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求数列通项公式的十一种方法

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则

11232211

122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)

2(1)3

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n n a n =+-

解法二：13231n

n n a a +=+?+两边除以1

n +，得

111

3333n n n n n a a +++=++，则

111

3333

n n n n n a a +++-=+，故

11223211

2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此1

1(13)

2(1)2113133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--?，则211

33.322

n n n a n =

??+?- 练习

1.已知数列{}n a 的首项为

1，且

12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12

+-n n

练习2.已知数列

}{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

n a n 1

评注：已知a a =1,)(1

n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函

数、分式函数，求通项

n a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列

}{n a 中, 0>n a 且

)(21n n n a n a S +=

,求数列}{n a 的通项公式.

解:由已知

)(21n n n a n a S +=

得)(2111---+-=n n n n n S S n

S S S ,

化简有n S S n n =--2

12,由类型(1)有

n S S n ++++= 32212,

又11a S =得11=a ,所以

1(2+=

n n S n ,又0>n a ,2)

1(2+=n n s n ,

则

1(2)1(2--+=

n n n n a n

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a a

f f f n a a a +=== ，，，两边分别相乘得，1

1()n

n k a a f k a +==?∏

例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则

2(1)5n n n

a n a +=+，故13211221

12211(1)(2)21(1)

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

?????=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

!.n n n n a n --=???

例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112

21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），

则它的通项公式是n a =________.

解：已知等式可化为：

[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a

0>n a (*

N n ∈)∴(n+1)01

=-+n n na a , 即11+=

+n n

a a n n

∴2≥n 时，n n a a n n 1

- ∴

112211a a a

a a a a a n n n n n ????=

--- =121121??--?- n n n

n =n 1. 评注：本题是关于

n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a .

练习.已知

1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.

答案：

=n a )1()!1(1+?-a n -1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

,11-+=+n na a n n 转化为

),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求

出数列的通项公式.

三、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一

个函数。

1．形如

0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型

（1）若c=1时，数列{

n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{

n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求.

待定系数法：设

)(1λλ+=++n n a c a ,

得

λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得

d c =-λ)1(,所以

)0(,1≠-=

c c

d λ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n

因此数列??

??-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列，所以

11)1(1-?-+=-+

n n c c d a c d a 即：

1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系

d ca a n n +=+1化为

)1(11-+=-+

+c d

a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列

}1{-+

c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d

a c c d a n n

逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,

两式相减有

)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.

)(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.

例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。解法一：121(2),n n a a n -=+≥ 112(1)n n a a -∴+=+

又{}112,1n a a +=∴+ 是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =- 解法二：121(2),n n a a n -=+≥ 121n n a a +∴=+

两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等

比数列，再用累加法的……

练习．已知数列

}{n a 中，

,2121,211+=

=+n n a a a 求通项n a 。

答案：1

)21

(1+=-n n a

2．形如：n n n q a p a +?=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：n

n n q a a +=+1，累加即可.

②若1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，

求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1

+n p .目的是把所求数列构造成等差数列

即： n n

n n n q p p q a p

a )(11

++,令n

n n p a b =，则

n n n q p p b b )(11?=-+,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1

+n q . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即：

q q a q p q a n n n n 1

+?=

++,

令

n n

n q a b =

,则可化为

q b q p b n n 1

1+?=

+.然后转化为类型5来解，

iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

设

)(11n

n n n p a p q a ?+=?+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例7已知数列{}n a 满足

112431n n n a a a -+=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解法一（待定系数法）：设

1123(3n n n n a a λλλ-++=+?)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列

{}1

43n n

a --?是首项为11

435a --?=-，公比为2的等比数列，

所以114352n n n a ---?=-?，即11

4352n n n a --=?-?

解法二（两边同除以1+n q ）：两边同时除以13n +得：

11224

3333n n n n a a ++=?+，下面解法略解法三（两边同除以1

+n p ）：两边同时除以1

2+n 得：n n n n n a a )23(3422

11?+=++，下面解法略

练习.（2003天津理）

设0a 为常数，且

)(2311

N n a a n n n ∈-=--．证明对任意n ≥1，0

12)1(]2)1(3[51

a a n n n n n n ?-+?-+=-；

3．形如

b kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )

方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为 ))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;

解题基本步骤： 1、确定()f n =kn+b

2、设等比数列

)(y xn a b n n ++=，公比为p

3、列出关系式

))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b

4、比较系数求x,y

5、解得数列

)(y xn a n ++的通项公式

6、解得数列

{}n a 的通项公式

例8 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法）

解：，

,231n a a n n +=+ ①

∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，

两式相减得

2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b

利用类型5的方法知2351+?=-n n b 即

1351

1-?=--+n n n a a ② 再由累加法可得

213251--?=

-n a n n . 亦可联立 ① ②解出213251--?=-n a n n .

