05级2学分A
一、回答下列问题（每题5分，共30分）
1十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2什么是束缚态？什么是定态？ 3试述电子具有自旋的实验证据。
4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。
5表示力学量的厄米算符有哪些特性？
6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(21x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测）
二、本题满分10分
设单粒子定态波函数为)(1)(ikr ikr
k
be e r
r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分
利用厄米多项式的递推关系和求导公式：
()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n
12-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： 已知一维谐振子的波函数为：()()2
121
2
!2,
2
2
???
? ??==-
n N x H e
N x n n n x
n n πααψα
四、本题满分12分
一粒子在一维无限深势阱??
???>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0,
0,)（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。
五、本题满分12分
已知
氢
原
子
的
电
子
波
函
数
为
)(),()(4
1
),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s
χ?θ?θψ=
)(),()(4
3
2/12032z s Y r R -+χ?θ。 求在ψ态中测量氢原子能量E 、2
L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。
六、本题满分14分
一维运动的粒子处于状态????
?<≥=-0
,
00)(,
x x Axe x x λψ之中,其中0>λ,A 为待求的归一化常数,求：
(1)归一化常数;
(2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分
附：氢原子能量本征值：2220241
32n
e E n επμ-=
定积分：
0!
1
>=
+-∞
?αα
αn x n n dx e x ，n 为正整数
球坐标系中：?
θθθθθ22
222222sin 1)(sin sin 1)(1??+????+????=?r r r r r r 05级2学分B
一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？
2（1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？
4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(?θlm Y 是哪两个算符的共同本征函数？
5具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？
6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、本题满分14分
设氢原子处于状态1212102
3
21),,(--
=ψψ?θψr nlm ,求氢原子能量、
角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 三、本题满分15分
证明：)x 3x 2(e
3)x (33x
21
2
2ααπ
αψα
-=-是一维线性谐振子的波函数，
并求此波函数对应的能量。已知
μωα=
。
四、本题满分8分
证明在z l 的本征态下，0=x l 。 五、本题满分15分
设粒子限制在矩形匣子中运动，即
0(,,){V x y z ∞=，0 其余区域 ，求粒子的能量本征值和本征波函数。 六、本题满分10分 求下列算符对易关系式： 1)?????=-x x x x L P P L 2)?????=-y x x y L P P L 七、本题满分8分定义Pauli 算符σ ? 与自旋角动量算符S ? 的关系为σ?2 ? =S ，证明：i z y x =σσσ??? 附：氢原子能量本征值：2220241 32n e E n επμ-= 06级2学分A 一、填空（每空3分，共45分） 1一维线性谐振子的能量本征值为。 2动量的三个分量)p ,p ,(p p ?z y x 的共同本征函数为。 3自旋角动量算符S ?在空间任意方向上的投影只能取值为；2 S =。 4 =?θθ??''π π??d d )sin ,(θ)Y ,(θY m l *lm 20 0。 5德布罗意关系为?????????????。 6波函数的标准条件为。 7写出量子力学五个基本假设中任意两个_____________。 8费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_________性和_______性。 9不考虑电子的自旋时，氢原子能级n E 的简并度为????????。 10电子具有自旋的实验证据包括。 11坐标和动量的对易关系为[]=x p ?,x ?______。 12测不准关系≥???2x 2)p ()x (_______。 13一维空间两粒子体系的归一化波函数为)x ,x (21ψ，x 1和x 2分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子 1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测）的概率。 二本题满分7分 已知角动量的对易关系为z x y y x y x J ?i J ?J ?J ?J ?]J ?,J ?[ =-=。证明：若一个算符F ?与角动量算符J ? 的 两个分量x J ?和y J ?对易，即满足0]J ?,F ?[x =和0]J ?,F ?[y =，则算符F ?必与J ? 的第三个分量z J ?对易，满足0]J ?,F ?[z =。 三本题满分8分 厄密算符F ?的本征方程为λψ=ψF ?，试根据厄密算符的定义式τφψ=τφψ??d )F ?(d F ?* * ，证明厄密 算符F ?的本征值λ是实数。 四本题满分9分 设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化），求： （1）z L 的测量可能值及平均值；（2）2 L 的测量可能值及相应的概率。 五本题满分9分 氢原子处在基态0 a r 3 e a 1),,r - π= ?