纳维-斯托克斯方程

纳维－斯托克斯方程

纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的

关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。

这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。

对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

目录

? 1 基本假设

o 1.1 随体导数

o 1.2 守恒定律

? 1.2.1 连续性方程

? 1.2.2 动量守恒

? 2 方程组

o 2.1 一般形式

? 2.1.1 方程组的形式

? 2.1.2 闭合问题

? 3 特殊形式

o 3.1 牛顿流体

o 3.2 宾汉（Bingham）流体

o 3.3 幂律流体

o 3.4 不可压缩流体

? 4 参看

? 5 参考文献

? 6 外部链接

基本假设

在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，我们必须首先对流体的性质作几个假设。第一个假设是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。

该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为

，而其表面记为。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。

随体导数

运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。因此，当作微分时必须区分两种情况。第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。第二种情况称为实质或拉格朗日导数。例子请参看随体导数条目。

随体导数定义为算子（operator）：

其中是流体的速度。方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。这个效应称为移流（advection）。

L的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：

因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。

因为这个表达式对于所有成立，它可以简化为：

对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），给出了正确的共动时间导数。

守恒定律

主条目：守恒定律

NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。

在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：

?质量

?能量

?动量

?角动量

连续性方程

质量的守恒写作：

其中

是流体的密度。

在不可压缩流体的情况不是时间或空间的函数。方程简化为：

动量守恒

动量守恒写作：

注意是一个张量，代表张量积。

我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：

我们可以认出这就是通常的F=m a。

方程组

一般形式

方程组的形式

纳维-斯托克斯方程的一般形式是：

关于动量守恒。张量代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，是一个对称张量。一般来讲，我们有如下形式：

其中是法向约束，而是切向约束。

迹在流体处于平衡态时为0。这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。

我们再加上连续性方程：

对于处于平衡的液体，的迹是3p。

其中

p是压强

最后，我们得到：

其中是的非对角线部分。

闭合问题

这些方程是不完整的。要对它们进行完备化，必须对的形式作一些假设。例如在理想流体的情况分量为0。用于完备方程组的方程是状态方程。

再如，压强可以主要是密度和温度的函数。

要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。

的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。它们代表垂直和剪切约束。是对称的，除非存在非零的自旋密度。

所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体特殊形式

这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。

牛顿流体

主条目：牛顿流体

在牛顿流体中，如下假设成立:

其中

是液体的粘滞度。

其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：

动量守恒：

质量守恒：

因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。

能量守恒：

其中：

假设一个理想气体：

上面是一个６个方程６个未知数的系统。（u，v，w，T，e 以及）。

宾汉（Bingham）流体

主条目：宾汉流体

在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：

那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。牙膏是一个例子。

幂律流体

主条目：幂律流体

这是一种理想化的流体，其剪切应力，，由下式给出

不可压缩流体

主条目：不可压缩流体

其纳维－斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)为

动量守恒和

质量守恒。

其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项(convective terms)为非线性形式。对流加速度(convective acceleration)来自于流体流动随空间之变化所产生的速度改变，例如：当流体通过一个渐缩喷嘴(convergent nozzle)时，流体产生加速之情况。由于此项的存在，对于暂态运动中的流体来说，其流场速度变化不再单是时间的函数，亦与空间有关。

另外一个重要的观察重点，在于黏滞力(viscosity)在流场中的以流体速度作拉普拉斯运算来表现。这暗示了在牛顿流体中，黏滞力为动量扩散(diffusion of momentum)，与热扩散方程非常类似。

;

是散度，

是克罗内克记号。

若在整个流体上均匀，动量方程简化为

（若这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。

如果现在再有为常数，我们得到如下系统：

连续性方程（假设不可压缩性）：

N-S方程的简化版本。采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结

果。依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。

参看

?雷诺数

?马赫数

?雷诺平均纳维－斯托克斯方程

参考文献

?Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR.

?Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8.

外部链接

?克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖

o该问题的正式命题

?纳维-斯托克斯方程的一个推导

?纳维-斯托克斯方程的推导

?NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页

纳维-斯托克斯方程（一些精确解），位于EqWorld:数学方程的世界

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资料分析常用计算方法与技巧

国家公务员考试行政职业能力测验资料分析试题，有相当一部份考生能够理解了文章意思后，列出相应的表达式，但由于计算过程的相对复杂，使得不少考生因此而失分。同时，计算类题型在资料分析试题中所占的比重也比较大，因此如何在有限的时间内快速计算，是最终取得好成绩的至关重要的因素。基于这一问题，曾老师通过实例说明了在公务员考试行政职业能力测验资料分析题中实现快速计算的技巧。 一、国家公务员考试资料分析常用计算方法与技巧 "十五"期间某厂生产经营情况

第一章资料分析综述 第一节命题核心要点 一、时间表述、单位表述、特殊表述 无论哪一种类型的资料，考生对于其时间表述、单位表述、特殊表述都应特别留意。因为这里往往都蕴含着考点。 常见时间表述陷阱： 1.时间点、时间段不吻合，或者涉及的时间存在包含关系; 2.月份、季度、半年等时间表述形式; 3.其他特殊的时间表述。 【例】资料：中国汽车工业协会发布的2009年4月份中国汽车产销量数据显示，在其他国家汽车销售进一步疲软的情况下，国内乘用车销量却持续上升，当月销量已达83.1万辆，比3月份增长7.59%，同比增长37.37%。 题目：与上年同期相比，2009年4月份乘用车销量约增长了多少万辆? 常见单位表述陷阱： 1.“百”“千”“百万”“十亿”“%”等特殊的单位表述;

