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2015年江苏省高考数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)
1.(5分)(2015?江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为5.
考点:并集及其运算.
专题:集合.
:
分析:
求出A∪B,再明确元素个数
解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};
所以A∪B中元素的个数为5;
故答案为:5
点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题】
2.(5分)(2015?江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为6.
考点:众数、中位数、平均数.
专题:概率与统计.
分析:、
直接求解数据的平均数即可.
解答:解:数据4,6,5,8,7,6,
那么这组数据的平均数为:=6.
故答案为:6.
点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查.
:
3.(5分)(2015?江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.
考点:复数求模.
专题:数系的扩充和复数.
分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.
?
解答:解:复数z满足z2=3+4i,
可得|z||z|=|3+4i|==5,
∴|z|=.
故答案为:.
点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.
-
4.(5分)(2015?江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7.
考点:伪代码.
专题:图表型;算法和程序框图.
分析:…
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,
退出循环,输出S的值为7.
解答:解:模拟执行程序,可得
S=1,I=1
满足条件I<8,S=3,I=4
满足条件I<8,S=5,I=7
满足条件I<8,S=7,I=10
不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7.
。
故答案为:7.
点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题.
5.(5分)(2015?江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2
只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.
考点:古典概型及其概率计算公式.
概率与统计.
.
专题:
分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则
一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种,
其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;
<
所以所求的概率是P=.
故答案为:.
点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目.
6.(5分)(2015?江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为﹣3.
考点:】
平面向量的基本定理及其意义.
专题:平面向量及应用.
分析:直接利用向量的坐标运算,求解即可.
解答:
解:向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)
可得,解得m=2,n=5,
!
∴m﹣n=﹣3.
故答案为:﹣3.
点评:本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力.
7.(5分)(2015?江苏)不等式2<4的解集为(﹣1,2).
考点::
指、对数不等式的解法.
专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析:利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可.
解答:
解;∵2<4,
∴x2﹣x<2,
?
即x2﹣x﹣2<0,
解得:﹣1<x<2
故答案为:(﹣1,2)
点评:本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大.
8.(5分)(2015?江苏)已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为3.
两角和与差的正切函数.
、
考点:
专题:三角函数的求值.
分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.
解答:
解:tanα=﹣2,tan(α+β)=,
$
可知tan(α+β)==,
即=,
解得tanβ=3.
故答案为:3.
点评:本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.
9.(5分)(2015?江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.
>
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.
专题:计算题;空间位置关系与距离.
分析:由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.
解答:~
解:由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:.
设新圆锥和圆柱的底面半径为r,
则新圆锥和圆柱的体积和为:.
∴,解得:.
故答案为:.
点评:本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题.
:
10.(5分)(2015?江苏)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.
考点:圆的标准方程;圆的切线方程.
专题:计算题;直线与圆.
分析:求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.
)
解:圆心到直线的距离d==≤,
解答:
∴m=1时,圆的半径最大为,
∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.
故答案为:(x﹣1)2+y2=2.
点评:本题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,比较基础.
…
11.(5分)(2015?江苏)设数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为.
考点:数列的求和;数列递推式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:
数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N *),利用“累加求和”可得a n =.再
利用“裂项求和”即可得出.
<
解答:解:∵数列{a n}满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1(n∈N*),
∴当n≥2时,a n=(a n﹣a n﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=.当n=1时,上式也成立,
∴a n=.
∴=2.
∴数列{}的前n项的和S n=
=
;
=.
∴数列{}的前10项的和为.
故答案为:.
点评:本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.(5分)(2015?江苏)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.
。
考点:
双曲线的简单性质.
专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离.
解答:解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,
【
因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,
所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离,即.
故答案为:.
点评:本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.
13.(5分)(2015?江苏)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.
(
考点:
根的存在性及根的个数判断.
专题:综合题;函数的性质及应用.
分析::由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1,分别作出函数的图象,即可得出结论.
