2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．已知集合，则A∩B=．
2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=．3．在二项式的展开式中，常数项等于．
4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z|．
5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是．
6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是．（用反三角函数表示结果）
7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为．
8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于．
9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=．
10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．
11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是．
12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m 的取值范围是．
13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是．
14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）
=关于原点的中心对称点的组数为．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]
16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；
其中正确命题的序号是（）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为
y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）
A．2sinx B．2cosx C．sin2x D．cos2x
18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e x﹣2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
三、解答题
19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求
（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．
20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．
21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，作函数f（x）的图象；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}
为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n?b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；
（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；
（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．
2014-2015学年上海市虹口高中高三（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题4分，满分56分）
1．已知集合，则A∩B=[﹣1，3）．
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：利用指数函数的性质求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．
解答：解：集合A中的不等式变形得：2﹣1≤2x＜24，解得：﹣1≤x＜4，
∴A=[﹣1，4）；
由集合B中函数得：9﹣x2＞0，即x2＜9，解得：﹣3＜x＜3，
∴B=（﹣3，3），
则A∩B=[﹣1，3）．
故答案为：[﹣1，3）
点评：此题属于以其他不等式的解法及函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m=﹣1．
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．
分析：先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．
解答：解：∵+=（1，m﹣1），
∵（+）∥
∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，
所以m=﹣1
故答案为：﹣1
点评：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题，能用坐标形式的充要条件解决求值问题．
3．在二项式的展开式中，常数项等于160．
考点：二项式定理．
专题：计算题．
分析：展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求
解答：解：展开式的通项为=
令6﹣2r=0可得r=3
常数项为=160
故答案为：160
点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题
4．若复数z满足||=1+i，（其中i为虚数单位），则|z|．
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用行列式偶的运算性质可得zi﹣2=1+i，化简再利用模的计算公式即可得出．
解答：解：∵=1+i，∴zi﹣2=1+i，化为zi=3+i，∴﹣i?iz=﹣i（3+i），∴z=1﹣3i．
∴|z|==．
故答案为：．
点评：本题考查了行列式的运算性质、复数的运算性质、模的计算公式，属于基础题．
5．不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是?，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a＜3}．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．
解答：解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：
x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为?，
所以△=4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，
即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，
解得：﹣1＜a＜3，
则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．
故答案为：{a|﹣1＜a＜3}
点评：此题考查学生掌握二次函数与x轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．
6．已知数列{a n}是等差数列，a4=15，S5=55，则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的倾斜角是π﹣arctan4．（用反三角函数表示结果）
考点：直线的倾斜角；等差数列的性质；反三角函数的运用．
专题：计算题．
分析：由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得a1=3，d=4，直线的斜率为=﹣d=﹣4，由tanθ=﹣4，和θ的范围，求出θ值．
解答：解：设公差为d，由题意可得，a1+3d=15，5a1+=55，解得a1=3，d=4．
则过点P（4，a2010）和点Q（3，a2011）的直线的斜率为=﹣d=﹣4，
设直线的倾斜角是θ，则tanθ=﹣4，又0≤θ＜π，∴θ=π﹣arctan4，
故答案为π﹣arctan4．
点评：本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出首项a1和公差d的值，是解题的关键．
7．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为16π．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
分析：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．
解答：解：∵设圆锥的母线长是l，底面半径为r，
母线与底面所成的角为，可得①
∵侧面积是20π，
∴πrl=20π，②