2.资料与资料之间、资料与题目之间单位不一致的情况; 3.“双单位图”中务必留意图与单位及轴之间的对应关系。 【例】资料：2008年，某省农产品出口贸易总额为7.15亿美元，比上年增长25.2%。 题目：2008年，该省的对外贸易总额约为多少亿美元? 2008年，该省的绿茶出口额约为多少万美元? 常见特殊表述形式： 1.“增长最多”指增长绝对量最大;“增长最快”指增长相对量即增长率最大; 2.凡是不能完全确定的，则“可能正确/错误”都要选，“一定正确/错误”都不能选; 3.“每……中……”“平均……当中的……”，都以“每/平均”字后面的量作分母; 4.“根据资料”只能利用资料中的信息;“根据常识”可以利用资料外的信息。 二、适当标记、巧用工具;数形结合、定性分析;组合排除、常识运用 资料分析答题的过程当中需要做“适当标记”，一切以便于自己做题为准。适当合理地运用直尺、量角器等工具辅助答题。 直尺使用法则： ◆在较大的表格型材料中利用直尺比对数据。 ◆柱状图、趋势图判断量之间的大小关系时用直尺比对“柱”的长短或者“点”的高低。 ◆在像复合立体柱状图等数据不易直接得到的图形材料中，可以用尺量出长度代替实际值计算“增长率”。

资料分析公式及例题最全

一、增长 增长量 = 现期量 — 基期量 增长率 = 增幅 = 增速 = 增长量 ÷ 基期量 =（现期量 — 基期量）÷基期量 年均增长量、年均增长率： 如果初值为A ，第n+1年增长为B ，年均增长量为M ，年均增长率为x?%，则： M= B?A n B =A(1+x ?%)n 增长量 = A 1+m%×m% ， 当m >0 时，m 越大，m%1+m% 越大。 现期量高，增长率高，则增长量高。 同比增长、环比增长 同比增长：与上一年的同一时期相比的增长速度。 环比增长：与紧紧相邻的上一期相比的增长速度。 乘除法转化法： 当0

长38.7%。 问题：2009年我国进出口贸易总额约为（ ）万亿美元。 A.1.6 B.2.2 C.2.6 D.3.0 二、比重 比重 = 分量÷总体量×100% 已知本期分量为A ，增长率为a%，总量为B ，增长率为b%，则： 基期分量占总量的比重： A ÷(1+a%) B ÷(1+b%)=A B ×1+b%1+a% 如果a%>b%，则本期A 占B 的比重( A B )相较基期( A B × 1+b%1+a% )有所上升。 如果a%

资料分析比重增长率问题秒杀公式总结11

资料分析比重增长率问题秒杀公式总结 比重增长率问题 比重增长率问题题型表现形式： 已知今年量A，增长率是X;今年量B，增长率是Y. 求今年A占B的比重比去年增长了（）% 神算老周分析:此类题型曾在历年国考、省考中多次出现，虽然近年来出现的频率降低，但仍是一类经典题型，而且此类题有一定难度，如果不掌握方法，往往会被出题人的这个问法给绕晕或者解出来要较长时间。今天，老周在前几天给大家总结比重增长量的基础上，再来对这一类题型做一个总结。 公式总结：(a-b)/b （这里a＝A对应的增长率X + 1 b= B对应的增长率Y + 1）

关于求比重增长率的题型示例 2009年国考行测真题 全国2007年认定登记的技术合同共计220868项，同比增长7％；总成交金额2226亿元，同比增长22.44％；平均每项技术合同成交金额突破百万元大关，达到100.78万元。 136、2007年平均每项技术合同成交金额同比增长率为多少（） A.8.15％ B.14.43％ C.25.05％ D.35.25％ 神算老周解析： 公式应用：(a-b)/b= (1.2244-1.07) /1.07 =0.1544/1.07 比15.44%小一点，显然是AB之间，A太小，不可能是A。选B 在计算过程中,a-b中的1相互抵消,因为我们计算分子时,直接拿两个增长率一减就 行. (22.44%-7%)

（或直接用截取法把1.07变为1.00，分子0.1544变为0.1444.选B。关于截取法的应用这里不详述，我在论坛里有相关帖子，大家可找找，也可下载附件，里面我附上视频讲解地址。） 2011年江苏B类行测真题 东部地区2010 年商品房销售面积和销售额增长情况 地区商品房销售面积 （万平方米） 销售面积增速 （％） 商品房销售额 （亿元） 销售额增速 （％） 东部地区50822.01 4.133203.34 10.1 东部地区2010 年商品房单位面积平均售价增速为（）。

公务员考试资料分析公式大全

在资料分析题目中涉及很多统计术语与公式,小编已经整理好了,拿去背吧。 ①基期量:对比参照时期的具体数值 ②现期量:相对于基期量 ③增长量:现期量相对于基期量的变化量 ④平均增长量:一段时间内平均每期的变化量 ⑤增长率:现期量相对于基期量的变化指标 如果基期量就是A,经过n个周期变为B(末期量),年均增长率为r,则可得出: 注意:利用上述公式算出的年均增长率略大于实际值,且当|x|>10%时,利用上述公式计算存在一定的误差。已知第二期与第三期的增长率,求第三期相对于第一期的增长率。

已知部分的增长率,求整体的增长率。 如果A的增长率就是a,B的增长率就是b,“A+B”的增长率就是r,其中r介于a、b之间,且r数值偏向于基数较大一方的增长率(若A＞B,则r偏向于a;若A＜B,则r偏向于b)。 同比增长:与历史同期相比的增长情况。 环比增长:与相邻上一个统计周期相比的增长情况。 百分数:也叫百分率或者百分比,例如10%,12%。 百分点:以百分数形式表示相对指标的变化幅度,增长率之间作比较时可直接相加减。 现期平均数 基期平均数:A为现期总量,a为对应增长率;B为现期份数,b为对应增长率。 平均数的增长率

