一、数列的概念选择题
1.函数()2cos 2f x x x =-{}n a ,则3a =( ) A .
1312
π
B .
54
π C .
1712
π
D .
76
π 2.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知(
)*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=,若
23a <,则n 的最大值为( )
A .49
B .50
C .51
D .52
3.已知数列{}
ij a 按如下规律分布(其中i 表示行数,j 表示列数),若2021ij a =,则下列结果正确的是( )
A .13i =,33j =
B .19i =,32j =
C .32i =,14j =
D .33i =,14j =
4.数列{}n a 满足11
1n n
a a +=-,12a =,则2a 的值为( ) A .1
B .-1
C .
13
D .13
-
5.的一个通项公式是( )
A .n a =
B .n a =
C .n a =
D .n a =6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1221,1n n a a S a +===-,则下列命题错误的是
A .21n n n a a a ++=+
B .13599100a a a a a ++++=
C .2499a a a a ++
+=
D .12398100100S S S S S +++
+=-
7.在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ,则下面结论错误的是( ) A .1(1)n n a a n n --=> B .20210a = C .1024是三角形数
D .
123111121
n n a a a a n +++?+=+ 8.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2020项是( ) A .2072
B .2073
C .2074
D .2075
9.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x 、y R ∈,都有
()()()f x f y f x y ?=+,若112
a =
,()()
*
n a f n n N =∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足( ) A .
1324
n S ≤< B .
3
14
n S ≤< C .102
n S <≤
D .
1
12
n S ≤< 10.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,()
*
11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥,12018a =,
22017a =,则100S =( )
A .2016
B .2017
C .2018
D .2019
11.数列{}n a 前n 项和为n S ,若21n n S a =+,则72019a S +的值为( ) A .2
B .1
C .0
D .1-
12.已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-??=-- ???
,若数列{}n b 是单调递减数列,则实数λ的
取值范围是( ) A .
10
1,
3
B .110,23??- ???
C .(-1,1)
D .1,12??
-
???
13.数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,该数列从第三项开始,每项等于其前两相邻两项之和,记该数{}n F 的前n 项和为n S ,则下列结论正确的是( )
A .201920212S F =+
B .201920211S F =-
C .201920202S F =+
D .201920201S F =-
14.已知数列{}n a 满足00a =,()11i i a a i +=+∈N ,则20
1
k
k a
=∑的值不可能是( ) A .2
B .4
C .10
D .14
15.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=( )
A .2021a
B .2022a
C .2023a
D .2024a
16.数列{}n a 满足:12a =,111n
n n
a a a ++=-()*n N ∈其前n 项积为n T ,则2018T =( ) A .6-
B .1
6
-
C .
16
D .6
17.在数列{}n a 中,11a =,()*
1
22,21
n n a n n N a -=≥∈-,则3
a =( )
A .6
B .2
C .
2
3
D .
211
18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知1
3n n S +=,则34a a +=( )
A .81
B .243
C .324
D .216
19.在数列{}n a 中,已知13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,则2020a =( ) A .-6 B .6 C .-3
D .3
20.数列{}n a 中,12a =,121n n a a +=-,则10a =( ) A .511
B .513
C .1025
D .1024
二、多选题
21.已知数列{}n a 满足0n a >,
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
22.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +??
-=+ ???
,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4
B .-2
C .0
D .2
23.(多选题)已知数列{}n a 中,前n 项和为n S ,且2
3
n n n S a +=,则1n n a a -的值不可能为
( ) A .2
B .5
C .3
D .4
24.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( )
A .01q <<
B .681a a >
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为6T
25.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )
A .数列{}n a 的公差d <0
B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C .S 10>0
D .S 11>0
26.设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是
( )
A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B .若2
n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列
C .若()11n
n S =--,则{}n a 是等比数列
D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
27.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则( ) A .若59S >S ,则150S > B .若59S =S ,则7S 是n S 中最大的项 C .若67S S >, 则78S S >
D .若67S S >则56S S >.
28.朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( ) A .4
B .5
C .7
D .8
29.{} n a 是等差数列,公差为d ,前项和为n S ,若56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d <
B .70a =
C .95S S >
D .170S <
30.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和,且56678,S S S S S <=>,则下列结论正确的是( ) A .0d < B .70a =
C .95S S >
D .67n S S S 与均为的最大值
31.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (
)*
n N ∈,公差0d ≠,6
90S
=,7a 是3a 与9
a 的等比中项,则下列选项正确的是( ) A .2d =-
B .1
20a =-
C .当且仅当10n =时,n S 取最大值
D .当0n
S <时,n 的最小值为22
32.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-
B .23n a n =+
C .2
23n S n n =-
D .2
4n S n n =+
33.已知数列{}n a 满足:13a =,当2n ≥时,)
2
11n a =
-,则关于数列
{}n a 说法正确的是( )
A .28a =
B .数列{}n a 为递增数列
C .数列{}n a 为周期数列
D .2
2n a n n =+
34.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .当9n =或10时,n S 取最大值 C .911a a <
D .613S S =
35.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >
B .170S <
C .1819S S >
D .190S >
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
先将函数化简为()2sin 26f x x π??
