高一数学函数
一、知识结构
二、重点难点
重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；
难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。 三、知识点解析
1、函数：
（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量,x y ，并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有惟一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为()y f x ；2）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。 ；
上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发，侧重点不同，函数实质上是从集合A 到集合B 的一个特殊的映射，其特殊性在于集合A 、B 都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合C 叫做函数的值域。这里应该注意的是，值域C 并不一定等于集合B ，而只能说C 是B 的一个子集；
（2）三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。
2、函数的单调性：
（1）定义：对于给定区间上的函数()f x ，1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <，都有12()()f x f x >，那么就说
()f x 在这个区间上是减函数；
（2）证明函数单调性的方法：1）用定义；2）利用已知函数的单调性；3）利用函数的图像；4）依据符合函数单调性有关结论；5）
1212
()()
0()f x f x f x x x ->?-为增函数，
1212
()()
0()f x f x f x x x -
（3）函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，()()f x T f x +=都成立，那么就把函数()y f x =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子()()f x T f x +=对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何x ，式子都成立，而不能是“一个x ”或“某些x ”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：()f x a =（a 是常数)，显然，对任何一个正数T ，都有()()()f x T f x x R +=∈；这就是说，任何一个正数都是()f x 的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数()f x a =不存在最小正周期。③设T 是()()f x x R ∈的周期，那么
(kT k N ∈且0k ≠)也一定是()f x 的周期。
3、反函数
（1）反函数的意义：一般地，式子()y f x =表示y 是自变量x 的函数，设它的定义域为A ，值域为B 、我们从式子()y f x =中解出x ，得到式子()x y ?=。如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=就表示x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ?=，叫做函数()y f x =的反函数，记作1
()x f
y -=，即
1()()x y f y ?-==，在函数式1()x f y -=中，y 表示自变量，x 表示函数。习惯上，一般用x
表示自变量，用y 表示函数.为此对调函数式1
()x f
y -=中的字母,x y ，把它改写成
1()y f x -=。1）()y f x =与1()y f x -=具有四性：A 、互换性；B 、对称性；C 、奇偶性；D 、
单调性；2）()y f x =和1
()y f
x -=互为反函数，即1[()]()f f x x x B -=∈或
1[()]()f f x x x A -=∈；3）求反函数的步骤：A 、解出 1()x f y -=；B 、交换,x y ，得1
()y f x -=；
C 、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线y x =对称；
（2）反函数存在的条件：并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的12x x ≠，能推断出12()()f x f x ≠成立的函数才具有反函数；
（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）()y f x =与1
()y f
x -=互为反函数，设()f x 的定义域为A ，值域为C ，则有
1[()]()f f x x x C -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈；
（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由
()y f x =解出()x y ?=；2）交换,x y ，得1()()x f x ?-=；3）根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数 （1）幂、指数、对数式 1）同底数幂的运算性质： ①(,)m
n m n a
a a m n Q +=∈，②()(,)m n mn a a m n Q =∈，③()()n n n a
b a b n Q =∈；
2）根式的运算性质：
①n
a =，②当n
是偶数时(0)||(0)
n a a a a a ≥?==?
-
是奇数时n
a =；
3)分数指数幂与根式的关系规定：
①正分数指数幂0,.,1)n m
a a m n N m =>∈>且，
②正分数指数幂1(0,.,1)n m
n m
a
a m n N m a
-
=
>∈>且；
4)对数及对数的运算性质：
①定义：如果(0b
a N a =>且1a ≠)，则数
b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =， ②对数恒等式：log N
a a N =(a ＞0且a ≠1，N ＞0)，
③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ）log 10(0,1)a a a =>≠，（ⅲ）
log 1(0,1)a a a a =>≠；
④对数的运算法则：（ⅰ）()(0,0)MN M N M N =+>>a a a log log log ，（ⅱ）
M log N a
M N =-a a log log ，（ⅲ）log ()n a N n N =a log
，（ⅳ）1
log a N n
=a log ； ⑤换底公式：log log log a b a N N b =
（ⅰ）1
log log a b b a
=，（ⅱ）
1223
1log log log 1(,2)n a a a a a a n N n =∈≥，（ⅲ）log log m n a a n
b b m
=
； （2）幂函数
1）定义：形如a
y x =(a 是常数)的函数叫幂函数； 2)幂函数的图像见图：
3）幂函数的性质： ①都过点(1，1)；
②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；
③0a >时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；0a <时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；
④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；
（3）指数函数
1）定义：形如x
y a =(0a >且1a ≠)的函数叫指数函数； 2）指数函数的图像见图：
3）指数函数的性质
①都过(0，1)点；
②定义域为R ，值域为R +；
③1a >时，在(-∞，+∞)上是增函数；01a <<时，在(-∞，+∞)上是减函数；
④1a >时，01001x x x a x a ?>?>??
