1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x
1, 求f(x)的解析式
例2 若x x x f 21(+=+）,求f(x)
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式
例5 已知f(x)满足x x
f x f 3)1()(2=+，求)(x f
2函数值域的特殊求法
例1. 求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例2. 求函数
22
x 1x x 1y +++=的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域
例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。
例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3
)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点
(A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(-
例3
已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+-
0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。
（1）求：(2)f 的值；
（2）求证：()f x 是R 上的减函数；
（3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。
例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，
2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，
问是否存在实数,a b ，使得
(1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立.
证明题
1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时
12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2
f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.
答案
1解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x 1
则??
???-==????-=+=3121)1(42b k b k k 或 ???=-=12b k ∴3
12)(-=x x f 或12)(+-=x x f 2换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=1+x 则x=t 2
1, t ≥1代入原式有
1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
∴1)(2-=x x f （x ≥1）
解法二（定义法）：1)1(22-+=+x x x
∴1)1()1(2-+=+x x f 1+x ≥1
∴1)(2-=x x f (x ≥1)
4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点
则?????=+'-=+'322
2y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ，
Θ点),(y x M '''在)(x g y =上 x x y '+'='∴2
把???-='--='y y x x 64代入得：
整理得
672---=x x y ∴67)(2---=x x x g
例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 ∵已知x x
f x f 3)1()(2=+ ①， 将①中x 换成x 1得x
x f x f 3)()1(2=+ ②， ①×2-②得x x x f 36)(3-= ∴x
x x f 12)(-=. 值域求法
例1 解：将函数配方得：
4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]
2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x 的一元二次方程
0x )1y (x )1y (2=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈
0)1y )(1y (4)1(2≥----=?
解得：23y 2
1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而?????
?∈23,211故函数的值域为??????23,21
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y －1）,其定义域为y ≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y ≠1,y ∈R ｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。解：由原函数式可得：
1y 1y e x -+= ∵0e x > ∴0
1y 1y >-+
解得：1y 1<<-
故所求函数的值域为)1,1(-
例1（定义域不同）（定义域不同） （定义域、值域都不同） 例3解: （1）()()()6,f a b f a f b +=+- 令0a b ==，得(0)6f =
令2,2a b ==-，得(2)0f =
（2）证明：设12,x x 是R 上的任意两个实数，且12x x <，即210x x ->，
从而有21()6f x x -<，
则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()6()f x x f x f x =-+-- 21()60f x x =--< ∴21()()f x f x <即()f x 是R 上的减函数
（3）()()()6,f a b f a f b +=+-令1,1a b ==，得(1)3f = ∵(2)(2)3f k f k -<- ∴(2)3(2)f k f k -+<，又(1)3f =，(2)0f = 即有(2)(1)(2)(2)f k f f k f -+<+
∴(2)(1)6(2)(2)6f k f f k f -+-<+-
∴[(2)1][(2)2]f k f k -+<+
又∵()f x 是R 上的减函数 ∴(2)1(2)2k k -+>+即3k <-
(A)∴实数k 的取值范围是3k <-
例4分析：假设存在,a b 使得(1)成立，得到a 与b 的关系后与22x y +≤14联立，然后讨论联立的不等式组.
解：假设存在实数,a b ，使得A B ≠?I ，(,)a b C ∈同时成立，则集合{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }与集合2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }分别对应集合1{(,)|,A x y y ax b x ==+∈Z }与21{(,)|315,B x y y x x ==+∈Z }，1A 与1B 对应的直线y ax b =+与抛物线
2
315y x =+至少有一个公共点，所以方程组2315y ax b y x =+??=+?有解，即方程2315x ax b +=+必有解. 因此212(15)a b ?=--≥20a ?-≤12180b -，①
又∵22a b +≤14 ②
由①②相加，2b 得≤1236b -，即2(6)b -≤0.∴6b =. 将6b =代入①得2a ≥108，
再将6b =代入②得2a ≤108，因此a =±
将a =±6b =代入方程2315x ax b +=+得2390x ±+=，
解得x =Z .
所以不存在实数,a b ，使得(1)，(2)同时成立. 证明题1
1解：设F （x ）＝()f x －121[()()]2
f x f x +， 则方程 ()f x ＝121[()()]2
f x f x + ① 与方程 F （x ）＝0 ② 等价
∵F （x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x -+ ∴ F （x 1）·F （x 2）＝－2121[()()]4
f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F （x 1）·F （x 2）＜0
故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）内.由于抛物线y ＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.
