2020武汉市中考专题1：圆中的动点问题
1. 如图，已知⊙O 的半径为10，A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝90°，C 是OB 上一个动点，
连结AC 并延长交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥OD 交OB 的延长线于点E ．当∠A 从30°增大到60°时，弦AD 在圆内扫过的面积是（ ）
A ．
1002533π- B ．503π C ．641633π- D ．502533
π
- 【答案】B
【解析】过点D 作AO 的垂线，交AO 的延长于F ．
当30A ∠=?时，60DOF ∠=?，sin 60453DF OD =?==，
2120101100
105325336023
ABD S ππ?=-??=-弓形，
当60A ∠=?时，60DOF ∠=?，53DF =，
26010150
105325336023ABD S ππ??=-??=-弓形，
1005050253(253)333
S πππ∴=---=．
2. 如图，点D 在半圆O 上，AB=2AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，
H 是AC 上一点，∠DHC ＝90°，若点C 运动2π长度，则点H 运动的路径长度为（ ）
A.2π
B.1.5π
C.π
D.2 【答案】B
3. 如图，在矩形ABCD 中，AD ＝80cm ，AB ＝40cm ，半径为8cm 的⊙O 在矩形内且与AB 、AD
均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A →B →C →D 的方向匀速移动，当点P 到达D 点时停止移动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀速平移，移动到与CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次与AB 相切）时停止移动．已知点P 与⊙O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置）．当⊙O 到达⊙O 1的位置时（此时圆心O 1在矩形对角线BD 上），DP 与⊙O 1恰好相切，此时⊙O 移动了（ ）cm ．
A ．56
B ．72
C ．56或72
D ．不存在
【答案】B 【解析】
存在这种情况，设点P 移动速度为1/v cm s ，2O 移动的速度为2/v cm s ，由题意，得
12802405
2(8016)4
v v +?==-， 如图②：设直线1OO 与AB 交于E 点，与CD 交于F 点，1O 与AD 相切于G 点， 若PD 与1O 相切，切点为H ，则11O G O H =． 易得△1DO G ?△1DO H ，ADB BDP ∴∠=∠． //BC AD ，ADB CBD ∴∠=∠，BDP CBD ∴∠=∠，
