九江一中2017-2018学年度高三上学期第一次月考
数学（文科）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共在60分）
1 .
已知复数z =z 是z 的共轭复数，则=z z ?（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 14
2. 设集合{}(){}
1 ln 2A x x B x y x =-==-≥，
，则A C B =R （ ） (A)[)1 2-， (B)[)2 +∞， (C)[]1 2-， (D)[)1 -+∞， 3. 如图，给出了样本容量均为7的A B 、两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则（ ）
(A)12r r =
(B)12r r <
(C)12r r > (D)无法判定 4. 0000cos 45sin105sin135sin15-=（ ）
(A) (C) 12- (D) 12
5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
(A) 96里 (B)192里 (C) 48里
(D) 24里
6. 若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，
则实数a 的取值范围是( )
(A)a <－3 (B)a ≤－3 (C)a >－3 (D) a ≥－3
7． 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据大于58，则
判断框中应填入的条件可能为（ ）
(A) 3k ≤ (B)4k ≤ (C)
5k ≤ (D) 2k ≤ 8. 2()(1)cos 1x f x x e
=-+图象的大致形状是( ) 9. 已知x ＝ln π，y ＝log 52，1
2=e z -，则下列大小关系正确的是（ ）
(A) x ＜y ＜z (B) z ＜x ＜y (C) z ＜y ＜x (D) y ＜z ＜x
10. 已知ABC ?的面积S 满足2224S a c b =+-，且BC 边上的高等于
13BC ，则cos A =（ ）
(A)
(C)
(D) 11. 抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若
3AF FB = ，则直线l 的斜率为（ ）
(A)2 (B)12
12. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1)[0,1)()13[1,)
x x f x x x +∈??=?--∈+∞??，， ，则关于x 的函数()(),(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）
(A) 21a - (B)12a - (C)
21a -- (D)12a --
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量()1,1=a ，),3(m b = ， a ∥（a +b ），则m =
.
14. ,x y 满足203010y x x y -≤??+≥??--≤?，则264x y x +--的取值范围是 . 15. 已知圆C ：22
210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线l 的距离大于2的概率为_________.
16. 已知三棱锥A BCD -中，
AB CD ==
BC AD ==，
AC BD =则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分）
17. (本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =-，11=b ，222a b +=. （Ⅰ）若533=+b a ，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若213=T ，求3S .
18 (本小题满分12分) 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
参考数据及公式：
2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19. (本小题满分12分) 在三棱柱
111ABC A B C -中，2AC BC ==，
120ACB ∠=?，D 为11A B 的中点．（Ⅰ）证明：1
//AC 平面1BC D ；（Ⅱ）若
11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为求三棱锥11B A C D -的体积．
20. (本小题满分12分) 设1F 、2F 分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254
PF PF ?=- ，求点P 的坐标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围． 21. (本小题满分12分)已知函数()()ln 0=+>a f x x a x
.（Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围;(Ⅱ) 证明: 当2a e
≥时, ()->x f x e . 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。
22.（本小题满分10分）选修4-5：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 过点(3,0)M ，倾斜角为6
π． （Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；
(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于AB 两点，求MA MB +．
23 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知|1||2|2)(++-=x x x f .