由①②解得：
r=4，l=5，故圆锥的高h===3
则该圆锥的体积为：×πr2×3=16π
故答案为：16π．
点评：本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．
8．等轴双曲线C：x2﹣y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长等于4．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．与双曲线的方程联立解得．可得
4=|AB|=，解出a 即可得出．
解答：解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4．
联立，解得．
∴4=|AB|=，
解得a2=4．
∴a=2．
∴双曲线C的实轴长等于4．
故答案为：4．
点评：本题考查了抛物线与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
9．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．
考点：等比数列的性质；数列的应用．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．
解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中
B n=A n+1 A n=B n﹣1
则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中
{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值
18，﹣24，36，﹣54，81
相邻两项相除
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项
q=﹣或q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）
∴q=﹣
∴6q=﹣9
故答案为：﹣9
点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
10．将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，由此求得三本数学书排在一起的概率．
解答：解：所有的排法共有种，其中三本数学书排在一起的方法有种，
故三本数学书排在一起的概率为=，
故答案为．
点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，相邻问题的排列，属于基础题．
11．定义：关于x的不等式|x﹣A|＜B的解集叫A的B邻域．若a+b﹣2的a+b邻域为区间（﹣2，2），则a2+b2的最小值是2．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题．
分析：根据新定义由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），从而得到关于a，b 的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值．
解答：解：由题意得：|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b的解集为区间（﹣2，2），
∵|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b?（﹣2，2（a+b）﹣2），
∴2（a+b）﹣2=2，?a+b=2，
∴a2+b2≥（a+b）2=2，当且仅当a=b时取等号，
则a2+b2的最小值是2．
故答案为：2．
点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．
12．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m 的取值范围是（0，1）．
考点：函数的零点与方程根的关系；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：数形结合．
分析：将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到m的范围．
解答：解：令g（x）=f（x）﹣m=0，
得m=f（x）
作出y=f（x）与y=m的图象，
要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为：（0，1）．
点评：本题考查等价转化的能力、利用数学结合解题的数学思想方法是重点，要重视．
13．在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是2．
考点：解三角形；平面向量数量积的运算．
专题：综合题；平面向量及应用．
分析：根据△ABC的面积为2，可得△PBC的面积=1，从而可得PB×PC=，故
=PB×PCcos∠BPC=，由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC，进而可得BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．
从而≥，利用导数，可得最大值为，从而可得的最小值．
解答：解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离=点A到BC的距离的一半，
∴△ABC的面积=2△PBC的面积，而△ABC的面积=2，∴△PBC的面积=1，
又△PBC的面积=PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=．
∴=PB×PCcos∠BPC=．
由余弦定理，有：BC2=BP2+CP2﹣2BP×CPcos∠BPC．
显然，BP、CP都是正数，∴BP2+CP2≥2BP×CP，∴BC2≥2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC．
∴≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP﹣2BP×CPcos∠BPC=
令y=，则y′=
令y′=0，则cos∠BPC=，此时函数在（0，）上单调增，在（，1）上单调减
∴cos∠BPC=时，取得最大值为
∴的最小值是
故答案为：
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．
14．在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作一组）．则函数g（x）
=关于原点的中心对称点的组数为2．
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：与函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，
画出图象，看交点个数．
解答：解：函数y=log4（x+1）可以由对数函数y=log4x的图象向左平移1个单位得到，
则函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数即为“函数g（x）关于原点的中心对称点的组数”，
图象如下：
其中虚的曲线部分为函数y=log4（x+1），x＞0图象关于原点对称的图象，此部分与函数y=（x+2）2﹣1，x≤0图象交点个数是2个，
所以，函数g（x）关于原点的中心对称点的组数为2组，
故答案为：2．
点评：本题考查分段函数的图象，涉及分段函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．
二、选择题（每小题5分，满分20分）
15．命题A：|x﹣1|＜3，命题B：（x+2）（x+a）＜0；若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣4）B．[4，+∞）C．（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式．
专题：计算题．
分析：解不等式我们可以求出命题A与命题B中x的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，结合A是B的充分不必要条件，则A?B，将问题转化为一个集合关系问题，分析参数a的取值后，即可得到结论．
解答：解：由|x﹣1|＜3，得﹣2＜x＜4，∴命题A：﹣2＜x＜4．
命题B：当a=2时，x∈φ，
当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，
当a＞2时，﹣a＜x＜﹣2．
∵A是B的充分而不必要条件，
∴命题B：当a＜2时，﹣2＜x＜﹣a，
∴﹣a＞4，
∴a＜﹣4，
综上，当a＜﹣4时，A是B的充分不必要条件，
故选A．
点评：本题考查的知识点是充要条件与集合之间的关系，其中根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，将充要条件问题转化为集合关系问题是解答本题的关键．
16．己知空间两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?n⊥α；