部分在整体中所占的百分比,用个百分数或者“几成”表示。 “一成”代表的就是10%,“二成”代表的就是20%,以此类推。 A就是B的多少倍,A÷B; A比B多多少倍,(A－B)÷B=A/B－1。 翻几番变为原来数值的倍。例如,如果翻一番,就是原来的2倍;翻两番就是原来的4倍;翻三番就就是原来的8倍。 描述某种事物相对变化的指标值。(假设基数为100,其她值与基期相比得到的数值) 资料分析就是行测考试中非常重要的一大模块,对于这一模块而言,难度适中,但计算量偏大,许多小伙伴会花费大量的时间。 做题的速度与准确率就是建立在领略题意并熟悉统计术语的基础上,因此,公考通()就资料分析中容易混淆且尤为重要的统计术语作简要的辨析。 百分数与百分点 1、百分数(百分比) 表示量的增加或者减少。 例如,现在比过去增长20%,若过去为100,则现在就是120。 算法:100×(1+20%)=120。 例如,现在比过去降低20%,如果过去为100,那么现在就就是80。 算法:100×(1-20%)=80。 例如,降低到原来的20%,即原来就是100,那么现在就就是20。 算法:100×20%=20。

资料分析精选100题 (1)

卧龙光线资料分析 一、增长率问题 资料分析最基本的，最离不开的就是增长率问题，这类问题有考察计算能力，有考察计算技巧，也会设置陷阱让你去踩，其实考察的都是基本功。也许你觉得这种题型并不难，但是千万不要忘了，简单题是给你节约时间去做复杂问题的，一分钟一题的资料分析，很多人时间不够用，就是因为没能从送分的题目中攒出时间。 增长率问题在真题中往往就通过下面四种方法来考察，一份真题中至少出现其中的两题，希望你们能踏踏实实地把这几个技巧牢记。 1、名义增速与实际增速 近年来，越来越多的经济学统计都在用实际增速来统计，实际增速又称之为“扣除价格因素的增速”，而名义增速则是用两年的绝对数值计算得出。比如在13和14年的国民经济与社会发展统计公报中，14年国民生产总值为636463亿元，增速为7.4%，而13年国民生产总值为568845亿元。其中7.4%就是实际增速，用636463除以568845计算出来的11.9%的增速就是名义增速。将这两者关联的是价格指数，公式表示为： 名义发展速度/实际发展速度=价格指数 写通俗了就是：（名义增速-1）/(实际增速-1)=价格增速-1 2、当月增速与累计增速 近年来的资料分析题考了一个全新的概念，即累计增速。如果已知某年1-5月的产值累计量为x，增速为a，1-4月的累计量为y，增速为b，我们可以得到： 今年5月产值为x-y 去年5月产值为x/(1+a) –y/(1+b) 5月产值的增速为（x-y）/( x/(1+a) –y/(1+b))-1 前三者都是需要计算的，而目前考的最多的知识点常常是比较，若5月产值的增速为c，则a一定介于b和c之间。 3、年均增长率（量）的问题 《中国统计年鉴》（2013）内所列的平均增长速度，除固定资产投资用“累计法”计算外，其余均用“水平法”计算。从某年到某年平均增长速度的年份，均不包括基期年在内。如建国四十三年以来的平均增长速度是以1949年为基期计算的，则写为1950-1992年平均增长速度，其余类推。 所以这类题目考的就是概念，比如问你2005-2009年的年均增长量，其实05年的增长量要用05-04年增长量来算，因此这个年均增长量应该是09-04年的增长量除以（9-4），切记带一个“增”字一定要用到上一年数据，带年份跨度的增长率计算同样也是这样。而这类题型通常以增长率不变,算下期数据的方式来考察考生。 题目中如果给出了2005年和2010年的数据，如保持年均增长率不变，十二五期末(2015年)的值就是2010年数据的平方除以2005年。 适用情形：这里的2010年正好是2005年和2015年的中间年份。 4、增长量计算技巧 很多资料分析第一题会给出当年数据及增长率，让你算增量。 如果我们把增长率写成1 a 的形式，增量=今年的值× 1 a+1 。

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在资料分析题目中涉及很多统计术语和公式，小编已经整理好了，拿去背吧。 No.1 基期、现期、增长量、增长率 ①基期量：对比参照时期的具体数值 ②现期量：相对于基期量 ③增长量：现期量相对于基期量的变化量 ④平均增长量：一段时间内平均每期的变化量 ⑤增长率：现期量相对于基期量的变化指标 No.2 年均增长率 如果基期量是A，经过n个周期变为B（末期量），年均增长率为r，则可得出： 注意：利用上述公式算出的年均增长率略大于实际值，且当|x|>10%时，利用上述公式计算存在一定的误差。No.3 间隔增长率 已知第二期和第三期的增长率，求第三期相对于第一期的增长率。

No.4 混合增长率 已知部分的增长率，求整体的增长率。 如果A的增长率是a，B的增长率是b，“A+B”的增长率是r，其中r介于a、b之间，且r数值偏向于基数较大一方的增长率（若A＞B，则r偏向于a；若A＜B，则r偏向于b）。 No.5 同比增长和环比增长 同比增长：与历史同期相比的增长情况。 环比增长：与相邻上一个统计周期相比的增长情况。 No.6 百分数、百分点 百分数：也叫百分率或者百分比，例如10%，12%。 百分点：以百分数形式表示相对指标的变化幅度，增长率之间作比较时可直接相加减。 No.7 平均数 现期平均数 基期平均数：A为现期总量，a为对应增长率；B为现期份数，b为对应增长率。

