静电场的散度和高斯定理
1、描述
1）、微分形式
E ρε?=
空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
2）、积分形式
01S V E d S dV ρε=??
电场强度矢量穿过闭合曲面S 的通量等于该闭合面所包围的总电荷与0ε之比。
2、恒等式
31
()R
R R ?=-
2'1
()4()r r R πδ?=-- 3、推导 已知'301
()()d 4πV r R E r V R ρε'=? 得到：'01
1()()()d 4πV E r r V R
ρε'=-??
两边取散度：（是对r
的计算，可以把算符?移到内部）
2'011()()()d 4πV E r r V R ρε'?=-
?? 由于：2'1()4()r r R
πδ?=-- 得到：''0''00
1()()[4()]d 4π1
()()d V V E r r r r V r r r V ρπδερρδεε'?=-
--'=-=?? 两边取体积分：
0V V EdV dV ρε?=??
由高斯定理：
0V S V EdV E d S dV ρε?==???
静电场常用公式总结 [静电场] 1、库仑定律1212320011?44q q q q F r r r r πεπε== 真空中的介电常数) C m N (1085.8221120---?=ε 2、点电荷电场的强度r r q q F E ?4200πε== （r ?为单位位矢） 点电荷系的电场叠加∑==n i i E E 1 连续带电体的场强20?4dq E dE r r πε==?? （线电荷dl dq λ=面电荷ds dq σ=体电荷dV dq ρ=） 3、E 通量：通过电场中某一曲面的电场线条数。通过任意曲面S 的E 通量：???==ΦS S e S d E dS E θcos 闭合曲面上的电通量??=Φs e S d E （从闭合曲面内净穿出的电场线条数） 4、真空中的高斯定理∑?=?i i s q S d E 01ε ①电荷在闭合曲面以外：穿入曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数0=?=Φ?S e S d E ②闭合面上的场强是空间所有电荷产生的，并非仅由闭合面内的电荷产生
③n 个点电荷在高斯面内，m 个点电荷在高斯面外： ?∑∑??+=?=Φ==S n i m j j i S e S d E E S d E )(11∑∑===+=n i i n i i q q 10 100εε） 5、静电场的环路定理0L E dl ?=? （静电场力的功与路径无关） 6、电势能??∞∞∞?=+?=a a a l d E q W l d E q W 00（0=∞W ）电场中某点的电势能等于将0q 从该点移至电势能零点时，电场力所作的功（若选 b 点为电 势能零点： ??=b a a l d E q W 0 7、电势?∞?==a a a l d E q W U 0 电势差b a ab U U U -=??∞∞?-?=b a l d E l d E ??=b a l d E 电场力的功ab b a ab U q U U q W 00) (=-= 8、点电荷电场的电势r q r U 04) ( πε= 点电荷系电场的电势∑ =i i r q U 04πε 连续分布电荷电场?=V r dq U 04πε 9、电场强度在直角坐标系中的分量：z U E y U E x U E z y x ??-=??-=??- =,,
302-静电场的高斯定理 1 选择题 1. 一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：〔 〕 ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 2. 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且OP=OT ，那么〔 〕 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 答案：()C 3. 如图所示，闭合面S 内有一点电荷 Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至 B 点，则；〔 〕 ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 答案：()B 4. 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： 〔 〕 ()A ()B ()C () D 答案：()C 5. 如图所示，一球对称性静电场的~E r 关系曲线，请指出该电场是由下列哪种带电体产生的（E 表示电场强度的大小，r 表示离对称中心的距离）〔 〕 ()A 点电荷； ()B 半径为R 的均匀带电球体； ()C 半径为R 的均匀带电球面； ()D 内外半径分别为r 和R 的同心均匀带球壳。 答案：()C 6. 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：〔 〕 答案：()B r ()A ()B ()C ()D
静电场公式 1.三种起电方式：摩擦起电：相互摩擦的物体带等量异种电荷；接触起电：两个完全相同的带电导体,接触后再分开,电荷分配原则：同种电荷平分原来所带电荷量的总和，异种电荷先中和再平分；感应起电：近端感应异种电荷，远端感应同种电荷，电荷量绝对值相同 2.元电荷：一个电子所带电荷量的绝对值1.60×10-19C。所有带电体的电荷量都是元电荷e 的整数倍，不连续！密立根最早测定元电荷数值 3.比荷：带电粒子所带电荷量q的绝对值和其质量m的比值 4.库仑定律的公式： 22 1 r q kq F 适用范围：1.真空中；2静止点电荷，K静电力常量：k=9.0×109N·m2/C2 可以看成点电荷的条件：如果带电体本身的大小对所研究的问题影响甚小,相对来说可把带电体视为一几何点,并称它为点电荷。点电荷本身的线度不一定很小,电荷量也可以很大 5.静电力的叠加原理：两个或两个以上的点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个电荷的作用力的矢量和！ 6.三个点电荷仅在电场力作用下的平衡规律：三点共线；两同夹异；两大夹小；近小远大 7.电场的基本性质：对放置其中的电荷有力的作用，电荷间相互作用就是通过电场实现的，电场是电荷周围客观存在的一种特殊物质，电场线是假象的，不是客观存在的 8.场源电荷：产生电场的电荷；试探电荷（检验电荷） 试探电荷的要求：电荷量小不影响场源电荷的电场；体积小能测量多个位置的电场力 9.电场强度的比值法定义式：E=F/q（适用于任何电场） 电场强度E类比重力加速度g，某一位置的E由电场本身决定，与F和q都无关 E的方向：与正电荷在该点的受力方向相同，与负电荷在该点的受力方向相反 10.真空中点电荷电场强度：E=kQ/r2 电场强度叠加原理：如果由几个点电荷同时存在，这时某点的场强等于各个电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和 11.一个半径为r的均匀带电体（或球壳）在外部产生的电场与一个位于球心的，电荷量相等的点电荷产生的电场相同 12.电场线：为了形象的描述的电场的分布而画出的一组曲线（法拉第第一个提出） 电场线上每一点的切线方向，都和该点的场强方向一致，并使线的疏密程度表示场强的大小．13.电场线特征：电场线密的地方场强大，电场线疏的地方场强小。电场线不闭合，不相交，不相切。带电粒子在电场中的运动轨迹与电场线之间没有必然联系（对比重力线） 14.几种常见电场中电场线的分布及特点： 正点电荷：像太阳光芒四射；负点电荷：像黑洞把周围物体全吸进来；两个等量异种点电荷：像灯笼一样和谐对称，关于两电荷连线中垂线的轴对称图形；等量同种电荷：像两军对垒排兵布阵完毕相互排斥； 15.静电力做功的特点：与起止位置有关，与路径无关。 16.电势能：类比重力势能，研究前必须先规定0势能面，其他位置的势能才能定下来。 某一点电荷的电势能E P=φq；特别注意计算时电势φ和电荷量q都要带正负号；如果比0电势位置低那么它的电势就是负的，高就是正的； 17.电势：类比高度；电荷在电场中某一点的电势等于电势能与它的电荷量的比值φ=E P/q 电势是标量；电势的相对性：某点电势的大小是相对于零点电势而言的；电势差的绝对性：某两点电势差与零点电势的选择无关；U AB=φA-φB;U AB=-U BA 18.沿着电场线方向，电势逐渐降低；
