苏教版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
全等三角形的概念和性质（提高）
【学习目标】
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【要点梳理】
【379108 全等三角形的概念和性质基本概念梳理回顾】
要点一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
要点四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等；
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】
类型一、全等形和全等三角形的概念
1、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.
【答案】（1）（4）（5）（6）；
【解析】（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等.
【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.
举一反三：
【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
【答案】B；
提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，
B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要
通过平移或旋转使它们重合.
类型二、全等三角形的对应边，对应角
2、（2016春?新疆期末）如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（）
A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，
即∠BAF=∠EAC.
【总结升华】全等三角形的对应顶点的字母放在对应位置上容易确定出对应边或对应角. 类型三、全等三角形性质
3、（2014秋?盐城期中）如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？
【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD ﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．
【答案与解析】
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2014春?吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【答案】C；
提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C．
【全等三角形的概念和性质例14】
4、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶
∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.
【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN 等于（）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【答案】D；
提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，则3x＋5x＋10x＝18x
＝180°，x＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN
＝20°：80°＝1：4.苏教版八年级上册数学
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【巩固练习】
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2. （2016春?哈尔滨校级月考）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°，∠DAB：
∠DAC=4：3，则∠EFC的度数为（）
A．30°B．40°C．70°D．80°
3.下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，
相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
4．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB＝35cm，DF ＝30cm，则EF的长为（）
A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm
5.（2014秋?红塔区期末）如图，已知△ACE≌△DFB，下列结论中正确的个数是（）
①AC=DB；②AB=DC；③∠1=∠2；④AE∥DF；⑤S△ACE=S△DFB；⑥BC=AE；⑦BF∥EC．
6.如图，△ABE≌△ACD,AB＝AC, BE＝CD, ∠B＝50°,∠AEC＝120°，则∠DAC的度数为（）
A.120°
B.70 °
C.60°
D.50°
二、填空题
7. （2016春?常熟市期末）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G，若∠B=24°，∠CAB=54°，∠DAC=16°，则∠DGB=．
8. 如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE的长是________.
9. 如图，△ABC≌△ADE，则，AB＝，∠E ＝∠；若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，
则∠BAC＝___________.
10.（2014?梅列区质检）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为
__________．
11. △ABC中，∠A∶∠C∶∠B＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______
12. 如图,AC、BD相交于点O，△AOB≌△COD，则AB与CD的位置关系是.
三、解答题
13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC≌△DFC，你能判断DE与AB互相垂直吗？说出
你的理由.
14.（2014秋?无锡期中）如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE
的度数和EC的长．
15.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
（2）设AED
∠的度数为x，∠A D E的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
（3）∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】 B；
【解析】①②③是正确的；
2. 【答案】C；
【解析】∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∠E=∠C=30°．∵∠DAB：∠DAC=4：3，∴∠DAB=40°，∠DAC=30°，∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC=70°﹣30°=40°，∴∠EFC=∠E+∠EAC=30°+40°=70°．
3. 【答案】C；
【解析】只有（3）是正确的命题；
4. 【答案】A；
【解析】AC＝DF＝30，EF＝BC＝100－35－30＝35；
5. 【答案】C；
【解析】解：∵△ACE≌△DFB，
∴AC=DB，①正确；
∠ECA=∠DBF，∠A=∠D，S△ACE=S△DFB，⑤正确；
∵AB+BC=CD+BC，
∴AB=CD ②正确；
∵∠ECA=∠DBF，
∴BF∥EC，⑦正确；
∠1=∠2，③正确；
∵∠A=∠D，
∴AE∥DF，④正确．
BC与AE，不是对应边，也没有办法证明二者相等，⑥不正确．
故选C．
6. 【答案】B；
【解析】由全等三角形的性质，易得∠BAD＝∠CAE＝10°，∠BAC＝80°，所以∠DAC＝70°.
二.填空题
7. 【答案】70°；
【解析】∵∠B=24°，∠CAB=54°，∠DAC=16°，∴∠AFB=180°﹣（∠B+∠CAB+∠DAC）=86°，∴∠GFD=∠AFB=86°，∵△ABC≌△ADE，∠B=24°，∴∠D=∠B=24°，
∴∠DGB=180°﹣∠D﹣∠DFG=70°．
8. 【答案】7cm；
【解析】BC与DE是对应边；
9．【答案】AD C 80°；
【解析】∠BAC＝∠DAE＝120°－40°＝80°；
10.【答案】30°；
【解析】解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∵∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠ACB﹣∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=30°．
故答案为：30°.
