重庆市2015届模拟考试数学试题
（本卷共四个大题 满分150分 考试时间120分钟）
参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为???
? ?
?--a
b a
c a b 4422
，，对称轴为直线a
b x 2-
= 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、下列式子中成立的是（ ） A ．﹣|﹣5|＞4
B ． ﹣3＜|﹣3|
C ． ﹣|﹣4|=4
D ． |﹣5.5|＜5
2、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3、边长为3cm 的菱形的周长是（ ）
A ．6cm
B ．9cm
C ．12cm
D ．15cm 4、下列计算中，正确的是（ ）
A ．2a +3b =5ab
B ．（3a 3）2=6a 6
C ．a 6+a 2=a 3
D ．-3a +2a =-a 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板 的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合， 则∠1的度数为 75 度．
A ． ?60
B ．?55
C ．?65
D ．?75
6、期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映处的统计量是（ ） A ．
众数和平均数 B ． 平均数和中位数 C ． 众数和方差
D ． 众数和中位数
7、）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，
若S △BDE ：S △CDE =1：4，则S △BDE ：S △ACD =（ ）
A ． 1：16
B ．1：18
C ．1：20
D ．1：24
8、下列调查中，最适宜采用全面调查的是( )
A 、调查全国中小生心里健康状况；
B 、 了解我市火锅底料的合格情况；
C 、 了解一批新型远程导弹的杀伤半径
D 、了解某班学生对马航失联事件的关注情况； 9、若某几何体的三视图如图，则这个几何体是（ ）
10、小明一家自驾去永，下课后学生川“乐和乐都”主题公园游玩，汽车匀速行驶了一段路程，进入服务区加油，休息了一段时间，他们为了尽快赶到目的地，便提高了车速，很快到达了公园，下面能反映小明一家离公园的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系的大致图象是（ ）
O y
x
x
y
O O
y
x
x
y
O
D
C
B
A
11、平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由◇平移后得到的类似“中国结”
的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是（ ）
A 、 780
B 、 800
C 、820
D 、 840
12、如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P 、EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE =x （0＜x ＜2），给出下列判断：
A ．
B ．
C ．
D ．
D
E
O
A
C
B
①当x =1时，点P 是正方形ABCD 的中心；②当x =时，EF +GH ＞AC ； ③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是；
④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG
周长的值不变． 其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）．
A 、 ① ②
B 、 ② ④
C 、③ ④
D 、① ③ 二、填空题 （本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）在每小题中，请将答案直接填在题后的横线上．
13、中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定翼飞机
的航空母舰，满载排水量为67500吨，这个数据用科学记数法表示为（ ） 14、分式方程
1
2
1-=x x 的解是_________ 15、设a 、b 是方程x 2+x -2009=0的两实数根，则a 2+2a +b 的值为（ ） 16、如图，AC ⊥BC ，AC =BC =4，以BC 为直径作半圆，圆
心为O ，以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则阴影部分的面积
是__________；
17、从3-、1-、0、1、3这五个数中，任取两个不同的数作为m ，n 的值，恰好使得关
于x ，y 的二元一次方程组??
?=+=-1
2y mx n
y x 有整数解，且点（m ，n ） 落在反比例函数
x
y 3
-
=图象上的概率是_________ 18、如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在 BC 的延长线上，
EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG
交AC 于点H ，若点H 是AC 的中
点，则AG
FD
的值为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解
答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19.计算：91)2()3
1
(322014
02-2
--+
-?+---）（π
20、交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道上确定点D ，使CD 与垂直，测得CD 的长等于21米，在上点D 的同侧取点A 、B ，使30CAD ∠=°，60CBD ∠=°．
（1）求AB 的长（精确到0.1米，参考数据：31
73=．，2141=．）； （2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从A 到B 用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．
第20题图
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的
演算过程或推理步骤.
21. 先化简，再求值：)3(212
22y x y x y xy x x y x ---÷-++，其中x ，y 满足??