②α∥β，m?α，n?β?m∥n；
③m∥n，m∥α?n∥α；
④α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β；
其中正确命题的序号是（）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”可判断①是否正确；
根据分别位于两个平行平面的直线的位置关系是平行或异面，可判断②是否正确；
根据直线有可能在平面内，可判断③是否正确；
利用结论“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”和“两个平行平面中的一个垂直于直线，则另一个平面也垂直于直线”，可判断④是否正确．
解答：解：①，根据“两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面”，m∥n，m⊥α?n⊥α，∴①正确
②，α∥β，m?α，n?β，则m∥n或m、n异面，∴②不正确；
③，m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，∴③不正确；
④，α∥β，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，∴④正确．
故选A．
点评：熟练掌握线线、线面、面面的平行与垂直的性质与判定定理是解题的关键．
17．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为
y=2sin2x，则函数f（x）的表达式可以是（）
A．2sinx B．2cosx C．sin2x D．cos2x
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：化简变换后的函数解析式，结合函数的变换，逆推求出函数的解析式即可．
解答：解：y=2sin2x=1﹣cos2x，要求函数f（x），
函数y=f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到y=sin2（x﹣）=﹣cos2x，
故所求函数解析式为y=sin2x．
故选：C．
点评：本题考查了三角函数图象的平移，三角函数的化简，属于中档题．
18．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：
①
②M={（x，y）|y=e x﹣2}
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是（）
A．①②④B．②③C．③④D．①③④
考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．
专题：阅读型；新定义．
分析：对于①，利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．
对于②，画出图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于③，画出函数图象，说明满足好集合的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数图象，取一个特殊点即能说明不满足好集合定义．
解答：解：对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，
在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；
对任意（x1，y1）∈M，在另一支上也不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
所以不满足好集合的定义，不是好集合．
对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）在曲线上两点构成的直角始存在，例如取M（0，﹣1），N（ln2，0），满足好集合的定义，所以正确．
对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
例如（0，1）、（，0），∠yox=90°，满足好集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的
点，
所以集合M是好集合；
对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．
故选B．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．
三、解答题
19．如图已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求
（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四棱锥P﹣ABCD的表面积．
考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB 的中点，可得，于是四边形AMCN是平行四边形，可得CN∥AM，因此∠PMA（为锐角）
是异面直线PM与CN所成角，利用直角三角形的边角关系求出即可．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得出异面直线所成的角；
（2）由PA垂直于底面，利用线面垂直的性质定理可得PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PDC，再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥PB；同理CD⊥PD，Rt△PBC≌Rt△PAD，利用直角三角形的面积计算公式分别计算即可．
解答：解：（1）解法一：连接AM，∵底面ABCD是边长为6的正方形，点M、N分别是DC、AB的中点，
∴，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴CN∥AM，
∴∠PMA（为锐角）是异面直线PM与CN所成角．
因为PA垂直于底面，所以PA⊥AM，
点M分别是DC的中点，DC=6，∴．
在Rt△PAM中，PA=8，，
∴，
∴，
即异面直线PM与CN所成角的大小为．
解法二：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得M（3，6，0），P（0，0，8），N（3，0，0），C（6，6，0），
∴，，
直线PM与CN所成角为θ，向量的夹角为?，
∵，
又，，
即异面直线PM与CN所成角的大小为．
（2）因为PA垂直于底面，所以PA⊥AB，PA⊥AD，即Rt△PAB≌Rt△PAD，
又PA⊥BC，AB⊥BC，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
同理CD⊥PD，∴Rt△PBC≌Rt△PDC，
∵底面四边形ABCD是边长为6的正方形，所以S底=36
又S侧=S△PAB+S△PAD+S△PBC+S△PCD=．
S表=108+36=144
所以四棱锥P﹣ABCD的表面积是144．
点评：本题综合考查了利用“平移法”和通过建立空间直角坐标系利用向量的方向向量的夹角求异面直线的夹角、线面垂直的判定与性质、四棱锥的表面积等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
20．设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．
考点：三角形中的几何计算；正弦定理．
专题：综合题；解三角形．
分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=，结合C=，可求角A的大小；
（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+），即可求
PM+PN的最大值及此时α的取值．
解答：解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
所以有A=B或A+B=．…3分
又因为C=，得A+B=，与A+B=矛盾，
所以A=B，因此A=．…6分
（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM=PC?sin∠PCM=2sinα；
在Rt△PNC中，PN=PC?sin∠PCN=PC?sin（π﹣∠PCB）
=2sin[π﹣（α+）]=2sin （α+），α∈（0，）．…8分
所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+）=3sinα+cosα=2sin（α+）．…12分
因为α∈（0，），所以α+∈（，），从而有sin（α+）∈（，1]，
即2sin（α+）∈（，2]．
于是，当α+=，即α=时，PM+PN取得最大值2．…16分．
点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN是关键．
21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．
（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与
椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．