解答:解:由|f(x)+g(x)|=1可得g(x)=﹣f(x)±1.
;
g(x)与h(x)=﹣f(x)+1的图象如图所示,图象有两个交点;
g(x)与φ(x)=﹣f(x)﹣1的图象如图所示,图象有两个交点;
所以方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.
故答案为:4.
点评:本题考查求方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
&
14.(5分)(2015?江苏)设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(a k?a k+1)的值为.
考点:数列的求和.
专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用.
分析:"
利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周
期性即可得出.
解答:解:
=+
=+++
+
=++
=++,
∴(a k?a k+1)
=++++++
+…+++++
++…+
=+0+0
$
=.
故答案为:9.
点评:本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、解答题(本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)(2015?江苏)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC 的长;
《
(2)求sin2C的值.
考点:余弦定理的应用;二倍角的正弦.
专题:解三角形.
分析:(1)直接利用余弦定理求解即可.
\
(2)利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.
解答:
解:(1)由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7,
所以BC=.
(2)由正弦定理可得:,则sinC===,
∵AB<BC,∴C为锐角,
则cosC===.
因此sin2C=2sinCcosC=2×=.
\
点评:
本题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用,二倍角的三角函数,注意角的范围
的解题的关键.
16.(14分)(2015?江苏)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
(
考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质.
专题:证明题;空间位置关系与距离.
分析:(1)根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;
(2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,
即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1.
…
解答:证明:(1)根据题意,得;
E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C;
(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC,
因为AC?平面ABC,
,
所以AC⊥CC1;
又因为AC⊥BC,
CC1?平面BCC1B1,
BC?平面BCC1B1,
BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1;
又因为BC1?平面平面BCC1B1,
所以BC1⊥AC;
,
因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,
所以BC1⊥平面B1AC;
又因为AB1?平面B1AC,
所以BC1⊥AB1.
点评:本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.
17.(14分)(2015?江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=
(其中a,b为常数)模型.
—
(1)求a,b的值;
(2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;
②当t为何值时,公路l的长度最短求出最短长度.
考点:函数与方程的综合运用.
综合题;导数的综合应用.
*
专题:
分析:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,),将其分别代入y=,
建立方程组,即可求a,b的值;
(2)①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式
f(t),并写出其定义域;
②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公
路l的长度最短,并求出最短长度.
解答:解:(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,),
\
将其分别代入y=,得,
解得,
(2)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),
∴y′=﹣,
∴切线l的方程为y ﹣=﹣(x﹣t)
设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B (0,),
∴f(t)==,t∈[5,20];
②设g(t)=,则g′(t )=2t﹣=0,解得t=10,
\
t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>
0,g(t)是增函数,
从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,
∴g(t)min=300,
∴f(t)min=15,
答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米.
点评:本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.
|
18.(16分)(2015?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
专题:!
直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c 的关系,可得b,进而得到椭圆方程;
(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦
达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线
的方程.
解答:
解:(1)由题意可得,e==,
且c+=3,解得c=1,a=,
则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;
}
(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;
当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),
将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,
则x1+x2=,x1x2=,
则C (,),且
|AB|=?=,
若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;
则k≠0,故PC :y+=﹣(x ﹣),P (﹣2,),
从而|PC|=,
^
由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.
点评:本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属
于中档题.
19.(16分)(2015?江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值
范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.
(
考点:利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
专题:综合题;导数的综合应用.
分析:(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函
数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b )<0,进一步转
化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,
利用条件即可求c的值.
、
解答:解:(1)∵f(x)=x3+ax2+b,∴f′(x)=3x2+2ax,
令f′(x)=0,可得x=0或﹣.
a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′
(x)<0,
∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递
减;
a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′
(x)<0,
)
∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递
减;
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函
数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,
∵b=c﹣a,
∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.