=-
??
?4
x k π
π=+或512x k π
π=
+,k Z ∈,再求3a 即可. 【详解】
解:∵()2cos 22sin 26f x x x x π??
=-=-- ??
?
∴ 令()0f x =得:226
3
x k π
π
π-=
+或2226
3
x k π
π
π-
=
+,k Z ∈, ∴4
x k π
π=
+或512
x k π
π=
+,k Z ∈, ∴ 正数零点从小到大构成数列为:12355,,,4
124
a a a π
ππ==
=
故选:B.
【点睛】
本题考查三角函数的性质,数列的概念,考查数学运算求解能力,是中档题.
2.A
解析:A 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论,当n 为偶数时,可得2+32n n n
S =,发现不存在这样的偶数能满
足此式,当n 为奇数时,可得21+34
2
n n n S a -=+,再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时,12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32
n n
=,
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ?+?====,
所以n 不可能为偶数;
当n 为奇数时,123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722S a a +?-=+=+,
25111513514
13752
S a a +?-=+=+,
又因为23a <,125a a +=,所以 12a > 所以当1300n S =时,n 的最大值为49 故选:A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题,利用了并项求和的方法,考查了分类讨论思想,属于较难题.
3.C
解析:C 【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行,再第二列和第二行,再第三列第三行,并且完整排完n 次后,排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数,这个奇数在哪两个完全平方数之间,再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后,数字呈现边长是n 的正方形,所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=,说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=,故2021一定是32行,
而从第1024个数算起,第1011个数是倒数第14个,根据规律第1024个数排在第32行第1列,所以第1011个数是第32行第14列,即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识,但是考查却很灵活,属于较难题.
4.B
解析:B 【分析】
根据数列的递推公式,代入计算可得选项. 【详解】 因为11
1n n a a +=-,12a =,所以21111112
a a =
==---, 故选:B. 【点睛】
本题考查由数列递推式求数列中的项,属于基础题.
5.C
解析:C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论. 【详解】
因为数列3,7,11,15?的一个通项公式为41n -,
,
?
的一个通项公式是n a = 故选:C . 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法,利用条件找到项的规律是解决本题的关键.
6.C
解析:C 【分析】
21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到A 正确;由A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=进而得到B
正确;同理可得到C 错误;由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++?+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-,则111n n S a -+=-,两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-?=+,故A 正确;根据A 选项得到
13599a a a a +++?+=1123459798a a a a a a a a ++++++?++=981001S a +=,故B 正
确;
24698a a a a +++?+=2234569697a a a a a a a a ++++++?++=
1234569697a a a a a a a a ++++++?++=97991S a =-,故C 不正确;根据2123981n n S a S S S S +=-+++?+=
,123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用,根据题干中所给的条件进行推广,属于中档题,这类题目不是常规的等差或者等比数列,要善于发现题干中所给的条件,应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
7.C
解析:C 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=,323a a -=,434a a -=,…,由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>,故A 正确;
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=+=,∴20210a =,故B 正确; 令
(1)
10242
n n +=,此方程没有正整数解,故C 错误; 12
1111111
1212231n a a a n n ????????+++
=-+-++- ? ? ???+????????
122111n n n ??=-= ?++??,故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.C
解析:C 【分析】
由于数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项,其中有45个平方数,12个立方数,有3个既是平方数,又是立方数的数,所以还剩余20254512+31971--=项,所以去掉平方数和立方数后,第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数,从而求得结果. 【详解】
∵2452025=,2462116=,20202025<,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数,
因为331217282025132197=<<=,所以从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉
12个立方数,
又66320254<<,所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数, 又是立方数的数,重复去掉了3个即是平方数,又是立方数的数, 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项,此时距2020项还差2020197149-=项, 所以这个数列的第2020项是2025492074+=, 故选:C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力,解决该题的关键是找出第2020项的大概位置,所以只要弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解,属于中档题.