解答：（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵点在椭圆C上，∴，
解得b2=1，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），
∵直线l方向向量，
∴直线l的方程是，
联立?2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
∴x1+x2=m，，
∴=
=
=（定值）．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
22．已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．
（1）若a=1，作函数f（x）的图象；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
考点：带绝对值的函数；函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．
专题：计算题．
分析：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=，由此作出函数的图象．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1，分a=0、a＜0、、、这几
种情况，结合函数
的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．
（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x2）﹣h（x1）＞0，可得ax1x2＞2a﹣1，分a=0、a ＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣|x|+1=．
作图（如图所示）（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax2﹣x+2a﹣1．
若a=0，则f（x）=﹣x﹣1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=﹣分）
若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
g（a）=f（1）=3a﹣分）
当，即时，，（8分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a﹣分）
综上可得．（10分）
（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x1，x2，且x1＜x2，则
=．（12分）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x2）﹣h（x1）＞0，
因为x2﹣x1＞0，x1x2＞0，所以ax1x2﹣（2a﹣1）＞0，即ax1x2＞2a﹣1，
当a=0时，上面的不等式变为0＞﹣1，即a=0时结论成立．（14分）
当a＞0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）
当a＜0时，，由1＜x1x2＜4得，，解得，（17分）综上，实数a的取值范围为．（18分）
点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．
23．若数列{a n}的每一项都不为零，且对于任意的n∈N*，都有=q（q为常数），则称数列{a n}
为“类等比数列”．已知数列{b n}满足：b1=b（b∈R，b≠0），对于任意的n∈N*，都有b n?b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n}是“类等比数列”；
（2）若{b n}是单调递增数列，求实数b的取值范围；
（3）设数列{b n}的前n项和为S n，试探讨是否存在，说明理由．
考点：数列的应用；等比数列的性质．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）利用=计算即可；
（2）通过b1=b及（1）可知b n=，进而只需解不等式b2k﹣1≤b2k≤b2k+1即可；
（3）通过（2）分别计算出n=2k﹣1（k∈N*）、n=2k（k∈N*）时的表达式并令两者相
等，通过方程有无解即可判断．
解答：（1）证明：∵b n?b n+1=2n+1，
∴b n+1?b n+2=2n+2，
∴===2，
2015年上海市高考数学试卷（文科） 一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为． 2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=． 4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）=． 5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为． 10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是． 14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范
2017年上海市高考数学模拟试卷 、填空题(本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分) 1 ?计算: 2 ?设函数f (x)二五的反函数是fT (X),则fT ( 4) 3. 已知复数二.K：乜(i为虚数单位)，则| z| = ______ . 4. 函数f (x)=sinx+Vs p cosx,若存在锐角B满足f ( 0) =2,贝U 0= _____ . 5. 已知球的半径为R,若球面上两点A, B的球面距离为」，则这两点A, B 间的距离为 6. ________________________________________________________________ 若(2+x) n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256,贝U正整数n= _______ . 7. 设k为常数，且-、-三：——-、「?！*,则用k表示sin2 a勺式子为sin2 a三_ . 2 * —.—. 8. 设椭圆丄「, ?二：的两个焦点为Fi, F2, M是椭圆上任一动点，贝U 11 .-1! -的 取值范围为—. 9. 在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若-J- ：;i.. , sinC=2 sinB,则A角大小为—. 10. ____________________________________________________________ 设f (x) =lgx,若f (1 - a)- f (a)> 0,则实数a的取值范围为___________________ . 11. __________________________________________________________ 已知数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1+a n= (=) n, n€ N*，贝则二［匸严= __________ . 12. 已知△ ABC的面积为360,点P是三角形所在平面内一点，且则厶PAB的面积为 二、选择题(本大题满分20分) 13. 已知集合A={x| x>- 1}，贝U下列选项正确的是( ) 15.图中曲线的方程可以是( )
2017年上海市嘉定区高考数学二模试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．函数y=2sin2（2x）﹣1的最小正周期是． 2．设i为虚数单位，复数，则|z|=． 3．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=． 4．=． 5．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与轴所成角的大小是． 6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则=． 7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是． 8．已知双曲线C1与双曲线C2的焦点重合，C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C2的方程为． 9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是． 10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为． 11．设等差数列{a n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列也是公差为d 的等差数列，则{a n}的通项公式为a n=． 12．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数（如[2.32]=2，[﹣4.76]=﹣5），对于给定的n∈ N*，定义C=，其中x∈[1，+∞），则当时，函数f（x）=C 的值域是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．命题“若x=1，则x2﹣3x+2=0”的逆否命题是（） A．若x≠1，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2=0，则x=1
