简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。
现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟
其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。
而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。
我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计
算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能侃了。赫赫。尤其他们用java编写的程序，速度与用fortaun编写的速度差不多，太佩服他们了。
本来想用弹性理论中的应力张量作一番解释的。但手头没有弹性理论的书，而且对于应力如何在一个弹性体中给出的，也不太清楚。所以就此作罢了。
但要清楚地一点是，数学中定义的空间，与实际的物理空间，比如定义在一个弹性体上的应力所在的空间，是两码事清。
线性代数被捕，想想还是当时实在不能理解N维空间。三维空间好理解，想象不出N维空间是个什么玩艺儿。
其实程序中经常用数组，一维、二维、三维用惯了，多维照用就是了，根本不用想象它是平的还是方的。
张量就相当那个N维数组。
我也是数学上学习吃力.但我对四维空间最近有了新的几何理解.我认为三维物体,包括所有
星体和粒子,都以光速辐射出自身质量,就象把自身的拷贝以光速传送出去一样,产生引力场
空间.物质的全部能量以光速辐射后,对周围物体不产生任何作用,因为匀速运动的空间或能
量是对物质不产生任何作用的.这样就存在一个光速扩散的似乎与我们无关的辐射空间,即
所谓的虚空间,或第四维空间.如果物质还以2倍光速辐射能量和物质,则有第5维空间.依次类推.实空间的真空和物体,都要加速收缩,以弥补辐射损失,从而产生了引力.总之,静止和加
速运动的物体和能量,用三维空间的数学来表示;匀速运动的物体和能量,主要是光速空间,用n+3维来表示.不知我的理解是否有道理,请高人指教.
现在，一看到与相对论物理有关的东东，就感觉心烦气躁，细想，一是天资愚钝，二是功力太差。不是我这种人能理解的了得，否则，非得走火入魔。
关于维数，我一直想用通俗的语言解释清楚，一是因为给别人通俗的解释一遍，更能加深自己的理解，做一些总结，对于一个概念，如果能以通俗的语言讲，就表明对它的理解已达到一定的境界了；二是因为有些搞力学的朋友问到我关于维数的问题，但他们又不需要做很深的理论数学的学习，只需要应用数学即可。但是，解释来解释去，还是解释不清楚。前两天，与一位搞音乐的朋友交流，他讲的浅显的东西还是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了。所以，是不是对于一门学科，如果没有很深的基础做支撑，弄明白其中的一些概念，还是挺费劲的。而且，弄明白，往往是出于好奇心，并没有太大的用处。所以，现在还是很矛盾。但，还是经常写一些小散记，以记下对一些基本概念的理解。
其实，维数的概念应该最早出现在几何中(猜得)，而在拓扑学中体现的比较严谨和直观。历史上，数学家造出了一个一一映射，能把一维线段内部映为一个正方形里面，难道这说明直线与正方形同维吗？后来才发现，这个一一映射，应该加上连续这个限定词，才能保持维数的不变，这正是同胚的概念。这种概念对于我们来说是很直观的。
后来学习代数几何，它是用“环”、“模”、“群”这些代数工具来研究几何问题。结果，在里面，维数的定义一下子出现了4种，其中，最常用的一种定义是使用一种特殊的“环”定义的。这下子可真摸不着头脑了，后来时间长了，才慢慢琢磨出它们的好处了。那就是，这些概念与定义，更适合与其他分支的交叉，而不是只具备很少现代数学基础的人所能理解的。
而上面提到的n维空间的概念，在几何中是使用公理化的方式定义的。也是经过一段时间的琢磨，才感觉到这种定义方式的优越性的。而要用通俗的语言解释，现在确实非常的难。
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注！）
抛 物 线 的 焦 点 与 准 线 （ 高 中 知 识 有 关 ） 九上P54、活动2（新书） 一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线. 公式：抛物线c bx ax y ++=2 的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为a b a c y 4142--= 1) 交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）． （1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值． （3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．
＝； （3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝100 9 ，求点M 的坐标． 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案 1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y ＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5 4 y =垂直，可得