01
x
x
x a x a ?>?<??。
（4）对数函数
1）定义：形如log a y x =(0a >且1a ≠)的函数叫对数函数；
2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线y x =对称(互为反函数)；
3）对数函数的性质： ①都过(1，0)点；
②定义域为R +，值域为R ；
③1a >时，在(0，+∞)上是增函数；01a <<时，在(0，+∞)上是减函数； ④1a >时，10010x y x y >?>??<
010
x y x y >??。
四、例题
1、函数
例1
审查下面四个命题：（ⅰ）()f x =是函数；（ⅱ）函数是其定义
域到值域的映射；（ⅲ）y x =
和y =
表示同一函数；（ⅳ）x y x
=
和0
y x =表示同一函数；其中正确的有 [ ]
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
解 B
注 高中数学中的函数是通过映射来定义的。 例2 函数||
||x y x x
=+
的图像是[ ]
解 D 函数||
||x y x x =+
可化为1,01,0
x x y x x +>?=?--
+c 与y=kx+b 的图象应是 [
]
解 B 由,a k 同号排除D ；由b ，c 异号排除A ，C 。 例4 已知函数3
()()232
cx f x x x =
≠-+满足(())f f x x =，则c 的 [ ]
A 、3
B 、-3
C 、3或-3
D 、不存在
解 B 223(())(26)92323
cx
c
x f f x x x c c cx x +=
=?+=-++。对任何3()2x x ≠-成立，所以2
2690c c +=-=，即
3c =-。而33232
x x -≠-+，故所求3c =-。
例5 函数y
=
[ ]
A 、(,0]-∞
B 、(,0)(0,1]-∞?
C 、(,1]-∞
D 、无法确定
解 B 解不等式组10
10
x -≥???≠??得(,0)(0,1]-∞?，此即所求定义域。
例6 已知函数36,0
()5,0
x x f x x x -≥?=?
+
值 [ ]
A 、2
B 、-15
C 、12
D 、以上都不对
解 A 因为10>，所以(1)31630f =?-=-<，所以
((1))(1)5352f f f =+=-+=。
注 求分段函数的函数值时，首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。
例7 如果函数()y f x =的定义域是[0,1]，那么函数()(2)(01)f x a f x a a +++<<的定
义域是______。
解 1[,]22a a -- 0解不等式01(01)021x a a x a ≤+≤?<
，得
1(01)122
a x a
a a a
x -≤≤-??