2014年上海高考物理试卷详细解析
2014年上海高考物理试卷 一、单项选择题 1.下列电磁波中，波长最长的是（ ） （A ） 无线电波 （B ） 红外线 （C ） 紫外线 （D ） γ射线 2.核反应方程 9412426Be He C+X +→中的X 表示 （ ） （A ）质子 （B ）电子 （C ） 光子 （D ） 中子 3.不能用卢瑟福原子核式结构模型得出的 结论是（ ） （A ）原子中心有一个很小的原子核 （B ）原子核是有质子和中子组成的 （C ）原子质量几乎全部集中在原子核内 （D ）原子的正电荷全部集中在原子核内 4.分子间同时存在着引力和斥力，当分子间 距增加时，分子间的（ ） （A ）引力增加，斥力减小 （B ） 引力增加，斥力增加 （C ）引力减小，斥力减小 （D ） 引力减小，斥力增加 5.链式反应中，重核裂变时放出的可以使裂
变不断进行下去的粒子是（） （A）质子（B）中子（C）β粒子（D）α粒子 6.在光电效应的实验中，与光的波动理论不矛盾的是（） （A）光电效应是瞬时发生的（B）所有金属都存在极限频率 （C）光电流随着入射光增强而变大（D）入射光频率越大，光电子最大初动能越大 7.质点做简谐运动，其x t-关系如图以x轴正向为速度v的正方向，该质点的v t-关系是（） 第7题图（A）（B） (C）（D） 8.在离地高为h处，沿竖直向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v，不计空气阻力，两球落地的时间差为（） （A）2v g （B）v g （C）2h v （D）
关系是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 12.如图，在磁感应强度为B 的匀强磁场中， 面积为S 的矩形刚性导线框abcd 可绕ad 边的固 定' oo 转动，磁场方向与线框平面垂直在线框中通以电流强度为I 的稳恒电流，并使线框与竖直平 面成θ角，此时bc 边受到相对于' oo 轴的安培力力矩大小为（ ） （A ）sin ISB θ （B ）cos ISB θ （C ）sin ISB θ （D ）cos ISB θ 第12题图 第13题图 13.如图，带有一白点的黑色圆盘，可绕过其中心、垂直于盘面的轴匀速转动，每秒沿顺时 针方向旋转30圈在暗室中用每秒闪光31次的频
2015年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）（2015?上海）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则 Α∩?UΒ=． 2．（4分）（2015?上海）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z=．3．（4分）（2015?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣ c2=． 4．（4分）（2015?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=． 5．（4分）（2015?上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=． 6．（4分）（2015?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为． 7．（4分）（2015?上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为． 8．（4分）（2015?上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）． 9．（2015?上海）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程 为． 10．（4分）（2015?上海）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为． 11．（4分）（2015?上海）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）． 12．（4分）（2015?上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页） 绝密★启用前 上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 本试卷共150分.考试时长120分钟. 一、填空题：本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分. 1.已知集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5}B =，那么A B =I . 2.若排列数6654m P =??，则m = . 3.不等式1 1x x -＞的解集为 . 4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 . 5.已知复数z 满足3 0z z +=的定义域为 . 6.设双曲线2221(0)9x y b b -=＞的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF = . 7.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuuu r 的坐标为(4,3,2)，则1AC uuuu r 的坐标是 . 8.定义在(0,)+∞上的函数()y f x =反函数为1 ()y f x -=，若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-=??≤＞为奇函 数，则1()2f x -=的解为 . 9.已知四个函数：①y x =-，②1 y x =-，③3y x =，④1 2y x =，从中任选2个，则事件 “所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 . 10.已知数列 {}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，n ∈* N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对 于任意n ∈*N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则 14916 1234lg() lg() b b b b b b b b == . 11.设1a 、2a ∈R ，且1211 22sin 2sin(2) a a +=++，则12|10π|a a --的最小值等 于 . 12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{P ,P ,P ,P }Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1D （P l ）和2D （P l ）分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D （P l ）2D =（P l ） ，则Ω中所有这样的P 为 . 二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.关于x 、y 的二元一次方程组50 234x y x y +=??+=? 的系数行列式D 为 （ ） A .0543 B .1024 C .1523 D . 60 54 14.在数列{}n a 中，12n n a ?? =- ??? ，n ∈*N ，则lim n n a →∞ （ ） A .等于12- B .等于0 C .等于1 2 D .不存在 15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n ∈*N ，则“存在k ∈*N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是 （ ） A .0a ≥ B .0b ≤ C .0c = D .20a b c -+= 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364 x y C +=和22 2:19y C x + =．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ u u u r u u u r g 的最大值．记{(,)}P Q Ω=，P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ w =u u u r u u u r g ，则Ω中元素个数为 （ ） A .2个 B .4个 C .8个 D .无穷个 毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________ -------------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无--------------------效--- -------------