?=-=+0
23y x y x ．
22．我市实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．某学校为了了解学生自主学习、合作交流的具体情况，对部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分类，A ：特别好；B ：好；C ：一般；D ：较差．现将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调査了 名同学，其中C 类女生有 名； （2）将下面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，学校想从被调査的A 类和D 类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男生、一位女生的概率．
23、每年暑假，都有许多驴友为实现自己的一个梦想，骑自相车丈量中国最美公路川藏线．A、B两个驴友团队于同一天出发前往目的地拉萨．A队走317国道，结果30天到达．B队走318国道，总路程比A队少200千米，且路况更好，平均每天比A队多骑行20千米，结果B队比A队提前8天到达拉萨．
（1）求318国道全程为多少千米？
（2）骑行过程中，B队每人每天平均花费150元．A队开始有3个人同行，计划每人每天花费110元，后来又有几个人加入队伍，实际每增加1人，每人每天的平均花费就减少5元．若最终A、B两队骑行的人数相同（均不超过10人），两队共花费36900元，求两驴友团各有多少人？
24、已知：在△ABC中，∠ACB=90°，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．
（1）如图1，求证：PC=AN；
（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．
25、若12,x x 是关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根12,x x 和系数,,a b c 有如下关系：1212,
b
c
x x x x a
a
+=-?=
. 我们把它们称为根与系数关系定理. 如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x .利用根与系数关系定理我们又可以得到A 、B 两个交点间的距离为：
222
21212122444()4().
b c b ac b ac
AB x x x x x x a a a a
--=-=+-=--== 请你参考以上定理和结论，解答下列问题:
设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点为12(,0),(,0)A x B x ，抛物线的顶点为C ，显然ABC ?为等腰三角形.
（1）当ABC ?为等腰直角三角形时，求24;b ac -的值 （2）当ABC ?为等边三角形时，24b ac -= .
（3）设抛物线
2
1y x kx =++与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，且90ACB ∠=?,试问如何平移此抛物线，才能使60ACB ∠=?？
26、已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ 垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC 重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O 或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出S与t的函数关系式．
部分答案
11、
第一个图形有2×12=2个小菱形；
第二个图形有2×22=8个小菱形；
第三个图形有2×32=18个小菱形；
…
第n个图形有2n2个小菱形；
第20个图形有2×202=800个小菱形；
故答案为：800．
12、
分析：（1）由正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P，得出△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，所以当AE=1时，重合点P是BD 的中点，即点P是正方形ABCD的中心；
（2）由△BEF∽△BAC，得出EF=AC，同理得出GH=AC，从而得出结论．
（3）由六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．
（4）六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）求解．
解答：解：（1）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P，
∴△BEF和△三DGH是等腰直角三角形，
∴当AE=1时，重合点P是BD的中点，
∴点P是正方形ABCD的中心；
故①结论正确，
（2）正方形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，∴△BEF∽△BAC，∵x=，∴BE=2﹣=，∴=，即=，∴EF=AC，同理，GH=AC，∴EF+GH=AC，故②结论错误，
（3）六边形AEFCHG面积=正方形ABCD的面积﹣△EBF的面积﹣△GDH的面积．
∵AE=x，
∴六边形AEFCHG面积=22﹣BE?BF﹣GD?HD=4﹣×（2﹣x）?（2﹣x）﹣x?x=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，
∴六边形AEFCHG面积的最大值是3，
故③结论错误，4）当0＜x＜2时，∵EF+GH=AC，
六边形AEFCHG周长=AE+EF+FC+CH++HG+AG=（AE+CF）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2=4+2
故六边形AEFCHG周长的值不变，故④结论正确．故答案为：①④．
