例、设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。
例、设矩阵01000
01000010
00
0?? ?
?= ? ???
A ,则3
A 的秩为________.
例、设A 为m n ?型矩阵,B 为n m ?型矩阵,若,=AB E 则
(A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B (C)秩(),n =A 秩()m =B
(D)秩(),n =A 秩()n
=B
专题三：线性方程组
1、解的判定定理
例、已知方程组12312
112323120x a x a x ????????????+=????????????-??????
无解,则a = _____________. 例、设有齐次线性方程组
121212(1)0,
2(2)20,(2),()0,
n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥???++++=
?
试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
例、已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα, 1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.
例、已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ??
??=??????
B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.
2、基础解系
例、设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ?矩阵,现有4个命题:
① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④
例、已知非齐次线性方程组
1234123412
341435131
x x x x x x x x ax x x bx +++=-??
++-=-??++-=? 有3个线性无关的解,
(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A .
(2)求,a b 的值及方程组的通解.
例、设11010,1,111a λλλ???? ? ?
=-= ? ? ? ?????
A b 已知线性方程组=A x b 存在两个不同的解.
(1)求,.a λ
(2)求方程组=A x b 的通解.
例、设线性方程组
12312321
23020,40
x x x x x ax x x a x ++=??
++=??++=? 与方程
12321,x x x a ++=-
有公共解,求a 的值及所有公共解. 例、设12,,
,s ααα为线性方程组=AX O 的一个基础解系,
1112221223121,,
,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα,
其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββ也为=AX O 的一个基础解系?
例、设)(432
1αααα=A 是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵。若T )0,1,0,1(是0=Ax 的一
个基础解系，则0*
=x A 的基础解系可为（ ）
A
31αα B 21αα C 321ααα D 432ααα
3、应用（数学一数学二）
例、已知平面上三条不同直线的方程分别为
:1l 032=++c by ax , :2l 032=++a cy bx ,
:3l 032=++b ay cx .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a
例、设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
专题四：向量
1、线性表示
例、设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基,则由基12311,
,23
ααα到基12233,,+++αααααα的过渡矩阵为
(A)101220033??
? ? ???
(B)120023103??
?
? ???
(C)1
112461112461112
4
6??- ? ? ?
- ? ? ?- ???
(D)1112221114441116
6
6??-
? ? ?- ? ? ?- ???
例、设向量组T
)1,0,1(1=α，T
)1,1,0(2=α，T )5,3,1(3=α不能由向量组T
)1,1,1(1=β，
T )3,2,1(2=β，T a ),4,3(3=β线性表示；
（1） 求a 的值；
（2） 将321,,βββ用321,,ααα线性表示
2、线性相关性
例、设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-???????? ? ? ? ?
===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????
其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向
量组线性相关的是（ ）
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα 例、设n 维列向量组1,,()m m n <αα线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关的充分
必要条件为
(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示 (B)向量组1,
,m ββ可由向量组1,
,m αα线性表示
(C)向量组1,,m αα与向量组1,,m ββ等价
(D)矩阵1(,,)m =A αα与矩阵1(,,)m =B ββ等价
例、设向量组I:12,,
,r ααα可由向量组II:12,,
,s βββ线性表示,则
(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关 (C)当s r <时,向量组I 必线性相关
(D)当s r >时,向量组I 必线性相关
例、设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有
(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 例、设12,,,,s ααα均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (B)若12,,,,s ααα线性相关,则12,,,,s A αA αA α线性无关
(C)若12,,,,s ααα线性无关,则12,,,,s A αA αA α线性相关 (D)若12,,
,,s ααα线性无关,则12,,
,,s A αA αA α线性无关.
3、极大无关组
例、设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T α=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= . 例、从2
R 的基1211,01????== ? ?-????αα到基1211,12????
== ? ?????
ββ的过渡矩阵为 . 4、综合运用
例、设11111
1042--?? ?
=- ? ?
--??
A ,1112-?? ?= ? ?-??ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.
专题五：特征值特征向量
1、特征值特征向量的定义与性质
例、设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .
例、若3维列向量,αβ满足2T =αβ,其中T α为α的转置,则矩阵T βα的非零特征值为 .
例、设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是
(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ
2、相似对角化
例、设矩阵12314315a -????=--??????
A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.
例、设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于
(A)1110?? ?
? ? ?
??
(B)1110??
?
? ?- ?
??
(C)1110??
?
- ? ?- ?
??
(D)1110-??
?
- ? ?- ?
??
例、设1
11140
001
1110000,111100001
11
10
00
0????
? ?
?
?== ? ? ? ?????
A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似
(D)不合同且不相似
例、设矩阵211121112--?? ?=-- ? ?--??A ,100010000?? ?
= ? ???
B ,则A 与B
(A)合同,且相似
(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似
(D)既不合同,也不相似
例、设,A B 为同阶方阵,
(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
3、对称矩阵的对角化
例、设矩阵322232223????=??????A ,010101001????=??????
P ,1*
-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,
其中*
A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.
例、设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T
T
=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.