平均数的增长率 No.8 比重 部分在整体中所占的百分比，用个百分数或者“几成”表示。 “一成”代表的是10%，“二成”代表的是20%，以此类推。 No.9 倍数 A是B的多少倍，A÷B； A比B多多少倍，（A－B）÷B=A/B－1。 No.10 翻番 翻几番变为原来数值的倍。例如，如果翻一番，是原来的2倍；翻两番是原来的4倍；翻三番就是原来的8倍。 No.11 指数 描述某种事物相对变化的指标值。（假设基数为100，其他值与基期相比得到的数值） 资料分析是行测考试中非常重要的一大模块，对于这一模块而言，难度适中，但计算量偏大，许多小伙伴会花费大量的时间。 做题的速度和准确率是建立在领略题意并熟悉统计术语的基础上，因此，公考通（https://www.doczj.com/doc/5f15294740.html,）就资料分析中容易混淆且尤为重要的统计术语作简要的辨析。 百分数与百分点 1.百分数(百分比) 表示量的增加或者减少。 例如，现在比过去增长20%，若过去为100，则现在是120。 算法：100×(1+20%)=120。 例如，现在比过去降低20%，如果过去为100，那么现在就是80。

范德瓦耳斯气体的热力学性质3

范德瓦耳斯气体的热力学性质 陈东 2008061144 (黔南民族师范学院物理与电子科学系，贵州都匀 558000) 【摘要】讨论范德瓦尔斯气体的内能、熵、焓和自由能，给出相应的数学表达式，并对相应问题进行讨论。【关键词】范德瓦尔斯气体；内能；熵；焓；自由能；绝热过程；节流过程 Van der Waals gas thermodynamic properties Chen Dong 200806114 ( Qiannan Normal College for Nationalities Department of physics and electronic science, Guizhou Tuyun 558000) [ Abstract ] to discuss Van Der Waals gas internal energy, entropy, enthalpy and free energy, the corresponding mathematical expressions, and the relative problems are discussed. [ Key words ] Van Der Waals gas; energy; entropy; enthalpy; free energy; adiabatic process; throttling process 理想气体是反映各种实际气体在压强趋于零时所共有的极限性质的气体，是一种理想模型。在一般的压强和温度下，可以把实际气体近似地当作理想气体出来，但是在压强太大或温度太低（接近于其液化温度）时，实际气体与理想气体有显著的偏离。为了更精确地描述实际气体的行为，人们提出很多实际气体的状态方程，其中最重要、最有代表性的是范德瓦尔斯方程。 1、范德瓦尔斯气体的状态方程 范德瓦尔斯方程是在理想气体状态方程的基础上修改而得到的半经验方程。理想气体是完全忽略除分子碰撞瞬间外一切分子间的相互作用力的气体，而实际气体就不能忽

资料分析常用公式

● 给人改变未来的力 量 资料分析常用公式 一尧基本概念中常用公式(一)增长量 1.定义 增长量:说明两个同时期发展水平增减差额的指标。它说明社会经济现象在一定时期内增长(或减少)的绝对量。 2.计算公式 增长量计算公式为:对比期水平-基期水平 (二)同比和环比 1.定义 同比指本期发展水平与去年同期发展水平相比较的变化幅度。环比指本期发展水平与上期发展水平相比较的变化幅度。2.计算公式 同比增长速度(即同比增长率本期数-去年同期数×100% 环比增长速度(即环比增长率)=本期数-上期数上期数 ×100% (三)平均增长量/平均增长率 1.定义 平均增长量:又称“平均增减量”,用来说明某种现象在一定时期内平均每期增长的数量。平均增长率:一段时间内某一数据指标平均每段时期的增长幅度。当这个时期为年时则为年均增长率,公务员考试中通常考查的是平均增长率。 年均增长率是指一段时间内某一数据指标平均每年的增长幅度。2.计算公式 平均增长量计算公式为:总增长量 时间 如果第一年的数据为A ,第n +1年为B ,则年均增长率x = B A n √ -1。

●给人改变未来的力量 (四)比重 1.定义 比重指的是总体中某部分占总体的百分比。 2.计算公式 比重=分量 总量×100% (五)百分数/百分点 1.定义 百分数也称百分比,是相对指标最常用的一种表现形式。它是将对比的基数抽象化为100而计算出来的相对数,用“%”表示。它既可以表示数量的增加,也可以表示数量的减少。运用百分数时,也要注意概念的精确。 百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标,如:速度、指数、构成等的变动幅度。它是分析百分数增减变动的一种表现形式。 倍数是关于两个有联系的指标的对比,将对比的基数抽象化为1而计算出来的相对数就是倍数,常常用于比数(分子)远大于基数(分母)的场合。 翻番是指数量加倍。如1变为2(1×2),2变为4(2×2),3变为6(3×2)……A变为A×2,翻两番为(A×2)×2=A×22,是指原基数在翻一番的基础上再翻一番。 2.计算公式 一般来说,同一组数据的倍数和增长率存在如下关系:增长率=(倍数-1)×100%。 2

范德瓦耳斯

范德瓦尔斯 范德瓦尔斯（Johannes Diderik van der Waals） １８３７年１１月２３日生于荷兰的莱顿，父亲名叫雅各布.范德瓦尔斯，母亲名叫伊丽莎白·范登伯格（Ｅｌｉｓa ｂｅｔｈvaｎｄｅｎＢｕｒｇ）。范德瓦尔斯在家乡结束了初等教育后，成为一名中学教员。虽然他因不懂古典语言而未能参加大学人学考试，但在１８６２—１８６５年期间，他利用业余时间在莱顿大学继续学习，并获得了数学和物理学的教师证书。 １８６４年，范德瓦尔斯任德文特一所中学的教师。１８６６年到海牙，先当该城一所中学的教师，后任该校校长。 新的立法取消了理工科大学生人学前必须受古典语言教育的规定，使范德瓦尔斯能够参加大学考试。１８７３年他以《论气态和液态的连续性》这篇论文取得了博士学位，使他立刻进入了第一流物理学家的行列。在这篇论文中，他提出了包括气态和液态的“物态方程”，论证了气液态混合物不仅以连续的方式互相转化，而且事实上它们具有相同的本质。关于范德瓦尔斯第一篇论文中提出的这个结论的重要性，在Ｊ．Ｃ．麦克斯韦的《自然》一书中有这样的评价：“毫无疑问，范德瓦尔斯的名字将很快出现在第一流的分子科学家的名单中”，“可以肯定，不止一个科学家正在注意学习他的论文所用的…低地荷兰语?”（麦克斯韦可能想说“低地德语”，但这是不对的，因为荷兰语有权自成为一种语言）。后来，他就这个课题和与此有关的课题又写了大量论文，发表在《荷兰皇家科学院学报》和《荷兰年鉴》上，并被译成多种文字。 １８７６年颁布了新的高等教育法，将阿姆斯特丹古老的雅典语学