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理 静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。 电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。 静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S q E S ε?=∑? 。英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度） 穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。这个假设后来被实验证实了。正因为这个原因，数学表示式in 0d i S q E S ε?=∑? 也叫做高斯定律。 由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。 in 0d i S q E S ε?=∑? 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定 理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。 高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式
或者高斯散度公式）。高斯公式的数学表示式是d d S V f S f V ?=???? 。其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。 高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε??= 。 根据库仑定律还可以推出d 0l E l ?=? ，其含义是静电场强度沿任意回路的线积分恒等于零。数学表示式d 0l E l ?=? 除了适用于静电场，也适用于恒定电场， 还适用于位电场，但是不适用于涡旋电场。所以，d 0l E l ?=? 不是电磁学中普遍 适用的规律。正因为这个原因，首先从库仑定律导出d 0l E l ?=? 的那个人没有名 气，我们甚至不知道他姓甚名谁。大理大学工程学院教授罗凌霄 2020年3月11日
静电场基本方程 班级：电气121班 姓名：徐鹏学号：2012230106 姓名：邵辉学号：2012230158 姓名：王天宇学号：2012230102
静电场的基本方程.分界面边界条件 静电场基本方程分界面上的衔接条件 静电场的基本方程 总结静电场环量特性及闭合面通量特性，得到了反映静电场基本特性的方程 0=dl?lE （2.5.1） q=dS?SD （2.5.2） 0=E??（2.5.3） ρ=D??（2.5.4） 称之为静电场的基本方程，方程（2.5.1）和（2.5.2）是基本方程的积分形式，它们从整体上以表明静电场的无旋性（守恒性）和静电场的有散性（有源性）这两个基本特征。方程（2.5.3）和（2.5.4）是以上两基本方程对应的微分形式，它们更为直接地描述静电场的无旋性和有散性的分布特性。 基本方程的微分形式显得更为重要。一方面，可以从散度和旋度角度描述静电场中各点场与源的关系；另一方面，在计算上反映静电场域空间各点场与源的变化情况。 从计算角度看：基本方程的积分形式适用于大范围的分析计算，它们在静电场的任何区域都成立；而微分形式适合于在同种介质中求解场量（指E、D、φ）的分布，在不同介质分界面上它不成立。由唯一性定理可知，散度和旋度再加上边界条件共同唯一地确定静电场，这边界条件还需要基本方程的积分来推求。 研究介质极化的影响，有 D = ε0 E + P （2.5.5a） D = ε E （2.5.5b） 方程（2.5.5a）和（2.5.5b）是联系D、E的媒质的构成方程，它们不是基本方程，但其重要性是不言而喻的。（2.5.5a）对任何介质均成立，方程（2.5.5b）只适用于各向同性线性介质。 介质分界面上的衔接条件 在不同介质的分界面上，可能存在极化电荷和自由电荷，它们使场量的大小和方向
静电场中的高斯定理： 高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。表达式为 01 ()1/n i i S E ds q φε==?=∑?? （1） 高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平 的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。典型情况有三种: 1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等; 2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面 3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。 根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。选取的原则是: ○ 1 待求场强的场点必须在高斯面上;○ 2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○ 3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○ 4 高斯面的形状应是最简单的几何面。 最后由高斯定理求出场强。高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合 曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量 只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。 下面举一些例子来说静电场中高定理的应用： 例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。试求球体内外的场强分布及其方向。 解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 23d d 4d 4d q V Ar r r Ar r ρ==?π=π 在径为r 的球面内包含的总电荷为 430d 4d Ar r r A V q V r ππρ==?=???? ()r R ≤
