第五章弹性体的能量原理
§5-1 差分公式的推导
目录
§5-2 应力函数的差分解
§53应力分量差分解的实例§5-3 应力分量差分解的实例
§5-4弹性体的形变能和外力势能
§5-5位移变形方程
§56§5-6
位移变分法§5-7位移变分法的例题
变分法简介简介?函数的变分
y y x =()dy d y δδ??=??()dx dx
???泛函的变分
()I I y x =????
()',,b
a I f x y y dx =∫()
b b
a a I f dx f dx δδδ==∫∫?泛函的极值问题
I y x =?=()I ???()0y y x 0
I δ=
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势
?变分法：研究泛函及其极值的求解方法。
：研究泛函及其极值的求解方法
?泛函：是以函数为自变量的一类函数，即函数的函数弹性力学中的变分法又称为能量法
形变势能密度：单位体积中的形变势能
1
σε
单拉伸缩
单向拉伸或压缩
2x x
1
剪切载荷作用
τγ
2xy xy
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势根据能量守恒原理形变势能与弹性体受力的次序无?根据能量守恒原理，形变势能与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。因此，考虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量可以得到弹虑弹性体的6个应力分量和6个形变分量，可以得到弹性体全部形变势能密度1()12
x x y y z z xy xy yz yz zx zx U σεσεσετγτγτγ=+++++0==0,
0yz zx ττ在平面问题中平面应力
z σ=平面应变0
z ε=1()12x x y y xy xy U σεσετγ=++
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势在平面问题中各应力分量和形变分量都是坐标x和y ?在平面问题中，各应力分量和形变分量都是坐标x和y 的函数，因此形变势能密度一般也是坐标的函数。整个弹性体（平面区域A 内）的形变势能U 可以表示为
1U U dxdy dxdy σεσετ==++?()12x x y y xy xy A A
y y γ∫∫∫∫也可以采用形变分量来表示()2221212221x y x y xy E U μεεμεεγμ??=+++?????
?111,,x y xy x y xy U U U σστεεγ??===???弹性体每单位体积中的形变势能对于任形变分量的改变弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，就等于相应的应力分量。
5-4 弹性体的形变势能和外力势能弹性势外势另外形变势能还可以用位移分量来表示
?另外，形变势能还可以用位移分量来表示2221E u v u v v u μ???????????????=?()122221U x y x y x y μμ++++????????????????????????由此可见，形变势能是形变分量或位移分量的二次泛函。因此叠加原理不再适用。
()()()
1212U u u U u U u +≠+外力功
W d d d ()()A x y x y s f u f v dxdy f u f v ds =+++∫∫∫外力势能
d d d ()()
A x y x y s V f u f v dxdy f u f v ds =?+?+∫∫∫
5-5 位移变分方程位移虚位移：假设位移分量发生在位移边界条件所容许的微?小改变
''
,u u u v v v
δδ=+=+由位移变分引起的外力功的变分和外力势能的变分分别为()()
x y x y A s W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδ=+++∫∫∫位移的变分引起应变的变分
()()()(),,x xy u v v u δεδδεδδγδδ????===+??y y x y x y
??
5-5 位移变分方程位移?引起的形变势能的变分为
U dxdy δσδεσδετδγ=++注意系数变化
()x x y y xy xy A y γ∫∫假定弹性体在虚位移过程中没有温度和速度的改变，即热能和动能恒定。按照能量守恒定理，形变势能的增加应当等于外力势能的减少，即外力所做的功，于是可以得到()()
x y x y A s U W f u f v dxdy f u f v ds δδδδδδ==+++∫∫∫位移变分方程：在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分等于外力功的变分。引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。
5-5 位移变分方程
位移由此还可以导出弹性力学中的极小势能原理
()0
U V δ+=在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。
极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在一组位移应使总势能称为极值。
如果考虑阶变分总是大于或等于零就可如果考虑二阶变分总是大于或等于零，就可以证明：对于稳定平衡状态，这个极值就是极小值。
()20U V δ+≥
5-5 位移变分方程位移?弹性力学的虚功方程
(x x xy xy dxdy σδεσδετδγ++?)()()
0y y y y A x y x y A s f u f v dxdy f u f v ds δδδδ+++=∫∫
∫∫∫如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在，虚应变上做的虚功。
位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是一位移变分方程，极小势能原理和虚功原理在本质上都是样的，它们都是从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒定理的具体应用，只是表达方式有所不同而已。
5-6 位移变分法位移?弹性力学的变分解法
若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使他们预先满足位移边界条件然后再令其满足位并使他们预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程，并求出待定系数，就同样能得出实际位移的解答。
试取位移分量的表达式为
00,m m m m
m m
u u A u v v B v =+=+∑∑位移分量的变分为
,u u A v v B δδδδ==m m m m
m m
∑∑
5-6 位移变分法位移
?形变势能的变分为
U U U A B δδδ????=+m m m m m A B ??????