11.【答案】40°；
【解析】∠DEF ＝∠ABC ＝2432
++×180°＝40°； 12.【答案】平行；
【解析】由全等三角形性质可知∠B ＝∠D ，所以AB ∥CD.
三.解答题
13.【解析】DE 与AB 互相垂直.
∵△ABC ≌△DFC
∴∠A ＝∠D ，∠B ＝∠CFD ，
又∵∠ACB ＝90°
∴∠B ＋∠A ＝90°，而∠AFE ＝∠CFD
∴∠AFE ＋∠A ＝90°，即DE ⊥AB.
14.【解析】
解：∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣30°﹣50°=100°，
∵△ABC ≌△DEF ，
∴∠DFE=∠ACB=100°，EF=BC ，
∴EF ﹣CF=BC ﹣CF ，即EC=BF ，
∵BF=2，
∴EC=2．
15.【解析】
（1）△EAD ≌△EA D '，其中∠EAD ＝∠EA D '，AED A ED ADE A DE ''=∠=，∠∠∠；
（2）∠1＝180°－2x ，∠2＝180°－2y ；
（3）规律为：∠1＋∠2＝2∠A ．
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知识点梳理及重点题型巩固练习
全等三角形判定一（ASA ，SAS ）（提高）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”，和判定方法2——“边角边”；
2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
【379110 全等三角形判定二，知识点讲解】
要点一、全等三角形判定1——“角边角”
全等三角形判定1——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .
要点二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“角边角”
1、如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.
【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF
【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵B F 平分∠ABC
∴∠A BC ＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE 与△BCF 中
??
???∠=∠=∠=∠C DAC BC
AD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）
∴D E ＝BF
【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．
举一反三：
【379110 全等三角形判定二，例7】
【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．
求证：HN ＝PM.
【答案】
证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，
∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ 和△NHQ 中，
12MQ NQ MQP NQH ∠=∠??=??∠=∠?
∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）
∴PM ＝HN
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．
【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.
【答案与解析】
证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．
在△ABD 和△ECD 中，AD ＝DE ，∠ADB ＝∠EDC ，BD ＝CD ．
∴△ABD ≌△ECD ．
∴AB ＝CE ．
∵AC ＋CE ＞AE ，
∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．
【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．
3、（2016?济宁二模）已知：如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，BF=CE,AC=DF,且AC ∥DF,求证：△ABC ≌△DEF ．
【思路点拨】求出BC=FE ，∠ACB=∠DFE ，再根据SAS 推出全等即可．
【答案与解析】
证明：∵BF=CE
∴BF+FC=CE+FC
∴BC=FE
∵AC ∥DF
∴∠ACB=∠DFE ，
在△ABC 和△DEF 中，
AC DF ACB DFE BC EF =??=??=∠?
∠，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．
【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等，注意等量加等量，和相等. 举一反三：
【变式】（2015?启东市模拟）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF ，AC=DF ；
②AB=DE，∠B=∠E ．BC=EF ；
③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；
④AB=DE，AC=DF ，∠B=∠E ．
其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
【答案】C ．
解：第①组满足SSS ，能证明△ABC ≌△DEF ．
第②组满足SAS ，能证明△ABC ≌△DEF ．
第③组满足ASA ，能证明△ABC ≌△DEF ．
第④组只是SSA ，不能证明△ABC ≌△DEF ．
所以有3组能证明△ABC ≌△DEF ．
故符合条件的有3组．
故选：C ．
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、如图，公园里有一条“Z 字形道路ABCD ，其中AB ∥CD ，在AB ，BC ，CD 三段路旁各有一个小石凳E ，M ，F ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点.试判断三个石凳E ，M ，F 是否恰好在一条直线上？为什么？
【答案与解析】三个小石凳在一条直线上
证明：∵AB 平行CD （已知）
∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）
∵M 在BC 的中点（已知）
∴BM ＝CM （中点定义）
在△BME 和△CMF 中
BE CF B C BM CM =??∠=∠??=?
∴△BME ≌△CMF （SAS ）
∴∠EMB ＝∠FMC （全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°（等式的性质）
∴E ，M ，F 在同一直线上
【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME ≌△CMF ，可得∠EMB ＝∠FMC ，再由∠EMF ＝∠EMB ＋∠BMF ＝∠FMC ＋∠BMF ＝∠BMC ＝180°得到E ，M ，F 在同一直线上.