<
()2f 等于 。 解 15 令1()2g x =，解得1
4
x =。代入221[()]x f g x x -=得
2
21
1()14[()]1512()4
f g -=
=。 例9 若1()1x
f x x
-=+，则满足等式(2)()f x m f x --=-的m 的值是______。
解 -2 因为1()1x f x x -=+，所以1()1x
f x x
-=
+。由题设的1(2)13121(2)111x x x x m m x x x x
----+-=-?=+=-+--+--+。
例10 设21
[1,](1),()(1)1()2
A b b f x x x A =>=-+∈。若()f x 的值域也为A ，则b 的值为______。
解 3 函数()f x 的对称轴为1x =，而(1)1,1f b =>，故可令()f b b =，即
21
(1)12
b b -+=，解得3b =，1b =舍去。 例11 已知y 是x 的函数，22,444(22),t
t
t
t
t
t
x y t R ---=+=+-+∈，求函数
()y f x =的解析式及其定义域。
解 22
444(22)(22)4(22)242t t t t t t t t y x x ----=+-+=+-+-=--。因为t R ∈，
所以222t t -+≥=，即2x ≥。所以所求函数为2
42(2)y x x x =--≥；其定义域为
[2,)+∞。
例12 设2
()()1
ax b
f x x R x +=∈+的值域为[1,4]-，求,a b 的值。 解 设2
1
ax b y x +=
+，则2
0,0yx ax y b y -+-=≠。 因为x R ∈，所以2
4()0a y y b ?=--≥，即2
2
04
a y by --≤。易知14y -≤≤是不等式(1)(4)0y y +-≤，即2
340y y --≤的解。比较系数，得4,3a b ==。
例13 求下列函数的值域：
（1）y =
（2）421y x x =++ （3）25
41
y x x =
++ （4）
y x =+
解 （1）因为y ={|y y ≥。
（2）因为2
2
1313
()12
444y x =++
≥+=，所以值域为{|1}y y ≥。 注 此题容易误解为3
[,)4
+∞。
（3）因为22
47(2)33x x x ++=++≥，所以2550473
x x <≤++，所以值域为
5
{|0}3
y y <≤。
（4）(0)t t ≥，则212t x +=，从而2211
(1)22
t y t t +=+=+。因为0t ≥，
所以11t +≥。于是211(1)22y t =
+≥，故值域为1
{|}2
y y ≥。 例14 已知()f x 是x 的二次函数，且2
(2)(31)1361f x f x x x ++=+-，求()f x 。 解 设2
()(0)f x ax bx c a =++≠，则有2
(2)42f x ax bx c =++，
2(31)9(63)()f x ax a b x a b c +=+++++。所
以 2
(2)(31)13(65)()f x f x ax a b x a b c ++=+++++。又
2(2)(31)1361f x f x x x ++=+-，比较系数，得1,0,1a b c ===-，所以所求函数为
2()1f x x =-。
例15 已知()()5(1)f x y f x x y +=+-+，且(0)2f =，求()f x 。
解 令y x =-，代入()()5(1)f x y f x x y +=+-+，得(0)()105f f x x =++。又
(0)2f =，所以()103f x x =--。
2、函数单调性
例1 下列函数中，属于增函数的是 [ ]
A 、4
(0)y x x -=> B 、0)y x =
≤ C 、1
(,0)y x x R x x
=-+∈≠ D 、
2169(10)y x x x =-+≥
解 D
例2 若一次函数(0)y kx b k =+≠在(,)-∞+∞上是单调递减函数，则点(,)k b 在直角坐标平面的 [ ]
A 、上半平面
B 、下半平面
C 、左半平面
D 、右半平面
解 C 因为0,k b R <∈。
例3 函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 [ ]
A 、3a ≥
B 、3a ≤-
C 、5a ≤
D 、3a =- 解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为1x a =-，所以14a -≥，即3a ≤-。 例4 已知2
()82f x x x =+-，如果2
()(2)g x f x =-，那么()g x [ ] A 、在区间(-1，0)内是减函数 B 、在区间(0，1)内是减函数 C 、在区间(-2，0)内是增函数 D 、在区间(0，2)内是增函数
解 A 22
()(1)9g x x =--+。画出草图可知()g x 在(-1，0)上是减函数。 例5 若,b y ax y x
==-
在(0,)+∞上都是减函数，则2
