必修Ⅴ数学单元测试
[新课标人教版] 数列（必修5第二章）
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。考试结束，试题和答题卡一并收回。 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a = A.
2
1
B. 22
C.
2
D.2
2.（安徽卷）已知﹛n a ﹜为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=，则20a 等于
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
3.（江西卷）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项,
832S =,则10S 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 .
4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A ．－2 B.－
12 C.1
2
D.2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190
7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{2
1
5+}，[
215+],2
1
5+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种
性状来研究数，例如:他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289
B.1024
C.1225
D.1378
9.（宁夏海南卷）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m
a a a -++-=，2138m S -=,则m =
A.38
B.20
C.10
D.9 . 10.（重庆卷）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
A ．2744
n n + B ．2533n n + C ．2324n n
+ D ．2n n +
11.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190 .
12. 设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，
n 的值为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在横线上．） 13.（浙江）设等比数列{}n a 的公比1
2
q =
，前n 项和为n S ，则44S a = ．
14.（浙江）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则
4T ， ，
16
12
T T 成等比数列． 15.(山东卷)在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________
6=a . 16.（宁夏海南卷）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = .
三．解答题：（共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，
第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式． （2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有
133
2211+=+??+++n n
n a b c b c b c b c ， 求1232014c c c c ++++ 的值．
18．（本题满分12分）已知f (x ＋1)＝x 2－4，等差数列{a n }中，a 1＝f (x －1)，
a 2＝－3
2 ，a 3＝f (x )．
求：（1）x 的值；
（2）数列{a n }的通项公式a n ； （3）a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 26．
19．（本小题满分12）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． （1）试求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <1
2
．
20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =， 前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S = 33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）求和：
12111
n
S S S +++ ． 21.（本小题满分14分）
已知点（1，3
1
）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的
前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －
1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）若数列{
}1
1
+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >
2009
1000
的最小正整数n 是多少? .
参考答案
一、选择题
1.【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得()2
2841112a q a q a q ?=,即22q =,又因为
等比数列}{n a
的公比为正数，所以q =
故212a a q =
==,选B 2.【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差
432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-?=.选
B 。【答案】B
3.答案：C 【解析】由2
4
37a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由8156
8322S a d =+
=得 127
8a d +=则12,3d a ==-,所以101
90
10602
S a d =+=,.故选C 4.解: 172677()7()7(311)
49.222a a a a S +++====故选C.
或由2116131
5112
a a d a a a d d =+==?????=+==??, 716213.a =+?=
所以1777()7(113)
49.22
a a S ++=
==故选C. 5.【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ? d ＝－
1
2
【答案】B 6.【答案】B 【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +?=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100
7.【答案】B
【解析】可分别求得=
????
，1
[
]12
=.则等比数列性质易得三者构成等比数列.
8.【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2
n n
a n =
+，同理可得正方形数构成的数列通项2n b n =，则由2n b n =()n N +∈可排除A 、D ，又由
(1)2
n n
a n =
+知n a 必为奇数，故选C. 9.【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由
2
110m m m a a a -++-=，得：2m a －2
m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即
2
)
)(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10，故选.C 。
10.【答案】A 解析设数列{}n a 的公差为d ，则根据题意得(22)22(25)d d +=?+，解得1
2
d =
或0d =（舍去），所以数列{}n a 的前n 项和2(1)17
2224
4
n n n n
n S n -=+?=+
11.【答案】B 【解析】设公差为d ，则)41(1)1(2d d +?=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100.
12.
二、填空题
1.【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数
列知识点的考查充分体现了通项公式和前n 项和的知识联系．
【解析】对于443
1444134(1)1,,151(1)
a q s q s a a q q a q q --=
=∴==-- . 2.答案：
812
48
,T T T T 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.
3.【解析】:设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得???++=+=+6472111d a d a d a 解得
13
2
a d =??
=?,所以61513a a d =+=. 答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
4.【答案】
15
2
【解析】由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ，即062=-+q q ，0q >，解得：q ＝2，又2a =1，所以，112a =，21)
21(2
1
44--=S ＝15
2。 17．由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2
(d >0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．
⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时， ∵,1n n n
n a a b c -=+∴??
?≥?==-)
2(32)
1(31
n n c n n 故132-?=n n c
∴1232014c c c c ++++ =2
2014
20143232323
3+?+?++?=
18.（1f (x ＋1)＝(x ＋1－1)2－4，∴f (x )＝(x －1)2－4
∴a 1＝f (x －1)＝(x －2)2－4，a 3＝(x －1)2－4． 又a 1＋a 3＝2a 2，∴x ＝0，或x ＝3．
（2）由（1）知a 1，a 2，a 3分别是0，－32 ，－3或－3，－3
2 ，0．
∴)3(2
3)1(2
3-=--=n a n a n n 或
（3）当)1(2
3--=n a n 时，
2
351
)]126(2323[29)(2926226852-
=-?--=+=
+?+++a a a a a a 当)3(23-=n a n 时，.2
297)392923(29)(2926226852=+--=+=+?+++a a a a a a
19（1）∵a n >0，12
+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，
,
22412
12----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n 又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 （2）2
1)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=
n T n n n n b n n
20. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有23322(93)960(6)64
S b d q S b d q ?=+=?=+=?①
解得2,8d q =??=?或65403d q ?=-????=
??
(舍去) 故1
32(1)21,8
n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+
∴
121111111
132435(2)
n S S S n n +++=++++
???+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111
(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-
++ 21．（1）()113f a ==Q ,()13x
f x ??
∴= ???
()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---????????2
9
=-, ()()32
3227
a f c f c =---=-???????? . 又数列{}n a 成等比数列，2213421
81233
27a a c a ===-=-- ，所以 1c =；
又公比211
3a q a ==，所以1
2112333n n
n a -????
=-=- ?
?????
*n N ∈ ；
1n n S S --=
=Q ()2n ≥
又0n b >
0>
, 1=；
数列
构成一个首相为1公差为1
()111n n =+-?= ， 2n S n =
当2n ≥， ()2
21121n n n b S S n n n -=-=--=- ；
21n b n ∴=-(*n N ∈)；
（2）12233411111
n n n T b b b b b b b b +=
++++L ()1111133557
(21)21n n =++++???-?+K
1111111111112323525722121n n ????????
=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????
K
11122121
n
n n ??=-= ?
++??； 由1000212009n n T n =>
+得10009n >，满足1000
2009
n T >的最小正整数为112.