例9. 在数列{}n a 中，

62,23

11-=-=

-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）

解：原递推式可化为

y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21

比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为

12-=n n b b

所以

{}n b 是一个等比数列，首项

299611=

+-=n a b ,公比为21.1

)21

(29-=∴n n b 即：

n n a )21

(996?=+-

故9

6)21

(9-+?=n a n n .

4．形如

c n b n a pa a n n +?+?+=+21 (其中a,b,c 是常数，且0≠a ) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===，

所以22

13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由2

13110118131320a +?+?+=+=≠，得2

310180n a n n +++≠

则212

3(1)10(1)18231018

n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。

5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解

分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列

{}1n n a a λ++为等比数列。

例11 已知数列

{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。

解：设

211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++

比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）

则

21123(2)n n n n a a a a +++-=-，则{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列

11243n n n a a -+∴-=?，所以114352n n n a --=?-?

练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412

=+-++n n n a a a ,求n a . 答案： n

n a 311-=.

四、迭代法 r

n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型

例12 已知数列{}n a 满足

3(1)2115n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为

3(1)21n n n n

a a

++=，所以

121

2(2)(1)

(2)(1)

(3)(2)(1)

12(3)(323(1)2

323(1)2

122

3(2)23(1)233(2)(1)23

323(2)(1)21[] [] n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a ----+---+--+-+--+++-+?-??-??----?-??---?-??-?-??======= 2)(1)

(1)

!21 n n n n n a -+---??=

又

15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12

3!2

n n n n n a --??=。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例13.（2005江西卷）

已知数列

,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-=

=+),4(21

,110，

（1）证明

12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式an.

解：（1）略（2）

],4)2([21

)4(2121+--=-=

+n n n n a a a a 所以 2

1)2()2(2--=-+n n a a

n n n n n n n n b b b b b a b 222121

22222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令又bn=－1，

所以1

212)21(22,)21(---=+=-=n

n n n n b a b 即.

方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c n n b -=，则c

121-=

n n c ,转化为上

面类型（1）来解

五、对数变换法适用于r

n n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，0>n

a 例14. 设正项数列{}n a 满足11=a ，

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：1

22log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设

1log 2+=n a n b ，则

12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 1

1221--=?=n n n b ，

1log -=+n a n

，12

log

-=-n a n ，∴1

212

--=n n a

练习数列

{}n a 中，11=a ，1

-=n n a a （n ≥2），求数列

{}n a 的通项公式.

答案：n

n a --=22

例15 已知数列{}n a 满足5

123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。

两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++

设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ （同类型四）

比较系数得， lg 3lg 3lg 2

,4164

x y ==+ 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644164a +

?++=+?++≠，得lg 3lg 3lg 2lg 04164

n a n +++≠，所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +

++是以lg 3lg 3lg 2

lg 74164

+++为首项，以5为公比的等比数列，则1

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164

n n a n -+++=+++，因此111111111

164

1111

1616

444

541515116

lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2

lg (lg 7)54164464

[lg(7332)]5lg(332)

lg(7332)lg(332)lg(73

)

n n n n n n n n n n a n --------=+

++---=???-??=???-??=??

则11

54151516

732

n n n n n a -----=??。

六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16 已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。解：求倒数得

11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??

=+∴-=∴-????

为等差数列，首项111a =，公差为12，

112

(1),21

n n n a a n ∴

=+∴=

七、换元法适用于含根式的递推关系例17 已知数列{}n a

满足111

(14116n n a a a +=

++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2

1(1)24

n n a b =-

代入11

(1416

n n a a +=

++得 22

1111(1)[14(1)]241624

n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+

因为0n b =≥，则123n n b b +=+，即113

n n b b +=+，可化为11

3(3)2

n n b b +-=

-，所以{3}n b -

是以13332b -===为首项，以

为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+

()32n -=+，得

2111()()3423

n n n a =

++。八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳

法加以证明。

例18 已知数列{}n a 满足1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。解：由122

8(1)