BP DP ∴=．
设BP xcm =，则DP xcm =，(80)PC x cm =-， 在Rt PCD ?中，由勾股定理，得
222PC CD PD +=，即222
(80)40x x -+=，解得50x =， 此时点P 移动的距离为405090()cm +=，
//EF AD ，1BEO BAD ∴??∽，∴1EO BE AD BA =，即132
8040
EO =，164EO cm =，156OO cm =． ①当O 首次到达1O 的位置时，O 移动的距离为40cm ，
此时点P 与O 移动的速度比为1218045
11228
v v ==，
455
284
≠，∴此时PD 与1O 不能相切； ②当O 在返回途中到达1O 位置时，O 移动的距离为2(8016)5672()cm --=，
∴此时点P 与O 移动的速度比为121805
1444
v v =
=， 此时PD 与1O 恰好相切．此时O 移动了72cm ，
4. 【鲁老师原创题】如图，等边三角形ADC 外接于⊙O ，点B 是弧AC 上的动点（不与A 、C
重合），∠ACB 的平分线交BD 于点G ，设点B 运动的速度为m ，点G 运动的速度为n ，则n
m
的值为( ) A.1 B.3
3
2 C.
3 D.2
G C
A
B
【答案】B
5. 如图，线段AB=63cm ，过点B 作射线l ⊥AB ，点P 从B 出发以1cm/s 的速度在l 上运动，
以BP 为直径的圆交AP 于点Q ，点P 从6s 运动到第18s 的过程中，点Q 运动的轨迹长度是（ ）cm 。
l
Q
B
A
P
A.6
B.33
C.π3
D.2π3 【答案】C
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A 、B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角
平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）
A 2
B ．
2
π C ．
32
D 5 【答案】A
【解答】如图，连接EB ．设OA r =．
AB 是直径，90ACB ∴∠=?，
E 是ACB ?的内心，135AEB ∴∠=?，
作等腰Rt ADB ?，AD DB =，90ADB ∠=?， 则点E 在以D 为圆心DA 为半径的弧上运动， 运动轨迹是GF ，点C 的运动轨迹是MN ，
2MON GDF ∠=∠，设GDF α∠=，则2MON α∠=
∴
218022180
r
MN r GF απαπ??==??的长的长
． 7. 如图，等腰ABC ?中，5AB AC cm ==，8BC cm =．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2/cm s
的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1/cm s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为()t s ，以点O 为圆心，OB 长为半径的O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与O 相切时，t 的取值是( )
A ．169
B ．32
C ．43
D ．3
【答案】A
【解析】解：作AH BC ⊥于H ，如图，2BE t =，82BD t =-，
5AB AC ==，
1
42
BH CH BC ∴===，
当BE DE ⊥，直线DE 与O 相切，则90BED ∠=?，
EBD ABH ∠=∠， BED BHA ∴??∽，
∴BE BD BH BA =，即28245t t -=，解得16
9
t =．
8. 如图，⊙O 中的弦BC 等于⊙O 的半径，延长BC 到D ，使BC=CD ，点A 为优弧BC 上的一
个动点，连接AD ，AB ，AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交直线AB 于点E ，当点A 在优弧BC 上从点C 运动到点B 时，则DE+AC 的值的变化情况是（ ）
A ．不变
B ．先变大再变小
C ．先变小再变大
D ．无法确定
【答案】B
【解析】如图，连接OA ，OC ，OB ，EC ，作OF ⊥AC 于F ．
∵DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°，
∵DC=BC ，∴EC=CD=CB ， ∵BC=OC=OB=OA ，CD=BC ， ∴OA=OC=CD=CE=CB ， ∵OF ⊥AC ，∠CBE=∠CEB ∴∠AOF=∠COF ，
∵∠AOC=2∠ABC ，∠DCE=∠CEB+∠CBE=2∠CBE ， ∴∠AOC=∠DCE ，∴△AOC ≌△DCE （SAS ）， ∴AC=DE ，∴AC+DE=2AC ，
观察图象可知AC 的值先变大再变小，故AC+DE 的值先变大再变小，
9. 如图，四边形ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=60°．动点P 第1次从点A 处开始，沿以B
为圆心，AB 为半径的圆弧运动到CB 延长线，记为点P 1；第2次从点P 1开始，沿以C 为圆心，CP 1为半径的圆弧运动到DC 的延长线，记为点P 2；第3次从P 2开始，沿以D 为圆心，DP 2为半径的圆弧运动到AD 的延长线，记为点P 3；第4次从点P 3开始，沿以A 为圆心，AP 3为半径的圆弧运动到BA 的延长线，记为点P 4；…..如此运动下去，当点P 运动到P 20时，点P 所运动的路程为（ ）
A ．
3
430
π B ．
3
310
π C ．
3210π D ．3
105
π 【解析】由题意：，点P 所运动的路程=
180206018046018031201802601801120?++?+?+?+?πππππ =3
310
π， 10. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．P 是BC 边上一动点，以PC 为直径作⊙O ，连结AP 交⊙O
于点Q ，连结BQ ，点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，当点P 到达点C 时，点P 停止运动．在整个运动过程中，线段BQ 的大小变化情况是（ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先增大后减小
D ．先减小后增大
【答案】D
【解析】如图，取AC 的中点E ，连接QE ，连接BE ，CQ ．
∵PC 是直径，
∴∠PQC=∠CQA=90°，
∵CE=AE ，∴QE=2
1
AC ，
∵BQ≥BE -EQ ，又BE ，EQ 是定值， ∴当点Q 落在BE 上时，BQ 的值最小， ∴点P 从点B 出发，沿BC 方向运动，
当点P 到达点C 时，BQ 的值先减小后增大，
11. 如图所示，已知A 点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动，
经过t 秒后，以O 、A 为顶点作菱形OABC ，使B ．C 点都在第一象限内，且AO=AC ，又以P （0，43）为圆心，PC 为半径的圆恰好与OC 所在的直线相切，则t=（ ）
A ．23-1
B ．23+1
C ．5
D ．7
【答案】C
【解析】∵已知A 点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动，