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【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?宁波）如图，口ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能为（ ）
A.BE=DF
B.BF=DE
C.AE=CF
D.∠1=∠2
2．如图，AD 是ABC ?的中线，E 、F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连接BF 、CE ，下列说法：①CE BF =；② ABD ?和ACD ?的面积相等；③//BF CE ；④ BDF ?≌CDE ?，其中正确的有（ ）．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. AD 为△ABC 中BC 边上的中线, 若AB ＝2, AC ＝4, 则AD 的范围是( )
A .AD ＜6 B. AD ＞2 C. 2＜AD ＜6 D. 1＜AD ＜3
4．如图，AB ＝DC ，AD ＝BC ，E 、F 是DB 上两点，且BF ＝DE ，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（ ）．
A.150°
B.40°
C.80°
D.90°
5. 根据下列条件能唯一画出△ABC 的是（ ）
A.AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8
B.AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°
C.AB ＝5，AC ＝6，∠A ＝45°
D. ∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°
6.（2016?永州）如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD （ ）
A ．∠B=∠C
B ．AD=AE
C ．BD=CE
D ．BE=CD
二、填空题
7.（2015?齐齐哈尔）如图，点B 、A 、D 、E 在同一直线上，BD=AE ，BC ∥EF ，要使△ABC ≌△DEF ，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
8．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC,再
?，定出BF的垂线DE，使A，C，E在同一条直线上，如图8，可以得到EDC ABC
?的理由是 .
所以ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定EDC ABC
9. 如图，已知AE＝AF，AB＝AC，若用“SAS”证明△AEC≌AFB，还需要条件 .
10. （2016?微山县二模）如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，请你补充一个条件，使△ABC≌△CDA．
11. 如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝°.
AA BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），12. 把两根钢条','
如图，若测得AB＝5厘米，则槽宽为厘米．
三、解答题
13.（2014?房山区二模）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
14. 如图, ∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF.
求证: ∠EDF ＝ 90?－1
2
∠A
15. 已知：如图，BE、CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ＝AB，
求证：AP⊥AQ.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】解：A、当BE=FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF=ED，
∴BE=DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1=∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选C．
2. 【答案】D；
3. 【答案】D；
【解析】用倍长中线法；
4. 【答案】D；
【解析】证△ABE≌△CDF，△ADE≌△BCF；
5. 【答案】C；
【解析】A不能构成三角形，B没有SSA定理，D没有AAA定理.
6. 【答案】D；
【解析】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．
二.填空题
7. 【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF.
8. 【答案】ASA；
【解析】根据已知条件可得∠ABC=∠EDC=90°,BC=DC,∠ACB=∠ECD(对顶角)：满足三角形全等判定定理ASA得△ABC≌△EDC
9. 【答案】∠EAB＝∠FAC；
【解析】答案不唯一.
10.【答案】AD=BC；
【解析】由题意知，已知条件是△ABC与△CDA对应角∠1=∠2、公共边AC=CA，所
以根据全等三角形的判定定理SAS 来证△ABC ≌△CDA 时，需要添加的条件是AD=BC.
11.【答案】27；
【解析】可证△ADB ≌△CDB ≌△CDE.
12.【答案】5；
三.解答题
13.【解析】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE ，
即∠DAE=∠BAC ，
又∵AB=AD ，AC=AE ，
∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．
14.【解析】证明：在△ABC 中，∠B ＝∠C ，
∴∠B ＝90?-12
∠A 在△DBF 和△ECD 中
BD CE B C BF CD =??∠=∠??=?
∴△DBF ≌△ECD （SAS ）
∴∠BFD ＝∠CDE
∴∠EDF ＝180°－∠BDF －∠CDE ＝180°－（∠BDF ＋∠BFD ）＝∠B ＝90?－
12
∠A . 15.【解析】证明：∵BE ⊥AC ，CF ⊥AB （已知）
∴∠ACF ＋∠BAC ＝90°，∠ABE ＋∠BAC ＝90°，（三角形内角和定理）
∠ACF ＝∠ABE （等式性质）
在△ACQ 和△PBA 中 ∵??