设g(a)=﹣a+c,
∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),
∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成
立,
∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,
《
∴c=1,
此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],
∵函数有三个零点,
∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,
∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,
解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),
综上c=1.
点评:?
本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨
论的数学思想,难度大.
20.(16分)(2015?江苏)设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:2,2,2,2依次构成等比数列;
(2)是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列并说明理由;
(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列并
说明理由.
考点:$
等比关系的确定;等比数列的性质.
专题:等差数列与等比数列.
分析:(1)根据等比数列和等差数列的定义即可证明;
(2)利用反证法,假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,推出
矛盾,否定假设,得到结论;
(3)利用反证法,假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k
依次构成等比数列,得到a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)
n+3k=(a1+2d)2(n+2k),利用等式以及对数的性质化简整理得到ln(1+3t)ln(1+2t)
+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**),多次构造函数,多次求导,利用
零点存在定理,推出假设不成立.
解答:¥
解:(1)证明:∵==2d,(n=1,2,3,)是同一个常数,
∴2,2,2,2依次构成等比数列;
(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a﹣d,a,a+d,a+2d(a>d,a>﹣2d,d≠0)
假设存在a1,d使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列,
则a4=(a﹣d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4,
令t=,则1=(1﹣t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,(﹣<t<1,t≠0),
化简得t3+2t2﹣2=0(*),且t2=t+1,将t2=t+1代入(*)式,
t(t+1)+2(t+1)﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=﹣,
!
显然t=﹣不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列.
(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数
列,
则a1n(a1+2d)n+2k=(a1+2d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k),
分别在两个等式的两边同除以=a12(n+k),a12(n+2k),并令t=,(t>,t≠0),
则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k),
将上述两个等式取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)ln(1+t),
且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t),
】
化简得,2k[ln(1+2t)﹣ln(1+t)]=n[2ln(1+t)﹣ln(1+2t)],
且3k[ln(1+3t)﹣ln(1+t)]=n[3ln(1+t)﹣ln(1+3t)],
再将这两式相除,化简得,
ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t),(**)
令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)﹣ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t),
则g′(t)=[(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)
+3(1+t)2ln(1+t)],
令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)﹣3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2ln(1+t),
则φ′(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)﹣2(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)ln(1+t)],
·
令φ1(t)=φ′(t),则φ1′(t)=6[3ln(1+3t)﹣4ln(1+2t)+ln(1+t)],
令φ2(t)=φ1′(t),则φ2′(t)=>0,
由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ2′(t)>0,
知g(t),φ(t),φ1(t),φ2(t)在(﹣,0)和(0,+∞)上均单调,
故g(t)只有唯一的零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立,
所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列.点评:本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力,属于难题.
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三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)【选做题】本题包括21-24题,请选定其
中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤【选修4-1:几何证明选讲】
21.(10分)(2015?江苏)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC
于点D.
求证:△ABD∽△AEB.
考点:相似三角形的判定.
-推理和证明.
专题:
分析:直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,
可知:△ABD∽△AEB.
点评:{
本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.
【选修4-2:矩阵与变换】
22.(10分)(2015?江苏)已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.
考
点:
特征值与特征向量的计算.
专题:@
矩阵和变换.
分
析:
利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.解
答:解:由已知,可得A=﹣2,即==,
则,即,
∴矩阵A=,
从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),
(
∴矩阵A的另一个特征值为1.
点
评:
本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.
【选修4-4:坐标系与参数方程】
23.(2015?江苏)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,求圆C的半径.
考点:\
简单曲线的极坐标方程.
专题:计算题;坐标系和参数方程.
分析:先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.
解答:
解:圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ
﹣4=0,
化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,
!
化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,
圆的半径r=.
点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础,
[选修4-5:不等式选讲】
24.(2015?江苏)解不等式x+|2x+3|≥2.
绝对值不等式的解法.
^
考点:
专题:不等式.
分析:思路1(公式法):利用|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);
思路2(零点分段法):对x的值分“x≥”“x<”进行讨论求解.