一、单项选择题（共16分，每小题2分，每小题只有一个正确选项） 1．X 射线 A ．不是电磁波 B ．具有反射和折射的特性 C ．只能在介质中传播 D ．不能发生干涉和衍射 2．如图，P 为桥墩，A 为靠近桥墩浮出水面的叶片，波源S 连续振动，形成水波，此时叶片A 静止不动。为使水波能带动叶片振动，可用的方法是 A ．提高波源频率 B ．降低波源频率 C ．增加波源距桥墩的距离 D ．减小波源距桥墩的距离 3．如图，鸟沿虚线斜向上加速飞行，空气对其作用力可能是 A ．1F B ．2F C ．3F D ．4F 4．一定质量的理想气体在升温过程中 A ．分子平均势能减小 B ．每个分子速率都增大 C ．分子平均动能增大 C ．分子间作用力先增大后减小 5．铀核可以发生衰变和裂变，铀核的 A ．衰变和裂变都能自发发生 B ．衰变和裂变都不能自发发生 C ．衰变能自发发生而裂变不能自发发生 D ．衰变不能自发发生而裂变能自发发生 6．23290Th 经过一系列α衰变和β衰变后变成20882Pb ，则20882Pb 比23290Th 少 A ．16个中子，8个质子 B ．8个中子，16个质子
C ．24个中子，8个质子 D ．8个中子，24个质子 7．在α粒子散射实验中，电子对α粒子运动的影响可以忽略，这是因为与α粒子相比，电子 A ．电量太小 B ．速度太小 C ．体积太小 D ．质量太小 8．两个正、负点电荷周围电场线分布如图所示，P 、Q 为电场中两点，则 A ．正电荷由P 静止释放能运动到Q B ．正电荷在P 的加速度小于在Q 的加速度 C ．负电荷在P 的电势能高于在Q 的电势能 D ．负电荷从P 移动到Q ，其间必有一点电势能为零 二、单项选择题（共24分，每小题3分，每小题只有一个正确选项） 9．如图，长为h 的水银柱将上端封闭的玻璃管内气体分割成两部分，A 处管内外水银面相平。将玻璃管缓慢向上提升H 高度（管下端未离开水银面），上下两部分气体的压强发生变化分别为1p ?和2p ?，体积变化分别为1V ?和2V ?。已知水银密度为ρ，玻璃管截面积为S ，则 A ．2p ?一定等于1p ? B ．2V ?一定等于1V ? C ．2p ?与1p ?之差为gh ρ D ．2V ?与1V ?之和为HS 10．用很弱的光做单缝衍射实验，改变曝光时间，在胶片上出现的图像如图所示，该实验表明
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 文科数学试题 一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为___________. 2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U I ___________. 3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z ___________. 4.设)(1x f -为1 2)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f ___________. 5.若线性方程组的增广矩阵为 ??0213????21c c 解为? ??==53y x ，则=-21c c ___________. 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________. 7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________. 8.方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为___________. 9.若y x ,满足?? ???≥≤+≥-022y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为___________. 10.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的 选取方式的种数为___________.（结果用数值表示） 11.在62 )12(x x +的二项式中，常数项等于___________（结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14 22 =-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________. 13.已知平面向量a 、b 、c 满足b a ⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是 ___________.
2017年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B= ． {3,4} 【解析】∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}． 2．（2017年上海）若排列数A m 6=6×5×4，则m= ． 2.3 【解析】∵排列数A m 6=6×5×…×(6-m+1)，∴6-m+1=4，即m=3. 3．（2017年上海）不等式x-1x ＞1的解集为 ． 3.(-∞，0) 【解析】由x-1x ＞1，得1-1x >1，则1 x <0，解得x<0，即原不等式的解集为(-∞，0). 4.（2017年上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 ． 4.9π 【解析】设球的半径为R ，则由球的体积为36π，可得4 3πR 3=36π，解得R=3.该球的主 视图是半径为3的圆，其面积为πR 2=9π． 5．（2017年上海）已知复数z 满足z+3 z =0，则|z|= ． 5. 3 【解析】由z+3 z =0，可得z 2+3=0，即z 2=-3，则z=±3i ，|z|= 3. 6．（2017年上海）设双曲线x 29-y 2 b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1，F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5， 则|PF 2|= ． 6.11 【解析】双曲线x 29-y 2 b 2=1中，a=9=3，由双曲线的定义，可得||PF 1|-|PF 2||=6，又|PF 1|=5， 解得|PF 2|=11或﹣1（舍去），故|PF 2|=11. 7．（2017年上海）如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量→DB 1的坐标为（4，3，2），则向量→AC 1的坐标是 ． 7.(-4,3,2) 【解析】由→DB 1 的坐标为（4，3，2），可得A （4，0，0），C(0,3,2)，D 1(0,0,2)，
2017年上海市高考数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 2. 若排列数6654m P =??，则m = 3. 不等式 1 1x x ->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足3 0z z + =，则||z = 6. 设双曲线 22 2 19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF = 7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1 ()y f x -=，若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-≤?=?>??为 奇函数，则1()2f x -=的解为 9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x =-；③ 3 y x =；④ 1 2y x =. 从中任选2个，则 事 件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg() lg() b b b b b b b b = 11. 设1a 、2a ∈R ，且1211 22sin 2sin(2) αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于 12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点 P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点 分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为