∑代入位移变分方程得到
?m m m m m U U A B A B δδ???+=??????
∑()()
x m m y m m m m m x y A s m m f u A
f v B dxdy f u A f v B ds
δδδδ+++∑∑∫∫∫?x m m m x A s m m U f u dxdy f u ds A A δ????+?????
∑∫∫∫0y m m m y A s U f v dxdy f v ds B B δ?????=?????∑∫∫∫
5-6 位移变分法位移由于的任意性可以得到求解?A m 和B m 的任意性，可以得到求解A m 和B m 的位移变分方程，即
x m m x A s m
U f u dxdy f u ds A ?=+?∫∫∫y m m y A s m
U f v dxdy f v ds B ?=+?∫∫∫瑞利-里茨法(Rayleigh-Ritz Method)
用位移变分法求得位移以后，不难通过几何方程求得形变，进而通过物理方程求得应力。通常取不多的系数A m 、B m ，就可以求得较精确的位移，而通过求导数后得出的应力却很精确为了求得的应力充分精确必须得更多的系很不精确。为了求得的应力充分精确，必须取得更多的系数。
5-7 位移变分法的例题位移题
例题设有如图所示宽度为?1. 设有如图所示，宽度为a 而高度为b 的矩形薄板，在左边及下边受连杆支撑，在右边及上边分别受12不计体力试求薄板位移有均布压力q1和q2，不计体力，试求薄板位移。取位移分量的形式为
()
123u x A A x A y =+++L ()
123v y B B x B y =+++L 验证边界条件()()000,0
x y u v ====验边界条件
不论各系数如何取值，都可以满足两个边界位移条件
5-7 位移变分法的例题位移题
试只去A1和B1两个待定系数即
?试只去A1和B1两个待定系数，即111111,u A u A x v B v B y
====于是有
11,0,0,u u v v A B ????====??a b E x y
x y
??弹性体的形变势能为()
()221111200221U A B A B dxdy μμ=++?∫∫1111,x y U U f u ds f v ds A B ??==??∫∫s s
5-7 位移变分法的例题位移题
针对以上二式只需考虑边界上面力和位移都不等于?针对以上二式，只需考虑边界上面力和位移都不等于零的部分边界。
?对于薄板右边有
11,,x f q u x a ds dy
=?===?对于薄板上边界有
,,v y b ds dx
=?===b
d d b 21y f q 从而有
()1110x s a
f u ds q ady q ab =?=??=?∫
∫()1220y s f v ds q bdx q ab =∫∫
5-7 位移变分法的例题位移题
12,U U q ab q ab A B ??=?=???11
()111222Eab A B q ab μ+=??()
2122Eab B A ab μ+=?()
()112221q μμ?q q ??122111,q q A B E E
μμ=?=?12,q q u x E
μ?=?从而得到位移分量的表达式21q q v y E μ?=?
5-7 位移变分法的例题位移题
例题2设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板如图所?例题2. 设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板，如图所示，它的左边、右边和下边均被固定，而上边界具有
2给定的位移20,1x u v a η??==??????不计体力试求薄板的位移不计体力，试求薄板的位移。
取如图所示坐标位移分量只取项数2x x ??取如图所示坐标，位移分量只取项数m=1，位移分量的表达式设定为122211,y y u A a a b b ??=????????
???122111x y x y y v B a b a b b η?????=??+??????????????
5-7 位移变分法的例题位移题
以上位移分量可以满足全部的边界条件?()()()00,0,0,
x a y y b u u u =±=====()()()2
200,0,1x a y y b x v v v a η=±==??===??????同时，所有位移的对称性也是满足的
不计体力，而且没有应力边界条件，所以有
0,0U U A B ??==??11
2221a b E u v u v v u μ???????????????=()20022221U dxdy x y x y x y μμ++++?????????????????????????∫∫
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵数：线性算子（矩阵）空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1 max ；21 )(11 2 2 ∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分： 函数空间 数域 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得 有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
第一章 变分原理与变分法 1、1 关于变分原理与变分法(物质世界存在的基本守恒法则) 一、 大自然总就是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理: 昼/夜,日/月,阴/阳,静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物:平衡体的最小能量原理,对称/相似原理; 对运动事物:能量守恒,动量(矩)守恒,熵增原理等。 变分原理就是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播; ② 光线入射角等于反射角,光线在反射中也就是光传播最短路径(Heron); ③ 光线折射遵循时间最短的途径 CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理; 在静力学中的稳定平衡本质上就是势能最小的原理。 二、变分法就是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学 方法),就是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义:数学空间(集合)上的元素(定义域)与一个实数域间(值域)间的(映 射)关系 特征描述法:{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数:线性算子(矩阵)空间 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ;∑=∞=n j ij i a A 1max ;21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
② 函数的积分: 函数空间 D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量就是集合中的元素(定义域);值域就是实数域。 Discussion : ① 判定下列那些就是泛函: )(max x f f b x a <<=; x y x f ??) ,(; 3x+5y=2; ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i 、 梁的弯曲应变能: ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii 、 弹性地基贮存的能量: dx kw l f ?= ∏02 2 1 iii 、 外力位能: ?-=∏l l qwdx 0 iv 、 系统总的势能: 00 0;})({221222 021 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法:有一种梁的挠度函数(与载荷无关),就会有一个对应的系统 势能。 泛函驻值提法:在满足位移边界条件的所有挠度函数中,找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题:已知空间两点A 与B ,A 高于B ,要求在两点间连接一条曲线,使得有 重物从A 沿此曲线自由下滑时,从A 到B 所需时间最短(忽略摩擦力)。 作法: i 、 通过A 与B 作一垂直于水平面的平面,取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知:x = 0,y = 0;x = a ,y = b ii 、 建立泛函: x