53344y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±P 坐标为（114 ） 或（1-1 4），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN 可得54 y -， 整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，23 24 t y =-（舍 3 ）， 出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度． 【推荐指数】★★★★★ 2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分) 解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ， 由???+-==-++=c b a c c b a 2401240 解得???=-==41 1 0a c b
第一部分 心理危机干预基础知识与理论技术 其成长密切相关的（安媛媛，藏伟伟，伍新春，林崇德，周佶，2011）。因 此，未来应把情绪状态作为成长的预测变量来研究。 另外，未来的研究可以将PTSD和创伤后成长同时纳入一个模型 之中，以便在比较的基础上来考察两者发生机制的异同，从而确定两 者共存的原因，进而从缓解PTSD和促进创伤后成长整合的角度出发 开展临床干预研究。 第二节?焦点解决疗法核心概念与技术 焦点解决治疗（Solution-Focused Therapy，简称SFT），兴起于20 世纪80年代，是由美国威斯康星州密尔沃基市的短期家庭治疗中心 创办人史蒂夫·沙泽尔、其韩国裔夫人茵素·金·伯格（Insoo Kim Berg）及其同事和来访者共同发展起来的，归属后现代心理治疗派 别，也常被归属为短期治疗。究其来源，SFT深受帕洛阿尔托（Palo Alto）策略学派、米尔顿·艾瑞克森（Milton Erickson）催眠学派、维 特根斯坦（Wittgensteinian）社会建构论及佛教（Buddhist）和道家（Taoist）认识论思想的影响，这使得SFT成为一种整合的系统性疗法（De Shazer等，2007）。 SFT的最大特点在于：不以病理视角分析当事人问题成因，不深 究过去缺陷，转而帮助当事人觉察已有成功经验及自身优势，治疗目 标是当事人确定的，治疗师的任务则是以尊重、合作和不评价的态 度，在当事人知觉框架内工作，针对当事人目标协助其建构出具体、 正向化、行动化、情境化的行动计划，实现筑梦踏实，小步精进的过程（MacDonald，2007；许维素，2013）。 139
晶体物理性能 南京大学物理系
由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域． 《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用． 鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容． 由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．
专题06 抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值 本内容主要研究抛物线上的点到定点与焦点(或准线)距离之差的最值.根据三角形两边之和不小于第三边，即||PA PF AF -≤，当且仅当A 、P 、F 三点共线时,||PA PF -的最大值是AF .利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化，定点所在位置是抛物线的内部还是外部，求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之和的最值时方法有差异. 先看例题： 例：抛物线C: y 2=8x 上一点P 到点A (4,-2)与到其准线的距离之差的绝对值最大,求点P 的坐 标. 归纳整理： 求抛物线上的点到定点与焦点(或准线)之差的最值： 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化； 定点所在位置是抛物线的内部还是外部； 根据三角形两边之差小于第三边，共线时取得最值. 再看一个例题，加深印象 例：已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线 上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( ) A.72 B ．3 C.52 D ．2 总结： 1. 利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化； 2. 判断定点所在位置是抛物线的内部还是外部； 3. 根据三角形两边之和大于第三边，共线时取得最值. 练习： 1. 已知抛物线22y x =，P 是抛物线上一点.设F 是焦点，一个定点为()2,3A ，当PF PA -取得最大值，则点P 的坐标是（ ）. 2. 设抛物线C : y 2=4x 上，F 是焦点，P 是抛物线上的动点，A (5,4)，求P A P F -的最大值.
