直线方程在对数坐标里该如何表达
在直角坐标里，如XY轴为指数关系，方程式将如何表示？
两个例子，第二个在两边都是直线。
这里有个概念：对数坐标系也是直角坐标系，不是XY轴是对数关系，而是坐标轴的长度和它所表示的物理量之间的关系是对数关系。
比如人耳朵听声音20Hz~20000Hz，要按等分刻度，就很难兼顾，还好人生了两只对数耳朵。对音调和响度的感受都是对数关系，比如频率升高一倍，感觉音调上了一个8度。这就好办了。如果要问，钢琴有几个8度音？从低音A2=27.5Hz开始有7~8个。画图表示：
这图只表示了5个8度音，如要表示8个8度音，横坐标还要延长8倍。最好用对数坐标，这里主要横坐标取对数，纵坐标不变，叫做半对数坐标。
而且曲线还变成直线了。很好。但是楼主问的是原来的直线方程怎么表示了？
这是一种坐标变换。旧坐标系f是等分的，新坐标系的x=lgf
那么和几个8度的数目y什么关系？
在新坐标系里是直线方程，如果以A2=27.5Hz为基准，不难得到方程是：
0.3010y+1.439=x
在旧坐标系呢？
把x=lgf代入即可：
0.3010y+1.439=lgf
显然，这是个对数方程。所以说人耳是对数耳朵……如果旧坐标系是直线方程，y=kf+b ，到了半对数坐标系是什么曲线？
还是坐标变换：由x=lgf 得：f=10x代入直线方程：
y=k10x+b
变成指数方程了。
如果XY都是对数坐标怎么样？
也是一样变换的。例如上述的两个方程，
新坐标u=lgx v=lgy 即x=10u y=10v
方程1 y=3x+5
变换成10v =3×10u +5 这是个指数方程；
方程2 y=3x
变换成e v =3×10u
化简可得：v=0.4771+ u 还是个直线方程如下图：
解析外标两点对数方程计算黄芪药材含量 方法：照高效液相色谱法，ODS柱，以乙腈-水（32：68）为流动相，流速1ml/min，经蒸发光检测器检测，用外标两点对数方程计算黄芪药材中黄芪甲苷的含量。 仪器：安捷伦1100型液相色谱仪、蒸发光检测器（ELSD）、ODS 柱（4.6um*5mm*200mm）供试品：黄芪药材（检测成分：黄芪甲苷） 关键词：高效液相法、蒸发光检测器、黄芪甲苷、粉碎、提取物、外标两点对数方程 正文： 前处理：取约20g的黄芪药材放置于小型粉碎机内，粉碎后，盛装在密闭的容器中待用。供试品制备：取黄芪药材粉末两份，Ⅰ.4.0037g；Ⅱ.4.0022g。分别置索氏提取器中，加甲醇40ml，浸泡过夜（大于8小时）。第二天，加甲醇适量，加热回流4小时，提取液浓缩至干，残渣加水10ml，微热使溶解，用水饱和的正丁醇（制法：把水加入正丁醇中至饱和）振摇提取4次，每次40ml，合并正丁醇液；用氨试液充分洗涤2次，每次40ml，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml使溶解，放冷；通过D101型大孔吸附树脂柱(备注：自己装填)，并以水50ml洗脱，弃去水液；再用40%乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液；继用70%乙醇80ml洗脱，收集洗脱液，蒸干；用甲醇溶解并转移至5ml量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得供试品溶液。简单讲，即把黄芪药材最后提取物（黄芪甲苷）溶解到5ml
甲醇中。 对照品制备：称取黄芪甲苷对照品（中检所购入）0.0512g至100ml 容量瓶中，用甲醇溶解至刻度，摇匀，即得。测定：系统平衡后，精密吸取对照品溶液10ul进样，得色谱峰面积Ⅰ.259457；进样20ul，得色谱峰面积Ⅱ.523039。供试品溶液进样20ul，两针，色谱峰面积为：Ⅰ.909836，Ⅱ.902925。根据对照品峰面积和进样量，以外标两点对数方程计算供试品含量。 两点对数方程定义：是利用两点的对数值呈线性关系求解二元一次方程y=ax+b。本题是利用对照品溶液两针进样量的对数值和所得峰面积的对数值呈线性的关系，把两组数据带入方程y=ax+b中，求得a 和b，即求解了该方程式。然后带入供试品峰面积的对数值，求得供试品进样量的对数值，对其求反对数得供试品进样量（黄芪甲苷的量）。方程中x、y值均为进样量和峰面积取对数（lg）后的数值。简单讲，就是通过对照品溶液两针的进样量和峰面积（均取对数lg）求解方程式后，把供试品峰面积（取对数lg）带入方程式求得供试品的进样量。 数据处理：根据外标两点对数方程，应先计算得到方程式中的x、y值，才能求解此方程式。即取对照品进样量的对数值为x，取对照品峰面积对数值为y，计算结果如下： 对照品ⅠⅡ 进样量0.0512g×10ul0.0512g×20ul
【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习知识要点 一、13 1．若点P 的直角坐标为() 1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52, 3 π?? ?? ? B ．42, 3 π?? ?? ? C ．72, 6 π?? ?? ? D ．112, 6π?? ?? ? 【答案】A 【解析】 【分析】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】 设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则() 2 2132ρ=+-=，3 tan 31 θ-= =-. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3 π?? ??? ，故选：A. 【点睛】 本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题. 2．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2 x = C ．2202x y x +==或 D ．2y = 【答案】C 【解析】 由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C. 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=?? =??+=? ，利用这个公式可以实现直角坐标 与极坐标的相互转化． 3．参数方程 （为参数）所表示的图象是
A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。 【详解】 由题意知将代入，得， 解得，因为，所以.故选：D。 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程之间的转化，参数方程化普通方程一般有以下几种消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。消参时要注意参数本身的范围，从而得出相关变量的取值范围。 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析 式。 【详解】 由伸缩变换得，代入，有， 即.所以变换后的曲线方程为.故选：C。