(1)求A 的特征值与特征向量.
(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T
=Q AQ A .
例、A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且1111A 00001111-???? ? ?
= ? ? ? ?-????
求（1）A 的特征值与特征向量 （2） 矩阵A
例、设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)T λλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记53
4,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵.
(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .
例、已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2
,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .
(1)记2(,,),=P A A x x x 求B 使1
-=A PBP .
(2)计算行列式+A E .
4、应用
例、某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将
1
6
熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
2
5
成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ??
???
(1)求11n n x y ++?? ???与n n x y ?? ???的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++????= ? ?????
A
(2)验证1241,11-????
== ?
?????
ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ?? ???= ? ? ??? ?
??
时,求11.n n x y ++?? ???
例、设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ?? ?
= ? ???
A 在正交变换下的标准方程
的图形如图,则A 的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
专题六：二次型
已知实二次型3231212
32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可
化为标准型216y f =,则a =_____________.
已知二次型212
32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.
(1)求a 的值；
(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.
设二次型()()2
2
2
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值;
(2)若二次型f 的规范形为22
12
y y +,求a 的值.
设二次型123(,,)T f x x x =A x x 在正交变换x y =Q 下的标准形为22
12,y y +且Q 的第三
列为.T
(1)求.A
(2)证明+A E 为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵.
三阶矩阵10101110A a ?? ?= ? ?-??
，T
A 为矩阵A 的转置，已知()2T r A A =，且二次型
T T f x A Ax =。
1）求a
2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。
最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)
精品文档 线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2， α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。 【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2008,1）11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。
06-10年数学一考研线性代数真题部分
（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，， 如果，那么 .. （11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. （I）求a的值； （II）求正交变换，把化成标准形； （III）求方程=0的解. （21）（本题满分9分） 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A）（B） （C）（D） 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A）（B） （C）（D）
（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 (15)设矩阵A＝，则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量； 求矩阵. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. (20)（本题满分11分） ，为的转置，为的转置. （1）证；（2）若线性相关，则. （21）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.
历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关
考研数学三(线性代数)历年真题汇编1.doc
考研数学三（线性代数）历年真题汇编1 (总分：50.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：14，分数：28.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00） A.必有，一个行向量线性无关． B.任意r个行向量都线性无关． C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组． D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出． 3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00） A.A中必有两行(列)的元素对应成比例． B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． D.A中至少有一行(列)的元素全为0． 4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00） A.α1，α2，…，αs均不为零向量． B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例． C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示． D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关． 5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00） A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关． B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关． C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关． D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关． 6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00） A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1 B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3 C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1 D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α3 7.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【】（分数：2.00） A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示． B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示． C.αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示． D.αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示． 8.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是【】（分数：2.00） A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 1α2 +…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关． B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，有k 1α 1 +k 2α 2 +…+k sαs =0 C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s． D.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 9.设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】（分数：2.00） A.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．
考研线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
考研线性代数重点内容和典型题型
考研线性代数重点内容和典型题型 线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、
伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、
历年自考线性代数试题真题及答案分析解答完整版
历年自考线性代数试题 真题及答案分析解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．??? ?? ??=3332312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则= B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2
B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．． 的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线 性相关 C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关 D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出 D ．β必能由321,,ααα线性表出 8．设A 为n m ?矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于m B ．等于m C ．小于n D ．等于n 9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T A B ．2A C ．1-A D ．*A 10．二次型212 322 213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案
浙02198# 线性代数试卷 第1页（共25页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 020005 1020203 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________.
2017年自考线性代数历年考试试题及答案解析
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2 β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
考研真题数学二(2000——2018)线性代数大题
数学二线性代数 （22）（本题满分11分）（2018） 2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数 (I) 123(,,)0f x x x =求的解； (II) 123(,,)f x x x 求的规范形. （23）（本题满分11分） （2018） 1212=130=011. 27111a a a A B a ???? ? ? ? ? ? ?--???? 已知是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵 (I) ;a 求 (II) .AP B P =求满足的可逆矩阵 （22）（本题满分11分）（2017） 三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A = （2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解 （23）（本题满分11分）（2017） 设二次型13222 1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下 的标准型为221122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q . （22）（本题满分11分）（2016） 设矩阵11110111a A a a a -?? ?= ? ?++??，0122a β?? ?= ? ?-?? ，且方程组Ax β=无解。
（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求方程组T T A Ax A β=的通解。 （23）（本题满分11分）（2016） 已知矩阵011230000A -?? ?=- ? ??? （Ⅰ）求99A （Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。记100123(,,)B βββ=，将123,,βββ分 别表示为123,,ααα的线性组合。 22、（本题满分11分）（2015） 设矩阵111100a A a a ?? ?=- ? ??? ,且O A =3. （1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足E E AXA AX XA X ,2 2=+--为3阶单位矩阵，求X 。 23、（本题满分11分）（2015） 设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??，相似于矩阵12000031B b -?? ?= ? ??? ， （1）求b a ,的值（2）求可逆矩阵P ，使1 P AP -为对角矩阵。 (22)(本题满分11分)（2014） 设矩阵 ，为3阶单位矩阵. (I)求方程组 的一个基础解系； (II)求满足的所有矩阵B .