变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切， 似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体; 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理; 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Exa mp les ① ② Summary:实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的 （映射）关系 第一章 光线最短路径传播； 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； AE+ EB A AC +CB ③
特征描述法：{ J: X u D T R | J （ x ） = r € R } Exa mp les ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间— 数域 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 i.梁的弯曲应变能： □b =-f' EJ (雪 2 P dx 2 ii.弹性地基贮存的能量： n f 1 J 2 =一 J kw dx 2 0 iii.外力位能： 口 l l =-0 qwdx iv.系统总的势能： )2dx 11 AII 1 = max 2 a j i4 ；|A L = max 2 a ij ； I A 2 仁 )12 ②函数的积分：函数空间i 数域 b J = a f n （X ）dX fn U D Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussi on ： ①判定下列那些是泛函： c f (x y) --- '—-3x+5y=2; J 6(x-x 0) f (x)dx = f (x 0) f i=ma 少（x ）i ； ex ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 q(x) /■'■'I rmTrfT ① 弹性地基梁的系统势能 ■ d 丨 L l d 2 w 2 □卡E J( dxr) 2 Tkw - qW}dx; x = 0 d w = 0 dx x x = 0,固支；x =
第七章能量原理及其应用 偏微分方程求解的困难 ——应力函数解法的限制 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
目录 §7.1基本概念 §7.2虚功原理 §7.3最小势能原理§7.4虚应力方程§7.5最小余能原理§7.6有限元概念
格林公式 §7.1基本概念 （密度） 外力功——变形体的能量关系变形能xz xz yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U γτγτγτεσεσεσ??= ??=??=??= ??= ??= 000 ij ij U εσd d 0=xz xz yz yz xy xy z z y y x x γτγτγτεσεσεσ+++++d d d d d ＝
注意 线弹性问题的变形能 ) (2 1 0xz xz yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=ij ij U εσ2 1 0=V U U V d 0???=
功－能关系 位移边界面力边界 V S u F V u F k ij s ij k i i k i i d d d s b ??? ?????=+εσ弹性体体积V ，表面积为S 。 位移给定表面S u 面力给定表面S σ 静力可能的应力与几何可能的位移 S =S u +S σ b ,=+i j ij F σj ij i n F σ=s )(21,,i j j i ij u u +=εi i u u =S u S σ s ij σ k i u k ij ε
§7.2虚功原理 弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 虚功原理 V S u F V u F V ij ij V S i i i i d d d s b ????????=+δεσ δδσ
第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称 /相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律， 获称最小作用原理。 Examples: ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ 光线折射遵循时间最短的途径（Fermat ）； , Summary 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法 （求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映 射）关系 特征描述法：{ J: X D R|J （x ） r R } Examples: ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 = 数域 ② 函数的积分：函数空间数域 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n A 2 ( a ij 产 j 1 i 1 AE EB AC CB
b J f n (X )dX f n D a Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w （x ）,使 系统势能 泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短（忽略摩擦 力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标（a, b ）, 设曲线为 y = y （x ）,并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： i.梁的弯曲应变能： 1 ' d 2 w 2 b o 0 EJ( 2 ) dx 2 0 dx ii.弹性地基贮存的能量： f — kw 2 dx 2 0 iii.外力位能： l I o qwdx iv.系统总的势能： 左Ej （d 丫）2 1 2 2 kw qw}dx; x 0 w 0削0 dx x = 0,固支；x = l, 自由 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域） ;值域是实数域。 max f (x)； a x b f(X,y) ； 3x+5y=2; x (x x °)f(x)dx f(X o ) q(x) con sts E 、J x
第一章 变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③光线折射遵循时间最短的途径（ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ①判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(；3x+5y=2；?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ②试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i.梁的弯曲应变能：?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii.弹性地基贮存的能量：dx kw l f ?=∏0 221 iii.外力位能：?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1 ===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系 统势能泛函取最小值。 ②最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重 物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii.建立泛函： 设P (x , y )是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： x