 为圆心的动圆
M 也相切，当动圆M 的面积最小时，证明：M 、P 两点的横坐标之差为定值．
21. 已知函数()1ln f x x
ax a ?
?
=+
- ???
（,0a R a ∈≠且）
． （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l ：cos (0)2sin x t t y t πα
αα
?=?≤
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2
23
(02)12sin ρθπθ
=
≤<+，若直线与y 轴正半轴交于
0.10
点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限。
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t （用α表示）；
（Ⅱ）设曲线C 的左焦点为1F ，若1F B AM =，求直线l 的倾斜角α的值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2122x x -≤+的解集中的最大实数为k . （Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）若22
2,,,2
a c a
b
c R b k +∈+=，求()b a c +的最大值．
九江一中2016-2017学年高二下学期第二次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A = ，则实数a 的取值范围是( B ) A ．(,2]-∞- B ．[2,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)-+∞
2.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为( A ) A ．)()(q p ?∨? B ．)()(q p ?∨ C ．)()(q p ?∧? D ．)()(q p ∨? 3．若复数i
i
a z 21-+=
（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于 ( B ) A. 2 B. 22 C. 4 D. 8 4．已知函数()sin cos f x x x =-，且)(2)(00x f x f =',则0tan x 的值是( C )
A.43-
B.43
C.34-
D.34
5．已知平面向量(2,3)a =- ，(1,2)b =
，向量a b λ+ 与b 垂直，则实数λ的值为（ D ）
A ．
413 B ．413- C ．5
4
D ．54-
6.若函数??
?
??≤+->=1
,2)24(1
,)(x x a
x a x f x 在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ A ） A ．[)4,8 B ．()1,+∞ C ．()4,8 D ．()1,8
,
000
2,.7??
?
??≤≤≤-≥++=k y y x y x y x y x z 满足、其中实数设若z 的最大值为6，z 的最小值为（ D ）
A.0
B.-1
C.-2
D.-3 8.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（D ） A ． 2016 B ．1024 C.
1
2
D ．-1 9．已知函数2
()2cos 22f x x =-．给出下列命题：①函数()f x 的值域为
[2,0]-；②点)0,8
(π为函数)(x f 的对称中心；③,()R f x ββ?∈+为奇函数；④3(0,)4π
α?∈，
()(2)f x f x α=+对x R ∈恒成立．其中的真命题有（ D ）
A ．①②
B ．③④
C ． ②③
D ．①④
10．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ C ） A ．27π B ．48π C ．64π D ．81π
三棱柱的外接球与三棱锥的外接球为同球。且球心为21O O 中点O
11.定义在R 上的奇函数)(x f 和定义在{
}0≠x x 上的偶函数)(x g 分别满足
)0(log )(,1,11
0,12)(2>=?????≥<≤-=x x x g x x
x x f x ，若存在实数a ，使得)()(b g a f =成立，则b 的取
值范围是（ B ）
A ．]2,2[-
B ．]2,21[]21,2[?--
C ．]2
1
,0()0,21[?-
D ．),2[]2,(+∞?--∞ 12．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若A 、B 是椭圆长轴的两个
端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（ A ）
A.
85
B ．65 C.32 D ．
4
5 由题意可知222
34224()4(),55
b a
c b a c a c e a +=∴+=-∴==，
设(,),(,)()M x y N x y a x a --<<
，则1228
5
y y
b k k x a a x a +=+≥==+-
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =4
3. 1
4.)1,1(M 到抛物线2ax y =准线的距离为2，则=a 41或12
1
- 15.若函数)2
)(2sin(2)(π
??<
+=
x x f 的图像关于直线12
π
=
x 对称，当
2121),32,1217(,x x x x ≠--
∈ππ时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f 2
6
16.已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+.若动点),(y x P 满足等式0)382()22(22=+++++y y f x x f ,则y x +的最大值为36- 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n b 满*112311
11
1,1()23n n b b b b b b n N n
+=++++=-∈ 各项都为正数的数列{}n a 满足
, *
112
1
,2,02)12(,1N n n a a a a a n n n n ∈≥=---=--
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ?的前n 项和为n T . 解答：（Ⅰ） 12n n a -=，n b n =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n n a b n -=?
21122322n n T n -=+?+?++? 2321232222n n T n ∴=?+?+?++?