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS 我们已经得到稳恒磁场两个积分方程： 磁场“高斯定理” (2.4-1) 安培环路定理 (2.4-2) 由高斯积分变换定理 于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程： ▽.B = 0 （2.4-3） （比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0） 再由斯托克斯积分变换定理 由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4） （比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ） (2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质. 方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立. （2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方， ▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.
5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole) 按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值 n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5） 其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒， e为基本电荷的绝对值. 上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止. 假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处 （2.4-6） 那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成 （2.4-7） 若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程 （2.4-8） 我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到 （2.4-9）
假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标（x, y, z）唯一地标识出来。假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。 上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。 矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等（数学上没有矢量的除法）。 显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。 三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。 对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作： 1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同； 2、将这个值赋予这个点 对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。 除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。 跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。 而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。 对电场散度和旋度的理解 首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。 对曲面的积分有两类（第一类曲面积分和第二类曲面积分），这个差别主要在于矢量性，第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一
梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程 ——蒋小敏2012-05-07 在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。 本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。先定义一下本文的一些符号表达： 矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u 单位矢量：小写上加倒勾e x 一、矢量 （1）矢量的定义 若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ， z y x A z A y A x A ???++= （2）矢量的模 222z y x A A A A ++= （3）矢量的乘积 标量积，Dot production 点乘，这是一个标量 AB a B A B A cos =? 2 222A A A A A A B A B A B A B A z y x z z y y x x =++=?++=? A x e
矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量 AB a B A n B A sin ?=? 其中 为A , B 所在平面的右手法向。 z y x z y x B B B A A A z y x B A ???=? 二、通量 （1）通量的定义 若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则 ??=ψS d S A 为矢量A 沿有向曲面S 的通量。 （2）通量的物理含义 表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。 若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源； 若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源； 若0=ψ，闭合面无源。 在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。 三、散度 （1）散度的定义 当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该点的散度，以div A 表示，即 n ?