选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义 本部分是人教A 版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的，明显比另两个模块简单。 第一节坐标系 基本知识点： 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： ??? x′＝λ·x， λ＞0， y′＝μ·y， μ＞0 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点， 自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴 Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M(ρ，θ)不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化 设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(x ，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 ?? ? x ＝ρcos θy ＝ρsin θ ? ?? ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x x≠0
普通坐标与对数坐标的区别 一、普通坐标与对数坐标1、普通坐标的刻度之间的间隔距离与价格成正比。即在普通坐标系中，所有当日涨跌相等的K 线长度是一样的。比如所有自开盘至收盘上涨1 元钱的K 线具有同样的长度。但是在对数坐标系中，坐标刻度之间的间隔距离与价格的对数成正比。即当日涨跌幅（% ）相等的K 线才具有同样的长度。如所有自开盘至收盘上涨10% 的K 线在对数坐标中长度是一样的。 2、对数坐标与普通坐标的区别是：假定股票连续上涨，从5 元涨到11 元，每天涨1 元，在普通坐标中画出的是6 条一样长的阳线，而在对数坐标中，由于第一根阳线从5 元到6 元涨幅为20% ，最后一根阳线从10 元到11 元涨幅为10% ，所以其最后一根阳线的长度是第一根的一半。我们推荐使用对数坐标系，因为对数坐标系能够反映股票的实际盈亏。 二、普通坐标及对数坐标画线的注意事项1、画直线画直线必须用对数坐标为什么要用对数坐标？因为普通坐标表示的是价格变化的绝对值，即今天比昨天涨了多少点，而对数坐标表示的是价格变化的相对强度，即今天比昨天涨了%几。通常情况下，只有在对数坐标上才能看到平行的通道线（比较直观），而在普通坐标上的通道线并不是直线，实际是2个指数函数，是曲线。 2、画黄金分割线做水平黄金分割线一定要用普通坐标，如果用对数坐标的话，做出的是对数坐标的黄金分割，而不是价格的黄金分割趋势线+对数坐标的妙用趋势线作为技术分析的重要工具,有着非常好的实战
效果,但在国人运用过程中,不少人都忽略了一项重要因素:其运用于研判比较长时间且价格变化比较大的K图时,应选取对数坐标.反之则可用普通坐标. 主要原因在于对数坐标在反映价格变化时是以比例为基数,而 非简单的算术值.这一点,需要引起足够重视,而且在对趋势线是否被穿越的观察上,使用对数坐标的K图比普通坐标的K图要敏感得多!尤其是在较长周期和价格变动比较大的情况下! 简单举例如下(观察两种坐标下 趋势线的不同,尤其是跌穿趋势的关键位置和时间点):可以很清楚地发现,如果作为中长线的波段交易者,运用对数坐标的趋势线来判断趋势完结和反抽位置要比运用普通坐标来得及时得多. 总结：由普通坐标与对数坐标的原理可知，短周期内的普通坐标与对数坐标的差异很小，但长周期内普通坐标与对数坐标可能会差异比较大，有些在普通坐标上没有规律的图形到对数坐标上可能极有规律。 对数坐标：反应的是上涨和下跌的百分比，比如涨5%和跌5％，它们的K线长度应该是一样长的。普通坐标：就是按涨跌的绝对值计算，涨100点和跌100点的长度应该一样长。对数坐标通常用于周期比较长，涨跌幅度比较大的分析。而普通坐标通常用于周期短，涨跌幅度相对小的分析。因为我们知道在6000点的时候涨跌100点，与3000点时涨跌100点，效果是相差一倍的，对我们的财富的影响，心理的影响也是相差一倍的。这个时候用百分比计算，使用对数坐标分析，相对合理一些。还有就是从个股来说，工商银行涨一元，比起贵州茅台只涨了一元，那效果也是很不一样的。技术分析的基础之一，就是研究价格波动对人们心理的影响。股价在低位的时候，用绝对值计算股价，其实有比较大
书P83例7（内标法）：本品每1g含樟脑164mg，P86例8（外标法），P86例9本品每1g含黄芪甲苷为0.2mg，供试品制备取样量为1g.（对数方程外标两点法）可参考P231-233，6个验证内容。 小儿热速清口服液中黄芩苷的含量测定(外标一点法)： （1）对照品溶液的制备：取黄芩苷对照品约10mg，精密称定，置200ml量瓶中，加50%甲醇适量，置热水浴中振摇使溶解，放冷，加50%甲醇至刻度，摇匀，即得。（实际浓度为0.0504mg/ml) （2）供试品溶液的制备：精密量取本品0.5ml，置D101大孔吸附树脂柱（内径约1.5cm，柱高10cm）上，用70ml水，以流量1.5ml/min洗涤，继续用40%乙醇洗脱，弃去7~9ml，收集续洗脱液，置50ml量瓶中，定容至刻度，摇匀，即得。 （3）标准曲线的绘制：精密吸取浓度为0.0504mg/ml的黄芩苷对照品溶液1.0ml，2.0ml，5.0ml，8.0ml，10.0ml，分别置10ml的量瓶中，用甲醇稀释至刻度，摇匀。精密吸取上述对照液10ul注入液相色谱仪，记录峰面积。以进样量X（ug/ml）对峰面积Y进行回归处理，得回归方程Y=25.540x-0.1061（r=1.0000），结果见表1，表明黄芩苷进样量5.04~50.4ug/ml范围内与峰面积呈良好的线性关系，如图。 表1 黄芩苷对照品的线性关系考察 进样量(ug/ml) 峰面积回归方程相关系数 5.04 128.7 10.08 257.5 25.20 643.1 Y=25.540x-0.1061 r=1.0000 40.32 1029.6 50.40 1287.3 （4）专属性试验：在与样品测定完全相同的条件下，分别精密吸取对照品溶液，供试品溶液及阴性对照液各10ul，进样分析，观察色谱图。如图2，阴性无干扰，说明该实验方法的专属性较强。