(21)(23)n n n a a n n ++=+

++及1

89a =，得 2122

3222

43228(11)88224

(211)(213)992525

8(21)248348

(221)(223)25254949

8(31)488480

(231)(233)49498181a a a a a a +?=+

=+=?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=

?+?+? 由此可猜测22(21)1

(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212

(211)18

(211)9

a ?+-==?+，所以等式成立。（2）假设当n k =时等式成立，即22(21)1

(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，

122

2222222

222222

8(1)(21)(23)[(21)1](23)8(1) (21)(23)(21)(23)(21) (21)(23)(23)1 (23)[2(1)1]1 [2(1)1]k k k a a k k k k k k k k k k k k k k k k ++=+

+++-+++=

++++-+=

+++-=

由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*

n N ∈都成立。九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有n S ，又有n a

分析：把已知关系通过11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的

方法求解。

例19 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1

(1)(2)6

n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。

解：∵对任意n N +

∈有1

(1)(2)6

n n n S a a =

++ ⑴ ∴当n=1时，11111

(1)(2)6

S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111

(1)(2)6

n n n S a a ---=

++ ⑵ ⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=

当11a =时，32n a n =-，此时2

429a a a =成立

当12a =时，31n a n =-，此时2429a a a =不成立，故12a =舍去

所以32n a n =-

练习。已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2

n n a S ,求数列}{n a 的通项公式. 答案：n n n a S S =--1 212)1()1(+=--n n a a 12-=n a n 2、对无穷递推数列

例20 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=

则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???= ③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!

13452

n n a n =?????= 。所以，{}n a 的通项公式为!.2

n n a =

十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为

()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。

分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。类型一：形如1 n n a qa d +=+

例21 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b

a c a d

+?+=

分析：递归函数为()a x b

f x c x d

?+=

（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得

11n n n n a p a p k a q a q ++--=?--，其中a pc k a qc -=-，∴1111

11()()

()()

n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=--- （2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得

111

n n k a p a p

+=+--，其中2c k a d =+。

例22. 设数列{}n a 满足7

5,211++=

=+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.

分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：

2524

7)52(727)52(72451

++++

+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a , 令524

7++=

t t t , 解之得t=1,-2 代入7

2)52(1+++=++n n n a t a t t a 得 7213

11+-=-+n n n a a a ,7

921++=++n n n a a a ,

相除得

21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为4

2111=+-a a ，

公比为31的等比数列, 21+-n n a a =n -?1341, 解得1

342341

1-?+?=--n n n a . 方法2：,

11+-=-+n n n a a a ，

两边取倒数得

32)1(39)1(2)1(3721

11-+

=-+-=-+=

-+n n n n n n a a a a a a ，令b 1

n n a ，则b =n n b 33

+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 满足112124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令212441x x x -=

+，得2

420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41

x f x x -=+的两个不

动点。因为

112124

24121242(41)13262

132124321243(41)92793341

n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??

是

以

112422343a a --==--为首项，以913

为公比的等比数列，故12132()39

n n n a a --=-，则

11313

2()19

n n a -=

+-。

练习1：已知{}n a 满足1112

2,(2)21

n n n a a a n a --+==

≥+，求{}n a 的通项n a

答案：3(1)3(1)n n

n n n

a --∴=+-

练习2。已知数列{}n a 满足*1121

2,()46

n n n a a a n N a +-==

∈+，求数列{}n a 的通项n a

答案：135106

n n

a n -∴=

练习3.（2009陕西卷文）

已知数列{}n a 满足， *1

1212,,2

n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝

＝. ()I 令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；

(Ⅱ)求{}n a 的通项公式。答案：（1）{}n b 是以1为首项，12-

为公比的等比数列。（2）1*

521()()332

n n a n N -=--∈。十一。特征方程法形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列

形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项

n a ，其特征方程为2x px q =+…①

若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数）再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a

例24 已知数列{}n a 满足*

12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为2

32x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，

由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121

c c =???=??， 112n n a -∴=+

例25 已知数列{}n a 满足*

12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a

解：其特征方程为2

441x x =-，解得1212x x ==，令()1212n

n a c nc ??

=+ ???

，

由1122121()121(2)2

a c c a c c ?

=+?=????=+?=??，得1246c c =-??=?， 1322n n n a --∴=

练习1．已知数列{}n a 满足*12211,2,441()n n n a a a a a n N ++===--∈，求数列{}n a 的通项练习2．已知数列{}n a 满足

*12211,2,444()n n n a a a a a n n N ++===---∈，求数列{}n a 的通项

说明：(1)若方程2x px q =+有两不同的解s , t, 则)(11-+-=-n n n n ta a s ta a , )(11-+-=-n n n n sa a t sa a ,

由等比数列性质可得1121)(-+-=-n n n s ta a ta a , 1121)(-+-=-n n n t sa a sa a ,

,s t ≠ 由上两式消去1+n a 可得()()()

n n n t

t s t sa a s t s s ta a a ..1212-----=

(2)若方程2x px q =+有两相等的解t s =，则

()()12121211)(ta a s ta a s ta a s ta a n n n n n n n -==-=-=-----+ ，

1211s ta a s a s a n n n n -=-∴

++,即?