解答:]
解法1:x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,
得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),
即x≥,或x≤﹣5,
即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.
解法2:令|2x+3|=0,得x=.
①当x≥时,原不等式化为x+(2x+3)≥2,即x≥,
所以x≥;
②x<时,原不等式化为x﹣(2x+3)≥2,即x≤﹣5,
$
所以x≤﹣5.
综上,原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.
点评:本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一
些,其套路为:|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)
?﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分
段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.
【必做题】每题10分,共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤
25.(10分)(2015?江苏)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
考点:二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算.
专题:空间位置关系与距离;空间角.
分析:<
以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz.
(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对
值,计算即可;
(2)利用换元法可得cos2<,>≤,结合函数y=cosx在(0,)上的单调
性,计算即得结论.
解答:解:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,
∵=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),
)
设平面PCD的法向量为=(x,y,z),
由,得,
取y=1,得=(1,1,1),
∴cos<,>==,
∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为;
(2)∵=(﹣1,0,2),设=λ=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),
又=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),
又=(0,﹣2,2),从而cos<,>==,
}
设1+2λ=t,t∈[1,3],
则cos2<,>==≤,
当且仅当t=,即λ=时,|cos<,>|的最大值为,
因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.
又∵BP==,∴BQ=BP=.
点评:本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
~
26.(10分)(2015?江苏)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n)(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Y n},令f(n)表示集合S n所含元素的个数.
(1)写出f(6)的值;
(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.
考点:数学归纳法.
专题:[
综合题;点列、递归数列与数学归纳法.
分析:
(1)f(6)=6+2++=13;
(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.
解答:
解:(1)f(6)=6+2++=13;
(2)当n≥6时,f(n)=.
下面用数学归纳法证明:
^
①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;
②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:
1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;
2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)
+2++,结论成立;
3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;
4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)
+2++,结论成立;
5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)
+2++,结论成立;
6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)
+2++,结论成立.
》
综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.
2013年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合 一、选择题 1 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则 ()=U A B ( ) A.{}134, , B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=,则 A.()01, B.(]02, C.()1,2 D.(]12, 【答案】D 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 .(2013 年高考上海卷(理))设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1.(2015·浙江湖州,1,3分)-5的绝对值是() A.-5 B.5 C.-1 5 D. 1 5 解析∵|-5|=5,∴-5的绝对值是5,故选B. 答案 B 2.(2015·浙江嘉兴,1,4分)计算2-3的结果为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析2-3=-1,故选A. 答案 A 3.(2015·浙江绍兴,1,4分)计算(-1)×3的结果是() A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析(-1)×3=-3,故选A. 答案 A 4.(2015·浙江湖州,3,3分)4的算术平方根是() A.±2 B.2 C.-2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2,故选B. 答案 B 5.(2015·浙江宁波,3,4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A.0.6×1013元B.60×1011元 C.6×1012元D.6×1013元 解析6万亿=60 000×100 000 000=6×104×108=6×1012,故选C.答案 C 6.(2015·江苏南京,5,2分)估计5-1 2介于() A.0.4与0.5之间B.0.5与0.6之间C.0.6与0.7之间D.0.7与0.8之间解析∵5≈2.236,∴5-1≈1.236, ∴5-1 2≈0.618,∴ 5-1 2介于0.6与0.7之间. 答案 C 7.(2015·浙江杭州,2,3分)下列计算正确的是() A.23+26=29B.23-26=2-3 C.26×23=29D.26÷23=22 解析只有“同底数的幂相乘,底数不变,指数相加”,“同底数幂相除,底数不变,指数相减”,故选C. 答案 C 8.★(2015·浙江杭州,6,3分)若k<90<k+1(k是整数),则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 解析∵81<90<100,∴9<90<100.∴k=9. 答案 D 9.(2015·浙江金华,6,3分)如图,数轴上的A,B,C,D四点中,与表示数-3的点最接近的是 () A.点A B.点B C.点C D.点D
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式: 棱锥的体积13 V Sh =,其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上........ . 1.已知集合{124}A =,,,{246}B =,,,则A B =U ▲ . 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 3.设a b ∈R ,,117i i 12i a b -+= -(i 为虚数单位),则a b + 为 ▲ . 4 .右图是一个算法流程图,则输出的k 的值是 ▲ . 5.函数()f x =的定义域为 ▲ . 6.现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于的概率是 ▲ . 7.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =, 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3. 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22 214x y m m -=+的离心率 m 的值为 ▲ . 9.如图,在矩形ABCD 中,2AB BC =,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若AB AF =u u u r u u u r g AE BF u u u r u u u r g 的值是 ▲ . 10.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-,上, (第4题) D A B C 1 1D 1A 1B (第7题)
应用题 1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克) 与时间t (单位:年)满足函数关系:30 0()2 t M t M - =,其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【答案】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【答案】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【答案】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20 辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 4 1 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.
