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绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ试题
参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=
1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．
.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3∈B, a+2=3, a=1.
2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____. [解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i 与3+2 i 的模相等，z 的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。2
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。 [解析]考查频率分布直方图的知识。 100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
112
42
2=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______ [解析]考查双曲线的定义。
4
22
MF e d ===，d 为点M 到右准线1x =的距离，d =2，MF=4。 7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______
[解析]考查流程图理解。2
412223133,+++
+=<输出25122263S =++++=。
8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2
k
x =， 所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=。 9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____来源
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
||
113
c <，c 的取值范围是（-13，13）。 10、定义在区间??
?
?
?20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 [解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=
23。线段P 1P 2的长为23
11、已知函数2
1,0()1,
0x x f x x ?+≥=?的x 的范围是__▲___。
[解析] 考查分段函数的单调性。2
2
12(1)10
x x x x ?->??∈-?->?? 12、设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y
x 的最大值是 ▲ 。
。来源[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy
=?∈，43
y x 的最大值是27。
13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b
a C a
b +=，则t a n t a n t a n t a n C C
A B
+=____▲_____。
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。 （方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。
当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =
，21cos 1tan 21cos 2C C C -==+，tan 22
C =，
tan tan tan 2
A B C
==
=tan tan A B
+= 4。 （方法二）226cos 6cos b a C ab C a b a b +=?=+，22222222
36,22
a b c c ab a b a b ab +-?=++=
2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B
+++=?=?=?由正弦定理，得：上式=222
2
2214113cos ()662
c c c c C ab a b =?===+?
14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2
(S =梯形的周长）梯形的面积
,则
S 的最小值是____▲____。
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x ，则：22
2
(3)(01)1
x S x x -==<<-
（方法一）利用导数求函数最小值。
22(3)()1x S x x -=-，2222
(26)(1)(3)
(2)
()(1)
x x x x S x x -?---?-'=- 222222
(26)(1)(3)(2)2(31)(3)
(1)(1)x x x x x x x x -?---?----==-- 1
()0,01,3
S x x x '=<<=，
当1
(0,]3
x ∈时，()0,S x '<
递减；当1[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增；
故当13x =
时，S 。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令
111
3,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈，则：22186681t S t t t t
==-+--+-
故当1
31,83x t ==时，S 。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。 （1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则
(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=
故所求的两条对角线的长分别为。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）
又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=； （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。 由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++?--=， 从而511,t =-所以11
5
t =-
。 或者：2
· AB OC tOC =，(3,5),AB =2
115||AB OC t OC ?==-
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB
∥DC ，∠BCD=900。 (1)求证：PC ⊥BC ；
(2)求点A 到平面PBC 的距离。
[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间
想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。
由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PD
DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ，
所以BC ⊥平面PCD 。
因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC 。
（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：
易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。
易知DF=
2
，故点A 到平面PBC （方法二）体积法：连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=。 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133
ABC V S PD ?=?=。 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。
又PD=DC=1，所以PC =。
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?的面积PBC S ?=
由A PBC P ABC V V --=，11
3
3
PBC S
h V ?==
，得h =
故点A 到平面PBC
17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值
(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与
β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大
B
A
E
D
分析：此题关键要找出C 点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大 解：（1）因为： tan ,tan AE AE BC
BA DA DB
αβ===，AE H = 则：tan H BA α=
，tan H DA β=，4
tan DB β
= 因为 DA DB BA =+ 所以
4tan tan tan H H
ββα
=+ 带入tan α=1.24,tan β=1.20 得
41.20 1.20 1.24
H H
=+，所以H=124m （2）由题意知：125tan d α=，4
tan DB
β=
因为BC DB DB AE DA DB BA ==+所以4125DB DB d =+则4121d DB =121
tan d
β?= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=
+125121
125121
1d d d d -
=
+
=4d d
+
≤
0d >）当且仅当125121d d ?=时，
即d =时tan()
αβ-最大，因为02
π
αβ<-<
，所以αβ-也取最大值
所以，d =时，αβ-取最大值
小结：此题主要考察学生对直角三角形角边关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题。
总结：这两题充分体现了高考是以基础性题型为主的宗旨，对学生具有扎实基础的重视。虽
说第二题与别章有结合，但都属于基本知识的结合，只要学生对各章都有一个坚实的基础，解决这些题目都不会有问题。所以，在以后解三角形的复习中，我们一定要强化三角形基本定理的熟练应用，扎实基础，注重与别章基础知识综合时的灵活运用。
18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、
),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。
（1）设动点P 满足42
2
=-PB PF ,求点P 的轨迹； （2）设3
1
,221=
=x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。
由42
2
=-PB PF ，得2222
(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92
x =
。 故所求点P 的轨迹为直线9
2
x =。 （2）将31,221=
=x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53）、N （13，209
-） 直线MTA 方程为：03
52303
y x -+=
+-，即113y x =+， 直线NTB 方程为：03
0393
y x --=
---，即5562y x =-。 联立方程组，解得：7
10
3x y =??