y ax bx =+在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)。
解 减函数
由条件知0,0a b <<，所以02b
a
-
<。
例6 函数y =的单调递增区间是 。 解 [-2，1]
已知函数的定义域是51x -≤≤。设2
2
45(2)9u x x x =--+=-++，可知当
52x -≤≤-时，随x 增大时，u 也增大但y 值减小；当21x -≤≤时，随x 增大时，u 减小，
但y 值增大，此时y 是x 的单调增函数，即[2,1]x ∈-时，y =是增函数。
注 在求函数单调区间时，应先求函数的定义域。
例7 ()y f x =在定义域上是单调递增函数，且()0f x >，那么在同一定义域上，
()y f x =-是单调 函数；1()
y f x =
是单调 函数；y=[f(x)]2
是单调______函数。
解 递减；递减；递增。
例8 已知3
()1()f x x x x R =--+∈，证明()y f x =是定义域上的减函数，且满足等式
()0f x =的实数值x 至多只有一个。
解 设12,x x R ∈，且12x x <，则
2
3
3222
212
21
11213()()(1)(1)()[()1]024
x x f x f x x x x x x x x -=--+---+=-+++<，所以
21()()f x f x <。所以()y f x =是R 上的减函数。
假设使()0f x =成立的x 的值有两个，设为12,x x ，且12x x <，则21()()0f x f x ==。但因()f x 为R 上的减数，故有21()()f x f x <。矛盾。所以使()0f x =成立的x 的值至多有一个。
例9 定义域为R 的函数()y f x =，对任意x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，其中a 为常数。又知(,)x a ∈+∞时，该函数为减函数，判断当(,)x a ∈-∞时，函数()y f x =的单调状况，证明自己的结论。
解 当(,)x a ∈-∞时，函数是增函数。设12x x a <<，则1222a x a x A ->->。
因为函数()y f x =在(,)a +∞上是减函数，所以12(2)(2)f a x f a x -<-，注意到对任意x R ∈，
都有()()f a x f a x +=-，可见对于实数1a x -，也有11[()][()]f a a x f a a x +-<--，即11(2)()f a x f x -<。
同理22(2)()f a x f x -<。所以12()()f x f x <，所以函数()y f x =在(,)a -∞上是增函数。 例10 ()f x 是定义在R +上的递增函数，且()()()f xy f x f y =+。
（1）求证()()()x
f f x f y y
=-；(2)若(3)1f =，且()(1)2f a f a >-+，求a 的取值范围。
解（1）因为()()()()x x f x f y
f y f y y ==+，所以()()()x
f f x f y y
=-。 (2)因为(3)1f =，(9)(3)(3)2f f f =+=，
于是()(1)2()(1)(9)()[9(1)]f a f a f a f a f f a f a >-+?>-+?>-。由题设有
9(1)09(1)
a a a a >??
->??>-?
，解得918a <<。
3、反函数
例1 求下列函数的反函数 （1）251
x y x =
+ （2）2
()2
3(0)f x x x x =-+≤ （3）110)y x =-≤≤ 解 （1）由251
x
y x =
+得25x xy y =+，25y x y =-。∴原函数的反函数为
2
()255
x y x x =
≠-。 （2）由2
()23f x x x =-+，得2
(1)()2x f x -=-。∵2
(1)0x -≥
，∴()2f x ≥。 又∵0x ≤
∴1x -=
1x =
∴所求函数的反函数为1()1
3)f x x -=≥。
（
3）由1y =1y =-。∴2
2
1(1)x y -=-，∴
2221(1)2x y y y
=--=-。 10x -≤≤，故x =10x -≤≤时，
2 011
x
≤-≤
，故01
≤≤。∴01
y
≤≤，
所求函数的反函数为
1)
y x
=≤≤。
评注对于用解析法表示的函数，求其反函数，实际上只要做三件事：①把给出的函数解析式中的自变量当作未知数，因变量当作系数的方程而解之；②求给出函数的值域，③把①②中的,x y互换。
例2如果点(1,2)
既在函数()
f x=又在函数()
f x的反函数1()
f x
-的图象上，那么a=____ b=____。
分析确定,a b，只要列出关于,a b的两个方程，而由(1)2
f=可得一方程，但直接用1(1)2
f-=则需先求出反函数，应注意1(1)2(2)1
f f
-=?=。
解依题意可有：(1)2
f=且(2)1
f=
，即
2
1
=
=
，解得
3
7
a
b
=-
?
?
=
?