8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是. 11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=, 其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.
2007年高考数学试题分类汇编(导数) (福建理11文) 已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( B ) A .()0()0f x g x ''>>, B .()0()0f x g x ''><, C .()0()0f x g x ''<>, D .()0()0f x g x ''<<, (海南理10) 曲线12 e x y =在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D ) A.29 e 2 B.24e C.22e D.2e (海南文10) 曲线x y e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D ) A.294e B.2 2e C.2 e D.2 2 e (江苏9) 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥, 则(1)'(0) f f 的最小值为( C ) A .3 B .52 C .2 D .3 2 (江西理9) 12.设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (江西理5) 5.若π 02 x <<,则下列命题中正确的是( D ) A.3sin πx x < B.3sin πx x > C.2 24sin π x x < D.2 24sin π x x >
(江西文8) 若π 02x << ,则下列命题正确的是( B ) A.2sin πx x < B.2sin πx x > C.3sin πx x < D.3 sin π x x > (辽宁理12) 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数,如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0,且()()f x g x ≥,那么下列情形不可能... 出现的是( ) A .0是()f x 的极大值,也是()g x 的极大值 B .0是()f x 的极小值,也是()g x 的极小值 C .0是()f x 的极大值,但不是()g x 的极值 D .0是()f x 的极小值,但不是()g x 的极值 (全国一文11) 曲线313y x x =+在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A ) A.19 B.29 C.13 D.23 (全国二文8) 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( A ) A .1 B .2 C .3 D .4 (浙江理8) 设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( D ) (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是____.3 (广东文12)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么A B =I ▲ . 2.若复数z 满足i 12i z ?=+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 ▲ . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 ▲ . 5.函数2 ()log 1f x x =-的定义域为 ▲ . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 ▲ . 7.已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则?的值是 ▲ . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐近线的距离为3,则其离心率的值是 ▲ . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,
cos ,02,2()1 ||,20,2x x f x x x π??=??+? ≤-≤ 则((15))f f 的值为 ▲ . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ . 11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点, 则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,(5,0)B , 以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ?=u u u r u u u r ,则点A 的横坐标为 ▲ . 13.在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=?,ABC ∠的平分线交AC 与点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 ▲ . 14.已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列 {}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ . 15.在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥. 求证:(1)11AB A B C 平面∥; (2)111ABB A A BC ⊥平面平面. 16.已知,αβ为锐角,4tan 3α=,5cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值;