历年-全国自考线性代数试题及标准答案
历年-全国自考线性代数试题及答案
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
浙02198# 线性代数试卷 第3页（共59页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 02000 51020 20 3 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________.
线性代数考研题
2006——线性代数考研题 高数一 1(5)设矩阵21,12A E ??= ?-?? 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足2,BA B E =+则______.B = 1(11) 设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是 ( )。 ()A 若 12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关。 ()B 若 12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关。 ()C 若 12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关。 ()D 若 12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关。 2(12)设A 为三阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列 得C ，记110010001P ????=?????? ，则 ( )。 ()A 1.C P AP -= ()B 1.C PAP -= ()C .T C P AP = ()D .T C PAP = 3(20)已知非齐次线性方程组 1234123412 341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-??++-=-??+++=-? 有三个线性无关的解。 (1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； (2)求,a b 的值及方程组的通解。 3(21)设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量()()121,2,1,0,1,1,T T αα=--=-线性方程组0Ax =的两个解。 (1) 求A 的特征值与特征向量 (2) 求正交矩阵Q 和对角矩阵B ，使得T Q AQ = B 。 高数二 1(6) 设矩阵21,12A E ??= ?-?? 为2阶单位矩阵， 矩阵B 满足2BA B E =+，则______.B =
线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案,2020考研数学基础训练)
线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。 【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 441424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 0 00033(1)2105 0 0 2 0 002 2 3 2 3 30 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2008,1）11.若, 02 11=k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。
2007-2012年线性代数考研试题
144 2012年全国硕士研究生入学线性代数试题 一、填空题（每小题4分） 1.(数一) 设α为3维单位列向量, E 为3阶单位矩阵, 则矩阵E －ααT 的秩为______. 2. (数二，三) 设A 为3阶矩阵, |A|＝3,A *为A 的伴随矩阵, 若交换A 的第一行与第二 行得到矩阵B, 则|BA *|=____. 二. 选择题（每小题4分） 1.(数一，二，三) 设,0011????? ??=c α,1022????? ??=c α,1133????? ??-=c α,1144??? ? ? ??-=c α，其中4 321,,,c c c c 为任意常数, 则下列向量组线性相关的是[ ]。 (A) α1, α2, α3; (B) α1, α2, α4 ; (C) α1, α3, α4; (D) α2, α3, α4 . 2.(数一，二，三)设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵, 且???? ? ? ?=-20 0010 0011 AP P , ),,(321ααα=P ,),,(3221αααα+=Q ,则AQ Q 1 -=[ ]. （A ）????? ??100020001；（B ）????? ??20 010001 ;（C ）????? ? ?20 0010 002；（D ）???? ? ? ?10 0020 002 . 三. 计算题（每题11分）． 1.(数一,二,三) 设???? ?? ? ??-=??????? ? ?=00 11,10 100010 001 βa a a a A ， (1) 计算行列式|A|; (2) 当实数a 为何值时, 方程组 Ax ＝β有无穷多解, 并求其通解. 2.(数一，二，三) 已知?????? ? ? ?--=1001 110101a a A ，二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2， (1) 求实数a 的值; (2) 求正交变换x ＝Qy 将 f 化为标准形.
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编20.doc
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设则A与B （A）合同且相似． （B）合同但不相似． （C）不合同但相似． （D）不合同且不相似． 2 设矩阵A=，则A与B （A）合同，且相似． （B）合同，但不相似． （C）不合同，但相似． （D）既不合同，也不相似．
3 设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 4 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22—y32，其中 P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，e2，e3)，则f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为 （A）2y12—y22+y32． （B）2y12+y22—y32． （C）2y12—y22—y32． （D）2y12+y22+y32． 5 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为 （A）单叶双曲面．
（B）双叶双曲面． （C）椭球面． （D）柱面． 二、填空题 6 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=___________． 7 若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为y12+4z12=4，则 a=___________． 8 设二次型f(x1，x2，x3)=x12—x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是___________． 9 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换 化成了标准形f=y22+2y32，其中P为正交矩阵，则α=___________，β=___________． 10 若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是___________． 11 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+x2+x3)2+(x3+x1)2的秩为___________． 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3成标准形。 13 设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．
[考研类试卷]考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编11.doc
[考研类试卷]考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编11 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A相似于 ( ) 2 设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为( ) （A）2y12-y22+y32。 （B）2y12+y22-y32。 （C）2y12-y22-y32。 （D）2y12+y22+y32。 3 设矩阵A=，则A与B( ) （A）合同，且相似。 （B）合同，但不相似。
（C）不合同，但相似。 （D）既不合同，也不相似。 4 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为 ( ) 5 设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则( ) （A）a＞1。 （B）a＜一2。 （C）一2＜a＜1。 （D）a=1或a=一2。 二、填空题 6 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为__________。 7 设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为__________。 8 二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