???=∠=∠=BP AC ABP ACF AB CQ
∴△ACQ ≌△PBA （SAS ）
∴∠Q ＝∠BAP （全等三角形对应角相等）
∵CF ⊥AB （已知）
∴∠Q ＋∠QAF ＝90°，（垂直定义）
∴∠BAP ＋∠QAF ＝90°，（等量代换）
∴AP ⊥AQ.（垂直定义）
苏教版八年级上册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
全等三角形的判定二（SSS ，AAS ）（提高）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC≌△'''A B C ．
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△A BC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能
全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算
最新人教版八年级数学上册总复习知识点 最新人教版八年级数学上册总复习知识点时间：2017-10-19 16:40:10本文内容及图片来源于读者投稿,如有侵权请联系xuexila888@https://www.doczj.com/doc/5d2391615.html, 欣怡我要投稿八年级是初中学习的分水岭，想要学好数学必要找到正确的学习方法，考前整理好复习资料。那么八年级数学上册总复习知识点有哪些?下面是分享给大家的八年级数学上册总复习知识点，希望大家喜欢! 八年级数学上册总复习知识点一第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180 ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于180 ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360 . ⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对
一、四则运算 1.把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 2.已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 3.求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 4.已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 5.四则混合运算的运算顺序： ①有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 ②没有括号的，先乘除后加减。 ③只有加减或乘除的，从左至右计算。 计算下列各题，先写出运算顺序再计算。 408÷[108－(78＋28)] [557－(186＋26)]÷23 672－672÷12×7 104×48＋272÷16 二、运算定律。 1.加法交换律：a＋b=b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2.乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a＋b)×c=a×c＋b×c 3.连减的运算性质：①a－b－c=a－(b＋c) ②a－b－c=a－c－b 4.连除的运算性质：①a÷b÷c=a÷(b×c) ②a÷b÷c=a÷c÷b 5.简便运算的规律。 ①先看符号再看数（确定运用的运算定律）。 ②只有加减用“凑整”。 ③有加（减）有乘，用分配。 ④多数相乘（除），交换结合律。 ⑤两数相乘，先拆数。加减拆数分配律，乘法拆数，交换结合律。 ⑥两数相除，乘法拆除数，关键是整除。 ⑥不能拆的两对数：25×4=100 125×8=1000 ⑦两数相乘中优先拆的数：91^99看成（100－9）^（100－1） 101^109看成（100+1）^（100+9） 用简便方法计算。 凑整：48＋25＋175 75＋34＋125＋366 400－273－127 442－103－142 分配律：34×72＋34×28 25×97+25×3 38×99＋38 99×128＋128 84×35＋84×24＋41×84 38×35＋38×84－38×19 9999×36＋6666×3×32拆数：25×44 36×25 125×64 32×125 99×24 98×78 102×89 69×103
第一单元 一、填空题。 1、0.7里面有( )个0.1,有( )个0.001. 2、把1.2改写成计数单位是0.01的数是( ),把5改写成计数单位是0.001的数是( ). 3、10.080化简后是( ),4.0600化简后是( )。 4、有一个数,千位和千分位上都是7,百分位上是4,其他数位上都是1,这个数写作（）,读作（）。 5、由4个10,2个1,3个0.1,9个0.001组成的数是( ). 6、在括号里填上适当的数。 65分米=( )米 2.3千克=( )克 13厘米=( )分米 350米=( )千米 二、把下面各数(或数量)按从大到小的顺序排列起来。 1 、 0.73 0.729 0.74 0.7 2 7.2 （）>（）>（）>（）>（） 2、 6.7千克 6.007千克 6千克70克 6.707千克 （）>（）>（）>（） 三、计算。 1.用竖式计算。 8.42+9.48= 80-52.1= 2.下面各题怎样算简便就怎样算。 32+6.4+68+3.6 10.27+0.4-8.27 18.51-9.03-0.97 四、解决问题。(33分) 1.甲、乙两箱货物共重24.72千克,甲箱货物重15.3千克.甲箱货物比乙箱货物重多少千克?(6分) 2.一批货物承包给甲、乙两个运输队,甲运输队运了95.8吨,乙运输队比甲输队少运了2.8吨。这批货物共多少吨?(6分)
第二单元 一、填空题。 1.一个等腰三角形的一个底角是26°,它的顶角是（）。 2.一个三角形中有一个角是45°,另一个角是它的2倍,第三个角是( ),这是一个( )三角形。 3. 将一个大三角形分成两个小三角形,其中一个小三角形的内角和是（）。 4. 长方形、正方形是特殊的( )。 5.在一个直角三角形中,有一个角是30°,另两个角分别是( )、（）。 6.一个等边三角形的边长是9厘米,它的周长是( )厘米。 7.三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是（）三角形，另一个角是（）度。 二、判断题。 1.等边三角形的每个内角都是60°。（） 2. 直角三角形的两个锐角之和大于直角。（） 3.用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。（） 4. 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（） 5.一个三角形有两条边都是4厘米,第三条边一定大于4厘米。（） 三、我是小画家。(15分) 1. 在点子图上画出一个三角形,一个平行四边形和一个梯形。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.画一笔,把下面的图形分成一个三角形和一个梯形。 四、解决问题。 1、一个三角形的底边是3厘米，周长为37厘米。它的一条腰长多少厘米？ 2、妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝。它的顶角是40°，它的一个底角是多少度？