《静电场》概念公式总结 一求静电力 1库仑定律 （1）适用于真空中两个点电荷之间（2）计算时不带正负号。（2）方向：沿二者连线，同斥异吸。 2F=qE （1）适用于匀强电场（2）计算时不带正负号。 （2）正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反。 二求电场强度的大小 1场强的定义式：E=F/q （1）适用于任何电场（2）计算时不带正负号。 （3）q指的是试探电荷所带的电荷量。 （4）场强E的大小与F、q无关，只由电场本身决定。 2 点电荷的场强： （1）适用于真空中点电荷形成的电场（2）计算时不带正负号。（3）场强E的大小与场源电荷Q，距Q的距离有关。距场源电荷越近的位置，场强越大。 3 场强与电势差的关系E=U/d （1）适用于匀强电场，但对于非匀强电场可以定性分析 （2）计算时不带正负号。
（3）d指的是A、B两点间沿电场方向的距离。 4 在电场线分布图中，线的疏密代表场强的大小。 线密则场强强，线疏则场强弱。 三判断电场的方向 1已知电荷在电场中受力情况 场强E的方向与正电荷受力方向相同，与负电荷受力方向相反。 2已知场源电荷的情况 正电荷产生的电场：场强方向由正电荷指向无穷远处。即沿半径向外。负电荷产生的电场：场强方向由无穷远处指向负电荷，即沿半径向里。3在电场线分布图中 某点的场强方向即该点的切线方向。 4在等势面分布图中 电场线垂直于等势面，由电势高的等势面指向电势低的等势面。 5 电场强度的方向即电势降落最快的方向。 四求静电力做功 1 功的定义式：w=FLcosα （1）适用于恒力做功，即在匀强电场中。 （2）计算时不带正负号 （3）做功的正负看位移（速度）方向与力的方向。钝角做负功，锐角做正功，垂直不做功。 2静电力做功与电势能的关系： （1）适用于任何电场。（2）计算时带正负号
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B
§1.7 静电场的散度和旋度 现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程--散度方程和旋度方程. 1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848） 在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比 的极限 (1.7-1) 为矢量场A在该点的散度（divergence of A） 它是一个标量.显然 若则该点散度▽·A ≠0，该点就是矢量场A的一个源点 若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点 若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场. 在直角坐标系中 (1.7-2) ▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850. 高斯定理（Gauss, Theorem） 对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立： (1.7-3) 即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分. 由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线. 2.电场的散度方程 大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程 (1.7-4) 其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有 设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得 (1.7-5) 这就是电场高斯定理的微分形式--电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠0 的点上▽·E ≠0, 这些点就是电场的源点. 3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材P853） 在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S 是L 围成的面积元矢量, 并且约定： 面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限 (1.7-6)
静电场公式集锦 1、元电荷： e ＝1.60×10-19C （元电荷是个数值） 2、电场力： 1、定义式：F ＝qE 2、点电荷：221r q q k F = 3、电场强度： 1、定义式：E ＝F/q 2、点电荷：2r Q k E = 3、匀强电场：d U E AB = 4、电势差： 1、定义：U AB ＝φA -φB 2、电势差与电场强度关系：U AB ＝Ed （d 为沿电场线方向的距离） 3、电场力做功与电势差关系：q W U AB AB = 5、电场力做功： 1、电场力做功与电势能关系：W AB ＝Ep A -Ep B 2、电场力做功与电势差关系：W AB ＝qU AB （与路径无关） 6、电势能和电势： Ep A ＝q φA 7、电容 1、定义式：C ＝Q/U (C 与Q 、U 无关) 2、平行板电容器决定式：kd S C r πε4=（C 与S 成正比、与d 成反比） 8、粒子在电场中加速： 动能定理：22 1mv qU =-0 9、粒子在电场中偏转： 1、时间：0 v L t = 2、加速度： md Uq m Eq m F a === 3、竖直偏转位移：221at y = 4、偏转角度(速度与水平夹角)：0 0tan v at v v y ==θ 电场线从正电荷出发终止于负电荷，电场线不相交，切线方向为场强方向，电场线密处场强大，顺着电场线电势越来越低，电场线与等势线垂直； 电场强度与电势均由电场本身决定，电场力与电势能还与带电体的电量多少和电荷正负有关； 处于静电平衡导体是个等势体，表面是个等势面，导体外表面附近的电场线垂直于导体表面，导体内部合场强为零，净电荷只分布于导体外表面。