∴经过t 秒后，∴OA=1+t ，
∵四边形OABC 是菱形，∴OC=1+t ，
∵⊙P 恰好与OC 所在的直线相切，∴PC ⊥OC ， ∵AO=AC=OC ，∴∠AOC=60°，∠COP=30°，
在Rt △OPC 中，OC=OP?cos30°=43×2
3
=6，∴1+t=6，∴t=5．
12. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BA=6，P 为AB 上一动点，以P 为圆心，2为
半径画⊙P ．点P 从点A 运动到点B ，运动速度为1个单位长度/秒，设运动时间为t 秒，则在运动过程中，⊙P 与△ABC 的边相切时的最短时间t 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6-
33
4
【答案】D
【解析】①当⊙P与AC相切时，如图1所示：设切点为D，连接PD，则PD⊥AC，PD=2，∵∠A=30°，∴PA=2OD=4，∴t=4；
②当⊙P与BC相切时，如图2所示：设切点为E，连接PE，则PE⊥BC，PE=2，
∵∠A=30°，∴PE=3BE，PB=2BE，∴PB=
33
4
，
∴AP=AB-PB=6-
33
4
，∴t=6-
33
4
；∵4＞6-
33
4
，
∴⊙P与△ABC的边相切时的最短时间t的值为6-
33
4
；
13.如图，射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，
QM=4cm．动点P从Q出发，沿射线QN以每秒1cm 的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3cm为半径与△ABC的边相切（切点在边上），则t（单位：秒）可以取的一切值为（）
A．t=2 B．3≤t≤7C．t=8 D．t=2或3≤t≤7或t=8
【答案】D
【解析】⊙Q以每秒2cm的速度向左移动，△ABC也沿射线PN以每秒1cm的速度向左移动，相当于△ABC静止，Q以每秒1cm的速度向左移动，
①当⊙Q与AC相切时，因为半径为3，所以QF=2，
则PQ=2，即t=2，
②作CD ⊥PN ，BH ⊥PN ， ∵BE=2，∴BH=3，HE=1，
同理CD=3，DF=1，
∴当⊙Q 在由D 到H 的过程中与BC 相切，此时3≤t≤7，
③当⊙Q 与AB 相切时，因为半径为3，所以GE=2，即t=8， 综上所述，t=2或3≤t≤7或t=8．
14. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 分别是半圆AB 的三等分点，AB=4，点P 自A 点出发，
沿弧ABC 向C 点运动，T 为△PAC 的内心．当点P 运动到使BT 最短时就停止运动，点T 运动的路径长为__________。
【答案】π
15. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，动点P 从B 点出发以2个单位/s 向A 作直
线运动，同时动点Q 从C 点出发以3个单位/s 向B 作直线运动，以PQ 为直径作⊙O ，设运动时间为t （s ），当⊙O 与AB 相切时t=（ ）
A ．712
B ．2
C ．13
48 D ．23
【答案】A
【解析】如图，∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4，
∴AB=2AC=2×4=8，BC ＝43，
由题意得BP=2t ，CQ=3t ，BQ=43-3t ， ∵⊙O 与AB 相切，
∴PQ ⊥AB ，∴∠ACB=∠QPB=90°， ∵∠PBQ=∠ABC ， ∴△QPB ∽△ACB ， ∴AB BC BQ PB =，∴8343342=-t
t ，解得：t=712
． 16. 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP=10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ，
A ，
B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速
度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t （s ）．当直线AB 与⊙O 相切时，t （s ）的值是（ ）
A ．0.5
B ．3.5
C ．0.5或2.5
D ．0.5或3.5
【答案】D
【解析】连接OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP=90°，
∵OP=10，OQ=6，∴PQ=8（cm ），
过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ， ∵点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为ts ，
∴PA=5t ，PB=4t ， ∵PO=10，PQ=8，∴PQ PB
AO PA ，∵∠P=∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA=∠PQO=90°， ∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC ． ∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．
①当AB 运动到如图1所示的位置，BQ=PQ-PB=8-4t ，∵BQ=6， ∴8-4t=6，∴t=0.5（s ）．
②当AB 运动到如图2所示的位置，BQ=PB-PQ=4t-8，
∵BQ=6，∴4t-8=6，∴t=3.5（s ）．∴当t 为0.5s 或3.5s 时直线AB 与⊙O 相切．
17. 在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A （2，0），B 点为⊙O 上任意一点，P （5，
0），连接BP ，将线段BP 绕B 点逆时针旋转90°至线段BC ，当B 点从A 点出发，绕圆旋转一周的过程中，C 点运动路径长为（ ）
A ．22π
B ．4π
C ．42π
D ．6π
【答案】C
【解析】如图，在y 轴上取一点H ，使得OH=OP ，连接HC ．OB ．PH 、PC ．
则△OPH ，△PBC 都是等腰直角三角形． ∴∠OPH=∠CPB=45°，PH=2OP ，PC=2PB ，
∴∠OPB=∠CPH ，PC
PB
PH PO =，
∴△OPB ∽△HPC ， ∴OB ：HC=OP ：PH=2
2， ∵OB=2， ∴HC=22，
∴点C 的运动轨迹是以H 为圆心，HC 为半径的圆，
∴当B 点从A 点出发，绕圆旋转一周的过程中，C 点运动路径长为42π，
18. 如图，AB 是半径为3半圆O 的直径．CD 是圆中可移动的弦，且CD=3，连接AD 、BC 相交
于点P ，弦CD 从C 与A 重合的位置开始，绕着点O 顺时针旋转120o ，则交点P 运动的路径长是_______。
【答案】
π3
3
4 【解析】如图，连接OC 、OD 、AC ．
∵CD=OC=OD=3，
∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°， ∵AB 是直径，∴∠ACP=90°，
∵∠CAD=2
1
∠COD=30°，