学习好资料欢迎下载 八年级数学上册期末复习讲义 三角形：1.今年暑假，学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小ns之间的关系用下列模型表示，如图与每周至少通话次数明把该班师生人数.请你根据小明设计的模型，求出该班每周师生间至少共要通的电话次数. °，则原来16202.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是）多边形的边数是（ 以上都有可能A.10 B.11 C.12 D.. 利用三角形全等证明角相 等和线段相等全等三角形：三角形全等的基本思路：（题目中找，图形中看）?SAS?找夹角ASA找两角的夹边????已知两角3.HL找直角?已知两边1.??????SSS?找另一边AAS找一边非公共边???已知一边一角，2.AAS?1?任找一角（）边为角的对边 ASA找这条边上的另一角???AAS?2（）边为角的一条边找这条边的对角??SAS?找该角的另一边?EFDFBCDABCDEBECF有何大小关系？1.与，则的中点， 为△如图，已知边⊥+ 欢迎下载学习好资料
BDDBCABBCPBNPD求证：于，=22．如图所示，已知∠1=∠2,为+上一点，且,⊥BCPBAP. =180∠°+∠ ）角平分线辅助线的作法技巧：遇到证明有关角平分线时，可引角两边1注：（. 的垂线，证明垂线段相等. ）有线段的和差关系，常用截长补短法作辅助线，化和差关系为相等关系（2. ）运用角平分线的判定时，若无垂线段需添加辅助线（3）角平分线的性质是证明线段相等的常见方法，也是证明两个三角形全等的4（. 条件的方法AABCPADADABC的任一点，的外角平分线，上异于点中，是△是3．如图，在△ACPCABPB. 与++的大小，并说明理由试比较 ONBOMMONPMONA上的点，为内一定点，为上的点，,如图，已知∠4.=40°为∠APBPAB的度数为的周长取最小值时，∠ . 当△ . 题目中出现角平分线，可以构造轴对称图形1.注： 欢迎下载学习好资料 . 遇到垂直平分线，通常考虑连接线段垂直平分线上的点和线段的端点2. °，则这个等腰三角形的顶451.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为 . 角度数为EDFCECDBDACDBCBFABCAB=( ). ,,为=上一点，那么∠2.
一小数的认识和加减法 【知识要点】 小数的意义 1、小数的意义: 用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫小数。 2、体会十进分数与小数的关系，并能互相转。 3、表示十分之几的小数是一位小数，百分之几的小数是两位小数，千分之几的小数是三位小数…… 4、小数的读写法。 小数的读法和写法。 14、0．006读作（），60．56读作（）。 15、六点零四二写作（），零点零零零八五写作（）。 16、有一个数十位上和百分位上都是6，个位和十分位上都是0，这 个数写作（）。 17、一个数由3个一、7个百分之一和9个千分之一组成，这个数是 （）。 18、小红在读一个小数时，没有看到小数点，结果读成了七万零四，
原来的小数只读出一个零，原来的小数是（）。 19、小淘气读数时把小数点的位置读错了，结果读成了三万八千点二， 原来的小数只读出一个零，原来的小数是（）。20、用2、0、5、三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是 （），最小的是（）。 21、用0、2、3、8这几个数字按要求写出大于8的三位小数，要求 每个数字在每个数中只能出现一次，符合条件的数中最大的是（），最小的是（）。 5、借助计数器，介绍小数部分的数位以及数位之间的进率 6、掌握小数的数位和计数单位。 7、了解小数的组成：整数部分和小数部分 1、用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫做( )。 2、小数计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作（）。 3、小数点的左边是它的（）部分，最低位是（），（） 最高位；小数点的右边是它的（）部分，最高位是（），（）最低位。 4、小数点右边第二位是（）位，计数单位是（）。 5、小数的计数单位，和（）一样，每相邻的两个计数单位间的进率是（）。
四年级下册数学知识点 第一单元四则运算：加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 1、加减法的意义和各部分间的关系。 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 加法各部分间的关系：和=加数+加数加数=和－另一个数 （2）已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算，叫做减法。 减法各部分间的关系：差=被减数－减数减数=被减数-差被减数=差+减数 （3）加法和减法是互逆运算。 2、乘除法的意义和各部分间的关系。 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 乘法各部分间的关系：积=因数×因数因数=积÷另一个因数 （2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 除法各部分间的关系：商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数=商×除数 （3）乘法和除法是互逆运算。 3、关于“0”的运算 （1）“0”不能做除数；字母表示：a÷0错误 （2）一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0=a （3）一个数减去0还得原数；字母表示：a－0=a （4）被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a=0 （5）一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0=0 （6）0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）=0 （7）被减数等于减数,差是0。A－A=0被除数等于除数,商是１.A÷A=1（a不为0） 4、四则运算顺序 （1）在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 （2）在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 （3）一个算式里既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 第二单元观察物体 1.从不同的位置观察同一物体，看到的形状一般是不一样的。 2、从同一位置观察不同的物体，看到的图形可能是相同的。 3、路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，速度×时间=路程。 4、总价÷单价=数量，总价÷数量=单价，单价×数量=总价 第三单元运算定律及简便运算： 一、加减法运算定律： 1、加法交换律：a＋b=b＋a 2、加法结合律：（a＋b）＋c=a＋(b＋c) 3、连减的性质： a-b-c=a-(b+c)。 二、乘除法运算定律： 1、乘法交换律： a×b=b×a 2、乘法结合律：（a×b）× c = a× (b×c )
八年级上期末总复习(数学)
21．如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD ②AG＝BF ③FG∥BE ④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 28.已知周长为8的等腰三角形，有一个腰长为3，则最短的一条串位线长为 【答案】1.5
29.如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 【答案】 30.下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形有（）个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形有（）个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形有（）个. 【答案】10，28，50 31.△ABC中，若∠A=80o，∠B=50o，AC=5，则AB= .
