第1章二次函数
1.1 二次函数
【知识与技能】
1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
【过程与方法】
经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
【情感态度】
体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.
一、情境导入，初步认识
1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0 2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有. 二、思考探究，获取新知 二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时, 要连同符号一起指出. 三、典例精析，掌握新知 例1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3)2-x 2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x ；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是2次. 3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0. 例2 讲解教材P3例题. 【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时,要注意自变量的取值范围. 例3 已知函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)(m 是常数），当m 为何值时: (1)函数是一次函数; (2)函数是二次函数. 【分析】判断函数类型,关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零,列出相应方程或不等式. 解:(1)由200 m m m ?-=?≠? 得010m m ?=≠??或 , ∴m=1.即当m=1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是一次函数. (2)由m 2-m ≠0得m ≠0且m ≠1, ∴当m ≠0且m ≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数. 【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二次函数的一些实际应用中的二次函数解析式. 四、运用新知，深化理解 1.下列函数中是二次函数的是（ ） A. 2123 y x x =+- B.y=3x 3+2x 2 C.y=(x-2)2-x 3 D.21y =- 2.二次函数y=2x(x-1)的一次项系数是（ ） A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.若函数232(3)1k k y k x kx -+=-++ 是二次函数，则k 的值为（ ） A.0 B.0或3 C.3 D.不确定 4.若y=(a+2)x 2-3x+2是二次函数，则a 的取值范围是 . 5.已知二次函数y=1-3x+5x 2,则二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项c= . 6.某校九（1）班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式 ，它 （填“是”或“不是”）二次函数. 7.如图,在边长为5的正方形中,挖去一个半径为x 的圆（圆心与正方形的中心重合），剩余部分的面积为y. (1)求y 关于x 的函数关系式； （2）试求自变量x 的取值范围； （3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（π取3.14，结果精确到十分位）. 【答案】1.D 2.D 3.A 4.a ≠-2 5.5,-3,1 6.21122 y x x = - 是 7.（1）y=25-πx 2=-πx 2+25. (2)0＜x ≤52. (3)当x=2时，y=-4π+25≈-4×3.14+25=12.44≈12.4. 即剩余部分的面积约为12.4. 【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，教师指导. 五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数的有关概念. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?与同伴交流. 【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳. 1.教材P 4第1~3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活实际之中. 1.2 二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性. 【教学重点】 1.会画y=ax2(a＞0)的图象. 2.理解,掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程. 一、情境导入，初步认识 问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢? 问题2 如何用描点法画一个函数图象呢? 【教学说明】 ①略；②列表、描点、连线. 二、思考探究，获取新知 探究1 画二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象. 画二次函数y=ax 2的图象. 【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x 2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学. ②从列表和描点中,体会图象关于y 轴对称的特征. ③强调画抛物线的三个误区. 误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势. 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法. 误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形. 如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法. 误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止. 如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法. 探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212 y x ,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质. 【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调. y=ax 2(a ＞0)图象的性质 1.图象开口向上. 2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点. 3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降. 三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数. (1)求k 的值. (2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？ 【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围. 解:(1)由已知得22042 k k k +≠+-=??? ,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数. (2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0. 由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大. 四、运用新知，深化理解 1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A.y=x 2 B.y=x-1 C. 34y x = D.y=1x 2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 3 3.抛物线y=13 x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 . 4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值. 【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导. 【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，4 ，±3,减小，增大 3 4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y 轴对称，又∵BC与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=3 . 8 五、师生互动，课堂小结 1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质. 2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流. 第1、2题. 1.教材P 7 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力. 第2课时二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质. 2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研 究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯. 【情感态度】 通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性. 【教学重点】 ①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】 二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会. 一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=1 2 x2的图象，结合y= 1 2 x2的图象，谈谈二次函数 y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？ 2.你能画出y=-1 2 x2的图象吗？ 二、思考探究，获取新知 探究1画y=ax2(a＜0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=-1 2 x2的图象. 【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学. 问:从所画出的图象进行观察,y=1 2x2与y=- 1 2 x2有何关系？ 归纳：y=1 2x2与y=- 1 2 x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两 图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论) 探究2二次函数y=ax2(a＜0)性质问：你能结合y=-1 2 x2的图象，归纳出y=ax2(a＜0)图象的性质吗？ 