∴∠APC=90°-30°=60°， ∴∠BOQ+∠AOP=120°， ∴∠APB=120°，
∴点P 的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△ABM 的外接圆的半径， 易知等边三角形△ABD 的外接圆的半径=23，
∴点P 的运动路径的长=
π334,故答案为π3
3
4 19. 在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，动点P 为矩形边上的一点，点P 沿着B-C 的路径运动（含
点B 和点C ），则△ADP 的外接圆的圆心O 的运动路径长是_______。
【答案】
4
9 【解析】如图，连接AC 、BD 交于点O′．
当点P 与B 或C 重合时，△PAD 的外接圆的圆心与O′重合，
当PA=PD 时，设△PAD 的外接圆的圆心为O ，PO 的延长线交AD 于E ，设PO=OD=x ，
Rt △ODE 中，∵OD 2=OE 2+DE 2，∴x 2=（4-x ）2+32，解得x=8
25
，
∴OE=4-825=8
7
， ∵O′B=O′D ，AE=DE ，∴O′E=2
1
AB=2，
∴OO′=O′E -OE=8
9
，
∵△PAD 的外心在线段AD 的垂直平分线上，
观察图象可知，点P 沿着B-C 的路径运动，△ADP 的外接圆的圆心O 的运动路径长是
2OO′=49．
20. 如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥OA ，
PN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在
半径上作相应运动，从点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长为（ ）
A ．π3
2
B ．π
C ．2
D ．32
【答案】A
21. 如图，ABC ?中，5BC =，4AC =，152
ABC S ?=
，点D 从点B 开始以每秒1个单位的速度沿BC 向点C 运动，同时点E 从点C 开始以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，过点E 作直线//EF AC 交AB 于点F ，当运动 秒时，直线EF 与以点D 为圆心，BD 为半径的圆相切．
【答案】
1513
【解析】如图，作BM AC ⊥于M ，设直线EF 与D 相切于点N ，连接DN ．
11522ABC S AC BM ?==，15
4
BM ∴=，
//FE AC ，DEN C ∴∠=∠，DNE BMC ∠=∠，
DNE BMC ∴??∽，∴DN DE BM BC =，∴1554x DE =，4
3
DE x ∴=， BC BD DE EC =++，4523x x x ∴=++，15
13
x ∴=
22. 已知AB 为O 的直径，C 为半圆的中点，D 为AC 上的一动点，延长DC 至点E ，使CE CD =，
若42AB =，当点D 从点A 运动到点C 时，线段BE 扫过的面积为 ．
【答案】122π-
【解析】如图，连接CO ，延长OC 到G ，使得CG CO =，连接OD ，GE ．
CD CE =，CO CG =，DCO GCE ∠=∠， ()OCD GCE SAS ∴???，
OC OD CG GE ===，
∴点E 的运动轨迹是以G 为圆心，
GC 为半径的圆上的一部分（即弧CF ，90)CGF ∠=?，
∴当点D 从点A 运动到点C 时，线段BE 扫过的面积
290(22)1
144222212222CBF CFE
S S ππ???=-=??-?=-?弓形，
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D
证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
人教版初中数学圆的经典测试题含答案解析 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，5AB =，3AC =，4BC =，将ABC ?绕一逆时针方向旋转40? 得到ADE ?，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为( ) A ． 14 63π- B ．33π+ C ． 33 38 π- D ． 259 π 【答案】D 【解析】 【分析】 由旋转的性质可得△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°，可得AD=AB=5，S △ACB =S △AED ，根据图形可得S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ，再根据扇形面积公式可求阴影部分面积． 【详解】 ∵将△ABC 绕A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ， ∴△ACB ≌△AED ，∠DAB=40°， ∴AD=AB=5，S △ACB =S △AED ， ∵S 阴影=S △AED +S 扇形ADB -S △ACB =S 扇形ADB ， ∴S 阴影=4025360π?=259 π ， 故选D. 【点睛】 本题考查了旋转的性质，扇形面积公式，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等. 2．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O ，三角尺的直角顶点C 落在直尺的10cm 处，铁片与直尺的唯一公共点A 落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B ，下列说法错误的是（ ） A ．圆形铁片的半径是4cm B ．四边形AOB C 为正方形 C ．弧AB 的长度为4πcm D ．扇形OAB 的面积是4πcm 2 【答案】C 【解析】
人教版初中数学圆的技巧及练习题 一、选择题 1．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．60π B ．65π C ．85π D ．90π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】 ∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为2251213+=， ∵圆锥的侧面积=51365ππ??=， 圆锥的底面积=2525ππ?=， ∴圆锥的全面积=652590πππ+=， 故选：D. 【点睛】 此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．123 B ．1536π-π C ．30312π- D ．48336π-π 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可． 【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =33,S 扇形= 60361 6,633933602 OEB S ππ?==?=V
∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．已知，如图，点C ，D 在⊙O 上，直径AB=6cm ，弦AC ，BD 相交于点E ，若CE=BC ，则阴影部分面积为（ ） A ．934 π- B ． 9942 π- C ． 39 324 π- D ． 39 22 π- 【答案】B 【解析】 【分析】 连接OD 、OC ，根据CE=BC ，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S 阴影=S 扇形-S △ODC 即可求得． 【详解】 连接OD 、OC ， ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°， ∵CE=BC ， ∴∠CBD=∠CEB=45°， ∴∠COD =2∠DBC=90°， ∴S 阴影=S 扇形?S △ODC = 2903360 π?? ?1 2×3×3=94π ?92.
中考数学人教版专题复习：综合复习之圆的综合应用 考点 题型 分值 圆的综合应用 圆的有关概念和性质； 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判 定； 圆的切线的判定和性质； 弧长、扇形面积的计算， 圆锥的侧面展开图； 圆与相似三角形、三角函数的综合运用。 填空题、选择题和解 答题为主，也有阅读理解题，条件开放、结论开放探索题等新的题型。 6～12分 二、重难点提示 重点：掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题。 难点：切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题。 考点精讲 一、圆的基本性质 1. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 2. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等。 O A B E 如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，? ?=CD AB ；（2）若AB ＝CD （或? ? =CD AB ） ，则∠AOB ＝∠COD 。 O A B C D
3. 同弧所对的圆周角相等；同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角。 【核心归纳】 圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 垂径定理是圆的轴对称性的体现，弧、弦、圆心角之间的关系定理是圆的中心对称性质的体现。 二、与圆有关的位置关系 1. 点与圆位置关系：（1）点在圆内?d ＜r ；（2）点在圆上?d ＝r ；（3）点在圆外?d ＞r 。 O P r d O P r d O P r d 2. 直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交?d ＜r ；（2）直线与圆相切?d ＝r ；（3）直线与圆相离?d ＞r 。 O r d O r d O r d 3. 圆与圆的位置关系：（1）两圆内含（R ＞r ）?d ＜R －r ；（2）两圆内切（R ＞r ）?d ＝R －r ；（3）两圆相交?R －r ＜d ＜R ＋r ；（4）两圆外切?d ＝R ＋r ；（5）两圆外离?d ＞R ＋r 。 O 2 r O 1R O 2 r O 1R O 2 r O 1 R O 2 r O 1 R O 2 r O 1 R 【核心归纳】 1. 切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 2. 切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 4. 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直且平分公共弦。
中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6． （1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ； （2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相 交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ． （1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O
25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B
3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O
5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A
一、选择题 1．如图，ABC ?是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ?的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）. A ． 16 B ．6π C ．8π D ．5 π 【答案】B 【解析】 【分析】 由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【详解】 解：∵AB=5，BC=4，AC=3， ∴AB 2=BC 2+AC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径= 4+3-52=1， ∴S △ABC = 12AC?BC=12 ×4×3=6， S 圆=π， ∴小鸟落在花圃上的概率= 6π ， 故选B ． 【点睛】 本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式. 2．如图，在矩形ABCD 中，6,4AB BC ==，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，以C 为圆心，CD 长为半径画弧交CB 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．13π B ．1324π+ C ．1324π- D ．524π+ 【答案】C 【解析】 【分析】 先分别求出扇形FCD 和扇形EAD 的面积以及矩形ABCD 的面积，再根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）即可得解． 【详解】 解：∵S 扇形FCD 29036096ππ==??，S 扇形EAD 2 40360 94ππ==??，S 矩形ABCD 6424=?=， ∴S 阴影＝S 扇形FCD ﹣（S 矩形ABCD ﹣S 扇形EAD ） ＝9π﹣（24﹣4π） ＝9π﹣24+4π ＝13π﹣24 故选：C ． 【点睛】 本题考查扇形面积的计算，根据阴影面积＝扇形FCD 的面积﹣（矩形ABCD 的面积﹣扇形EAD 的面积）是解答本题的关键． 3．下列命题中，是假命题的是( ) A ．任意多边形的外角和为360 B ．在AB C 和'''A B C 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=，则ABC ≌'''A B C C ．在一个三角形中，任意两边之差小于第三边 D ．同弧所对的圆周角和圆心角相等 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相关的知识点逐个分析． 【详解】 解：A. 任意多边形的外角和为360,是真命题； B. 在ABC 和'''A B C 中，若''AB A B =，''BC B C =，'90C C ∠=∠=，则ABC ≌'''A B C ，根据HL ，是真命题；