中心焦点判别与Liapunov 量 例4.8 ???++='++-=') () (2 222y x ay x y y x ax y x 原点是非双曲奇点，不能通过线性近似方程的奇点类型来判断。这时线性近似方程的原点是 中心，是非双曲奇点。 而当a<0时，原点是稳定焦点；当a>0时，原点是不稳定焦点。可 见，对非双曲奇点的类型还要看高次项的性质。 上例表明线性方程的中心当方程加上高阶扰动项后可能变成焦点（称为细焦点），还有更复杂的情形，还可能变为中心焦点。因此当奇点是线性近似方程中心时，如何判断奇点类型，是一个十分困难的问题，称为中心焦点判别问题，至今仍是常微与动力系统研究中的一个难题。注意如果方程是解析的，则原点不可能是中心焦点。 当方程比较简单时，我们有可能通过Liapunov 函数判断稳定性的方法来判别中心焦点。当我们判断奇点是渐近稳定的，它一定是稳定焦点；我们判断它是不稳定的，则它一定是不稳定焦点。而当Liapunov 函数的等值线是环绕原点的封闭曲线，且沿方程的解的导数恒为零时，该奇点为中心。但当方程比较复杂时，找Liapunov 函数很困难，则判别中心焦点就很难了。读者可以从张芷芬等著“微分方程定性理论”中找到判别方法。我们下面介绍一种稍微容易的判别方法。 假设方程已经化为如下形式 ?? ?+='+-=') ,() ,(y x g bx y y x f by x (4.６) 其中b>0, f,g 都是多项式并且它们的最低次项是不低于二次的项。我们可以尝试找形如 222 3 1(,)()(,)2 n k k F x y x y F x y == ++ ∑的Liapunov 函数，其中(,)k F x y 是（x,y ）的k 次齐次 多项式，n 是某个正整数，使得在原点的一个小邻域中， 221 23 4.6(,) () (),0k k k k dF x y L x y o r L dt ++=++≠（） 其中r = 0k L <时，原点是稳定焦点；当0k L >时，原点是不稳定焦点。 这里k L 称为方程（4.6）在原点处的第k 个Liapunov 量。如果所有的Liapunov 量都为零，则原点是方程(4.6)的中心（详见张芷芬等“微分方程定性理论”）。在应用中用第一个Liapunov 量判断稳定焦点或不稳定焦点是最常用的。通过细致的推导可得（见Perko 的书 differential equations and dynamical systems ） 1L = ])()([161][16 1yy yy xx xx yy xx xy yy xx xy yyy xxy xyy xxx g f g f g g g f f f b g g f f +-+-++ +++
第一节 集合 一．考试要求： 理解集合，子集，补集，交集，并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并用它们正确表示一些简单的集合。 二．基本概念和性质 1．集合的基本概念： 某些指定的对象集在一起成为一个集合。其中每一个对象叫做集合的_______,集合中的元素具有________、_________、________三个特性。 2．集合的三种表示方法：_________、________、_________，它们各有优点，用什么方法来 表示集合要具体问题具体分析。 3．集合中元素与集合的关系分为__________或_________,它们用符号___或____表示。 4．集合间的关系及运算 子集：___________________________________称A 为B 的子集，记作为_____; 真子集：___________________________________称A 为B 的真子集，记为_____; 空集：____________________,记为_____ 补集：如果已知全集U ，集合A U ?，则U C A =_________________; 交集：A B =___________________;并集：A B =_____________________ 5.集合中常用运算性质 若,A B B A ??