【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质. 1.开口向下. 2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点. 3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升. 探究3二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质 学生回答： 【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a 越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越 . 答案:y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知 例1 填空：①函数y=(-2x)2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是 . ②函数y=x2,y=1 2 x2和y=-2x2的图象如图所示， 请指出三条抛物线的解析式. 解:①抛物线，（0，0），y轴，向上； ②根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为 y=1 2 x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2. 【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错 误.抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小. 例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值. 【分析】把点(1,-1)的坐标代入y=ax2,求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值. 解:∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1,∴抛物线为y=-x2.当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2. 【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a 值. 四、运用新知，深化理解 1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（） A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴 B.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称 C.抛物线y=x 2和y=-x 2的开口方向相反 D.点（-2，4）在抛物线y=x 2上，也在抛物线y=-x 2上 2.二次函数y=ax 2与一次函数y=-ax(a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是（ ） 3.二次函数2 26(1)m m y m x +-=-,当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= . 4.已知点A （-1，y 1),B(1,y 2),C(a,y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1,则 y 1,y 2,y 3中最大的是 . 5.已知函数y=ax 2经过点(1,2).①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况. 【教学说明】学生自主完成,加深对新知的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导. 【答案】1.D 2.B 3.2 4.y 3 5.①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结 这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：（1）y=ax 2(a<0)图象的性质；（2）y=ax 2(a ≠0)关系式的确定方法. 1.教材P 10第1~2题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. 本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出y=ax 2(a ＜0)的图象和性质，进而得出y=ax 2（a ≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯. 第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 【知识与技能】 1.能够画出y=a(x-h)2的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h对二次函数图象的影响. 2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=a(x-h)2的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想. 【情感态度】 1.在小组活动中体会合作与交流的重要性. 2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识. 【教学重点】 掌握y=a(x-h)2的图象及性质. 【教学难点】 理解y=a(x-h)2与y=ax2图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的影响. 一、情境导入，初步认识 1.在同一坐标系中画出y=1 2 x2与y= 1 2 (x-1)2的图象，完成下表. 2.二次函数y=1 2 (x-1)2的图象与y= 1 2 x2的图象有什么关系？ 3.对于二次函数1 2 (x-1)2,当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当 x取何值时，y的值随x值的增大而减小? 二、思考探究，获取新知 归纳二次函数y=a(x-h)2的图象与性质并完成下表. 三、典例精析，掌握新知 例1 教材P12例3. 【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”. 例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象. 例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A 重合.①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1,y1),C(x2,y2)在抛物线l上，＜x1＜x2，试比较y1,y2的大小. 且-1 2 解:①∵y=x+1,∴令y=0，则x=-1,∴A（-1,0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为 y=-2(x+1)2. ②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1,∵a=-2＜0,∴当x＞-1时，y随x 的增大而减小，又-1 2 ＜x1＜x2,∴y1＞y2. 【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点. 四、运用新知，深化理解 1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（） A.-1 B.1 C.0 D.没有最小值 2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（） A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第二、三象限 3.在反比例函数y=k x 中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数 y=k(x-1)2的图象大致是（） 4.（1）抛物线y=1 3 x2向平移个单位得抛物线y= 1 3 (x+1)2; (2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2. 5.（广东广州中考）已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2,且过点（1，-3）. (1)求抛物线的解析式; (2)画出函数的大致图象; (3)从图象上观察,当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？ 【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑. 【答案】1.C 2.A 3.B 4.(1)左,1 (2)y=-2x2 5.解：(1)y=-1 3 (x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当 x=-2时，y有最大值0. 五、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑? 2.在学生回答的基础上,教师点评:(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2） y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系. 第1、2题. 1.教材P 12 2.完成同步练习册中本课时的练习. 通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想. 第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-h)2+k的图象和性质. 2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的位置关系. 3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化. 【过程与方法】 经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力. 【情感态度】 1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性. 2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳,类比可以获得数学猜想的乐趣. 【教学重点】 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质. 【教学难点】 由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线. 一、情境导入，初步认识 复习回顾:同学们回顾一下: ①y=ax2,y=a(x-h)2,（a≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x 的增减性分别是什么？ ②如何由y=ax2(a≠0)的图象平移得到y=a(x-h)2的图象？ ③猜想二次函数y=a(x-h)2+k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x 的增减性如何？ 二、思考探究，获取新知 探究1 y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题： ①y=-1 2 (x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？ ②将抛物线y=-1 2 x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线 y=-1 2 (x+1)2-1. 