θψ（，求在此态中：(1)r 的平均值；(2)势能r e 2 -的平 均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1 n 0 ax n a !n d x e x +∞-= ?。 六本题满分6分 一个转动惯量为I 的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫空间转子，其能量的经典表示式为I 2L H 2 =，L 为角动量。求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。已知角动量平方算符 ]sin 1)(sin sin 1[L ?22222? ??θ+θ??θθ??θ-= 。 七本题满分8分 在自旋态? ?? ? ??=χ01)s z 2 1（中，求x S ?和y S ?的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =???已知算符F ?的不确定度为2 22F ?F ?)F ?(-=?，平均值ψψ=+F ?F ?。 八本题满分8分 算符方程ψ=ψa A ?称为算符A ?的本征方程，其中常数a 称为算符A ?的本征值，函数ψ称为算符A ?的本征函数。试确定下列函数哪些是算符2 2 dx d 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？ ① 2x ，②x e ，③x sin ， ④x cos 3， ⑤x cos x sin + 06级2学分B 一、回答下列问题（每小题4分，共24分） 2试述电子具有自旋的实验证据。 3考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 4写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？ 二、计算题（本题满分12分） 氦原子的动能是kT E 23 = ，k 是玻耳兹曼常数，求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。已知普朗克常数秒焦耳??=-3410626.6h ，玻耳兹曼常数1 231038.1--??=K k 焦耳，质子质量 kg .m p 2710671-?=，氦原子的质量近似取为质子质量的四倍。 三、计算题（本题满分12分） 一粒子在一维无限深势阱?? ???>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,0,0, 0,)（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。 四、计算题（本题满分12分） 设氢原子处于状态),,()(2 3),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--= Y r R Y r R r nlm 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能量本征值为 ...3,2,1,1 322 22024=-=n n e E n επμ 五、证明题（本题满分14分） 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()02211=+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n 12-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： 已知一维谐振子的波函数为： ()()2 121 2 !2, 2 2 ??? ? ??==- n N x H e N x n n n x n n πααψα 六、证明题（本题满分12分） 定义Pauli 算符σ? 与自旋角动量算符S ? 的关系为σ?2 ? =S ，证明：i z y x =σσσ??? 七、证明题（本题满分14分） 证明：)x 3x 2(e 3)x (33x 21 2 2ααπ αψα -=-是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对 应的本征能量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为22222212x dx d H ?μωμ+-= ，参数 μωα=。 07级2学分A 一、问答题（每空5分，共30分） 2写出量子力学五个基本假设中任意三个。 3表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 4考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？ 5什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？ 6具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数),(?θlm Y 是哪两个算符的共同本征函数？ 二本题满分10分 一粒子在一维无限深势阱?? ?? ?>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,,,,)000（中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。 三本题满分7分 设单粒子定态波函数为)()(ikr ikr k be e r r +=-1ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 四本题满分10分 算符方程ψ=ψa A ?称为算符A ?的本征方程，其中常数a 称为算符A ?的本征值，函数ψ称为算符A ?的本征函数。试确定下列函数哪些是算符2 2 dx d 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？ ①2x ，②x e ，③x sin ， ④x cos 3， ⑤x cos x sin + 五本题满分10分 氢原子处在基态0 a r 3 e a 1),,r - π= ?θψ（，求在此态中： (1)r 的平均值；(2)势能r e 2-的平均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1n 0 ax n a ! n d x e x +∞ -=?。 六本题满分8分 已知在2 L ?和Z L ?的共同表象中，算符x L ?的矩阵为 22 =x L ??010101?? ?? ? 010，求它的本征值和归一化本征函数。 七本题满分15分 已知氢 原 子 的 电 子 波 函 数 为 )(),()(),,,(/z z nlmm s Y r R s r s 21113141χ?θ?