则______，若,A B B C ??则_______, ___A ?, 若,A ≠?则___A ?，___,__,__,__A A A A A A =?==?= __U A C A = __,()__,()__U U U A C A C A B C A B === ____A B A B A B ??=?= 6．熟练掌握描述法表示集合的方法，理解下列五个常见集合： {}{}{}{}{}(1)|()0,:______________(2)|()0,:_________________ (3)|():____________________(4)|(),:________________(5)(,)|(),:__________________________ x f x x R x f x x R x y f x y y f x x M x y y f x x M =∈>∈==∈=∈ 7．特别注意： （1）空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，特别是空集，避免误解或漏解。 （2）为了直观表示集合之间的关系，常用韦恩图来解决问题，另外要充分利用数轴和平面 直角坐标系来反映集合及其关系。 （3）解决有关集合问题，关键在于集合语言的转化。 三、例题选讲
向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能
D 卷 1．（10分）用作图法确定下列组合光组的像方焦点位置F ’、像方主点位置H ’、焦距f ’。 2． （20分）已知开普勒望远镜的视放大率?-=Γ6；视场角 62=ω；出瞳直径mm D 4=； 出瞳距mm l Z 13'=；设物镜为孔径光阑，请计算： （1） 物镜的通光口径； （2） 视场光阑的口径； （3） 目镜的通光口径； （4） 如果为了正像的需要加入棱镜系统，请问物镜的焦距f 1’、望远镜的放大率Γ， 系统展开后的筒长L 、出瞳距l ’Z 将如何变化？ 3． (10分)设已知物点A （B ），判断下图中象点A ’（B ’）有否错误, 若有则改正之。 A ’ A F ’ F 4. （10分）简述何谓光学系统的球差，并用光线描述球差及其度量。 5． (10分)解释何谓渐晕？用图示方法确定下列系统中渐晕系数分别为1、0.5、0时的成像范围？ 物面
6．（10分）一个正透镜将一实物成一实像，其共轭距为500mm，现将透镜右移100mm，这时物像仍保持原来位置不变，试求： （1）移动前后的物距、像距及其横向放大率。 （2）透镜的焦距为多少？ 7．（10分）用焦距为50、-10的两个透镜组成一伽利略望远镜。已知l H 1 =1mm，l H 1’= -2mm, l H 2 =-1.5mm, l H 2’=2mm。求 1．用图标出各透镜的基点位置。 2．求出两透镜之间的距离 8．（20分）填空 1．写出下列术语的常用数学表示： 相对孔径；数值孔径；光圈数； 光焦度；棱镜结构常数；视放大率。 2．解释下列定义 景深： 焦深： 有效放大率： 主光线： 子午面： 孔径光阑： 视场光阑： 分辨率：
人类中心主义的理论焦点 发表时间：2019-08-22T16:26:55.667Z 来源：《基础教育课程》2019年8月15期作者：吴天昊[导读] 本文对人类中心主义的内涵进行了界定，梳理了人类中心主义从古希腊至今的发展脉络，对支持和反对人类中心主义的理论进行整理和总结。 吴天昊（天津体育学院天津 301617） 摘要：在人类中心主义在实践中不断被质疑的背景下，本文对人类中心主义的内涵进行了界定，梳理了人类中心主义从古希腊至今的发展脉络，对支持和反对人类中心主义的理论进行整理和总结。 关键词：人类中心主义；人与世界关系；世界观；社会生产；生态中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-6715 （2019）08-057-01 1人类中心主义概念界定和历史沿革 1.1 概念界定 一般认为，人类中心主义是把人作为世界中心的观点，主张以人为衡量万物的尺度，一切从人的利益出发，万物为人的利益而服务。