点评：考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，本题关键是得到EF+GH=AC，综合性较强，有一定的难度．
22、
考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：（1）由扇形图可知，B类总人数为10+15=25人，由条形图可知B类占50%，则样本容量为：25÷50%=50人；由条形图可知，C类占40%，则C类有50×40%=20人，结合条形图可知C类女生有20﹣12=8人；
（2）根据（1）中所求数据补全条件统计图；
（3）根据被调査的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．
解答：解：（1）样本容量：25÷50%=50，
C类总人数：50×40%=20人，
C类女生人数：20﹣12=8人．
故答案为：50，8；
（2）补全条形统计图如下：
（3）将A类与D类学生分为以下几种情况：
男A女A1 女A2
男D男A男D女A1男D女A2男D
女D女D男A女A1女D女A2女D
∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等，
∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
P（一男一女）==．
点评：此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24、
考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；
解直角三角形。1428548
专题：几何综合题。
分析：（1）要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN；
（2）要点是按照已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度．
解答：（1）证法一：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠P AQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠P AQ=∠AMN
∵PQ⊥AB MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°
∴AQ=MN，∴△AQP≌△MNA
∵AN=PQ AM=AP，∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB，PC⊥BC
∴PQ=PC（角平分线的性质），
∴PC=AN；
证法二：
如图①，∵BA⊥AM，MN⊥AC，∴∠BAM=ANM=90°
∴∠P AQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°
∴∠P AQ=∠AMN
∵PQ⊥AB，∴∠APQ=90°=∠ANM
∵AQ=MN，∴△PQA≌△ANM
∴AP=AM，PQ=AN，∴∠APM=∠AMP
∵∠AQP+∠BAM=180°，∴PQ∥MA
∴∠QPB=∠AMP
∵∠APM=∠BPC，∴∠QPB=∠BPC
∵∠BQP=∠BCP=90°，BP=BP
∴△BPQ≌△BCP
∴PQ=PC，∴PC=AN．
（2）解法一：
如图②，∵NP=2 PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5 AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵∠P AQ=∠AMN∠ACB=∠ANM=90°
∴∠ABC=∠MAN
∴tan∠ABC=tan∠MAN==
∵tan∠ABC=，∴BC=6
∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC，又∵∠ENP=∠KCP
∴△PNE∽△PCK，∴=，∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k ∴=，NE=k．
过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形
∴NE=TE=k，∴CT=CF﹣TF=3k﹣k=k
∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF，∴∠BPC=∠BFH
∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC
tan∠NTC=tan∠BPC==2，∴tan∠NTC==2，
∴CT=k=，∴k=，∴CK=2×=3，BK=BC﹣CK=3
∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC tan∠PKC==1，∴tan∠BDK=1．
过K作KG⊥BD于G
∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n
∴BK=5n=3，∴n=，∴BD=4n+3n=7n=
∵AB==10，AQ=4，∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣
解法二：
如图③，∵NP=2，PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC，∴∠NMP=∠PBC
又∵∠MNP=∠BCP，∴△MNP∽△BCP
∴=，∴=
BC=6
作ER⊥CF于R，则四边形NERC是矩形
∴ER=NC=5，NE=CR
∵∠BHE=∠BCR=90°
∴∠EFR=90°﹣∠HBF∠BPC=90°﹣∠HBF
∴∠EFR=∠BPC，∴tan∠EFR=tan∠BPC，∴=，即=
∴RF=，∵NE∥KC，∴∠NEP=∠PKC
又∵∠ENP=∠KCP，∴△NEP∽△CKP，∴==
∵CK：CF=2：3，设CK=2k，CF=3k
∴NE=CR=k，CR=CF﹣RF=3k﹣，∴3k﹣=k
∴k=，∴CK=3 CR=2∴BK=3
在CF的延长线上取点G，使∠EGR=∠ABC，∴tan∠EGR=tan∠ABC