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+??=-? 为参数，则直线的斜率为（ ） A ． 23 B ．2 3- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ=??=+? 为参数上的点是（ ） A ．1(,2 B ．31 (,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2 01y y +==2 x 或 B ．1x = C ．2 01y +==2 x 或x D ．1y = 5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2, )3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3 k k Z π π+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 二、填空题 1．直线34()45x t t y t =+?? =-?为参数的斜率为______________________。 2．参数方程()2() t t t t x e e t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。 3．已知直线113:()24x t l t y t =+?? =-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，
坐标系与参数方程 （一）极坐标系： 1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做 极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）.对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标.这样建立的坐标系叫做极坐标系. 2、极坐标与直角坐标互化公式： ★极坐标与直角坐标的互化公式：? ??==θρθ ρsin cos y x ， ?? ? ? ?≠=+=0,tan 2 22x x y y x θρ。 ★极坐标与直角坐标的互化的前提： ①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。 例如：极坐标方程cos sin 11x y ρθρθ+=?+=（在转化成,x y 时要设法构造cos ,sin ρθρθ ， 然后进行整体代换即可） 3、求极坐标方程的两种方法： ★处理极坐标系中问题大致有两种思路： (1)公式互化法：把极坐标方程与直角坐标方程进行互化； (2)几何法：利用几何关系（工具如：三角函数的概念、正弦定理、余弦定理）建立ρ与θ的方程. （二）参数方程： 1、参数方程的定义： 如果曲线(),0F x y =中的变量,x y 均可以写成关于参数t 的函数()()x f t y g t =???=??，那么()() x f t y g t =???=?? 就称为该曲线的参数方程，其中t 称为参数。 2、常见的消参技巧： （1）代入法：()3 ()2333723x t t y x y x y t =+??=+-?=-? =+? 为参数 （2）整体消元法：2211 x t t y t t ? =+??? ?=+?? ()t 为参数，由222112t t t t ?? +=++ ???可得：22x y =+ （3）三角函数法：利用22 sin cos 1θθ+=消去参数 例如：22cos 3cos 3 ()12sin 94sin 2 x x x y y y θθθθθ? =?=????+=? ?=??= ??为参数
EXCEL自动计算液塑限并绘制图表至双对数坐标系 发表时间：2016-12-07T13:52:32.897Z 来源：《基层建设》2016年24期8月下作者：周常欣[导读] 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 湖南理工职业技术学院湖南湘潭 411000 摘要：用解析法计算液塑限试验数据，并将其编制成EXCEL表格并绘制图表至双对数坐标系，由此确定出的液限、塑限值，较传统方法方便、快捷、准确。 关键词：土工试验；EXCEL；液塑限；解析法；双对数；解析法 0 概述 土的液塑限指标是细粒土进行分类和定名的最基本指标，在土工试验中具有很重要的作用。这两个指标一般通过土的液塑限联合测定法进行测定，由其求得的液性指数在一定程度上反映了粘性土的结构特征，可用于评价土的强度和压缩性，也是获取一般粘性土地基承载力值的重要指标。因此，准确确定土壤的液塑限指标对工程具有很重要的意义。 按照《土工试验规程》SL237-1999 (以下简称《规程》)的规定，该试验数据处理采用绘图——查图的方法。由于图形要绘在对数坐标下，绘制过程相当复杂，且绘图、查图过程中均有误差的产生，因此，该试验的数据既费时、费力，又难以保证精度。 本文通过解析法代替手工绘图、查图过程的数据处理方法，用EXCEL编写了相应的表格进行自动计算并并绘制图表至双对数坐标系，取得了良好的效果。 1．液塑限自动计算思路繁琐的查图过程背后，实际上隐藏着一定的数学关系。只要把这种数学关系找出来，就可以在EXCEL中用简洁的数学运算代替查图操作。 EXCEL具有绘制曲线、折线、散点图等各种图表的功能，只要知道坐标，绘制图表是比较容易的。而液塑限用的是双对数坐标，双对数坐标系通常可以根据测试数据使用origin或matlab来绘制，在这里我选用应用最广泛的Excel完成液塑限试验中双对数坐标的绘制。如何将绘制双对数坐标系和将直线绘制到双对数坐标系是本文的难题。 算术坐标系：就是普通的笛卡儿坐标系，横纵的刻度都是是等距的。（举例来说：如果每1cm的长度都代表2，则刻度按照顺序1，3，5，7，9，11，13，15……）；但一般情况下，刻度仍然是均匀的，按照0，1，2，3，4的顺序排列下去。 双对数坐标系，就是图的两个坐标轴的刻度均为对数刻度，这样一来的话，形如y=ax^b的指数曲线，在双对数曲线图中就表现为一条直线，b就是这条直线的斜率(这里的斜率并不是按数轴上的刻度值计算的，而是将坐标轴看成普通坐标轴，按坐标轴的单位长度计算的)。 可以这样来理解，将y=ax^b两边都取对数，得到：ln(y) = ln(a) + bln(x)，令 = ln(y), = ln(x), 那么在对数曲线图中，得到的就是一条=+ b的直线，数轴的长度单位用的就是和的单位，但是“对数曲线图”的“对数”指的是刻度取对数，所以数轴上的值标的还是x和y的值，所以相邻长度单位上标的数值随数轴的延伸相差越大，也就是说每次增加1，但是x 增加的幅度却是按= ln(x)越来越大的。 对数坐标有几个特点，在应用时需特别注意： (1) 标在对数坐标轴上的数值为真数。 (2) 坐标的原点为x=1，y=1，而不是零。因为1ogl=0。 (3) 由于0.01、0.1、1,10、100等的对数，分别为-2、-1、0、1、2等，所以在坐标纸上，每次数量级的距离是相等的。 (4) 在对数坐标上求斜率的方法，与笛卡儿坐标上的求法有所不同。这一点需要特别注意。在笛卡儿坐标上求斜率可直接由坐标度来度量，如斜率△Y/△X；而在双对数坐标上求斜率则不能直接由坐标度来度量，因为在对数坐标上标度的数值是真数而不是对数。因此双对数坐标纸上直线的斜率需要用对数值来求算，或者直接用尺子在坐标纸上量取线段长度求取。斜率： x=a/b=(logy2-logy1)/( (logx2-logx1) 式中△h与△1的数值，即为用尺子测量而得的线段长度。 (5) 在双对数坐标上，直线与x=1的纵轴相交处的y值，即为原方程中的值，若所标绘的直线需延长很远才能与x=1的纵轴相交，则可求得斜度x之后，在直线上任取一组数据x和y，代入原方程 y=axn中，也可求得值 EXCEL绘制双对数坐标系