。
例3给定实数,0,1
a a a
≠≠，设函数
11
(,)
1
x
y x R x
ax a
-
=∈≠
-
，求证：这个函数的图象关于y x
=成轴对称图形。
分析本题证明可有两种思路：①证明任何一点(,)
x y在这个函数图象上，则点(,)
x y关于直线y x
=的对称点(,)
y x也在这个函数的图象上。②证明此函数与反函数是同一个函数，下面只写出一种。
证明：先求所给出函数的反函数：由
11
(,)
1
x
y x R x
ax a
-
=∈≠
-
得：
(1)1
ay x y
-=-①
若10
ay-=，由0
ya≠，故得
1
y
a
=，此时又由①可有1
y=，于是得
1
1
a
=，即1
a=，这与已知1
a≠矛盾，故10
ya-≠。
11
(,)
1
y
x y R y
ay a
-
∴=∈≠
-
。即函数
11
(,)
1
x
y x R x
ax a
-
=∈≠
-
的反函数是
11
(,)
1
x
y x R x
ax a
-
=∈≠
-
。由于函数()
f x与1()
f x
-的图像关于直线y x
=对称，故函数
11
(,)
1
x
y x R x
ax a
-
=∈≠
-
的图像关于直线y x
=成轴对称图像。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（Ⅰ）幂函数
例1函数
3
5
y x
=的大致图像是 [ ]
分析 当函数n
y x =中，当n ＜1时，在第一象限的图象特征是上升上凸的，因而可排除
A 、C ，而当取x 的两个互为相反数自变量时，经35
y x ==计算结果y 值也互为相反数，从
而可排除B ，故应选D 。
例2 若3
2531,(),4,1,(1),(1)2
x x
y x y y x y x y x y a a ====+=-=>上述函数中是幂函数的个数为[ ]
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
分析 幂函数是形如n
y x =的函数，其结构特征是：函数右边为单项式，幂指数为常数，底数为自变量，前面的系数为1。从这四个特点，我们可以判数：2
4y x =中，2
x 前的系数为4，
故2
4y x =不为幂函数，5
1y x =+为二项式，3
(1)y x =-底数为1x -，而x
y a =中自变量x
在指数位置，故只有3
y x =，y x =为幂函数，应选B 。
例3 下列函数中，以R +
作为定义域的函数是 [ ]
A 、15
y x = B 、14
y x = C 、35
y x -= D 、12
y x
-
=
解 15
y x ==
定义域为：x R ∈；14
y x ==定义域为：0x ≥；35
y x
-==
，
定义域为：0x ≠；1
2
y x
-==
0x >。 故应选D 。
评注 幂函数定义域求法分两步，首先化为根式或分式形式，然后考虑分式中分母不为零，开偶次根时被开方数不能为负两个方面求出函数的定义域。
例4 设1112
2
2
1.1,0.9,a b c x
-
-
-
===，且a c b <<，则整数c 的值应为 [ ]
A 、1c >
B 、1c <
C 、1c =
D 、不能确定 解 考察12
y x -=，当0x >时，即在第一象限内，y 值随x 值增大而减小，而a c b <<，
即111
2
2
2
1.1
0.9x
--
-
<<，而112
2
0 1.111--<<=，112
2
00.9
0.25
2--
<<=。∴02c <<，故1c =，
选C 。
例5 试比较332335
5
5
5
5
(0.96),(0.95),(0.95),0.95,0.96-----的大小。 解 3
32335
5
5
5
5
(0.96)(0.95)(0.95)
0.96,0.95
-
-
-<-<-<。
评注 多个数的大小比较问题是要观察数与数之间异同点，将它们进行分类(与1和0比)粗比，然后在每一类中利用有关结论进行细比，最后得出大小关系。
（Ⅱ）指数函数 例1 函数11
(
)2
x y π--=的图像
是 [ ]
解 A
例2 2
()5f x x =+，则1
()f x -的定义域
是 [ ]
A 、(0,)+∞
B 、(5,)+∞
C 、(6,)+∞
D 、(,)-∞+∞
解 B 因为2
()55f x x =+>，即()f x 的值域为(5,)+∞，故1
()f x -的定义域为
(5,)+∞。
例3 下列函数中，值域是(0，+∞)的一个函数是 [ ]
A 、123
1x
y -=+ B 、11
()5
x y -= C 、y =、12x y =-
解 B 。
例4 函数2(1)x
y a =-在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是 [ ]
A 、||1a >
B 、||2a <
C 、||a >
、1||a <<
解 D 。 由题设，有2
011a <-<，所以1||a <<。
例5 已知,0a b ab >≠，审查下列不等式。
（ⅰ）2
2
a b > （ⅱ）22a b
>
（ⅲ）11a b < （ⅳ）11
33a b > （ⅴ）11
()()33
a b > 其中恒成立
的 [ ]
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
解 C 。 例5 使函数2
12
x
x y --递减的x 的取值范围是______。
解 1
(,)2
-∞
因为2
12u x x =--的递增区间1(,)2
-∞，而2u
y =为增函数，故所求范围是1(,)2
-∞。 例7 根据不等式确定正数a 的取值范围：
（1）
0.3