院扩充成综合大学，范德瓦尔斯被任命为该校第一名物理学教授。他和同事范托夫（Ｖａｎ… ｔＨoff）、遗传学家休戈·德弗里斯（Ｈｕｇｏｄｅｖｒｉｅｓ）使该校声誉大增。尽管各处向他发出盛情的邀请，但他一直忠实地留在该校，直到退休。 范德瓦尔斯对他论文的课题发生兴趣的直接原因，是克劳修斯的论文中将热看成是一种运动现象，使他想对安德鲁斯１８６９年证明气体存在临界温度时所作的实验寻找一种解释。范德瓦尔斯天才地发现，必须考虑分子的体积和分子间的作用力（现在一般称为范德瓦尔斯力），“才能建立气体和液体的压强、体积、温度之间的关系。 范德瓦尔斯经过艰苦的努力，于１８８０年发表了第二项重大发现，当时他称之为“对应态定律”。这个定律指出：如果压强表示成临界压强的单调函数，体积表示成临界体积的单调函数，温度表示成临界温度的单调函数，、就可得到适用于所有物质的物态方程的普遍形式，因为在这个方程中，ａ，ｂ，产这三个常数可用特殊物质的临界值来表示，因此在方程中消失。正是由于在这个定律的指导下进行实验，Ｊ．杜瓦才在１８９８年制成了液态氢，翁纳斯在１９０８年制成了液态氦。翁纳斯因研究低温和制成液态氦而荣获１９１0的诺贝尔物理学奖。他在１９１０年写道：“我们一直把范德瓦尔斯的研究看成是实验取得成功的关键，莱顿的低温实验室是在他的理论影响下发展起来的。十年后，即１８９０年，关于“二元溶液理论”的第一篇论文在《荷兰年鉴》上刊出，这是范德瓦尔斯的又一项重大成就。他把物态方程和热力学第二定律结合起来，创造了一种图示法，以吉布斯在“非均匀物质的平衡”这篇论文中首次提出的形式用一个面表示他的数学公式。为纪念吉布斯，他把这个面称为“ｗ面”，因为吉布斯用希腊字母ｗ作为自由能的符号，他认为自

对纳维斯托克斯方程的隐式速度解耦过程

对纳维斯托克斯方程的隐式速度解耦过程 2.1 介绍 随着直接数值模拟和大涡模拟这两种数值模拟方法越来越进步，出现了很多求解不可压缩纳维斯托克斯方程的有效数值算法，其成功的核心是对耦合的不可压缩动量方程和连续性方程解耦。 对文献的精读发现，之前的许多方法使用了半隐式的方案，即把隐式方案应用于粘性条件，显式方案应用于非线性对流条件，时间步通过CFL 数控制。Choi 和Moin 在分步法的基础上采用了一个完全隐式的方法，首先对纳维斯托克斯方程在时间上离散，然后进行空间离散，用这种方法得到的中间速度分量是耦合的，后来使用牛顿迭代方法得到了中间速度分量。为了防止迭代过程，Rosenfeld 提出了一个非耦合的隐式解算器[8]，他设计了三个时间步的线性化方案，这个方案需要n-1步和n 步的速度场来得到n+1步的速度，在不忽略时间二阶精度和稳定性的基础上，控制方程被解耦。 在最近的研究中，Kyoungyoun Kim ，Seung-Jin Baek 和Hyung Jin Sung[9] 对解决不可压缩湍流的纳维斯托克斯方程发展出了一种有效的数值计算方法，这个算法提出了一个新的隐式速度解耦过程，采用完全隐式的时间推进，在块LU 分解和近似分解的基础上，速度项和压力项被解耦，同时保留了时间二阶精度，另外，由于隐式的对流条件，中间速度是耦合的，所以重点放在了对中间速度的解耦上，这就需要对第n 个时间步的速度近似分解，这些解耦过程同样保留了时间二阶精度。本文数值模拟的过程中也用到了这种解耦过程，第二部分将会对目前的数值解耦方法及方程的近似分解过程做一个简要的介绍，在第三部分，将会把这个解耦过程应用于槽道流，并用直接数值模拟进行验证，画出结果进行比较分析。 2.2 数值方法 不可压缩的无量纲纳维斯托克斯方程为： 1,(1,2,3) Re i i i j j i j j u u p u u i t x x x x ?????+=-+=????? (1) 0i i u x ?=? (2)