二、指数对数方程 定义：在指数里含有未知数的方程叫指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程 指数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a a b f x b =?=形如 （2） 化同底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=形如 （3） 取对数法：()()lg ()lg ()g x f x a b a f x b g x =??=?形如 （4） 换元法：()()0,,0,x x f a t a f t t ===设解方程求再进一步求解 对数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a f x b a b =?=形如 （2） 化同底法：()log ()()()a f x g x f x g x =?=a 形如log （3） 换元法： ()()log 0,log ,0,a a f x t x f t t ===设解方程求再进一步求解 型如A(log a x)2+Blog a x+C=0常用换元法； （4）数形结合法． 注意：解对数方程验根是必不可少的． 指数不等式的解法： ()()1()()f x g x a a a f x g x >>?>若则 ()()01()()f x g x a a a f x g x <<>?<若则 对数不等式的解法 若()()1,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x >?? >>?>??>? 若()()01,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x ?>??>? 练习： 一、解下列方程 1). ()()lg 4lg lg 21x x x +-=+。 2) 248log 2log log 7x x x ++= 3) 252log 253log 1x x -= （4） 1 22log (44)log (23)x x x ++=+- （x=2） 5) 239(log )log 32x x -= 6) lg 2 1000x x += （ 1 101000 x orx == ） 7) 14272 ()()9 83 x x -?= 8)25235500x x -?-= 9)．222 215x x +--= 10).31636281x x x ?+=?， 11). 2 11 53x x +-= （31log 15or -） 12、677 1x x -?-= （7log 5x =）
高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．曲线与坐标轴的交点是（）． A． B． C． D． 2．把方程化为以参数的参数方程是（）． A． B． C． D． 3．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A． B． C． D． 4．点在圆的（）． A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关 5．参数方程为表示的曲线是（）． A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线 6．两圆与的位置关系是（）． A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 7．与参数方程为等价的普通方程为（）． A． B．
C． D． 8．曲线的长度是（）． A． B． C． D． 9．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为（）．A． B． C． D． 10．直线和圆交于两点， 则的中点坐标为（）． A． B． C． D． 11．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）．A． B． C． D． 12．直线被圆所截得的弦长为（）． A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 13．参数方程的普通方程为__________________． 14．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．15．直线与圆相切，则_______________． 16．设，则圆的参数方程为____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离． 18．（本小题满分12分） 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值． 19．（本小题满分12分） 已知中，(为变数)， 求面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知直线经过点,倾斜角， （1）写出直线的参数方程． （2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积．21．（本小题满分12分） 分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程： （1）为参数，为常数；（2）为参数，为常数． 22．（本小题满分12分） 已知直线过定点与圆：相交于、两点．求：（1）若，求直线的方程； （2）若点为弦的中点，求弦的方程． 答案与解析：
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