?=??
，
所以点T 的坐标为10(7,
)3
。 （3）点T 的坐标为(9,)m
直线MTA 方程为：
093m =-+，即(3)12y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=--，即(3)6
m
y x =-。 分别与椭圆15922=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠， 解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、222
3(20)20(,)2020m m
N m m
--++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：22
2
22
2222
203(20)
202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；
当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。
（方法二）若12x
x =，则由2222
24033608020m m m m --=++及0m >，得
m =
此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。
若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率222
2
4010802403401
80MD
m
m m k m m
m +==---+， 直线ND 的斜率222
2
201020360401
20ND
m
m m k m m m -+==
---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。 因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n
S 是公差为d 的
等差数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；
（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都
成立。求证：c 的最大值为
2
。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：0d >，
(1)(1)n d n d =-=-
21323213233()a a a a S S S S =+?=?-=，2221)]2),d a d -=
化简，得：2211,a d d d a d -+===
22(1),n d n d nd S n d =+-==，
当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形。 故所求2(21)n a n d =- （2）（方法一）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m n k S S cS m d n d c k d m n c k +>?+>??+>?， 22
2
m n c k +<
恒成立。 又n m k n m ≠=+且3，222
2
2
2
2
9
2()()92
m n m n m n k k ++>+=?>， 故92
c ≤
，即c 的最大值为29
。
d =(1)n d =
-，得0d >，22n S n d =。
于是，对满足题设的k n m ,,，m n ≠，有
22
2
2
222()99
()222
m n k m n S S m n d d d k S ++=+>==。
所以c 的最大值max 92c ≥
。 另一方面，任取实数92a >。设k 为偶数，令33
1,122
m k n k =+=-，则k n m ,,符合条件，
且22222222
331()[(1)(1)](94)222
m n S S m n d d k k d k +=+=++-=+。
于是，只要2
2
942k ak +<，即当
k >
22
122m n k S S d ak aS +
所以满足条件的2c ≤，从而max 2
c ≤。 因此c 的最大值为92
。
20、（本小题满分16分）
设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。如果存在实数a 和函数
)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函
数)(x f 具有性质)(a P 。 (1)设函数)(x f 2
ln (1)1
b x x x +=+
>+，其中b 为实数。 (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，
21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，
若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)'()f x 222121(1)(1)(1)b x bx x x x x +=
-=-+++ ∵1x >时，2
1
()0(1)h x x x =
>+恒成立，
∴函数)(x f 具有性质)(b P ；
(ii)（方法一）设2
2
2()1()124
b b x x bx x ?=-+=-+-，()x ?与)('x f 的符号相同。
当2
10,224
b b ->-<<时，()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b <-时，()x ?图像开口向上，对称轴12
b
x =
<-，而(0)1?=， 对于1x >，总有()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增；
（方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ?=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，()x ?图像开口向上，对称轴12
b
x =
>，方程()0x ?=的两根为：
(0,1)>=
当x ∈时，()x ?0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间)
上递减；同理得：)(x f 在区间[)2
b +∞上递增。
综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增；
当2b >时，)(x f 在上递减；)(x f 在)+∞上递增。
(2)（方法一）由题意，得：22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，
所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。 又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。 当1
,12
m m >
≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-，
综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立。所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增。
①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，
12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由
()g x 的单调性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，
从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设。 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，
12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ>>及()g x 的单调性知
12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。
③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）。
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A ． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
AB 是圆O 的直径，
D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
（方法一）证明：连结OD ，则：OD ⊥DC ， 又OA=OD ，DA=DC ，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO ， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO ， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD ，即OB=BC=OD=OA ，所以AB=2BC 。 （方法二）证明：连结OD 、BD 。
因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB 。 因为DC 是圆O 的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC ，所以∠DAC=∠DCA ， 于是△ADB ≌△CDO ，从而AB=CO 。 即2OB=OB+BC ，得OB=BC 。 故AB=2BC 。
B ． 选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=????