静电场的散度与旋度 赫母霍兹定理指出,任意矢量场由他的散度,旋度和边界条件 唯一的确定,要确定静电场,需要讨论它的散度与旋度. ⑴静电场的散度与高斯定理 )(4)1()1()(41 )(:)1()(41)()(,)1(,,,)(41)(2 200330r r R V d R r r E V d R r r E r E R R R r R r r R V d r R R r E V V v --=?∴'?-=??'?-=-=?-=-='=???πδρπερπερπε两遍取散度写成可将由前面所学可知式中 V d r r r V ''-'=???)()(10δρε
0,ερ=??∴E V 内区域我们已假设电荷分布在 这是高斯定理的微分形式，它表明空间任意一点电场强度的散度 与该处的电荷密度有关，静电荷使静电场的通量源，电荷密度为 正，称为发散源；电荷密度为负，汇聚源。 对上式两边求积分 ??=??V V dV dV 0ερ ????=∴=??v S S V dV d d dV ρε01由于 之比。所包围的总电荷与的通量等于该闭合曲面曲面矢量穿过闭合形式。它表明电场强度上式为高斯定理的积分0εS 静电场的旋度⑵ ??? ?????''-?=∴-'?'?'-=??V V V d R r r V d R r )(41)(41)(,)1()(41)(0 0ρπεπερρπε无关及与考虑
故 梯度再求旋度时恒等于而任何一个标量函数的函数 上式括号时一连续标量对上式取旋度 ,0))(41 ()(E 0?''??-?=??V V d R r r ρπε因此静电场是无旋场0 =??E 0,,0=??=??=??????? d E d E S d E S d E C C S S 利用斯托克斯定理 电场力不做功。 动一周合路径移电荷沿静电场中任一闭其物理含义是将单位正的积分恒等于沿任意闭合路径在静电场中上式表明,,0,,C
静电场公式归纳 1.（矢量）静电力F ?????()()2 29221 /100.9C m N k r q q k F qE F ??===用代入负号使用真空、点电荷，不比较大小，不用代负号 2.（矢量）场强E ?????()()()为沿电场线方向距离匀强电场适用于点电荷任何电场d d U E r Q k E q F E AB →=== 2 3.（标量）电势? ???()) (代入负号代入负号AB B A p U q E =-=??? 4.（标量）电势能p E ???)()(代入负号代入负号AB pB pA p W E E q E =-?=? 5.（标量）电势差AB U ?????为沿电场线方向距离代入负号代入负号d d E U U q W U AB B A AB AB AB →?=-==) ()(?? 6.（标量）静电力做功AB W ?????为电场线方向距离代入负号代入负号d qEd Fl W E E W U q W AB pB pA AB AB AB →==-=?=θcos )()( 特别提示：①元电荷 C e 19106.1-?= ②电子带负电：C q 19106.1-?-= ③质子带正点：C q 19106.1-?+= ④ J eV 19106.11-?= ⑤沿电场线方向电势降低，如?→?B A B A ??> ⑥电场线与等势面垂直，且由高等势面指向低等势面。
电容和偏转公式 1.电容（C ）???CU Q C Q C kd S C kd S C r ====即比值定义式：空气中：决定式：ππε44 注：? ??不变充电后移去电池，不变保持与电池相连，Q U 2.正电荷的加速 初速为0：m qU v mv qU 20212=∴-= 初速为0v ：m qU v v mv mv qU 2212120202+=∴-= 3.电子的加速 初速为0：02 12-= mv eU 初速为0v ：2022 121mv mv eU -= 4.带电粒子的偏转 加速度：0v l t md qU m qE m F a = ===时间： 偏移距离：d m v qUl v l m d qU at y 20 2 20222121=???? ????== 垂直分速度：d mv qUl v l md qU at v 00=?==⊥ 偏转角θ：d mv qUl v v 200tan ==⊥θ 注：若为电子的偏转，则上述公式中的q 换成e 。 5.先加速后偏转 加速过程（1U ）：①......20211221qU mv mv qU =∴-= 偏转过程（2U ）：② (2212122) 2222d mv l qU v l md qU at y =??? ????== ①代入②，有 d U l U d U l U y d U l U d qU l qU y 1212 212 21222tan 4422===?=θ同理：即：