点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2
f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼
于证1()f x 2()f x ＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F （x ）＝()f x －121[()()]2
f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.
高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高一经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、 _ _ _； ________； 3、若函数(1)f x +(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4 、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸2 1)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3 44 2 ++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3 ) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2 (2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1 ()(0)f x x x x =+ ≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 - 1 - 高一函数经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为 [a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a -1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 高中数学函数测试题 学生： 用时： 分数： 一、选择题和填空题（3x28=84分） 1、若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A 【解析】利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0， 2、函数2 ()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1 ()11)f x x -=+> B ．1 ()11)f x x -=-> C ．1()11)f x x -=≥ D ．1 ()11)f x x -=-≥ 【答案】B 【解析】 221(1)1,(1)11x y x x y x 3、已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22 ??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 【解析】函数2 ()cos f x x x =-为偶函数，则1212()()(||)(||).f x f x f x f x >?> 在区间π02?? ???? ，上, 函数2 ()cos f x x x =-为增函数， 22121212(||)(||)||||f x f x x x x x ∴>?>?> 4、已知函数3log ,0()2,0 x x x f x x >?=?≤?，则1 (())9f f =（ ） 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 高中数学必修一函数试题（一） 一、选择题： 1 、若()f x = (3)f = （ ） A 、2 B 、4 C 、 D 、10 2、对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ） ①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()f x = 与()g x =；②()f x x = 与2 ()g x =；③0 ()f x x =与01()g x x = ；④2 ()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 4、二次函数2 45y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为 （ ） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5 、函数y =的值域为 （ ） A 、[]0,2 B 、[]0,4 C 、(],4-∞ D 、[)0,+∞ 6、下列四个图像中，是函数图像的是 （ ） A 、（1） B 、（1）、（3）、（4） C 、（1）、（2）、（3） D 、（3）、（4） （1） （2） （3） （4） 7、若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B 。 A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．． 的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、 () 1() f x f x =-- 9、如果函数2 ()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 10、设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则有 （ ） A 、12a > B 、12a < C 、12a ≥ D 、12 a ≤ 11、定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（ ） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数 12、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） （1） （2） （3） （4） 1.已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),x ∈ R 且 x≠a,当 f(x) 的定义域为 [a-1,a-1/2] 时,求 f(x) 值解:由题知，已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以， f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x) 的定义域为 [a-1,a-1/2] 时 x∈ [a-1,a-1/2] (a-x) ∈ [1/2,1] 1/(a-x) ∈ [1,2] f(x)=-1+1/(a-x) ∈ [0,1] 2.设 a 为非负数 ,函数 f(x)=x|x-a|-a. (1) 当 a=2 时,求函数的单调区间 (2)讨论函数 y=f(x) 的零点个数 解析： (1)∵函数 f(x)=x|x-2|-2 当 x<2 时， f(x)=-x^2+2x-2 ，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当 x>=2 时， f(x)=x^2-2x-2 ，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当 x∈ (-∞,1)时， f(x) 单调增；当x∈ [1,2] 时， f(x) 单调减；当x∈ (2,+ ∞)时， f(x) 单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0 时 x=0,零点个数为1； a>0 时 x>0,由①， x>=a,x^2-ax- a=0,x1=[a+ √ (a^2+4a)]/2; 0 x y o 高一数学第一章《函数》测验（9月23日） 时间：40分钟 满分：100分 班级 姓名 座号 一、判断题：每小题5分，共20分．下列结论中，正确的在后面的括号中打“∨”，错误的在后面的括号中打“╳” ． 1． 已知A={}Z k k x x ∈-=,23|，则5∈Ａ． （ ╳ ） 2． 函数)(x f y =的图象有可能是如图所示的曲线． (╳ ) 3．对于定义域为R 的奇函数)(x f ，一定有0)2()2(=+-f f 成立． (∨ ) 4．函数x x f 1)(=在),0()0,(+∞-∞Y 上为减函数． ( ╳ ) 二、选择题．每小题5分．每题都有且只有一个正确选项． 5．已知集合A ≠Φ，且A {2,3,4}，则这样的集合A 共有（ ）个 （ B ） Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8 6．