【答案】5 32.如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C 运动到点D时，则点G移动路径的长是________． 【答案】3 33.如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为点D0．过点D0作D0D1⊥AB，垂足为点D1；再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为点D2；又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为点D3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，……，则线段Dn-1Dn的长为_ _（n为正整数）．
人教版四年级数学下册知识点 一）四则运算： 1、运算顺序：1、在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要从左往右按顺序（依次）计算。 2、在没有括号的算式里，有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。 3、算式里有括号时，要先算括号里面的。 2、加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。 3、有关0的运算：1、一个数加上0得原数。 2、任何一个数乘0得0。 3、0不能做除数。0除以一个非0的数等于0。 0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商. （二) 位置与方向： 1、根据方向和距离确定或者绘制物体的具体地点。（比例尺、角的画法和度量） 2、位置间的相对性。会描述两个物体间的相互位置关系。(观测点的确定) 3、简单路线图的绘制。 （三)运算定律及简便运算： 1、加法运算定律：1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a 2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+b）+c=a+(b+c) 加法的这两个定律往往结合起来一起使用。 如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？ 2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。 a-b-c=a-(b+c) 3、乘法运算定律：1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 a × b = b ×a 2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。 （a × b ）× c = a ×( b × c ) 乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。 如：１２５×７８×８的简算 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。（a+b）×c=a×c+b×c 4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 a ÷ b ÷ c = a ÷ ( b × c) 5、有关简算的拓展：
初二上册数学知识点汇总完整版！！！ 初二数学上上册知识点 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。 12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13、公式与性质： （1）三角形的内角和：三角形的内角和为180°（2）三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）多边形内角和公式：边形的内角和等于·180°（4）多边形的外角和：多边形的外角和为360°（5）多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。②边形共有条对角线。 初二数学上上册知识点 第十二章全等三角形
轴对称 14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在 马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B 的距离之差最大时，这个差等于______米． 15 、如图，△ ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______ 16、等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，则另两边的长分别是______ 17、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 18、如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是______ (第十四题) (第十五题) (第十七题) (第十八题) 5、等边△ABC是边长为1，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长。 16、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由． 17、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC 于E，求证CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D
18、如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C=35°，且AB+BD=DC ，求∠B 度数。 19、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） 20、如图1，已知△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。①证明DM=DN ； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。 21、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ． A B C 备用图① A B C 备用图② A B C 备用图③ C A B D A D C N F E B M 图2 A D C F E B M 图3 A D C N F E B M 图1