??100k ,N=??
?
???0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。
解：由题设得0010011010k k MN ??????==????????????
由00220010001022k k --??????
=?
?????
--??????
，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。 计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||
k
，则由题设知：||212k =?=。 所以k 的值为2或-2。
C ． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，
直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，
1,=解得：2a =，或8a =-。
D ． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）
设a 、b 是非负实数，求证：3322)a b a b ++。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
（方法一）证明：3322)a b a b a b ++=+
55]=-
2432234]=++++
因为实数a 、b ≥0，2432234]0≥++++≥
所以上式≥0。即有3322)a b a b +≥+。 （方法二）证明：由a 、b 是非负实数，作差得
3322)a b a b a b ++=+55]=-
当a b ≥55≥，得55]0-≥；
当a b <55<，得55]0-<；
所以3322)a b a b +≥+。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且
P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为：
（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14
5
n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。
所求概率为3
3440.80.20.80.8192P C =??+=
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
23、（本小题满分10分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。
（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,a b c ，222cos 2b c a A bc
+-=，∵,,a b c 是有理数，
222b c a +-是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴2222b c a bc
+-必为有理数，∴cosA 是有理数。
（2）①当1n =时，显然cosA 是有理数；
当2n =时，∵2cos22cos 1A A =-，因为cosA 是有理数， ∴cos 2A 也是有理数； ②假设当(2)n k k ≤≥时，结论成立，即coskA 、cos(1)k A -均是有理数。
当1n k =+时，cos(1)cos cos sin sin k A kA A kA A +=-，
1
cos(1)cos cos [cos()cos()]2k A kA A kA A kA A +=---+，
11
cos(1)cos cos cos(1)cos(1)22
k A kA A k A k A +=--++，
解得：cos(1)2cos cos cos(1)k A kA A k A +=--
∵cosA ，cos kA ，cos(1)k A -均是有理数，∴2cos cos cos(1)kA A k A --是有理数， ∴cos(1)k A +是有理数。 即当1n k =+时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB 、BC 、AC 为有理数及余弦定理知
222
cos 2AB AC BC A AB AC
+-=?是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA 和sin sin A nA ?都是有理数。
①当1n =时，由（1）知cos A 是有理数，从而有2
sin sin 1cos A A A ?=-也是有理数。 ②假设当(1)n k k =≥时，cos kA 和sin sin A kA ?都是有理数。 当1n k =+时，由cos(1)cos cos sin sin k A A kA A kA +=?-?，
sin sin(1)sin (sin cos cos sin )(sin sin )cos (sin sin )cos A k A A A kA A kA A A kA A kA A ?+=??+?=??+??，
及①和归纳假设，知cos(1)k A +和sin sin(1)A k A ?+都是有理数。 即当1n k =+时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n ，cosnA 是有理数。