0.2a a ->，则a ∈______；（2）
7.5
3.9
a a >，a ∈______；（3）7
4
1,a a <∈ 。
解 (1) (1,)+∞ (2) (0,1) (3) (0,1)。 例8 已知11
()(
)212
x
f x x =+- (1)指出函数的奇偶数，并予以证明；
(2)求证：对任何x (x R ∈且0x ≠)，都有()0f x >。 解 （1）()f x 的定义域为0x ≠，关于原点对称。
又
11212111
()()()()(1)()()212212212212
x x x x x x f x x x x x f x --=-+=-=-+=+=----，
所以()f x 是偶函数。
（2）)当0x >时，21x >，所以()0f x >。当0x <时，由()f x 为偶函数，有
()()0f x f x =->，所以对一切x R ∈，0x ≠，恒有()0f x >。
注 利用函数的奇偶性常可使解法简化。如本例(2)，当0x <时，证明()0f x >较繁。若注意到()f x 为偶函数，则只须证明，当0x >时()0f x >，而这是显然的。
例11
比较
(0,1,1,)a a n n N >≠>∈的大小。
解
1
n n a
-=
1n n
a
+=。
因为
1101(1)n n n n n n +-=>--，所以11n n n n
+>-。 由指数函数单调性，知当1a >时，
>01a <<
时，< （Ⅲ）对数函数
例1
函数2log x y -= [ ]
A 、2(,1)(1,)3?+∞
B 、1(,1)(1,)2?+∞
C 、2(,)3+∞
D 、1(,)2
+∞
解 A 。 解不等式210
210320
x x x ->??
-≠??->?
，得213x <<或1x >。
例2 函数212
log (617)y x x =-+的值域是 [ ]
A 、R
B 、(,3]-∞-
C 、[8,)+∞
D 、[3,)+∞ 解 B 。
22212
617(3)88,log (617)3x x x y x x -+=-+≥∴=-+≤-。
例3 若()log |1|a f x x =+在(1,0)-内()0f x >，则()f x [ ] A 、在(,0)-∞单调递增 B 、在(,0)-∞内单调递减 C 、在(,1)-∞-内单调递减 D 、在(,1)-∞-内单调递增
解 D 。 依题设，()f x 的图象关于直线1x =-对称，且01a <<，画出图象(略)即知D 正确。
例4 函数1
(),(,3]2
y f x x =∈，则3(log )f x 的定义域为 。 解
。 由题设知
31
log 32
x <≤
27x <≤。
例5 函数()lg(f x x =的奇偶性是 。
解 奇函数。
()lg(lg(()f x x x f x -=-==--+=-，
()f x 为奇函数；
例6 已知2
2
2
(3)log (0,1)6a
x f x a a x
-=>≠- (1)判断()f x 的奇偶性； (2)已知()f x 存在反函数1
()f
x -，若1()0f x -<，求x 的取值范围。
解 （1）因为22
2(3)3(3)log 3(3)a x f x x -+-=--，所以3()log (0,1)3a
x
f x a a x
+=>≠-。由303x
x
+>-，得()f x 的定义域为(3,3)-。 另一方面，有1333()log log ()log ()333a a a x x x
f x f x x x x
-----===-=-+++，所以()f x 是
奇函数。
（2）设3log 3a x y x +=-，则33y
x a x +=-，解得3(1)1y y
a x a -=+。所以13(1)()1x x
a f x a --=+。由1
()0f x -<得3(1)
01
x x a a -<+，而10x a +>，故10x a -<，所以1x a <。故当1a >时，0x <；
当01a <<时，0x >。
例7 已知常数,a b 满足10a b >>>，若()lg()x
x
f x a b =-， (1)求()y f x =的定义域；
(2)证明()y f x =在其定义域内是增函数；
(3)若()f x 恰在(1,)+∞上恒取正值，且(2)lg 2f =，求,a b 的值。 解 （1）由0x
x
a b ->，得()1x
a b
>。 因为0a b >>，所以
1a
b
>，所以()x a y b =是增函数。而由()1x a b >得0x >，即函数
()f x 的定义域是(0,)+∞。
（2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <。因为1a >，所以1()x
g x a =是增函数，所以
120x x a a +<，于是1212()()0x x x x a a b b ---<，
即112211221122()()00lg()lg()x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a b a b a b a b a b a b ---
x
f x a b =-在(0,)+∞内是增函数。
（3）因为()f x 在(1,)+∞内为增函数，所以对于(1,)x ∈+∞内每一个x 值，都有
()(1)f x f >。要使()f x 恰在(1,)+∞上恒取正值，即()0f x >，只须(1)0f =，于是(1)lg()0f a b =-=，得1a b -=。
又(2)lg 2f =，所以2
2
lg()lg 2a b -=，所以22
2a b -=，即()()2a b a b +-=，而
1a b -=，所以2a b +=。由12a b a b -=??