人类中心主义具有如下几个层次。第一，人类所提出的任何看法、理论，包括人类的道德体系，都是由人独立思考得出的，而不是由其他物种，这是从认知论的角度上讲；第二，人类作为地球上的一个物种，以维持生存和自身发展为目的，被生物逻辑所限制，也就是说每个物种都有自己的逻辑，都以自身为中心；第三，由于普遍认为只有人才具备理性，拥有道德，人类是道德的唯一代言人，享受道德的权利和义务，所以只有人类具有内在价值，而自然万物有帮助人类实现内在价值的间接工具价值[1]。 1.2历史沿革 “人是万物的尺度”，古希腊哲学家普罗泰格拉如是说。这可以看作是人类中心主义思想的早期萌芽，但必须主义，普罗泰格拉的思想与我们所说的人类中心主义有本质区别，他的思想建立在世界万物一体的认识之上，他所阐述的是人在世界中的内在作用。在他之后，柏拉图从理念出发构建哲学体系，虽然他的理念世界是独立于人和现实世界之外的，但理念只有人的理性才内认识，由此拉开了人类中心主义的大幕。亚里士多德直接认为世界万物是为了满足人的需要而被创造出来的；圣经说,世界是上帝创造的,而在这些创造物中,最接近上帝的形象的，所以最高级，世界为人而创造，为人所利用，为人而主宰和统治。笛卡尔甚至不认为动物能够感受到痛苦，因为它们不具有灵魂，只是能对刺激做出反应的“自动机”。康德判断人类是唯一拥有理性的存在物，而其他生物不具备，应该被当作工具对待。至此人类中心主义发展成熟，并被广泛采用到人类的生产实践中。 2对人类中心主义的争论 2.1支持 人类中心主义者有这样的观点：第一，从生物学角度加以阐述，个体和种群存在的目的就是将自身的基因传递下去，每个物种都是为了基因的延续而拼搏，这种目的当然是自私的，而且是合理的，人类以自身延续为中心对待世界万物是理所当然的。这样，人类必然的以主客关系的方式认知和实践，不管面对任何事物，都以我为主，一切为我，自我中心是生命的本质特点。第二，从价值上讲，人是价值的源头，一切事物的价值由人来衡量，是人的主观意愿的投射，人类可以根据自己的意愿改变，甚至毁灭自然物。第三，从伦理学角度看，道德的根本目的是维护人类种群的整体利益，因此没有必要对其他非人的存在物讲道德法则，只要不损害其他人的利益，对自然物的破坏就是可以接受的。也有一些人类中心主义者认为，作为共同生活在同一个星球上的成员，我们同其他生物之间存在一定的伦理关系，对它们也负有一些伦理责任，主张与其他万物建立类似君主与臣民的关系[2]。 2.2反对 长期以来的人类中心主义，以及在此指导下发生的人类行为造成了许多严重的生态问题，危及人类的生存，也在思想上给人类带来巨大冲击，对人类中心主义的反对之声此起彼伏。反对这的依据大体有如下几种：第一，宇宙科学早已经告诉我们，早在人类出现之前，宇宙早已存在，人类不是，也根本不可能是世界的中心。人类不过是自然的一个部分，只能说满足人的需要是人类社会的中心问题，人类绝不是万事万物的中心，。 第二，人类中心论以人类具有其他生物不具备的特殊属性为由，给予人类享受的道德关怀的权利，而其他生灵则不在此列。这里就产生了一个矛盾：动物之中也存在拥有自我意识、有较高智力水平、能使用工具的成员，而人类中却存在一些不符合此标准的个体。所以，是否具有一些能力并不是获得道德关怀的依据。 人类中心主义者往往认为道德的意义是为人类带来利益。在日常生活里，一切以自身利益为中心的人一定会被认为是利己主义者，并接受社会的质疑和批评。这种利己主义上升为种群行为后，就摇身一变，成为合情合理的，实在是奇怪。这是因为自然界没有其他物种能够对人类进行质疑和批判。但是，没有批判者并不能说明这种做法是正确的，人类应当自我监督。可以看到，人类历史就是不断过大道德关怀对象的过程，这个过程应当会推广到人类以外的动物、植物乃至万事万物之上。 第三，值得注意的是，第一种意义上的人类中心主义是无法反驳的，也就是生物学意义。因为任何反对的思想必须是人来提出，也必然存在人类主观的痕迹，只会陷入自相矛盾的境地。 参考文献 [1]徐谋昌.走出人类中心主义. 自然辩证法研究V ol.10,No.7,1994. [2]杨通进.人类中心论与环境伦理学.中国人民大学学报1998年第 6期.