???n n s a 是等差数列，由等差数列性质可知

()21

21.1s

sa a n s a s a n n --+=，所以n n s n s sa a s sa a s a a ??

????-+??? ??--=.2

122121．例26、数列{}n a 满足1512

a =-，且2

125

42924

n n n a a a +-

求数列{}n

a 的通项。解：22

11252925244429292244

n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-

+==

+=++

……①

令2

29254λλ-=

，解得1225

1,4

λλ==，将它们代回①得， ()21112924n n n a a a +++=

……②，2

12525429424n

n n a a a +?

?+ ???+=+……③， ③÷②，得2

1125254411n n n n a a a a ++??

++ ?= ?++ ?

, 则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a +++

+=++，∴数列254lg 1n n a a ??+????+??

成等比数列，首项为1，公比q =2

所以1254lg 21n n n a a -+

=+，则12254101n n n a a -+=+，1

1222510

4101

n n n a ---∴=-

十二、四种基本数列

1．形如)(1n f a a n n =-+型等差数列的广义形式，见累加法。 2.形如

)(1

n f a a n

n =+型等比数列的广义形式，见累乘法。 3.形如)(1n f a a n n =++型

（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项. 例27. 数列{n a }满足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式. 分析 1：构造转化为)(1n f a a n n =-+型解法1：令n n n a b )1(-= 则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()

1(11111

1?-=+-=---=-++++++.

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。一、累加法形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。二、累乘法形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

数列通项公式方法大全很经典精品

【关键字】方法、关键、关系、满足 1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

求数列通项公式方法大全

求数列通项公式的常用方法类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈．求数列}{n a 的通项公式变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式；变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈．求数列}{n a 的通项公式；变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列（2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项和的最小值

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的方法教案例题习题定稿版

求数列通项公式的方法教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练：已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。

例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

数列通项公式方法大全

数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法

求数列通项公式常用的七种方法

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈

几种常见的数列的通项公式的求法

几种常见的数列的通项公式的求法一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1．已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．

2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．

（二）.累加、累乘型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

常见数列通项公式的求法(超好)

常见数列通项公式的求法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列通项公式和前n项和求解方法全

数列通项公式的求法详解一、观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 二、公式法公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法

数列通项公式求法大全(配练习及答案)

数列通项公式的几种求法注：一道题中往往会同时用到几种方法求解，要学会灵活运用。一、公式法二、累加法三、累乘法四、构造法五、倒数法六、递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a = （七）、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（八）、迭代法（九）、数学归纳法已知数列的类型一、公式法 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 1 *11()n n n a a a q q n N q -== ?∈ 已知递推公式二、累加法 )(1n f a a n n +=+ （1）()f n d = （2）()f n n = （3）()2n f n =

例 1 已知数列{} n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 2n a n = 例 2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3 1.n n a n =+-）三、累乘法 n n a n f a )(1=+ （1）()f n d = （2）()f n n =， 1 n n +，2n 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。（(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=???）评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+?转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 13211221 n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。例4 （20XX 年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足112311 23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。（! .2 n n a = ）评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为 1 1(2)n n a n n a +=+≥，进而求出 132122 n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的十种方法(已打)

递推式求数列通项公式常见类型及解法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。一、型例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。解：已知递推式化为，即，所以。将以上个式子相加，得，

所以。二、型例2. 求数列的通项公式。解：当，即当，所以。

三、型例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比，得。于是，得，以3为公比的等比数列。所以有。解法2：又已知递推式，得上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，所以。

四、型例4. 设数列，求通项公式。解：设，则，，所以，即。设这时，所以。由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。由此得：。说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。

五、型例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。解：将已知递推式两边乘以，得，又设，于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。说明：对于递推式，可两边除以，得，引入辅助数列，然后可归结为类型三。

六、型例6. 已知数列，求。解：在两边减去。所以为首项，以。所以令上式，再把这个等式累加，得。所以。说明：可以变形为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.

4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解：类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解：变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解

数列通项公式方法大全很经典 - 副本

1，数列通项公式的几种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法