+=?，解得32
1
2
a b ?=????=??。经检验知，31,22a b ==为所求。 例8 设对所有实数x ，不等式2
2
2
222
4(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a
++++>+恒成立，求a 的取值范围。
解 根据题意，可知原不等式(关于x 的二次不等式)应满足下列条件：
2
2
22222
0()14(1)log 0()24(1)(1)(2log )4log log 0()14a
i a a ii a a a a iii a a a ?>?+?
+?
>??
?++-
由（ⅲ）得22
222(log )6log 011a a a a ->++，所以22222(log )0,log 611
a a
a a <>++。
又由（ⅱ），得222(log )31a a <+，所以222log )0111a a a a +及211
a a <+解得01a <<。 例9 设函数2
2()log [(32)21]f x k x kx k =---+，求使()f x 在(,0)-∞内单调递减，而
在(1,)+∞内单调递增的所有实数k 组成的集合M 。
解 令2
()(32)21g x k x kx k =---+。由题意知，在(,0)(1,)-∞?+∞上，必须有
()0g x >，320k ->，且()g x 的图象的对称轴与x 轴的交点的横坐标必须属于[0,1]。于是k
确定于不等式组
332020101403215(0)104(1)5405x k k k k k k g k g k k ?->
≤??
=-+≥??=-+≥≤???
?
所以 4{|0}5
M k k =≤≤。
例14 在函数log (01,1)a y x a x =<<≥的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是,2,4m m m ++。
(1)若ABC ?面积为S ，求()S f m =；(2)判断()S f m =的增减性；(3)求()S f m =的最大值。
解 (1)由A ，B ，C 三点分别向x 轴作垂线，设垂足依次为123,,A A A ，则
111111AA B B BB C C A C CA
22log log (2)log (2)log (4)log log (4)
244
222(4)4log log [1](1)(2)(2)a a a a a a a a
S S S S m m m m m m m m m m m =+---+-+-+--+=
?+?-?+==-≥++梯形梯形梯形 （2）当1m ≥时，2
4
()1(2)
g m m =-
+递增。又由01a <<，故()S f m =为减函数。 （3）因为1m ≥，所以2
(2)9m +≥，即
244(2)9
m ≤+，即245
1(2)9m -≥+，所以
2
45log [1]log (2)9a a m -
≤+，所以所求最大值为5
log 9
a 。
高一函数复习 一、函数的概念与表示 1、映射 映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。 注意点：（1）对映射定义的理解； （2）判断一个对应是映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . 给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 注意：(1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为f (a ). 【例题1】设集合A ＝｛x ｜0 ≤ x ≤ 6｝，B ＝｛y ｜0 ≤ y ≤ 2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是 （ ）. A . f ：x →y ＝ 12x B . f ：x →y ＝1 3 x C . f ：x →y ＝14x D . f ：x →y ＝16x 【变式练习1】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、函数 构成函数概念的三要素：①定义域；②对应法则；③值域 两个函数是同一个函数的条件：当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时.