2.同学们讨论回答： ①一般地，当h＞0,k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平 移k个单位得抛物线y=a(x-h)2+k;平移的方向和距离由h,k的值来决定. ②抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？ 探究2二次函数y=a(x-h)2+k的应用 【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当 a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向. 答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下 三、典例精析，掌握新知 例1 已知抛物线y=a(x-h)2+k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴 向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式. 【分析】平移过程中,前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓 住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式. 解:抛物线y=-3(x+1)2-4的顶点坐标为（-1,-4),它是由原抛物线向右平移3 个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到 原抛物线顶点坐标为（-4，-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2. 【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化. 例2 如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台OA的高度为2m，火炬的高度为12m,距发射台OA的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C 发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C？并说明理由. 【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断. 解:该火球能点燃目标.如图,以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则点（12，20）为抛物线顶点，设解析式为y=a(x-12)2+20,∵点 （0，2）在图象上，∴144a+20=2,∴a=-1 8,∴y=- 1 8 (x-12)2+20.当x=20时， y=-1 8 ×(20-12)2+20=12,即抛物线过点（20,12),∴该火球能点燃目标. 【教学说明】二次函数y=a(x-h)2+k的应用关键是构造出二次函数模型. 四、运用新知，深化理解 1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x2,则必须（） A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位 2.抛物线y=x2-4与x轴交于B,C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（） A.45 B.45+4 C.12 D.25+4 3.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（） 4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是，顶点坐标是，当x 时，y随x的增大而增大. 5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则 a= ,c= . 6.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q（3，0）， 求平移后抛物线的解析式. 【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑. 【答案】1.B 2.B 3.C 4.y轴，（0，6），＜0 5.3,2 6.y=(x-1)2-4 五、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？ 2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质； ②如何由抛物线y=ax2平移得到抛物线y=a(x-h)2+k. 【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握y=ax2与y=a(x-h)2+k 二者图象的位置关系. 1.教材P 第1~3题. 15 2.完成同步练习册中本课时的练习. 掌握函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律. 第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 【知识与技能】 1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象. 2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x 的增减性. 3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值. 【过程与方法】 1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.在学习y=ax 2+bx+c(a ≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想. 【情感态度】 进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识. 【教学重点】 ①用配方法求y=ax2+bx+c 的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c 的图象并能说出图象的性质. 【教学难点】 能利用二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象. 一、情境导入，初步认识 请同学们完成下列问题. 1.把二次函数y=-2x 2+6x-1化成y=a(x-h)2+k 的形式. 2.写出二次函数y=-2x 2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标. 3.画y=-2x 2+6x-1的图象. 4.抛物线y=-2x 2如何平移得到y=-2x 2+6x-1的图象. 5.二次函数y=-2x 2+6x-1的y 随x 的增减性如何？ 【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax 2+bx+c 与y=a(x-h)2+k 的转化过程. 二、思考探究，获取新知 探究1 如何画y=ax 2+bx+c 图象，你可以归纳为哪几步？ 学生回答、教师点评： 一般分为三步： 1.先用配方法求出y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标. 2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象. 3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象. 探究2 二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？ 学生回答，教师点评： 抛物线y=ax 2+bx+c=224()24b ac b a x a a -++ ,对称轴为x=-2b a ,顶点坐标为(-2b a ,244ac b a -),当a ＞0时，若x ＞-2b a ，y 随x 增大而增大，若x ＜-2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，若x ＞- 2b a ，y 随x 的增大而减小，若x<-2b a ，y 随x 的增大而增大. 探究3 二次函数y=ax 2+bx+c 在什么情况下有最大值，什么情况下有最小值，如何确定？ 学生回答，教师点评： 三、典例精析，掌握新知 例1 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k 的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴. ①y=14 x 2-3x+21 ②y=-3x 2-18x-22 解：①y=14 x 2-3x+21 = 14 (x 2-12x)+21 =14 (x 2-12x+36-36)+21 =14 (x-6)2+12. ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x=6. ②y=-3x 2-18x-22=-3(x 2+6x)-22=-3(x 2+6x+9-9)-22=-3(x+3)2+5. ∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为（-3,5)，对称轴是x=-3. 【教学说明】第②小题注意h 值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解. 例2 用总长为60m 的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S 最大？ ①S 与l 有何函数关系？ ②举一例说明S 随l 的变化而变化? ③怎样求S 的最大值呢? 解:S=l (30-l ) =- l 2+30l (0＜l ＜30) =-( l 2-30l ) =-( l -15)2+225 画出此函数的图象，如图. ∴l =15时，场地的面积S 最大（S 的最大值为225) 【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分. 四、运用新知，深化理解 1.（北京中考）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为（） A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4) 2.（贵州贵阳中考）已知二次函数y=ax2 +bx+c(a ＜0)的图象如图所示，当-5 ≤x≤0时，下列说法正确的是（） A.有最小值5、最大值0 B.有最小值-3、最大值6 C.有最小值0、最大值6 D.有最小值2、最大值6 3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴. (1)给出四个结论：①a＞0;②b＞0;③c＞0； ④a+b+c=0.其中正确结论的序号是 . (2)给出四个结论:①abc＜0;②2a+b＞0;③a+c=1; ④a＞1.其中正确结论的序号是 . 【教学说明】通过练习,巩固掌握y=ax2+bx+c的图象和性质. 【答案】1.A 2.B 3.(1)①④ (2)②③④ 五、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 2.在学生回答的基础上，教师点评： （1）用配方法求二次y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴； （2）由y=ax2+bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负； （3）实际问题中自变量取值范围及函数最值. 1.教材P 15 第1~3题. 2.完成同步练习册中本课时的练习. y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规
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