二次函数经典题型（启东教育）
1.看图，解答下列问题．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．
2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2） （1） 求这个函数的解析式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．
3.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2．
（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ，试求m 的值；
（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．
4.如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．
（1）若二次函数y ＝－x 2
－2
5kx ＋（2＋2k －k 2
）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；
（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．
5.已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin A O N ∠的值．
（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形O A N M
6.已知抛物线y=ax 2
+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0
时，其图象如图所示．
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；
(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；
(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．
7.已知抛物线c bx ax y ++=2
与y
轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22 （1） 求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0）， 且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
(第6题)
二次函数经典题型答案（启东教育）
1．解：（1）由图可知A （－1，－1），B （0，－2），C （1，1） 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c
依题意，得121
a b c c a b c -+=-??=-??++=?
，， 解得212a b c =??
=??=-?，
， ∴ y ＝2x 2＋x －2．
（2）y ＝2x 2
＋x －2＝2（x ＋4
1
）2
－
8
17
∴ 顶点坐标为（－4
1，
8
17），对称轴为x ＝－4
1
（3）图象略，画出正确图象
2．解：（1）函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）
∴9+3b -1=2，解得b =-2 ． ∴函数解析式为y =x 2-2x -1
（2）y =x 2-2x -1=(x -1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（1，-2） （3）当x =3 时，y =2， 根据图象知，当x ≥3时，y ≥2 ∴当x >0时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3．
3．解： (I)设点Ａ（x 1，0），B (x 2，0) ， 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根．
∵x 1 ＋ x 2 ＝m ， x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2；
又AB ＝∣x 1 x 2
m 2－4m ＋3=0 ．
解得：m =1或m =3(舍去) ，∴m 的值为1 ． （II ）设M (a ，b )，则N (－a ，－b ) ．
∵M 、N 是抛物线上的两点，
∴22
2,2.a m a m b a m a m b ?-+-+=??---+=-?? ①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 ． ∴a 2＝－m ＋2．
∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N ．
∴a =．
这时M 、N 到y
又点C 坐标为（0，2－m ），而S △M N C = 27 ，
∴2×12
×（2－m ）
． ∴解得m =－7 ．
4.解：（1）∵ α，β是Rt △ABC 的两个锐角，
∴ tan α·tan β＝1．tan α＞0，tan β＞0． 由题知tan α，tan β是方程 x 2
＋
2
5kx －（2＋2k －k 2
）＝0的两个根，
∴ tanx ·tan β＝（2＝2k －k 2
）＝k 2
－2k －2，∴ k 2
－2k －2＝1．
解得，k ＝3或k ＝－1． 而tan α＋tan β＝－
2
5k ＞0，
∴ k ＜0．∴ k ＝3应舍去，k ＝－1． 故所求二次函数的解析式为y ＝－x 2
＋
2
5x －1．
（2）不在． 过C 作CD ⊥AB 于D ． 令y ＝0，得－x 2
＋2
5x －1＝0，
解得x 1＝2
1，x 2＝2．
∴ A （
21，0），B （2，0），AB ＝
2
3．
∴ tan α＝2
1，tan β＝2．设CD ＝m ．则有CD ＝AD ·tan α＝2
1AD ．
∴ AD ＝2CD ．
又CD ＝BD ·tan β＝2BD ， ∴ BD ＝21CD ． ∴ 2m ＋
2
1m ＝
2
3．
∴ m ＝53．∴ AD ＝5
6．
∴ C （10
17
，5
3
）．
当x ＝10
17时，y ＝25
9≠5
3
∴ 点C 不在（1）中求出的二次函数的图象上．
5.解：（1）解方程组01342k b k b
=-+??
-=++?
得23
k b =-??
=-?，223y x x ∴=--．
（2
）顶点(14)sin 17
N O N AO N -==
，，∠
（3）在223y x x =--中，令0x =得3y =-，(03)A ∴-，， 令0y =得1x =-或3，(30)M ∴，．
S
四边形
367.52
O A N O N M S S =+=
+=△△（面积单位）
6.解：(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)， 得方程组
解得
∴抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图．
(3)由图象可知，当-1
7.（1）解法一：由已知，直线CM ：y=－x ＋2与y 轴交于点C （0,2）抛物线c bx ax y ++=2 过点C （0,2），所以c=2，抛物线c bx ax
y ++=2
的顶点M ???
?
?
?--a b ac a b 44,22
在直线CM 上，所以
20,224242
-==+=
-?b b a
b a
b
a 或解得
若b ＝0，点C 、M 重合，不合题意，舍去，所以b ＝－2。即M ??
?
??-
a a
12,1 过M 点作y 轴的垂线，垂足为Q ，在2
2
2
QM
CQ
CM CMQ Rt +=?，
中
所以，22)]12(2[)1(8a
a
--+=，解得，21±
=a 。
∴所求抛物线为：222
12
+--
=x x y 或2
22
12
+-=
x x y 以下同下。
（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M 的坐标为M （x ，y ）
∵点M 在直线2+-=x y 上，∴2+-=x y 由勾股定理得2
2
)
2(-+=
y x CM ，∵22=CM
∴22)2(-+y x =22，即8)2(22=-+y x 解方程组 {
2
8
)2(2
2
+-==-+x y y x 得{
24
11-==x y {
20
22==x y
∴M （-2，4） 或 M ‘
（2，0）
当M （-2，4）时，设抛物线解析式为4)2(2++=x a y ，∵抛物线过（0，2）点， ∴2
1-
=a ，∴222
12
+--
=x x y
当M ‘
（2，0）时，设抛物线解析式为2)2(-=x a y ∵抛物线过（0，2）点，∴2
1=
a ，∴2
22
12
+-=
x x y
∴所求抛物线为：2
22
12
+--
=x x y 或
222
12
+-=
x x y
（2）∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴222
12
+-=
x x y 不合题意，舍去。
∴抛物线应为：222
12
+--
=x x y
抛物线与x 轴有两个交点且点A 在B 的左侧，∴
222
12
=+--
x x 由，得
2421=-=x x AB
（3）∵AB 是⊙N 的直径，∴r =22 ， N （－2，0），又∵M （－2，4），∴MN = 4
设直线2+-=x y 与x 轴交于点D ，则D （2，0），∴DN = 4，可得MN = DN ，∴
?=∠45MDN ，作
NG ⊥CM 于G ，在中，NGD Rt ?2245sin =??=DN NG = r
即圆心到直线CM 的距离等于⊙N 的半径，∴直线CM 与⊙N 相切
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>- 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点二次函数易错题、重点题型汇总
二次函数知识点总结及中考题型总结
二次函数经典例题及答案
二次函数知识点总结及典型题目