【例题1】下列各对函数中，相同的是（ ） A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,1 1 lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v v v g u u u f -+= -+= 11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f = 【例题2】}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集 合N 的函数关系的有 （ ） A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个 【变式练习】 1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A . 1,x y y x == B . 211,1y x x y x =-+=- C . 33,y x y x == D . 2||,()y x y x == 2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ） 3．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ） 【巩固练习】 x x x x 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 y y y y 3 O O O O
数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法，本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式，例 一次函数：b kx y += )0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解：当(]1,∞-∈x 时，由4 12= -x 得，2=x ，与1≤x 矛盾； 当()+∞∈,1x 时，由4 1log 81=x 得，3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _
()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数
§1．3．1函数的最大（小）值 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2 ()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈- （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有 ()(())f x M f x m ≤≥． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少 10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) 9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100） ∴max 709000x y ==时 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． 例3．求函数2 1 y x = -在区间 上的最大值和最小值． 解：（略） 例4．求函数y x =+ 解：令201t x t =≥=-+有则 2215 1()024 y t t t t =-++=--+ ≥Q 21()02t ∴--≤ 2155 ()244 t ∴--+≤ .∴5 原函数的最大值为4
求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可. 例1 已知f （x x 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 1 1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f （x +1）= x+2 x ，求f （x ）的解析式. 解： f （x +1）= 2)(x +2 x +1－1=2)1(+x －1， ∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ， 则有 f （x ）= x 2－1 （x ≥1）. 评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式. 解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==. 7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
新人教版高一数学函数与方程知识要点 新人教版高一数学函数与方程知识要点 一、方程的根与函数的零点 教材内容分析新课程标准的要求是,结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系。 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 求函数的零点： 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 二、用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解的方法,二分法,又称分半法,是一种方程式根的近似值求法。 1.二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 ___________________________________________________________ _____________. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： (1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε; (2)求区间(a，b)的中点____; (3)计算f(c); ①若f(c)=0，则________________; ②若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈________); ③若f(c)·f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈________). (4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4).
高中数学函数测试题 学生： 用时： 分数： 一、选择题和填空题（3x28=84分） 1、若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A 【解析】利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0， 2、函数2 ()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1 ()11)f x x -=+> B ．1 ()11)f x x -=-> C ．1()11)f x x -=≥ D ．1 ()11)f x x -=-≥ 【答案】B 【解析】 221(1)1,(1)11x y x x y x 3、已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22 ??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 【解析】函数2 ()cos f x x x =-为偶函数，则1212()()(||)(||).f x f x f x f x >?> 在区间π02?? ???? ，上, 函数2 ()cos f x x x =-为增函数， 22121212(||)(||)||||f x f x x x x x ∴>?>?> 4、已知函数3log ,0()2,0 x x x f x x >?=?≤?，则1 (())9f f =（ ）
1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；
（数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-<
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
高中数学必修一函数试题（一） 一、选择题： 1 、若()f x = (3)f = （ ） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = 与()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0 ()f x x =与01()g x x = ；④2 ()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数2 45y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为 （ ） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） （1） （2） （3） （4）
7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、 () 1() f x f x =-- 9、如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） A 、12a > B 、12a < C 、12a ≥ D 、12 a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（ ） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） （1） （2） （3） （4）
基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
x y o 高一数学第一章《函数》测验（9月23日） 时间：40分钟 满分：100分 班级 姓名 座号 一、判断题：每小题5分，共20分．下列结论中，正确的在后面的括号中打“∨”，错误的在后面的括号中打“╳” ． 1． 已知A={}Z k k x x ∈-=,23|，则5∈Ａ． （ ╳ ） 2． 函数)(x f y =的图象有可能是如图所示的曲线． (╳ ) 3．对于定义域为R 的奇函数)(x f ，一定有0)2()2(=+-f f 成立． (∨ ) 4．函数x x f 1)(=在),0()0,(+∞-∞Y 上为减函数． ( ╳ ) 二、选择题．每小题5分．每题都有且只有一个正确选项． 5．已知集合A ≠Φ，且A {2,3,4}，则这样的集合A 共有（ ）个 （ B ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8 6．函数03()()2 2f x x x =-+的定义域是 （ D ） A ． 3(2,)2- B ． (2,)-+∞ C ．3(,)2+∞ D ． 33(2,)(,)22 -?+∞ 7．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 ( C ) Ａ．0,2,3 Ｂ．30≤≤y Ｃ．}3,2,0{ Ｄ．]3,0[ 8．由函数])5,0[(4)(2 ∈-=x x x x f 的最大值与最小值可以得其值域为 （ C ） A ．),4[+∞- B ． ]5,0[ C ．]5,4[- D ．]0,4[- 9．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值： 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；高一数学函数的最值
高一数学函数经典习题及答案
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