9.D
解析:D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
,从而可知数列{}n a 为等比数列,确定该等比数列的首项和公比,可计算出n S ,然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =,(
)y n n N
*
=∈,由题意可得()()()111
112
n n n a
f n f f n a a a +=+=?==
, 11
2n n a a +∴
=,所以,数列{}n a 是以12为首项,以12
为公比的等比数列, 11112211212n n n S ??
- ???
∴==--,所以,数列{}n S 为单调递增数列,则11n S S ≤<,即
1
12
n S ≤<. 故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解,解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
10.A
解析:A 【分析】
根据题意,由数列的递推公式求出数列的前8项,分析可得数列{}n a 是周期为6的数列,且1234560a a a a a a +++++=,进而可得1001234S a a a a =+++,计算即可得答案. 【详解】
解:因为12018a =,22017a =,()
*
11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥,
则321201720181a a a =-=-=-, 432(1)20172018a a a =-=--=-,
543(2018)(1)2017a a a =-=---=-,
654(2017)(2018)1a a a =-=---=, 76511(2017)2018a a a a =-=--==, 8762201812017a a a a =-=-==,
…,所以数列{}n a 是周期数列,周期为6, 因为12560a a a a ++???++=,所以
()100125697989910016S a a a a a a a a =++???++++++
12342016a a a a =+++=.
故选:A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用,关键是分析数列各项变化的规律,属于基础题.
11.A
解析:A 【分析】
根据21n n S a =+,求出1a ,2a ,3a ,4a ,?
?,寻找规律,即可求得答案. 【详解】
21
n n S a =+
当1n =,1121a a =+,解得:11a = 当2n =,122221a a a +=+,解得:21a =- 当3n =,32132221a a a a ++=+,解得:31a = 当4n =,4321422221a a a a a +++=+,解得:41a =-
??
当n 奇数时,1n a =
当n 偶数时,1n a =-
∴71a =,20191S =
故720192a S += 故选:A. 【点睛】
本题主要考查了根据递推公式求数列值,解题关键是掌握数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12.A
解析:A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立,即16212n
n λ??-<+ ???
,讨论n 为奇数和偶数时,再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列,1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立,
即()1
22112+1222n
n n n λλ-????-->-- ? ?
????
恒成立,
即16212n
n λ??-<+ ???
, 当n 为奇数时,则()6212n
n λ>-+?恒成立,
()212n n -+?单调递减,1n ∴=时,()212n n -+?取得最大值为6-,
66λ∴>-,解得1λ>-;
当n 为偶数时,则()6212n
n λ<+?恒成立,
()212n n +?单调递增,2n ∴=时,()212n n +?取得最小值为20,
620λ∴<,解得103
λ<
, 综上,1013
λ-<<. 故选:A. 【点睛】
关键点睛:本题考查已知数列单调性求参数,解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ??
-<+ ???
恒成立,需要讨论n 为奇数和偶数时的情况,这也是容易出错的地方. 13.B
解析:B
【分析】
利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++
+++,可得
21n n F S +=+,代入2019n =即可求解.
【详解】
由题意可得该数列从第三项开始,每项等于其前两相邻两项之和, 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++
1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=
123211n n n n F F F F F F ---=++++
+++,
所以21n n F S +=+,令2019n =,可得201920211S F =-,
故选:B 【点睛】
关键点点睛:本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+,利用迭代法得出
21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++,进而得出21n n F S +=+.
14.B
解析:B 【分析】
先由题中条件,得到2
12
21i i i a a a +-=+,由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
,根据00a =,
()11i i a a i +=+∈N ,逐步计算出221a 所有可能取的值,即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++,
则21221i i i a a a +-=+, 所以2221121a a a -=+, 2232221a a a -=+,
……,
2202022121a a a -=+,
以上各式相加可得:()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑,
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
,
又00a =,所以2
12
0211a a a =++=,则20
2211
221
k k a a ==-∑
,
因为()11i i a a i +=+∈N ,00a =,则0111a a =+=,所以11a =±,则2110a a =+=或
2,
所以20a =或2±;则3211a a =+=或3,所以31a =±或3±;则4310a a =+=或2或
4,所以42a =±或4±或0;则5411a a =+=或3或5,所以51a =±或3±或5±;……,
以此类推,可得:211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±,
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,
所以22112
2a -所有可能取的值为10-,6-,2,14,30,50,74,102,134,
170,210;
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10,6,2,14,30,50,74,102,134,170,210,
即ACD 都有可能,B 不可能. 故选:B. 【点睛】 关键点点睛:
求解本题的关键在于将题中条件平方后,利用累加法,得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
,将问题
转化为求221a 的取值问题,再由条件,结合各项取值的规律,即可求解.