四年级数学下册知识点及相应的练习 第一单元四则运算 知识点 1、加、减法的意义及各部分之间的关系： ⑴把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 ⑵已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法 加数 + 加数 =和被减数－减数=差 和－加数=加数被减数－差 =减数差+减数=被减数 2、乘、除法的意义及各部分之间的关系： ⑴求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法. ⑵已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法 因数×因数 =积被除数÷除数=商 积÷因数=因数被除数÷商=除数商×除数=被除数 3、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 4、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 6、算式有括号，先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 练习 1、一个数和0相乘，得（）。一个数和1相乘得（）。 2、被减数等于减数，差是（）。0除以任何非零的数都得（）。 3、650与250的和减去240除以8的商，算式是（）。 4、根据下面的算式列出综合算式。 （1）221×3=663 （2）217＋123=340 208÷16=13340÷17=20 663＋13=676 500－20=480 综合算式综合算式 5、（）×除数=（）因数=（）÷（）
第二单元观察物体 从不同位置观察不同形状的物体，得到的视图形状可能是相同的，也可能是不同的 练习 1．填一填，找出从正面、上面、左面看到的形状。 2．填一填，找出从正面、上面、左面、右面看到的形状。 3.如图： （1）从（）面和（）面看到的形状是完全相同的。 （2）从（）面看到的形状是 4、下面的物体各是由几个正方体摆成的？
小学四年级数学知识点归纳 四年级上册 知识点概括总结 1.大数的认识： （1）亿以内的数的认识： 十万：10个一万； 一百万：10个十万； 一千万：10个一百万； 一亿：10个一千万； 2.数级：数级是为便于人们记读阿拉伯数的一种识读方法，在位值制（数位顺序）的基础上，以三位或四位分级的原则，把数读，写出来。通常在阿拉伯数的书写上，以小数点或者空格作为各个数级的标识，从右向左把数分开。 3.数级分类 （1）四位分级法 即以四位数为一个数级的分级方法。我国读数的习惯，就是按这种方法读的。如：万（数字后面4个0）、亿（数字后面8个0）、兆（数字后面12个0，这是中法计数）……。这些级分别叫做个级，万级，亿级……。 （2）三位分级法 即以三位数为一个数级的分级方法。这西方的分级方法，这种分级方法也是国际通行的分级方法。如：千，数字后面3个0、百万，数字后面6个0、十亿，数字后面9个0……。 4.数位：数位是指写数时，把数字并列排成横列，一个数字占有一个位置，这些位置，都叫做数位。从右端算起，第一位是“个位”，第二位是“十位”，第三位是“百位”，第四位是“千位”，第五位是“万位”，等等。这就说明计数单位和数位的概念是不同的。 5.数的产生：阿拉伯数字的由来：古代印度人创造了阿拉伯数字后，大约到了公元7世纪的时候，这些数字传到了阿拉伯地区。到13世纪时，意大利数学家斐波那契写出了《算盘书》，在这本书里，他对阿拉伯数字做了详细的介绍。后来，这些数字又从阿拉伯地区传到了欧洲，
欧洲人只知道这些数字是从阿拉伯地区传入的，所以便把这些数字叫做阿拉伯数字。以后，这些数字又从欧洲传到世界各国。 阿拉伯数字传入我国，大约是13到14世纪。由于我国古代有一种数字叫“筹码”，写起来比较方便，所以阿拉伯数字当时在我国没有得到及时的推广运用。本世纪初，随着我国对外国数学成就的吸收和引进，阿拉伯数字在我国才开始慢慢使用，阿拉伯数字在我国推广使用才有100多年的历史。阿拉伯数字现在已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。 6.自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷的集体。 7.计算工具：算盘、计算器、计算机。 8.射线：在几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。如下图所示：
八年级数学（上）知识点 人教版八年级上册主要包括三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与分解因式和分式五个章节的内容。 第十一章三角形 一．知识框架 二．知识概念 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 11.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的内角和为360°。 多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
八年级数学上册期末知识点总结 第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) n-·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3) n-条对角 线，把多边形分成(2) n-个三角形.②n边形共有 (3) 2 n n- 条对角线. 第十二章全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
深圳小学四年级下册数学各单元知识点复习 一、小数的意义和加减法 小数的意义（一） 1.11元是1元1角1分，1.11米是1米1分米1厘米 1角是1元的1 10，也可以写成0.1元。1分是1元的1 100 ，也可以写成0.01元。 1分米是1米的1 10，也可以写成0.1米。1厘米是1米的1 100 ，也可以写成0.01米。 练习题。 一、填空题。 （1）把1平均分成10份，其中的1份是（），也可以用小数表示为（）。其中的6份是（），也可以用小数表示为（）。 （2）把1平均分成100份，其中的8份是（），也可以用小数表示为（）。其中的25份是（），也可以用小数表示为（）。 （3）把1平均分成1000份，其中的16份是（），也可以用小数表示为（）。其中的500份是（），也可以用小数表示为（）。 （4）5.62＝（）+（）+（） 0.23＝（）+（） 22.22＝（）+（）+（） 5.09＝（）+（） 二、先说一说下面每个数中的“3”分别是什么意思，再连一连。 1.39元 5.63元 3.04元 0.73米 3.25米 6.318米 3元 3角 3分 3米 3分米 3厘米 小数的意义（二） 1千克＝1000克 1克＝ 1 1000 千克＝0.001千克 1米＝100厘米 1厘米＝1 100 米＝0.01米 高级单位变成低级单位，乘以进率。低级单位变成高级单位，除以进率。 练习题。 一、填空题。 23厘米＝（）米 2米5厘米＝（）米 3分米＝（）米6米6分米＝（）米 1千克600克＝（）千克 60克＝（）千克 5克＝（）千克 8角＝（）元 0.3时＝（）分 0.7时＝（）分 325米＝（）千米 二、判断。 1. 2.50元和2.5元都表示2元5角。（） 2. 3.8米和3米8分米是相等的。（） 3. 3米2分米8厘米9毫米用小数表示是3.289米。（） 4. 25分是0.25时。
小学四年级上学期数学知识点总结 一单元:升和亳升 1,两个杯子装满水,哪个杯子装水多,我们就说哪个杯子的(容量)大。 2,测量液体的多少可以用(量筒)或(量杯). 3,计量液体的单位是(升)或(毫升). 一瓶墨水大约50毫升。4,两瓶冰红茶相当于1升，一节小拇指的大小相当于1毫升。5，1升=1000毫升 1L=1000mL 会换算单位如： 1068mL=1L+68mL 二单元：除法 1，三位数除以两位数，先从最（高）位除起，如果被除数的前两位大于等于除数，商是（两位数），如果被除数的前两位小于除数，商是（一位数）。 2，计算357÷49，可把49看作（50）来试商，像这样，当除数个位上的数字是5、6、7、8、9时可以把除数看作和它接近的（整十数）来试商，这叫（五入）法试商。 3，计算531÷61，可把61看作（60）来试商，像这样，当除数个位上的数字是1、2、3、4时可以把除数看作和它接近的（整十数）来试商，这叫（四舍）法试商。