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90°
人教版初中数学圆的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，对角线10AC =，O e 内切于ABC ?，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．24π- B ．242π- C ．243π- D ．244π- 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出BC ，连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，设 O e 的半径为r ，利用面积法求出r=2，再利用三角形ABC 的面积减去圆O 的面积得到阴 影的面积． 【详解】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°， ∵6AB =，10AC =， ∴BC=8， 连接OA 、OB 、OC 、过点O 作OH ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ， 设O e 的半径为r ， ∵O e 内切于ABC ?， ∴OH=OE=OF=r ， ∵11 ()22 ABC S AB BC AB AC BC r =?=++?V ， ∴ 11 68(6108)22r ??=++?， 解得r=2， ∴O e 的半径为2， ∴21 68-2 224-4ABC O S S S ππ=-=???=V e 阴影， 故选：D ．
【点睛】 此题考查矩形的性质，勾股定理，三角形内切圆的定义，阴影面积的求法，添加合适的辅助线是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°.AC=8，BC=3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为( ) A．1 B．3 2 C．3D． 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直径所对的圆周角为直角可知∠CED=90°，则∠AEC=90°，设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=1 2 AC=4，在Rt△OBC中，根据勾股定理可求得OB=5，即可得解. 【详解】 解：连接CE， ∵E点在以CD为直径的圆上， ∴∠CED=90°， ∴∠AEC=180°-∠CED=90°， ∴E点也在以AC为直径的圆上， 设以AC为直径的圆的圆心为O，若BE最短，则OB最短，∵AC=8， ∴OC=1 2 AC=4， ∵BC=3，∠ACB=90°， ∴22 OC BC ，
人教版初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（） A．2 3 πB． 1 3 πC． 4 3 πD． 4 9 π 【答案】A 【解析】 【分析】 连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论. 【详解】 解：连接OE、OC，如图， ∵DE=OB=OE， ∴∠D=∠EOD=20°， ∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°， ∵OE=OC， ∴∠C=∠CEO=40°， ∴∠BOC=∠C+∠D=60°， ∴?BC的长度= 2 60?2 360 π? = 2 3 π， 故选A.【点睛】 本题考查了弧长公式：l= ?? 180 n R π （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查 了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（） A．3B．23C．3 2 D． 23 3 【答案】A 【解析】 连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3， ∴OC=PC?tan30°=3， 故选A 3．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（） A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形 C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2 【答案】C 【解析】
【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时． （1）求弦AC的长； （2）求证：BC∥PA． 【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC?BG．
【2014】23、（本题满分是8分） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求AC的长。 A B D O C (第23题图)
【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点， （1）求证：∠ABC+∠ACB=0 90 （2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值. 【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ； （2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． （第23题图）
【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0 60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D (1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长 【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE （1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径
中考数学圆的综合-经典压轴题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线； （2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接AD，OA， ∵∠ADC=∠B，∠B=60°， ∴∠ADC=60°， ∵CD是直径， ∴∠DAC=90°， ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°， ∵AP=AC，OA=OC， ∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°， ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即OA⊥AP， ∵OA为半径， ∴AP是⊙O切线． （2）连接AD，BD，