2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题满分54分，第7～12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．若集合A={x||x﹣1|＜2，x∈R}，则A∩Z=． 2．抛物线y2=2x的准线方程是． 3．若复数z满足（i为虚数单位），则z=． 4．已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=． 5．以点（2，﹣1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是． 6．若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是． 7．已知向量（x，y∈R），，若x2+y2=1，则的最大值为． 8．已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g （x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=． 9．在数列{a n}中，若对一切n∈N*都有a n=﹣3a n ，且 +1 =，则a1的值为． 10．甲、乙两人从6门课程中各选修3门．则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有． 11．已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P， 若，则实数λ的值为． 12．已知为常数），，且当x1，x2∈[1，4]时，总有f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考
生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若x ∈R ，则“x ＞1”是“ ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 14．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥m B ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m C ．若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α 15．在直角坐标平面内，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan ∠PAB?tan ∠PBA=m （m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（ ） A ． B ． C ． D ． 16．若函数y=f （x ）在区间I 上是增函数，且函数在区间I 上是减函数， 则称函数f （x ）是区间I 上的“H 函数”．对于命题：①函数是（0， 1）上的“H 函数”；②函数是（0，1）上的“H 函数”．下列判断正确 的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①为真命题，②为假命题 C ．①为假命题，②为真命题 D ．①和②均为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．在三棱锥P ﹣ABC 中，底面ABC 是边长为6的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且 PB 与底面ABC 所成的角为 ． （1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积； （2）若M 是BC 的中点，求异面直线PM 与AB 所成角的大小（结果用反三角函
2019年上海市高考物理试卷 一、选择题（共40分.第1-8小题，每小题3分，第9-12小题，每小题3分.每小题只 有一个正确答案. ) 1. （3分）（2019?上海）以下运动中加速度保持不变的是（ B .匀速圆周运动 C ?竖直上抛运动 D ?加速直线运动 2. （3分）（2019?上海）原子核内部有（） A .质子 B . a粒子 C .电子 D .光电子 4. （3分）（2019?上海）泊松亮斑是光的（ A .干涉现象，说明光有波动性 B .衍射现象，说明光有波动性 C.干涉现象，说明光有粒子性 D .衍射现象，说明光有粒子性 5. （3分）（2019?上海）将相同质量，相同温度的理想气体放入相同容器，体积不同，则这 两部分气体（） A .简谐振动 3. （3 分）（2019 ?上 海） 间变化的图象应为（ 一个做简谐振动的弹簧振子, t=0时位于平衡位置，其机械能随时
A ?平均动能相同，压强相同 B?平均动能不同，压强相同 C?平均动能相同，压强不同 D?平均动能不同，压强不同 6 ? （3分）（2019?上海）以A、B为轴的圆盘，A以线速度v转动，并带动B转动，A、B之 间没有相对滑动则（） A ? A、B转动方向相同，周期不同 B ? A、B转动方向不同，周期不同 C ? A、B转动方向相同，周期相同 D ? A、B转动方向不同，周期相同 7? （3分）（2019?上海）一只甲虫沿着树枝缓慢地从A点爬到B点，此过程中树枝对甲虫 作用力大小（） A .变大 B .变小 C .保持不变 D ? ? & （3分）（2019?上海）两波源I、n在水槽中形成的波形如图所示，其中实线表示波峰，虚线表示波谷，则以下说法正确的是（）
2017年上海市宝山区高考数学一模试卷 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．=． 2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩?U B=．3．不等式的解集为． 4．椭圆（θ为参数）的焦距为． 5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=． 6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为． 7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为． 9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为． 10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示） 11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为． 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）13．设a∈R，则“a=1” A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样 本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（） A．80 B．96 C．108 D．110
2016年普通高等学校招生全国统一考试 上海物理试卷 本试卷共7页，满分150分，考试时间120分钟。全卷包括六大题，第一、第二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。 考生注意： 1、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。 2、第一、第二和第三大题的作答必须用2B铅笔涂在答题纸上相应区域内与试卷题号对应的位置，需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。第四、第五和第六大题的作答必须用黑色的钢笔或圆珠笔写在答题纸上与试卷题号对应的位置（作图可用铅笔）。 3、第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。 一.单项选择题（共16分，每小题2分。每小题只有一个正确选项。 1.卢瑟福通过对α粒子散射实验结果的分析，提出了原子内部存在（） （A）电子（B）中子（C）质子（D）原子核 2.一束单色光由空气进入水中，则该光在空气和水中传播时（） （A）速度相同，波长相同（B）速度不同，波长相同 （C）速度相同，频率相同（D）速度不同，频率相同 3.各种不同频率范围的电磁波按频率由大到小的排列顺序是（） （A）γ射线、紫外线、可见光、红外线 （B）γ射线、红外线、紫外线、可见光 （C）紫外线、可见光、红外线、γ射线 （D）红外线、可见光、紫外线、γ射线 4.如图，顶端固定着小球的直杆固定在小车上，当小车向右做匀加速运动时，球所受合外力的方向沿图中的（） （A）OA方向（B）OB方向（C）OC方向（D）OD方向
2015年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 5 ． 考 点： 并集及其运算． 专 题： 集合． 分 析： 求出A∪B，再明确元素个数 解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 点 评： 题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 6 ． 考 点： 众数、中位数、平均数． 专 题： 概率与统计． 分 析： 直接求解数据的平均数即可． 解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6． 点 评： 本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考 点： 复数求模． 专 题： 数系的扩充和复数． 分 析： 直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 解解：复数z满足z2=3+4i，