4，有时四舍法把除数看（小）了，商可能会偏（大）需再调商； 有时五入法把除数看（大）了，商可能会偏（小）需再调商。5，路程÷速度=时间路程÷时间=速度路程=速度×时间 总价÷单价=数量总价÷数量=单价总价=单价×数量 6，长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽正方形面积＝边长×边长 周长的单位和长度单位一致，如（米、分米、厘米、千米）等； 面积的单位是长度的平方，如（平方米、平方分米、平方厘米、平方千米） 7，被除数÷除数=商……余数求：被除数=除数×商+余数 除数=（被除数-余数）÷商 8，各种应用题要多多训练，如租船、装车、求平均数、行程、生产等问题。 三单元：线和角
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结 第一章轴对称 1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)，关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)，关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；（三线合一） 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边） 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等，都等于60度； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形； 推论： 直角三角形中，如果有一个锐角是30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。在三角形中，大角对大边，大边对大角。 第二章勾股定理、平方根
一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋ b 2＝ c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角 三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 勾股定理和 平方根 勾股定理 平方根 立方根 实数 近似数、 有效数字 判定直角三角形 勾股定理的验证 定义、性质 开平方运算 开立方运算 定义、性质
新人教版四年级下册数学知识点总结 四年级班姓名： 第一单元四则运算： 加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 1、加减法的意义和各部分间的关系： （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 加法各部分间的关系：和=加数+加数加数=和－另一个数 （2）已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 减法各部分间的关系：差=被减数－减数减数=被减数-差被减数=差+减数（3）加法和减法是互逆运算。 2、乘除法的意义和各部分间的关系： （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 乘法各部分间的关系：积=因数×因数因数=积÷另一个因数 （2）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。除法各部分间的关系：商=被除数÷除数除数=被除数÷商被除数=商×除数有余数的除法中：被除数=商×除数+余数除数=（被除数－余数）÷商（3）乘法和除法是互逆运算。 3、关于“0”的运算 （1）、“0”不能做除数； （2）、一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0= a （3）、一个数减去0还得原数；字母表示：a－0= a （4）、被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a = 0 （5）、一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0= 0 （6）、0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）= 0 （7）、0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商. （８）被减数等于减数，差是0 。 a－a=0 被除数等于除数，商是１。 a÷a=１（a不为0） ５、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 ６、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。７、一个算式里既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 8、租船问题：原则：租便宜的，尽量无空座。
人教版八年级上册数学知识点汇总 第十一章全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。 对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。 对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定， 这个性质叫做三角形的稳定性。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 画法：课本第48页。 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 1、明确命题中的已知和求证。 基本方法2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 第十二章轴对称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这 个图形就叫做轴对称图形。 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重 合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。 基本概念线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的 垂直平分线。 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另 一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底 角。 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。