2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1,(全国1理1)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N = A .}{43x x -<< B .}42{x x -<<- C .}{22x x -<< D .}{23x x << 2,(全国1文2)已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则U B A = A .{}1,6 B .{}1,7 C .{}6,7 D .{}1,6,7 3,(全国2理1)设集合A ={x |x 2–5x +6>0},B ={x |x –1<0},则A ∩B = A .(–∞,1) B .(–2,1) C .(–3,–1) D .(3,+∞) 4,(全国2文1)已知集合={|1}A x x >-,{|2}B x x =<,则A ∩B = A .(-1,+∞) B .(-∞,2) C .(-1,2) D .? 5,(全国3文、理1)已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤,,则A B = A .{}1,0,1- B .{}0,1 C .{}1,1- D .{}0,1,2 6,(北京文,1)已知集合A ={x |–1
中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、(2007湖北宜宾)实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简代数式||a +b –a 的结果是( )D A .2a +b B .2a C .a D .b 2、(2007重庆)运算)3(623m m -÷的结果是( )B (A )m 3- (B )m 2- (C )m 2 (D )m 3 3、(2007广州)下列运算中,正确的是( )C A .33x x x =? B .3x x x -= C .32x x x ÷= D .336x x x += 4、(2007四川成都)下列运算正确的是( )D A.321x x -= B.22122x x --=- C.236()a a a -=· D.23 6()a a -=- 4、(2007浙江嘉兴)化简:(a +1)2-(a -1)2=( )C (A )2 (B )4 (C )4a (D )2a 2+2 5、(2007哈尔滨)下列运算中,正确的是( )D A .325a b ab += B .44a a a =? C .623a a a ÷= D .3262()a b a b = 6.(2007福建晋江)关于非零实数m ,下列式子运算正确的是( )D A .9 23)(m m =;B .623m m m =?;C .532m m m =+;D .426m m m =÷。 7.(2007福建晋江)下列因式分解正确的是( )C A .x x x x x 3)2)(2(342++-=+-; B .)1)(4(432-+-=++-x x x x ; C .22)21(41x x x -=+-; D .)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、(2007湖北恩施)下列运算正确的是( )D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、(2007山东淮坊)代数式2346x x -+的值为9,则2463x x - +的值为( )A A .7 B .18 C .12 D .9 10、(2007江西南昌)下列各式中,与2(1)a -相等的是( )B A .21a - B .221a a -+ C .221a a -- D .2 1a + 二、填空题 b 0a
组距 分数 0.0350.0250.0150005 100 9080 70605040全国百套高考数学模拟试题分类汇编 10概率与统计 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试一)6位身高不同的同学拍照,要求分成两排,每排3人,则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_________。 答案:18 2、(皖南八校高三第一次联考)假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标,现以500袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽样本时,先将500袋牛奶按000,001,┉,499进行编号,如果从随机数表第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取,请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号____________________________________________;答案:163,199,175,128,395; 3、(蚌埠二中高三8月月考)设随机变量ξ的概率分布规律为*,)1()(N k k k c k p ∈+==ξ,则 ) 2 5 21(<<ξp 的值为___________答案:2 3 4、(巢湖市高三第二次教学质量检测)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是. 答案:15 5、(北京市东城区高三综合练习二)从某区一次期末考试中随机抽取了100 个学生的数学成绩,用这100个数据来估计该区的总体数学成绩,各分数段的人数统计如图所示. 从该区随机抽取一名学生,则这名学生的数学成绩及格(60≥的概率为;若同一组数据用该组区间的中点 (例如,区间[60,80)的中点值为70)表示,则该区学生的数学成绩 的期望值为. 答案:0.65,67 6、(北京市宣武区高三综合练习二)某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:4, 现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号的产品有16件,那么此样本容量n= 答案:72 7、(东北三校高三第一次联考)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1—— 160编号。按编号顺序平均分成20组(1—8号,9—16号,……153—160号),若第16组应抽出的号码为126,则第一组中用抽签方法确定的号码是________。 答案:6 8、(揭阳市高中毕业班高考调研测试)统计某校1000名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如右图示,规定不低于60分为及格,不 低于80分为优秀,则及格人数是;优秀率为。 答案:由率分布直方图知,及格率=10(0.0250.03520.01)0.8?++?==80%, 及格人数=80%×1000=800,优秀率=100.020.220?==%.