答：可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=． 故答案为：． 点 评： 本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7 ． 考 点： 伪代码． 专 题： 图表型；算法和程序框图． 分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7． 点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为． 考 点： 古典概型及其概率计算公式． 专 题： 概率与统计． 分 析： 根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=． 故答案为：． 点 评： 本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3 ．
上海市浦东新区2017年高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A = 2. 三阶行列式3 5123 6724 ---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8 (1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是 4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为 5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是 6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b = 7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a = 8. 函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9. 过双曲线22 2:14 x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为 10. 若关于x 的不等式1|2|02x x m -- <在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围 11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且MN = AM AN ? 的取值范围是 12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且 (())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -= 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 将cos 2y x =图像向左平移 6 π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6 y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海） 物理试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟。全卷包括六大题，第一、第二大题为单项选择题，第三大题为多项选择题，第四大题为填空题，第五大题为实验题，第六大题为计算题。 一．单项选择题（共16分，每小题2分。每小题只有一个正确选项。） 1．X射线 （A）不是电磁波（B）具有反射和折射的特性 （C）只能在介质中传播（D）不能发生干涉和衍射 2．如图，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，形成水波，此时叶片A静止不动。为使水波能带动叶片振动，可用的方法是 （A）提高波源频率（B）降低波源频率（C）增加波源距桥墩的距离（D）减小波源距桥墩的距离3．如图，鸟沿虚线斜向上加速飞行，空气对其作用力可能是 （A）F1（B）F2（C）F3（D）F4 4．一定质量的理想气体在升温过程中 （A）分子平均势能减小（B）每个分子速率都增大 （C）分子平均动能增大（D）分子间作用力先增大后减小 5．铀核可以发生衰变和裂变，铀核的 （A）衰变和裂变都能自发发生 （B）衰变和裂变都不能自发发生 （C）衰变能自发发生而裂变不能自发发生 （D）衰变不能自发发生而裂变能自发发生6．232 90 Th经过一系列α衰变和β衰变后变成208 82 Pb，则208 82 Pb比232 90 Th少 （A）16个中子，8个质子（B）8个中子，l6个质子 （C）24个中子，8个质子（D）8个中子，24个质子 7．在α粒子散射实验中，电子对α粒子运动的影响可以忽略。这是因为与α粒子相比，电子的 （A）电量太小（B）速度太小（C）体积太小（D）质量太小 8．两个正、负点电荷周围电场线分布如图所示。P、Q为电场中两点，则 （A）正电荷由P静止释放能运动到Q （B）正电荷在P的加速度小于在Q的加速度 （C）负电荷在P的电势能高于在Q的电势能 （D）负电荷从P移动到Q，其间必有一点电势能为零 二．单项选择题（共24分，每小题3分。每小题只有一个正确选项。） 9．如图，长为h的水银柱将上端封闭的玻璃管内气体分隔成两部分，A处管内外水银面相平。将玻璃管缓慢向上提升H高度（管下端未离开水银面），上下两部分气体的压强变化分别为△p1和△p2，体积变化分别为△V1和△V2。已知水银密度为ρ，玻璃管截面积为S，则 （A）△p2一定等于△p1（B）△V2一定等于△V1 （C）△p2与△p1之差为ρgh（D）△V2与△V1之和为HS 10．用很弱的光做单缝衍射实验，改变曝光时间，在胶片上出现的图像如图所示，该实验表明 （A）光的本质是波（B）光的本质是粒子 （C）光的能量在胶片上分布不均匀（D）光到达胶片上不同位置的概率相同
开始 结束 S 输出Y N 4 ≥a 1 ,5←←S a a S S ?←1 -←a a 上海市松江区2014学年度第一学期高三期末考试 数学试卷（理） （满分150分，完卷时间120分钟） 2015.1 一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若复数z 满足 01 4=-z z ，则z 的值为 ▲ ． 2．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，且2)1(1 =--f ，则=-)(1x f ▲ ． 3．在等差数列 {}n a 中，15,652==a a ，则=++++108642a a a a a ▲ ． 4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则BD AE ?= ▲ ． 5．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60?，则1BC 与AC 所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）． 6．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切， 则该圆的标准方程是 ▲ ． 7．按如图所示的流程图运算，则输出的S = ▲ ． 8．已知函数 ()sin()3 f x x π ω=+（R x ∈，0>ω）的最小正周期为π， 将)(x f y =图像向左平移?个单位长度)2 0(π ?< <所得图像关于y 轴 对称，则=? ▲ ． 9．已知双曲线 2 2 214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为▲． 10．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是5的概率为 ▲ ． 11．已知函数13()sin 2cos 2122 f x x x = -+，若2()log f x t ≥对x R ∈恒成立，则t 的取值范围为 ▲ ． 12．某同学为研究函数()()()2 2 11101f x x x x =++-≤≤的性质，构造了如图所示的 两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =， 则 ()f x AP PF =+．此时max min ()()f x f x += ▲ ． 13．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[] 0,2-∈x 时， 121)(-?? ? ??=x x f ．若函数)1)(2(log )()(>+-=a x x f x g a 在区间(]6,2-恰有3个不同的零点， 则a 的取值范围是 ▲ ． 14．在正项等比数列 {}n a 中，已知120115a a <=，若集合