公务员行测资料分析题常用指标及计算公式

公务员行测资料分析题常用指标及计算公式 统计图表知识收集与分析 产业 第一、第二、第三产业，是根据社会生产活动历史发展的顺序对产业结构的划分。 它大体反映了人类生活需要、社会分工和经济发展的不同阶段，基本反映了有史以来人类生产活动的历史顺序，以及社会生产结构与需求结构之间相互关系，是研究国民经济的一种重要方法。 产品直接取自自然界的部门称为第一产业，即农业，包括种植业、林业、牧业和渔业；对初级产品进行再加工的部门称为第二产业，即工业（包括采掘工业、制造业、自来水、电力蒸汽、热水、煤气）和建筑业；为生产和消费提供各种服务的部门称为第三产业，即除第一、第二产业以外的其他各业。根据我国的实际情况，第三产业可以分为两大部门：一是流通部门，二是服务部门。 此外，通常说的办“三产”，其内容并不一定都是第三产业，把企事业单位创办的主业之外的营利性的经济实体都称之为“三产”是不确切的。例如：所办的实体如是养牛场则属于第一产业，如果是工厂、施工队则属于第二产业，如果是商店、招待所、咨询机构、游艺厅等才属于第三产业。 三次产业各年度的比重（%） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 第一产业 8.1 6.9 6.2 6.9 5.8 5.2 4.7 4.3 4.0 第二产业 52.2 48.7 48.0 46.1 44.1 42.3 40.8 39.1 38.9 第三产业 39.7 44.4 45.8 47.0 50.1 52.5 54.5 56.6 57.1

第三产业是由流通部门和服务部门的有关行业组成，它的基本属性决定了第三产业必须为第一产业和第二产业提供各种配套服务 。在我国，由于长期受计划经济的影响，第三产业没有受到足够的重视，以致长期处于滞后状态。80年代以来，随着我国改革开放的不断深入，第三产业迅速恢复和发展起来，成为国民经济的重要组成部分。但第三产业的发展和其它经济产业一样，也必须遵循客观发展的规律。就现阶段来看，在我国第一和第二产业仍占经济的主导地位，对国民经济的支配作用并没有改变，而第三产业正处在培育和发展阶段。因此，还不能说第三产业在国民经济中的比重越高越好，而应该和其它产业保持适当的比例关系，相互协调，共同促进国民经济的健康发展。如果片面强调第三产业的作用，不切实际地提高第三产业增加值占国内生产总值的比重，就可能出现“泡沫”经济现象，难以保持国民经济持续、稳定、健康发展。同时，第三产业的发展还必须同国民经济的整体实力相适应，从世界范围来看，经济发达地区第三产业比重较高，而经济欠发达地区则比重较低。北京1995年第三产业增加值占全市GDP的比重突破50%，1998年达到56.6%，在全国30个省会城市中居第一位。“九五”期间，北京经济继续坚持“三、二、一”产业发展方针，大力发展第三产业，努力提高第三产业在全市GDP的比重，这是一个长远的发展战略。 第三产业增加值占国内生产总值比重（%） 总产值、净产值、增加值与国内生产总值究竟有什么区别与联系？ 国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内（通常为一年）生产活动的最终成果，即所有常住机构单位或产业 部门一定时期内生产的可供最终使用的产品和劳务的价值。国内生产总值能够全面反映全社会经济活动的总规模，是衡量一个国家或地区经济实力，评价经济形势的重要综合指标。世界上大多数国家都采用这一指标。 总产值、净产值和增加值都是人们用来衡量社会生产活动总成果的三个重要总量指标。以工业生产为例，可以说明总产值、净产值和增加值三者之间的区别和联系。 工业总产值是指工业企业在一定时期内以货币表现的工业企业生产的产品总量，也就是全部工业产品价值的总和。它既包括在生

资料分析公式总结

资料分析公式总结 1.阅读，读时间、读材料、读名词，读数据; 2.根据题目寻找目标数据; 3.找考点，带入对应公式; 4.根据列式使用合适计算方法，找出选项。 方法步骤都对啊，为什么速度上不去呢?主要原因有四个方面： 1.读题慢，关键名词半天找不到; 2.列式慢，关键时刻公式记忆一团麻; 3.找数据慢，众里寻他千百度，蓦然回首，数据还是不见了; 4.计算慢，加减乘除已惘然。 关于读题慢和列式慢，公式虽然掌握，但是对于公式和材料的衔接不娴熟，拿到题目反应不过来考点和对应列式。建议多拿题目练习考点的精确瞄准度，公式用口诀的形式熟练记忆。使用公式口诀一定要非常娴熟，例如看见增速、增幅、增长百分之几等各种增长率的形式都要能反应出"增长量除以基期值"或"现期除以基期减一"，见到求增长量，想到现期和增长率相结合的公式及计算方法，都要达到类似看到《新白娘子传奇》想到赵雅芝的熟悉程度。 关于找数据慢，有可能是本身没有形成阅读习惯，阅读速度偏慢，阅读时先锁定题目要找的关键词，用题目的1-2个关键词去材料中寻找，用跳跃式方法阅读材料。 关于计算慢原因，估算方法掌握不熟练或计算能力偏弱。想要每种估算方法运用熟练，先用不同估算方法做100道相同题目，把估算

方法操作反复使用并熟练使用，首数法、特征数字法、有效数字法和错位加减法等。 当然，有时候资料分析题目出得比较难、比较偏，这个不是一个同学的问题，所有人面对的题目都一样，所以不用特别在意。关于出题人的陷阱，也不要太担心，平时多做做有坑的题目，经验积累多了就不怕了，考场上依然能反应。资料分析公式总结 (一)增长相关公式 1.增长率计算：现期值/基期值-1，对应方法：首数法，分子不变，分母取前三位有效数字，根据选项选结果。 2.增长量计算：现期值×增长率/(1+增长率)，对应方法：特征数字法：百分数转变成分数，进行约分计算;错位加减法：通过加减数字把分式中分子和分母凑相等而进行约分计算。 3.基期值计算：现期值/(1+增长率)，对应方法：首数法，特征数字法 4.年均增长量：(末期值-初期值)/年份差 5.年均增长率： ，n=年份差，对于方法：二项式展开：百分数的平方到多次方部分近似为0，从而进行约分计算，估算公式有：年均增长量/初期值;(末期值/初期値-1)/年份差;各年增长率的平均值，均找以上结果的较小的数值为结果。