函数03()()2 2f x x x =-+的定义域是 （ D ） A ． 3(2,)2- B ． (2,)-+∞ C ．3(,)2+∞ D ． 33(2,)(,)22 -?+∞ 7．函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 ( C ) Ａ．0,2,3 Ｂ．30≤≤y Ｃ．}3,2,0{ Ｄ．]3,0[ 8．由函数])5,0[(4)(2 ∈-=x x x x f 的最大值与最小值可以得其值域为 （ C ） A ．),4[+∞- B ． ]5,0[ C ．]5,4[- D ．]0,4[- 9．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0 难点突破 一．选择题（共18小题） 1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2） C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1） 2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（） A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列 C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列 4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种． 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（） A．48 B．60 C．96 D．120 5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1 精选 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 精选 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 模块质量检测(一) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设U ＝R ，A ＝{x|x>0}，B ＝{x|x>1}，则A ∩?U B ＝( ) A{x|0≤x<1} B ．{x|0 【解析】 f(3)＝f(4)＝(12)4＝1 16. 【答案】 C 5．函数y ＝－x 2＋8x －16在区间[3,5]上( ) A ．没有零点 B ．有一个零点 C ．有两个零点 D ．有无数个零点 【解析】 ∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2， ∴函数在[3,5]上只有一个零点4. 【答案】 B 6．函数y ＝log 12(x 2 ＋6x ＋13)的值域是( ) A ．R B ．[8，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．[－3，＋∞) 【解析】 设u ＝x 2＋6x ＋13 ＝(x ＋3)2＋4≥4 y ＝log 1 2u 在[4，＋∞)上是减函数， ∴y ≤log 1 24＝－2，∴函数值域为(－∞，－2]，故选C. 【答案】 C 7．定义在R 上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) A ．y=x2+1 B ．y ＝|x|＋1 C ．y ＝??? 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x<0 D ．y ＝??? e x ，x ≥0 e －x ，x<0 【解析】 ∵f(x)为偶函数，由图象知f(x)在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．故选C. 【答案】 C 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈Ｒ且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈（-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 函数的概念及表示 （国庆作业） 一、选择题： 1、函数y = ） A ．{} 1x x ≤ B ．{} 0x x ≥ C ．{}10x x x ≥≤或 D ．{} 01x x ≤≤ 2、函数1 1 x y x +=-的值域为（ ） A ．() ()11-∞+∞，， B ．()1,1- C ．()()11-∞+∞，-， D ．()()11-∞-+∞，-， 3、下列函数()()f x g x 与表示同一函数的是（ ） A ．()()4 2 f x x g x == 与 B ．()()2 x f x x g x x ==与 C ．()()f x g x == D ．()()2 f x x g x == 与4．给出下列四个对应，其中构成映射的是…( ) A ．(1)(2) B ．(1)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(3)(4) 5.已知函数f(x)＝? ???? x －3，x>0， x 2，x ≤0.若f(a)＝f(4)，则实数a 等于……( ) A ．4 B ．1或－1 C ．－1或4 D ．1，－1或4 6、函数()1 3 f x x =-的定义域是（ ） A ．(),3-∞ B ．()3+∞， C ．()()33-∞+∞，， D ．()()33-∞+∞，， 7．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）. 8．下列图形是函数y ＝－|x|(x ∈[－2,2])的图象的是( ) 9．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）. 10．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 11、已知函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则()2f x -的定义域为（ ） A ．[]2,3- B ．[]1,4- C ．[]16， D ．[]4,1- 12．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) A. B. C. D. 函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 函数与基本初等函数 一、选择题 1．(2009·汕头金山中学月考)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈R D ．y ＝(1 2)x ，x ∈R 2．(2009·广东卷文)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A ．log 2x B.1 2 x C ．log 12 x D ．2x － 2 3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 是奇函数，则 ( ) A ．b ＝c ＝0 B ．a ＝0 C ．b ＝0，a ≠0 D ．c ＝0 4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为 ( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5 D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5 5．函数f (x )＝3x 2 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( ) A ．(－13，＋∞) B ．(－1 3，1) C ．(－13，13) D ．(－∞，－13) 6．(2008·重庆)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 7．(2008·全国Ⅰ)设奇函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，且f (1)＝0，则不等式 f (x )－f (－x ) x ＜0的解集为 ( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12 b ，(1 2)c ＝log 2c ，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c 二、填空题高一数学函数习题(练习题以及答案
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