坐标系与参数方程 1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ θθθ =??=+?为参数） 上的点是（ ） A 、1 (,2)2- B 、31(,)42 C 、(2,3) D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点?? ? ??3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B. 4＋π 2 9 C. 1＋π2 9 D. 3 3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2) B ．(1，－π 2 ) C ．(1,0) D ．(1，π) 4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程? ?? ?? x ＝－1－t y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆 D ．直线、直线 5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝ π 6 (ρ∈R )的距离是________． 7．N3[2012·北京卷] 直线??? ?? x ＝2＋t ， y ＝－1－t (t 为参数)与曲线 ???? ? x ＝3cos α，y ＝3sin α (α为参数)的交点个数为________． 8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为?? ? x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和 ?? ? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________． 9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：????? x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：? ?? ?? x ＝a sin θ， y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点 在x 轴上，则a ＝________. 10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π 4与曲线? ???? x ＝t ＋1，y ＝t －12 (t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________． 11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和 ? ????x ＝1－2 2t y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________． 12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆 2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________. 13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1： ? ???? x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ 为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________． 15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________． 17．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为? ?? ?? x ＝8t 2 ， y ＝8t ，(t 为 参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2 ＋y 2 ＝ r 2(r >0)相切，则r ＝________. 18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为?? ? x ＝5cos θ y ＝sin θ (0≤θ<π)和????? x ＝54 t 2 y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校 2013届高三上学期第一次联考】 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =-???=??， （t 为参数）， 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2 4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围. 20、(2012·高考课标全国卷) 已知曲线C 1的参数方程是? ????x ＝2cos φ， y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2， 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3 )． (Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围．
选修4-4教案 教案1平面直角坐标系（1课时） 教案2平面直角坐标系中的伸缩变换（1课时）教案3极坐标系的的概念（1课时） 教案4极坐标与直角坐标的互化（1课时） 教案5圆的极坐标方程（2课时） 教案6直线的极坐标方程（2课时） 教案7球坐标系与柱坐标系（2课时） 教案8参数方程的概念（1课时） 教案9圆的参数方程及应（2课时） 教案10圆锥曲线的参数方程（1课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1课时） 教案12直线的参数方程（2课时） 教案13参数方程与普通方程互化（2课时） 教案14圆的渐开线与摆线（1课时）
课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：互动五步教学法 教具：多媒体、实物投影仪 复习及预习提纲： 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 ————教学过程———— 复习回顾和预习检查 1平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2坐标系的作用 创设情境，设置疑问 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 分组讨论 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
高考数学《坐标系与参数方程》课后练习 一、13 1．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v （,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ） A ．[21,221]-+ B ．[422,422]-+ C ．22 [1,2]22- + D ．22 [1,2]44 - + 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r 的坐标，进而可得BP u u u r 的坐标．分类讨论，当 动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】 解：建立如图所示平面直角坐标系，可得， (0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r ， 当点Q 在CD 上运动时，设(4,), [0,4]Q t t ∈， 则点P 在圆Q ：22 (4)()1x y t -+-=上及内部， 故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，