《微波技术基础》课程学习知识要点 第一章学习知识要点 1．微波的定义—把波长从1米到0.1毫米范围内的电磁波称为微波。微波波段对应的频率范围为: 3×108Hz～3×1012Hz。在整个电磁波谱中，微波处于普通无线电波与红外线之间，是频率最高的无线电波，它的频带宽度比所有普通无线电波波段总和宽10000倍。一般情况下，微波又可划分为分米波、厘米波、毫米波和亚毫米波四个波段。 2．微波具有如下四个主要特点：1) 似光性、2) 频率高、3) 能穿透电离层、4) 量子特性。 3．微波技术的主要应用：1) 在雷达上的应用、2) 在通讯方面的应用、3) 在科学研究方面的应用、4) 在生物医学方面的应用、5) 微波能的应用。 4．微波技术是研究微波信号的产生、传输、变换、发射、接收和测量的一门学科，它的基本理论是经典的电磁场理论，研究电磁波沿传输线的传播特性有两种分析方法。一种是“场”的分析方法，即从麦克斯韦方程出发，在特定边界条件下解电磁波动方程，求得场量的时空变化规律，分析电磁波沿线的各种传输特性；另一种是“路”的分析方法，即将传输线作为分布参数电路处理，用克希霍夫定律建立传输线方程，求得线上电压和电流的时空变化规律，分析电压和电流的各种传输特性。 第二章学习知识要点 1. 传输线可用来传输电磁信号能量和构成各种微波元器件。微波传输线是一种分布参数电路，线上的电压和电流是时间和空间位置的二元函数，它们沿线的变化规律可由传输线方程来描述。传输线方程是传输线理论中的基本方程。 2. 均匀无耗传输线方程为
() ()()()d U z dz U z d I z dz I z 22222 20 -=-=ββ 其解为 ()()() U z A e A e I z Z A e A e j z j z j z j z =+=---120121ββββ 对于均匀无耗传输线,已知终端电压U 2和电流I 2，则: 对于均匀无耗传输线,已知始端电压U 1和电流I 1，则: 其参量为 Z L C 00 0=，βπλ=2p ，v v p r =0 ε，λλεp r =0 3. 终端接的不同性质的负载，均匀无耗传输线有三种工作状态： (1) 当Z Z L =0时，传输线工作于行波状态。线上只有入射波存在，电压电流振幅不变，相位沿传播方向滞后；沿线的阻抗均等于特性阻抗；电磁能量全部被负载吸收。 (2) 当Z L =0、∞和±jX 时，传输线工作于驻波状态。线上入射波和反射波的振幅相等，驻波的波腹为入射波的两倍，波节为零；电压波腹点的阻抗为无限大，电压波节点的阻抗为零，沿线其余各点的阻抗均为纯电抗；电压（电流）波腹点和电压（电流）波节点每隔λ4交替出现，每隔2λ重复出现；没有电磁能量的传输，只有电磁能量的交换。 (3) 当Z R jX L L L =+时，传输线工作于行驻波状态。行驻波的波腹小于两倍入射波，波节不为零；电压波腹点的阻抗为最大的纯电阻R Z max =ρ0，电压波节点的阻抗为最小的纯电阻R Z min =0ρ； ()()?????-=-= sin cos sin cos 011011Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ()()?????+=+= sin cos sin cos 022022Z z jU z I z I z Z jI z U z U ββββ
简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。 张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。 张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。 在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。 要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。 现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。 其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。 公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。 应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟 其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。 而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。 我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
二次函数中的焦点与准线问题 【例题讲解】 （2011年·黄冈市）如图所示，过点F （0，1）的直线y =kx ＋b 与抛物线214y x =交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＜0）． ⑴求b 的值． ⑵求x 1?x 2的值 ⑶分别过M 、N 作直线l ：y =－1的垂线，垂足分别是M 1、N 1，判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由． 解：⑴b =1 ⑵显然11x x y y =??=?和22x x y y =??=?是方程组 2114 y kx y x =+???=??的两组解，解方程组消元得21104 x kx --=，依据“根与系数关系”得x 1·x 2=－4. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下： 由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4， 而FF 1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F =∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠ M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形． ⑷存在，该直线为y =－1．理由如下： 直线y =－1即为直线M 1N 1． 如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=2114 m +， NF =2114 m +，得NN 1=NF 同理MM 1=MF ． 那么MN =MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ =12（MM 1＋NN 1）=12 MN ，即圆心到直线y =－1的距离等于圆的半径，所以y =－1总与该圆相切．
激光切割中的焦点位置检测方法研究 激光切割加工具有切割精度高、切割速度快、热效应低、无污染、无噪音等优点，在汽车、船舶、航空航天和电子工业中都得到了广泛的应用。而激光切割加工质量与激光焦点与工件之间的相对位置有着密切的关系，保证激光焦点和切割对象之间的合理的相对位置是保证激光切割加工质量的关键之一。 激光聚焦的焦点位置无法直接测量，但可以通过间接方法检测。对于一个激光切割加工系统，其焦点位置是由聚焦镜的光学焦点决定的，所以在聚焦镜一定情况下其位置是不变的（不考虑聚焦镜的热效应），因此可以通过检测聚焦镜和被加工对象之间的相对位置来间接检测焦点和被加工对象之间的位置关系。 激光焦点和被加工对象之间的相对位置可以通过电感位移传感器和电容传感器来检测，在使用中各有优缺点。电感传感器的响应频率较低，不太适用于高速加工和一维加工这样需要非接触检测的场合；电容传感器，具有响应速度快，检测精度高等优点，但在使用过程中存在非线性和易受激光切割加工过程中产生的等离子云和喷渣的干扰的影响。 本文将系统讨论激光切割加工中激光焦点位置误差的产生途径和自动消除误差的控制系统的组成。在此基础上分别讨论了两种传感器检测系统组成以及实际使用中存在的不足和克服的方法。 1 激光切割过程中焦点位置误差的产生 在激光切割过程中，产生焦点和被加工对象表面之间相对位置发生变化的因素很多，被加工工件表面凸凹不平、工件装夹方式、机床的几何误差以及机床在负载力下的变形、工件在加工过程中的热变形等都会造成激光焦点位置和理想给定位置（编程位置）发生偏差。有些误差（如机床的几何误差）具有规律性，可以通过定量补偿方法进行补偿，但有些误差为随机误差，只能通过在线检测和控制来消除，这些误差是： 1.1 工件几何误差 激光切割的对象为板材或覆盖件型零件，由于各种原因的影响，加工对象表面具有起伏不平，且在切割过程中的热效应的影响也会产生薄板零件的表面变形，对于一维激光加工，覆盖件在压制成型过程中也会产生表面的不平，所有这些，都会产生激光焦点与被加工对象表面的位置与理想位置发生随机变化。 1.2 工件装夹装置产生的误差 激光切割加工的工件是放在针状工作台上，由于加工误差、长时间与工件之间的磨损和
NBLOCK:在调用Vumat时需要用到的材料点的数量 Ndir：对称张量中直接应力的数量（sigma11,sigma22,sigma33） Nshr：对称张量中间接应力的数量(sigma12, sigma13, sigma23) Nstatev:与材料类型相关联的用户定义的状态变量的数目 Nfieldv：用户定义的外场变量的个数 Nprops:用户自定义材料属性的个数 Lanneal：指示是否在退火过程中被调用例程的标志。Lanneal=0，指示在常规力学性能增量，例程被调用。Lanneal=1表示，这是退火过程，你应该重新初始化内部状态变量， stepTime：步骤开始后的数值 totalTime：总时间 Dt：时间增量值 Cmname：用户自定义的材料名称，左对齐。它是通过字符串传递的。一些内部材料模型是以“ABQ_”字符串开头给定的名称。为了避免冲突，你不应该在“cmname”中使用“ABQ_”作为领先字符串。 coordMp(nblock,*)：材料点的坐标值。它是壳单元的中层面材料点，梁和管（pipe）单元的质心。 charLength(nblock)： 特征元素长度，是基于几何平均数的默认值或用户子程序VUCHARLENGTH中定义的用户特征元长度。 props(nprops)：用户使用的材料属性 density(nblock)：中层结构的物质点的当前密度
strainInc (nblock, ndir+nshr)：每个物质点处的应变增量张量 relSpinInc (nblock, nshr)：在随转系统中定义的每个物质点处增加的相对旋转矢量 tempOld(nblock)：物质点开始增加时的温度。 defgradOld (nblock,ndir+2*nshr)：在增量开始时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） stretchOld (nblock, ndir+nshr) fieldOld (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义场变量的值stressOld (nblock, ndir+nshr)：在增量开始时，每个物质点处的应力张量：stateOld (nblock, nstatev)：在增量开始时，每个物质点处的状态变量：tempNew(nblock)：在增量结束时，每个物质点处的温度 defgradNew (nblock,ndir+2*nshr)：在增量结束时，每个物质点出的变形梯度张量，在3d中形为（F11, F22，F33，F12，F23，F31，F21，F32，F13）,在2d中形为（F11，F22，F33，F12，F21） fieldNew (nblock, nfieldv)：在增量开始时，每个物质点处用户定义长变量的值