15.A
解析:A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选:A
16.A
解析:A 【分析】
根据递推公式推导出(
)4n n a a n N *
+=∈,且有1234
1a a a a
=,再利用数列的周期性可计算
出2018T 的值. 【详解】
12a =,()*111++=
∈-n
n n a a n N a ,212312a +∴==--,3131132
a -==-+,
41
1121312a -
==+,5
1132113
a +
==-,()4n n a a n N *+∴=∈,且()123411
23123
a a a a ??=?-?-?= ???,
201845042=?+,因此,()504
2018450421211236T T a a ?+==?=??-=-.
故选:A. 【点睛】
本题考查数列递推公式的应用,涉及数列周期性的应用,考查计算能力,属于中等题.
17.C
解析:C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-,1
1a =,212221
a a ∴=
=-,3222
213a a =
=-. 故选:C. 【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项,考查计算能力,属于基础题.
18.D
解析:D 【分析】
利用项和关系,1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】
利用项和关系,1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-,
34216a a ∴+=
故选:D 【点睛】
本题考查了数列的项和关系,考查了学生转化与划归,数学运算能力,属于基础题.
19.C
解析:C 【分析】
根据题设条件,得到数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中
1234560a a a a a a +++++=,再由2020336644a a a ?+==,即可求解.
【详解】
由题意,数列{}n a 中,13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,
可得
3214325436547653,3,6,3,3,
a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=,
可得数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中1234560a a a a a a +++++=, 所以20203366443a a a ?+===-. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式,以及数列的周期性的应用,其中解答中得出数列的周期性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
20.B
解析:B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -,求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-,所以121n n a a +=-,所以()1121n n a a +-=-, 所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠, 所以{}1n a -是首项为1,公比为2的等比数列,
所以112n n a --=,所以121n n a -=+,所以9
1021513a =+=,
故选:B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式,难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式,可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
二、多选题 21.BC 【分析】
根据递推公式,得到,令,得到,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到,求出,可得C 正确,D 错. 【详解】 由可知,即,
当时,则,即得到,故选项B 正确;无法计算,故A 错; ,所以,则
解析:BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n
a n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321
111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ? ???????,所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解;
(2)累乘法,形如()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1
n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?
=?求解.
22.AB 【分析】
由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ,, 则,,,,
上述式子累加可得:,, 对于任意的恒成立
解析:AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<,只需
()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为
()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++, 则
11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111
122
a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,1
22n a n n
∴=-<,
()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42??-????
,包含[]1,2,故A 正确;
对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22??-????
,包含[]1,2,故B 正确;
对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02??-????
,不包含[]1,2,故C 错误; 对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2
??-???
?
,不包含[]1,2,故D 错误,
故选:AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.
23.BD 【分析】
利用递推关系可得,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵, ∴时,, 化为:,
由于数列单调递减, 可得:时,取得最大值2. ∴的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】 本
解析:BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-,再利用数列的单调性即可得出答案. 【详解】 解:∵2
3
n n n S a +=
, ∴2n ≥时,1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-, 化为:112
111
n n a n a n n -+==+--, 由于数列21n ??
?
?-??
单调递减, 可得:2n =时,
2
1
n -取得最大值2. ∴1
n n a a -的最大值为3. 故选:BD . 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
24.AD 【分析】
分类讨论大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得,则的最大值为. B ,C ,错误. 故选:AD. 【点睛】
解析:AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意. ③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .
∴B ,C ,错误.
故选:AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
25.AC 【分析】
由,可得,且,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解:因为,所以,且,
所以数列的公差,且数列中Sn 的最大项为S5,所以A 正确,B 错误, 所以,,
所以C 正确,D 错误, 故选:AC
解析:AC 【分析】
由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,
所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()
5()02a a S a a +=
=+>,11111611()1102
a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC
26.BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: ,得是等差数列,当时不是等比数列,故错; 选项B: ,,得是等差数列,故对;
选项C: ,,当时也成立,是等比数列
解析:BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立,
12(1)n n a -∴=?-是等比数列,故对;
选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈是等差数
列,故对; 故选:BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.
27.BC 【分析】
根据等差数列的前项和性质判断. 【详解】
A 错:;
B 对:对称轴为7;
C 对:,又,;
D 错:,但不能得出是否为负,因此不一定有. 故选:BC . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列
解析:BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断. 【详解】
A 错:67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+<;
B 对:n S 对称轴为
n =7;
C 对:6770S S a >?<,又10a >,887700a S a d S ??<<>;
D 错:6770S S a >?<,但不能得出6a 是否为负,因此不一定有56S S >. 故选:BC . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和性质,(1)n S 是关于n 的二次函数,可以利