则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r ， 44cos 4sin m r n t r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n t r t πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 t r π θ=== 时，m n +24+ m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈， 则点P 在圆Q ：22 ()(4)1x s y -+-=上及其内部， 故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤， 则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r ， 4cos 44sin m s r n r θθ =+?∴?=+?， 444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ? ?∴+=+++=+++ ???， 04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ， 当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14 -； 当4, 1,4 s r π θ=== 时，m n +取最大值为 84 +，即24+， m n ∴+的取值范围是1244?- +?? ? ； 故选：D ． 【点睛】 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2 ρ的最大值为（ ） A ． 7 2 B ．4 C ． 92 D ．5
坐标系与参数方程 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的 作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示, 在平面取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; (ii)平面直角坐标系的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M 是平面一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M 是坐标平面任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下: 极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθ ρθ=??=? 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ: 222 tan (0) x y y x x ρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程
坐标系与参数方程专题 ? 温故知新 1．坐标系 (1)坐标变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λ· x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系 在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． 设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则???? ?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，?????ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x （x ≠0） . 3．直线的极坐标方程 若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M (b ，π 2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ． 4．圆的极坐标方程 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π 2 )，半径为a ：ρ＝2a sin_θ． ? 举一反三 考点一、平面直角坐标系中的伸缩变换 例1、 求双曲线 C ：x 2－ y 2 64＝1经过φ：?????x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将?????x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2 －y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′2 16 ＝1， 即x 29－y 2 16 ＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． 变式练习 1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 解：设变换为?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即? ?? ??x ′＝x ， y ′＝4y .因此，经过变换? ????x ′＝x ， y ′＝4y 后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4. 考点二、极坐标与直角坐标的互化 例2、 (2014·高考天津卷改编)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值． [解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4. 由ρsin θ＝a ，可得y ＝a . 设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示． 由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝3 3 a ， ∴B 点的坐标为?? ? ?33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，