二次函数中的焦点与准线问题 1.（2015年福建泉州）抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距 离相等，你可以利用这一性质解决问题． 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A， B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点． （1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°； （2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点． ①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）； ②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围． 2.(2014年湖北咸宁) 如图1，P（m，n）是抛物线 2 1 4 x y=-上任意一点，l是过点（0， 2-）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H． 【探究】 （1）填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝；【证明】 （2）对任意m，n，猜想OP 与PH的大小关系，并证明你的猜想． 【应用】 （3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线 2 1 4 x y=-上滑动，求A，B两点到 直线l的距离之和的最小值． (第23题图1) (第23题图2)
3. （2013?南宁）如图，抛物线y=ax 2 +c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值； ②试说明无论k 取何值， 的值都等于同一个常数． 4.（2015·四川资阳）已知直线y=kx+b （k ≠0）过点F （0，1），与抛物线y =14 x 2 相交于B 、C 两点. （1）如图13-1，当点C 的横坐标为1时，求直线BC 的解析式； （2）在（1）的条件下，点M 是直线BC 上一动点，过点M 作y 轴的平行线，与抛物线交于点D ，是否存在这样的点M ，使得以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图13-2，设,B m n （）(m <0)，过点01E （，）的直线l ∥x 轴，BR ⊥l 于R ，CS ⊥l 于S ，连接FR 、FS ．试判断△RFS 的形状，并说明理由． 5.抛物线y = 14 x 2 +x+m 的顶点在直线y=x+3上，过点F （-2,2）的直线交该抛物线于点M ，N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B. （1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示）,再求m 的值； （2）设点N 的横坐标为a,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF=NB ；
与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件
9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件
10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件
第34卷第10期2004年10月数学的实践与认识 M AT HEM A TICS IN PRACTICE A ND T HEORY V o l.34 No.10 Octo ber ,2004 生态系统中心焦点判定的新方法 贾建文 (山西师范大学数学与计算机科学学院,山西临汾 041004)摘要: 给出在生态系统的研究中,中心焦点判定的一种新方法.利用这种方法对一类生物化学反应模型 进行了中心焦点的判定,从而比较完整地对相应的系统作了研究. 关键词: 生态系统;平衡点;中心;细焦点 0 引 言 收稿日期:2001-11-21基金项目:山西省青年科技研究基金项目(20021004) 众所周知,在生物数学领域,人们利用动力学方法建立许多种群动力学模型、生物化学模型、传染病模型等微分方程模型[1,2].研究的主要问题就是这些生态系统是否具有一个或多个平衡状态?这些平衡态是静平衡还是动平衡?在数学上就是对应微分系统的平衡点(或奇点)和周期解(或极限环).这些问题研究难点之一就是平衡点的中心和焦点的判别问题.过去已有许多文章研究过平面系统,给出了一些判别方法.例如:形式级数法、Po incare-Bir khoff 的PB 规范形法[3].目前有关研究生态系统的文章,其中心焦点的判定都是采用这两种方法之一.由于这两种方法计算很麻烦,实际使用起来很不方便,使得有些文章中计算结果很繁杂,难以判断准确;有的就不得不放弃对这一方面的讨论[4],从而降低了论文的质量.本文介绍一种新方法,其理论证明可详见文[5],这种方法对平面广义Lienard 方程奇点(0,0)给出中心焦点的判定准则.此时只需将f (x ),g (x )作麦克劳林级数展开(通常展到第二、三项即可),在生态系统讨论中使用很方便.这是因为几乎所有生态系统均可化为广义Lienard 方程且对于具体的f (x ),g (x )作级数展开很容易.本文首先介绍这一方法,然后利用此法讨论文[4]中所研究的生态系统平衡点的中心焦点问题.1 中心焦点判定新方法 考虑广义Lienard 方程 x a =<(y )-F (x ) y a =-g (x ) (1) 假定方程(1)满足下列条件: (i )F (x ),g (x ),<(y )分别在x =0和y =0的某邻域内解析; (ii)F ′(x )=f (x ),f (0)=0,F (0)=0; (iii)存在D 1>0,当?x ?