论文正文

用平均场近似推导实际气体范德瓦耳斯方程 雒彬 西南大学物理科学与技术学院电子信息工程学院重庆 400715 摘要：范德瓦耳斯方程是1873年提出来的，很多真实气体的性质与用范德瓦耳斯方程算得的结果很接近，所以范氏理论是一个很成功的理论。本文先对范德瓦耳斯本人对其方程的推导进行回顾，然后就对用吸引刚球模型近似描述的实际气体的正则配分函数作平均场近似处理, 在较为恰当的假设下近似地推导出了范德瓦耳斯方程。 关键词：范德瓦耳斯方程,平均场近似,推导,比较 Using Approximate Method of Mean-field to get the equation of Van der Waals Luo Bin Southwest China Normal University,School of Physics Science and Technology School of Electronics and Information Engineering Chongqing 400715 Abstract: The equation of Van der Waal is put forward in 1873, the nature of many kind of real gas is similar to the results of the equation of Van der Waals, so the theory of Van der Waals is Successful. In this dissertation, first we review the course of Van der Waals deriving his famous equation of Van der Waals; then , using Approximate Method of Mean-field deal with canonical partition function of the real gas that is described approximatively by the model of Attractive-Just-balls, Final, get the equation of Van der Waals under condention supposing. Key word: The equation of Van der Waals ,Approximate Method of Mean-field,get,compare

N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程

很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。 首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z ) ,,,(); ,,,(); ,,,();,,,(); ,,,(); ,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ 因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。前面u,v,w 是标量，是ν 在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。 ),(t r νν= M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ?之后，在M '点，速度为),(t t M ?+'ν 。根据

行测资料分析运算题常用方法：十字交叉法

行测资料分析运算题常用方法：十字交叉法 十字交叉法主要解决的就是比值的混合问题，在广东公务员考试的过程中，资料分析部分解题经常用的一种解题方法。它应用起来快速、准确、方便，为我们考试中秒杀题目提供了很大的助力。那么接下来中公教育专家跟大家一起来学习十字交叉法。 一、十字交叉法概述 十字交叉法是解决比值混合问题的一种非常简便的方法。这里需要大家理解“比值”“混合”这两个概念。比值：满足C/D的形式都可以看成是比值;混合：分子分母具有可加和性。 平均数问题、浓度问题、利润问题、增长率问题、比重等混合问题，都可以用十字交叉法来解决。 二、十字交叉法的模型： 在该模型中，需要大家掌握以下几个知识点： 1、a和b为部分比值、r为整体比值、A和B为实际量

2、交叉作差时一定要用大数减去小数，保证差值是一个正数，避免出现错误。这里假定a>b 3、实际量与部分比值的关系 实际量对应的是部分比值实际意义的分母。如：平均分=总分/人数，实际量对应的就是相应的人数;浓度=溶质/溶液，实际量对应的就是相应的溶液质量;增长率=增长量/基期值，实际量对应的就是相应的基期值。 4、在这里边有三组计算关系 (1)第一列和第二列交叉作差等于第三列 (2)第三列、第四列、第五列的比值相等 (3)第1列的差等于第三列的和 三组计算关系是我们应用十字交叉法解题的关键，一定要记住并且灵活应用。 三、四种考查题型 1、求a，即已知总体比值、第二部分比值、实际量之比，求第一部分比值。 例某班有女生30人，男生20人。期中的数学考试成绩如下，全班总的平均分为76，其中男生的平均分为70。求全班女生的平均分为多少? 中公解析：平均分=总分/人数，是比值的形式。此题中，男生的平均分和女生的平均分混合成了全班的平均分，是比值的混合问题，可以用十字交叉法来解题。

浅谈纳维-斯托克斯方程

材料工程基础 系别： 专业： 姓名： 学号： 班级：

浅谈纳维-斯托克斯方程 在我们所学习的《材料工程基础》的书中流体力学基础中提到动量平衡是流体运动的遵循的另一普遍规律，其含义是：对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。其数学表达式即为运动方程。 = 我们所学习的《材料工程基础》中的推导来看一下n-s 方程的具体细节： 设τ时刻控制体内的动量为ρu dxdydz ，则在ττ?+时刻控制体内的动量为 τρρ??+）（u d x d y d z u d x d y d z τ?。于是，控制体内的动量变化率为τ ρ??dxdydz u ）（。至于动量通量的净变化率，是经过六个控制面微元迁移动量的总和。在ABCD 面上，τ?时间内流入的动量为u u x ρdydz τ?。在EFGH 面上，τ?时间内流出的动量为u d y d z u x ρτ?+ (x ??udydz u x ρτ?）dx 。于是，τ?时间内经此两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u x x ρ(??τ?）。 同理，经AEHD 、BFGC 两相对面微元的动量净流出量为 dydzdx u x x ρ(??τ?），经AEFB 、DHGC 两相对面微元的动量净流出量为 dxdydz u u z z )ρ??τ?。于是，经全部控制面的恒定流动通量的净变化率： dxdydz z u u y u u x u u z u u y u u x u u dxdydz u u z u u y u u x z y x z y x z y x ])()(()()()([)])()??+??+??+??+??+??=??+??+??ρρρρρρρρρ将微元体中的动量增量速率和动量流出的净通量结合起来得到的方程右端的数学形式为dxdydz u u u ])([?+??τ ρ 下面计算作用的微元六面体上的力。作用于微元六面体上的力包含质量力和表面力。设A 点单位质量上的质量力为F ，则微元体上的质量力为Fdxdydz ρ最后计算表面力， 面元ABCD 左侧流体作用于微元体内流体的力为