－ 选择题 题号：30212001 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，任一闭合曲面S 内有一点电荷q ，O 为S 面上任一点，若将q 由闭合曲面内的P 点移到T 点，且O P =O T ，那么 ()A 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小不变； ()B 穿过S 面的电通量改变，O 点的场强大小改变； ()C 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小改变； ()D 穿过S 面的电通量不变，O 点的场强大小不变。 〔 〕 答案：()C 题号：30213002 分值：3分 难度系数等级：3 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 题号：30213003 分值：3分 难度系数等级：3 如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 题号：30212004 分值：3分 难度系数等级：2 如图所示，闭合面S 内有一点电荷Q ，P 为S 面上一点，在S 面外A 点有一点电荷'Q ，若将电荷'Q 移至B 点，则； ()A S 面的总通量改变，P 点场强不变； ()B S 面的总通量不变，P 点场强改变； ()C S 面的总通量和P 点场强都不变； ()D S 面的总通量和P 点场强都改变。 〔 〕 答案：()B 题号：30214005 分值：3分 难度系数等级：4 在电场强度为E E j = 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面 的法线向外，设过面A A 'C O ，面B 'B O C ，面ABB'A'的电通量为1φ，φ，φ，则
静电场的散度和旋度
汪毅
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定 律及一些假设总结出麦克斯韦方程。 本章难点：介质的极化和磁化、电磁场的边值关 系、电磁场能量与能流。
主要内容： 总结出静电场、稳恒电场中的磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能
量、能流并讨论电磁能量的传输。
库仑定律
F
=
qQr
4πε 0r 3
ε0
=
8.85 ×10?12
C2 N im2
F
q
r
Q
ε0
在真空中，两个静止的点电荷q,Q之间相互作用力
的大小与它们的带电量乘积成正比，和它们之间距 离r的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线， 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场
E
=
F q
=
Qr
4πε 0r 3
E
q
r
Q
ε0
电场中任意点的电场强度E等于静止于该点的单位
正检验电荷所受的电场力。它的方向沿正试验电荷 受力的方向，大小与检验电荷无关。
电场的叠加原理
∑ ∑ E =
n Qi
i=1 4πε0
ri ri3
=
n
Ei
i =1
电荷系在空间某点产生的电 场强度等于组成该电荷系的 各点电荷单独存在时在该点
产生的场强的矢量和。
E(x)
=
∫V
ρ ( x′)
4πε 0
r r3
dV ′
P dE
r
dQ
单元3 静电场环路定理 电势能 电势和电势差 一． 选择、填空题 1. 静电场中某点电势的数值等于 【 C 】 (A) 试验电荷0q 置于该点时具有的电势能； (B) 单位试验电荷置于该点时具有的电势能； (C) 单位正电荷置于该点时具有的电势能； (D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力做的功 2. 如图XT_0088所示，CDEF 是一矩形，边长分别为l 和2l 。在DC 延长线上l CA =处的A 点有点电荷+q ，在CF 的中点B 点有点电荷－q ，若使单位正电荷从C 点沿CDEF 路径运动到F 点，则电场力所作的功等于： 【 B 】 (A) l l q o --? 5154πε； (B) 5514-?l q o πε； (C) 3134-?l q o πε； (D) 5 1 54-? l q o πε 3. 如图XT_0089所示，边长为a 的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q 、2q 、3q 。若将另一正点电荷Q 从无穷远处移到三角形的中心O 处，外力所作的功为: 【 C 】 (A) 04a πε； (B) 04a πε； (C) 04a πε； (D) 04a πε 4. 一电量为Q 的点电荷固定在空间某点上，将另一电量为q 的点电荷放在与Q 相距r 处。若设两点电荷相距无限远时电势能为零，则此时的电势能r qQ W e 1 40πε= 。 5. 如图XT_0090所示，在带电量为q 的点电荷的静电场中，将一带电量为q o 的试验电荷从a 点经任意路径移动到b 点，外力所做的功)1 1(4001a b r r qq A -= πε； 电场力所做的功)11(4002b a r r qq A -= πε。 6. 真空中电量分别为q 1和q 2的两个点电荷，当它们相距为r 时，该电荷系统的相互作用电势能 r q q W 1 4021πε= 。(设当两个点电荷相距无穷远时电势能为零)。