两式相减，得
231*11(1)(1)2()2222221n n n n n n T n n T n n N -=+++++-?=---?∴=-?∈-+
18（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= 6，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． （Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若PD ∥平面EAC ，求三棱锥P ﹣EAD 的体积
（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PD ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，
又∵PD ∩BD=D ，AC ⊥平面PBD ．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，．
∴
= = ．
19．（本小题满分12分）
从四月份开始，九江街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：
年龄
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的22
认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；
706.2381.221
2<≈=
K ∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率．
3
106==P 参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20.设点M 是x 轴上的一个定点，其横坐标为a （a R ∈），已知当1a =时，动圆N 过点M 且与直线1x =-相切，记动圆N 的圆心N 的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）当2a >时，若直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y （00y >），且l 与以定点M 为圆心的动圆
M 也相切，当动圆M 的面积最小时，证明：M 、P 两点的横坐标之差为定值．
解：（Ⅰ）因为圆N 与直线1x =-相切，所以点N 到直线1x =-的距离等于圆N 的半径， 所以，点N 到点(1,0)M 的距离与到直线1x =-的距离相等.
所以，点N 的轨迹为以点(1,0)M 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， 所以圆心N 的轨迹方程，即曲线C 的方程为24y x =．
（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为00()y y k x x -=-，
由002(),4,
y y k x x y x -=-??=?得20004k y y kx y --+=，
又2004y x =，所以
2200044
k k
y y y y --+=， 因为直线l 与曲线C 相切，所以2001()04k k y y ?=--
+=，解得0
2
k y =．
所以，直线l 的方程为200420x y y y -+=． 动圆M 的半径即为点(,0)M a 到直线l
的距离2d =
.
当动圆M 的面积最小时，即d 最小，而当2a >时；
22d =
=
2=
=
≥当且仅当2048y a =-，即02x a =-时取等号， 所以当动圆M 的面积最小时，02a x -=，
即当动圆M 的面积最小时，M 、P 两点的横坐标之差为定值.
21. 已知函数()1ln f x x ax a ??
=+
- ???
（,0a R a ∈≠且）
． （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．
21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ??
-+∞ ???，且()2111a x f x a ax x a
'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-
，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ??
-+∞ ???
是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ??
-
???
上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ??
-
???
上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1
x e a
=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ?????
?-=--=->>-=- ? ? ??????
?，
不合题意．
当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ?
?=-+
???
．
问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．
由于()1212211a x a h x a x x a a
?
?+ ?
??'=-=++
，所以在区间1
1,2a a ??-- ???上，()0h x '<；在区间1,2a ??-+∞ ???上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ??- ???，所以只需102h a ??-> ???，即
1112ln 022a a a a ????
---+> ? ?????
，所以1ln 12a <-，所以2e a >．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l
：cos (0)2sin x t t y t πα
αα
?=?≤
=??为参数，，在以原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2
23
(02)12sin ρθπθ
=
≤<+，若直线与y 轴正半轴交于
点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限。
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t （用α表示）；
（Ⅱ）设曲线C 的左焦点为1F ，若1F B AM =，求直线l 的倾斜角α的值.
22（Ⅰ）由2
2
3
12sin ρθ=+得2222
2
2sin 3cos ,sin 13
x x y y ρρθρθρθ+===∴+= ，即曲线C 的直角坐标方程为
2213
x y += ，又由题意可知点M 的横坐标为0，代入
有
cos 0cos M x t t αα
==∴=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定
点1(,0)
F ，
将c o s (0)2
s i n x t t y t π
ααα
=≤<
=???为参数，代入
2
213
x y +=，化简可
得22(12sin )10,t t αα+--=设A 、B 对应的参数分别为
12121,sin 0226
M t t t t t ππ
ααα∴+=∴=±≤<∴=
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式2122x x -≤+的解集中的最大实数为k . （Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）若22
2,,,2
a c a
b
c R b k +∈+=，求()b a c +的最大值． 23.（1）2
122x x -≤+， 即：()22122,122,
x x x x ?-≤+??-≥-+??
由2
122x x -≤+，解得13x -≤≤，而()2122x x -≥-+的解集为R .
所以原不等式的解集为{}
13x x -≤≤，从而3k =.
（2）由已知
22
232
a c
b ++=，有()()22226a b b
c +++=， 因为222a b ab +≥（当a b =取等号），22
2b c bc +≥（当b c =取等号）， 所以()()
()2222
62a b b c ab bc +++=≥+，即3ab bc +≤，故()max
3b a c +=????
.