2008年高考数学试题分类汇编:集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集. 【考试要求】 (1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. 【考题分类】 (一)选择题(共20题) 1、(安徽卷理2)集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>,}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是( ) A .}{2,1A B =-- B . ()(,0)R C A B =-∞ C .(0,)A B =+∞ D . }{()2,1R C A B =-- 解: }{0A y R y = ∈>,R (){|0}A y y =≤e,又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e,选D 。 2、(安徽卷文1)若A 为全体正实数的集合,{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是( ) A .}{2,1A B =-- B . ()(,0)R C A B =-∞ C .(0,)A B =+∞ D . }{()2,1R C A B =-- 解:R A e是全体非正数的集合即负数和0,所以}{() 2,1R A B =--e 3、(北京卷理1)已知全集U =R ,集合{} |23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合A ∩(C U B )等于( ) A .{}|24x x -<≤ B .{}|34x x x 或≤≥ C .{}|21x x -<-≤ D .{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4],()U A B e={}|13x x -≤≤
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是. 4.(5分)函数y=的定义域是. 5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是. 6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是. 8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是. 9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.
10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是. 11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是. 12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若?=6?,则的值是. 13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是. 14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的 周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)= 其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值; (2)若=,求sin(B+)的值. 16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E.
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1.(北京卷文)(6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )。 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.(北京卷理)(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 3.(浙江)(3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 A .2 B .4 C .6 D .8 4.(全国卷一文)(5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ,2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A .122π B .12π C .82π D .10π 5.(全国卷一文)(9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 6.(全国卷一文)(10)在长方体1111ABCD A B C D -中, 2AB BC ==,1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?,则该长方体的体积为 A .8 B .62 C .82 D .83 7.(全国卷一理)(7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .172 B .52 C .3 D .2 8.(全国卷一理)(12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A . 33 B .23 C .324 D .3 9.(全国卷二文)(9)在正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1CC 的中点,则异面直线AE 与CD 所成角
A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1,点C 的坐标为(–4,0),平行四边形OABC 的顶点A ,B 在抛物线上,AB 与y 轴交于点M ,已知点Q (x ,y )在抛物线上,点P (t ,0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标; (2) 当四边形CMQP 是以MQ ,PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围; ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1:2时,求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图,已知在矩形ABCD 中,AB =2,BC =3,P 是线段AD 边上的任意一点(不含端点 A 、D ),连结PC , 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E (1)在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ,使得QC ⊥QE ?若存在,求线段AP 与AQ 之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (2)当点P 在AD 上运动时,对应的点E 也随之在AB 上运动,求BE 的取值范围. (3)存在,理由如下: 如图2,假设存在这样的点Q ,使得QC ⊥QE. 由(1)得:△PAE ∽△CDP , ∴ , ∴ ,
∵QC ⊥QE ,∠D =90 ° , ∴∠AQE +∠DQC =90 ° ,∠DQC +∠DCQ =90°, ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°, ∴△QAE ∽△CDQ , ∴ , ∴ ∴ , 即 , ∴ , ∴ , ∴ . ∵AP≠AQ ,∴AP +AQ =3.又∵AP≠AQ ,∴AP≠ ,即P 不能是AD 的中点, ∴当P 是AD 的中点时,满足条件的Q 点不存在, 综上所述, 的取值范围8 7 ≤ <2; 3.如图,已知抛物线y =-1 2 x 2+x +4交x 轴的正半轴于点A ,交y 轴于点B . (1)求A 、B 两点的坐标,并求直线AB 的解析式; (2)设P (x ,y )(x >0)是直线y =x 上的一点,Q 是OP 的中点(O 是原点),以PQ 为对角线作正方形PEQF ,若正方形PEQF 与直线AB 有公共点,求x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ,求S 关于x 的函数解析式,并探究S 的最大值. (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4