（Ⅰ) 求不等式6)( (Ⅱ)设p n m ,,为正实数，且)2(f p n m =++，求证：3≤++pm np mn ． 2017-2018学年度上学期第一次月考数学文科试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1 . 已知复数z =z 是z 的共轭复数，则=z z ?（ D ） (A) 2 (B) 1 (C) 12 (D) 1 4 2.设集合{}(){} 1 ln 2A x x B x y x =-==-≥， ，则A C B =R （C ） (A)[)1 2-， (B)[)2 +∞， (C)[]1 2-， (D)[)1 -+∞， 3.如图，给出了样本容量均为7的A B 、两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则（ C ） (A)12r r = (B)12r r < (C)12r r > (D)无法判定 4.0000cos 45sin105sin135sin15-=（ A ） A. C. 12- D. 12 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（A ） A ．96里 B ．192里 C ．48里 D ．24里 6.若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围 是( B ) (A)a <－3 (B)a ≤－3 (C)a >－3 (D) a ≥－3 7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据大于58，则判断框中应填入的条 件可能为（ C ） A ．3k ≤ B ．4k ≤ C ．5k ≤ D ．2k ≤ 8.2()(1)cos 1x f x x e =-+图象的大致形状是( B ) 9.知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若9. 已知x ＝ln π，y ＝lo g 52，12=e z -，则下列大小关系正确的是（D ） (A) x ＜y ＜z (B) z ＜x ＜y (C) z ＜y ＜x (D) y ＜z ＜x 10.已知ABC ?的面积S 满足2224S a c b =+-，且BC 边上的高等于 13BC ，则cos A =（ C ） A B ． D ． 11. 抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若 3AF FB = ，则直线l 的斜率为（ D ） (A)2 (B)12 12. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1)[0,1)()13[1,) x x f x x x +∈??=?--∈+∞??，， ，则关于x 的函数()(),(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ B ） A ．21a - B ．12a - C ．21a -- D ．12a -- 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.） 13.知向量()1,1=a ，),3(m b = ， a ∥（a +b ），则m = 3 14.,x y 满足203010y x x y -≤??+≥??--≤?，则264x y x +--的取值范围是 171,7??-???? . 15. 已知圆C ：22210x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线l 的距离大于2的概率为__3142π +_______. 16.已知三棱锥A BCD -中， AB CD == BC AD =， AC BD =则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 77π ． 17.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =-，11=b ，222a b +=. （Ⅰ）若533=+b a ，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若213=T ，求3S . 17.解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的公比为q . 由111,1a b =-=，34b a =，222a b +=，533=+b a ，得 521,212=++-=++-q d q d ，解得：2,1==q d ，或)(0,3舍去==q d . 则}{n b 的通项公式为)(2*1N n b n n ∈=-. （Ⅱ）由21,131==T b 可得2112=++q q ，解得54-==q q 或. 当4=q 时，242,422-=-==a b ， 6321,1)1(23-=---=-=---=S d ； 当5-=q 时，7)5(2,522=--=-=a b ， 211571,8)1(73=++-==--=S d . 18 (本小题满分12分) 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率； (2) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 参考数据及公式： 2 2()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++ (18) (本小题满分12分） 解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名. ---1分 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)， 记为A 1，A 2，A 3； 25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2. 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2). 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2). 故所求的概率P ＝710 . -------6分 (2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下： 70 22 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝2514≈1.786. ---10分因为1.786<2.706. 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” ----12分 19.（题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，120ACB ∠=?，D 为11A B 的中 点．（Ⅰ）证明：1 //AC 平面1BC D ；（Ⅱ）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上， 且侧面 11A ABB 的面积为11B A C D -的体积． 18.（Ⅰ）证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ． 则E 为1B C 的中点，又D 为11A B 的中点， 所以1//DE A C ，且DE ?平面1BC D ，1A C ?平面1BC D ， 则1 //AC 平面1BC D ． （Ⅱ）解：取AC 的中点O ，连接1A O ，过点O 作OF AB ⊥于点F ，连接1A F ． 因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上，且11A A A C =， 所以1A O ⊥平面ABC ，∴1A O AB ⊥，1A O OF O = ， ∴AB ⊥平面1A OF ，则1A F AB ⊥． 设1A O h =，在ABC ?中，2AC BC ==，120ACB ∠=?， ∴AB =12OF =，1A F = 由11A ABB S ==1AO h ==． 则1111113B A C D A C D V AO S -?=??111122sin1203224 =????=． 所以三棱锥11B A C D -的体积为14 ． 20.（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254 PF PF ?=- ，求点P 的坐标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．
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