∵CD 是直径， ∴∠DBC=90°， ∵CD=4，B 为弧CD 中点， ∴BD=BC= ， ∴∠BDC=∠BCD=45°， ∴∠DAB=∠DCB=45°， 即∠BDE=∠DAB ， ∵∠DBE=∠DBA ， ∴△DBE ∽△ABD ， ∴ ， ∴BE?AB=BD?BD= ． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重 合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ； （2）求证：BC 2﹣AC 2=AB?AC ； （3）已知⊙O 的半径为3． ①若AB AC =5 3 ，求BC 的长； ②当 AB AC 为何值时，AB?AC 的值最大？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；② 32
人教版初中数学圆的知识点 一、选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D在BA的延长线上，CD与⊙O交于另一点E，DE=OB=2，∠D=20°，则弧BC的长度为（） A．2 3 πB． 1 3 πC． 4 3 πD． 4 9 π 【答案】A 【解析】 【分析】 连接OE、OC，如图，根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°，根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°，根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°，根据求弧长的公式得到结论. 【详解】 解：连接OE、OC，如图， ∵DE=OB=OE， ∴∠D=∠EOD=20°， ∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°， ∵OE=OC， ∴∠C=∠CEO=40°， ∴∠BOC=∠C+∠D=60°， ∴?BC的长度= 2 60?2 360 π? = 2 3 π， 故选A.【点睛】 本题考查了弧长公式：l= ?? 180 n R π （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），还考查 了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键． 2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（） A．25°B．27.5°C．30°D．35° 【答案】D 【解析】 分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案． 详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°， ∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°， ∴∠AOC=2∠B=50°， ∴∠C=180°-95°-50°=35° 故选D． 点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键． 3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（） A．3B．23C．3 2 D． 23 【答案】A 【解析】连接OC，
圆的证明与计算 1、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积． 2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 3、如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB 于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE． （1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明． （2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．
4、已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）求证：BF与⊙O相切； （2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半径． 5、如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=，求AE的长． 6、如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD 的平行线交BA延长线于点E． （1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论． （2）若BD=4，求阴影部分面积．
7、如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若∠C=30°，连接EF，求证：EF∥AB； （3）在（2）的条件下，若AE=2，求图中阴影部分的面积． 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=3，∠B=30°． ①求⊙O的半径； ②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
一.圆地概念 集合形式地概念：1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念： 1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆； （补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线； 4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线； 5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. 二.点与圆地位置关系 1.点在圆内?d r?点A在圆外； 三.直线与圆地位置关系 1.直线与圆相离?d r>?无交点； 2.直线与圆相切?d r=?有一个交点； 3.直线与圆相交?d r+； A
外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 图1 五.垂径定理 垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧； （3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等. 即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六.圆心角定理 图2 图4 图5 B D