国考盘点——资料分析计算题

国考盘点——资料分析计算题计算题是资料分析必考题型之一，但是一牵扯到计算，很多考生都觉得头疼，因为觉得计算难度大，耗时间，所以这个时候技巧就显得尤为重要，这里华图教育专家详细介绍比较实用的四种技巧，使得大家在考试时能够使用技巧来解题。 一、特征数字法 利用一些常用数据的数学特征，将百分数与近似分数进行相互转化的化简方法，用特征分数来代替原来复杂的数字，可以有效地减少计算量，大家要熟练掌握。 “多位特殊小数”及其对应分数： 33.3%1/3， 25%=1/4， 16.7%1/6 14.3%1/7， 12.5%=1/8， 11.1%1/9，9.1%1/11 【例】（北京2011） 俄罗斯是世界最大的管道天然气出口国，占管道天然气总出口量的27.8%，出口量为1764.8亿立方米，较2008年增长14.3%；俄罗斯天然气全部出口到欧洲国家，主要有德国（315亿立方米）、意大利（208亿立方米）、土耳其（172.6亿立方米）等。加拿大是世界第二大管道天然气出口国，出口量达922.4亿立方米，较2008年下降10.6%，全部出口到美国。 132.2009年俄罗斯管道天然气出口较上年增长了多少亿立方米？（） A. 110 B. 221 C. 332 D. 443 【答案】B 【解析】根据文段材料，出口量为1764.8亿立方米，较2008年增长14.3%，所以2009年俄罗斯管道天然气出口较上年的增长量为

，所以选择答案B。 二、乘除转化法 在计算中将“除法”转化为“乘法”，从而简化计算的计算技巧。 化除为乘近似计算公式： 其中右边估算值要比左边真实值小一些，且当r越小的时候（5%以内）近似效果越好。 【例2】（江苏2012）全年肉类总产量7957万吨，比上年增长0.4%。其中，猪肉产量5053万吨，下降0.4%；牛肉产量648万吨，下降0.9%；羊肉产量393万吨，下降1.4%。年末生猪存栏46767万头，增长0.7%；生猪出栏66170万头，下降0.8%。禽蛋产量2811万吨，增长1.8%。牛奶产量3656万吨，增长2.2%。 139.对2011年全国全年肉类总产量增量影响程度最小的是（ ）。 A. 猪肉产量 B. 牛肉产量 C. 羊肉产量 D. 其他肉类产 【答案】C 【解析】题中所谓对“总产量增量影响最小”，实际就是各类别变化量的绝对值最小，由题中数据可知，猪肉的变化量为

范德瓦耳斯和他的状态方程

范德瓦耳斯和他的状态方程 顾韶晖 宁波工程学院化学工程与工艺精化071班 摘要：在物理学发展史上，范德瓦耳斯对气一液流体系统做了开创性的研究工 作，建立了人类历史上第一个既能反映气、液各相性质，又能描述相变和临界现象的状态方程。范德瓦耳斯的理论成就和研究方法对热力学、统计力学和低温物理学的发展产生了重要而深远的影响。 关键词:范德瓦耳斯，状态方程 前言 状态方程是描述热力学系统平衡态的独立参量与温度之间的函数关系式，是物理学的一个重要研究内容。人类对状态方程的研究可以追溯到很早的年代。早在1662年和1679年，英国化学家玻意耳(Boyle R)和法国物理学家马略特(Mariotte)就分别提出了描述理想气体性质的状态方程。两个世纪后，范德瓦耳斯在克劳修斯热力学理论的启发下，通过考虑分子体积和分子间引力的影响，导出了描述实际气体性质的状态方程，即著名的范德瓦耳斯方程。范德瓦耳斯方程在历史上具有莫大的重要性，它是人类历史上第一个既能描述气、液各相性质，又能显示出相变的状态方程。由于它形式简单，物理意义清楚，成为热力学和统计物理学的重要应用对象。范德瓦耳斯也是第一个定量研究分子间相互作用的物理学家，他所使用的研究方法实际上就是后来所说的平均场方法，这一方法对铁磁、超导、超流等众多物理系统相变和临界现象的研究，对热力学和统计物理论的发展产生了重大影响[1]。 1 范德瓦耳斯的生平及科学成就 范德瓦耳斯(Johannes Diderik van der Waals)，荷兰人，1837年1月23日生于荷兰莱顿一个普通工人家庭。范德瓦耳斯早年家境不甚宽裕，在出生地完成了他的初等教育后，便做了一名小学教师。按照荷兰当时的法律，要进一步接受他所喜爱的自然科学的教育，就必须首先通过希腊文和拉丁文的考试。范德瓦耳斯在这方面的基础不够好，未能获得参加考试的资格。尽管如此，范德瓦耳斯并未放弃自己的努力。在1862-1865年期间，他利用业余时间在莱顿大学继续学业，并获得了数学和物理的教学资格。1864年，范德瓦耳斯被一所中学聘为教师。1866年，这是给范德瓦耳斯带来转机的一年。这一年，荷兰政府颁布的新法律取消了自然科学学科的大学生必须预先接受希腊文和拉丁文教育这一限制，使得范德瓦耳斯能够参加大学入学考试，并跨入了著名的莱顿大学攻读物理学[2]。 莱顿大学是荷兰的第一所大学，创建于1575年，是荷兰人民推翻西班牙殖民统治，赢得国家独立的象征。学校对教师和人才极度重视，鼓励不同学科自由竞争，允许来自不同宗教国家的学生来此求学。17—18世纪，莱顿大学以其在医学和数学上的卓越成就著称于世。正是由于莱顿大学开放、自由的学术风气，使得在1901-1920年诺贝尔物理学奖最初24名获奖人中，出自莱顿大学的物理学家就占了4位，他们是洛伦兹、塞曼、范德瓦耳斯和昂尼斯。