∴==，∴RG=ER=，EG==，KG=KC+CR+RG=，∵∠DKE+∠EKC=∠ABC+∠BDK，∠ABC=∠DKE，∴∠BDK=∠EKC，
∴△BDK∽△GKE，∴=
∴BD?EG=BK?KG，∴∠BDK=∠EKC，∴△BDK∽△GKE，∴BD=
∵AB==10，AQ=4，∴BQ=AB﹣AQ=6
∴DQ=BQ﹣BD=6﹣=
解法三：
如图④，∵NP=2，PC=3，∴由（1）知PC=AN=3
∴AP=NC=5，AC=8，∴AM=AP=5
∴AQ=MN==4
∵NM∥BC，∴∠EMH=∠PBC∠PEN=∠PKC
又∵∠PNE=∠PCK，∴△PNE∽△PCK，△PNM∽△PCB
∴=，=，∵CK：CF=2：3，设CK=2k，CF=3k
∴=，=，∴NE=k，BC=6
∴BF=6+3k，ME=MN﹣NE=4﹣k
tan∠ABC==，BP==3
∴sin∠EMH=sin∠PBC==
∵EF⊥PM，∴FH=BFsin∠PBC=（6+3k）
EH=EMsin∠EMH=（4﹣k）
∴tan∠REF=tan∠PBC=，∵tan∠REF=∴RF=
∴EF ==，∵EH +FH =EF ∴
（4﹣k ）+
（6+3k ）=
，∴k =
∴CK =2×=3，BK =BC ﹣CK =3
∵∠PKC +∠DKE =∠ABC +∠BDK ∠DKE =∠ABC ，∴∠BDK =∠PKC ∵tan ∠PKC =1，∴tan ∠BDK =1， 过K 作KG ⊥BD 于G ∵tan ∠BDK =1，tan ∠ABC = ∴设GK =4n ，则BG =3n ，GD =4n ∴BK =5n =3，∴n =，∴BD =4n +3n =7n =
∵AB =
=10，AQ =4，∴BQ =AB ﹣AQ =6
∴DQ =BQ ﹣BD =6﹣
．
25、
【解析】．⑴ 解：当ABC △为等腰直角三角形时，过C 作CD AB ⊥，垂足为D ， 则2AB CD =
∵抛物线与x 轴有两个交点，∴0>△，（不要忘记这一步的论证）
∴22
44b ac b ac -=-
∵24b ac
AB a -=
又∵244b ac
CD a
-=，
∵0a ≠，
∴22
442
b ac
b a
c --=
∴(
)
2
22444
b ac
b a
c --=
（看成一个整体）
∴()
2
2
2
444
b
ac b ac --=
∴244b ac -=…
⑵当ABC △为等边三角形时，24b ac -12=
⑶∵90ACB ∠=?， ∴24b ac -4=． 即244k -=， ∴22k =±
因为向左或向右平移时，ACB ∠的度数不变，
所有只需要将抛物线2221y x x =±+向上或向下平移使60ACB ∠=?，然后向左或向右平移任意个单位即可．
设向上或向下平移后的抛物线解析式为：2221y x x m =±++， ∵平移后60ACB ∠=?，∴2412b ac -=， ∴2m =-．
∴抛物线21y x kx =++向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使ACB ∠的度数由90?变为60?
25．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；
（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出
∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；
（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；
（4）求出点Q与点A重合时的t=1，点P与点C重合时的t=1.5，t=2时PQ经过点B，然后分①0＜t≤1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1＜t≤1.5时，重叠部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5＜t＜2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解．
解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），
把点A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x，
∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，
∴顶点M的坐标为（2，﹣）；
（2）∵点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，
∴OP=2t，
∴点P的坐标为（2t，0），
∵A（1，﹣1），
∴∠AOC=45°，
∴点Q到x轴、y轴的距离都是OP=×2t=t，
∴点Q的坐标为（t，﹣t）；
（3）∵△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，
∴旋转后点O、Q的对应点的坐标分别为（2t，﹣2t），（3t，﹣t），
若顶点O在抛物线上，则×（2t）2﹣×（2t）=﹣2t，
解得t=，
若顶点Q在抛物线上，则×（3t）2﹣×（3t）=﹣t，
解得t=1，
综上所述，存在t=或1，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上；（4）点Q与点A重合时，OP=1×2=2，t=2÷2=1，
点P与点C重合时，OP=3，t=3÷2=1.5，
t=2时，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此时PQ经过点B，
所以，分三种情况讨论：
①0＜t≤1时，S=×（2t）×=t2，
②1＜t≤1.5时，S=×（2t）×﹣×（t﹣）2=2t﹣1；
③1.5＜t＜2时，S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]2=﹣2（t﹣2）2+；所以，S与t的关系式为S=．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）随着运动时间的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观．