θψ= )(),()(/z s Y r R 2120324 3 -+χ?θ。 求在 ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。 八本题满分10分 在自旋态???? ??=χ01)s z 2 1（中，求x S ?和y S ?的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =???已知算符F ?的不确定度为2 22F ?F ?)F ?(-=?，平均值ψψ=+F ?F ?。 07级2学分B 一、问答题（每空5分，共30分） 1那些实验现象揭示了光的波粒二象性？ 2写出角动量算符z L L ?,?2 、哈密顿算符H ?、自旋算符z S S ?,?2的本征值。 3什么是束缚态？什么是定态？ 4具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？ 5试述电子具有自旋的实验证据。 6什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？ 二本题满分10分 一维运动的粒子处于状态???<≥=-000x x Axe x x , )(,λψ之中,其中0>λ,A 为待求的归一化常数,求： (1)归一化常数; (2)粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3)粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 三本题满分7分 厄密算符F ?的本征方程为λψ=ψF ?，试根据厄密算符的定义式τφψ=τφψ??d )F ?(d F ?* * ，证明厄密 算符F ?的本征值λ是实数。 四本题满分10分 氢原子处在基态0 a r 3 e a 1),,r - π= ?θψ（，求在此态中：(1)r 的平均值；(2)势能r e 2 -的平 均值；(3)动量的概率分布函数。已知定积分1 n 0 ax n a !n d x e x +∞-= ?。 五本题满分15分 设氢原子处于),,()(),()(),,(?θ?θ?θψ 112110 212 3 21--=Y r R Y r R r nlm 求： （1）z L ?的测量可能值、相应的概率及平均值；（2）2 L ?的测量可能值、相应的概率及平均值；（3）H ?的测量可能值、相应的概率及平均值。 附：氢原子能量本征值：2 22024 132n e E n επμ-= 六本题满分8分 定义Pauli 算符σ? 与自旋角动量算符S ? 的关系为σ?? 2 =S ，证明：i z y x =σσσ??? 七本题满分10分 求??? ??=01102 x S ?及?? ? ??-=002i i S y ?的本征值和所属的本征函数。 八本题满分10分 在自旋态? ?? ? ??=χ01)s z 2 1（中，求x S ?和y S ?的不确定关系：?)S ()S (2y 2x =???已知算符F ?的不确定度为2 22F ?F ?)F ?(-=?，平均值ψψ=+F ?F ?。 05级2学分A 答案 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等 2当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。 定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定，0=??t V ，则体系处于定态。 3电子具有自旋的实验证据： 1）斯特恩-盖拉赫实验2）光谱精细结构3）反常塞曼效应 4五个基本假定： 1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。2）力学量用算符表示。 3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一 个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。 4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。 5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。 5厄米算符具有如下特性： 1）厄米算符的本征值为实数2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数 3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系 6概率 dx x x dx p ]),([2 22ψ? +∞ ∞ -= 二、本题满分10分 将已知波函数代入球坐标系的波动方程k k k E r V dr d r dr d r m ψψψ=+-)()(1222 2 可得 k k k E r V m k ψψψ=+)(22 2 所以const m k E r V =-=2)(2 2 故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数 三、本题满分12分 已知 所以 利用()()x nH x H n n 1 2-=' 四、本题满分15分 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态SE 方程)()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 011122 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为0)(2)(222 22=+x mE dx x d ψψ 令2 2 2 mE k =，得0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为kx B kx A x cos sin )(2+=ψ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥ ⑤ 0=?B ∴x a n A x πψsin ) (2= 由归一化条件 得1sin 0 2 2 =? a xdx a n A π 由 mn a b a xdx a n x a m δππ? =*2 sin sin ),3,2,1( 222 2 2 == ?n n ma E n π可见E 是量子化的。 对应于n E 的归一化的定态波函数为 五、本题满分10分 解：E 的可能值22024288 επμe -22024 288 επμe E -= 2L 的可能值22 ,26 2222564 3 241 =?+?= L z L 的可能值0, 4 1 = z L 2S 的可能值243 224 3 =S z S 的可能值2,2 - 4 1 )2(43241-=-?+?=z S 六、本题满分15分 解：1）由归一化条件 1)(2 =?+∞ ∞ -dx x ψ，有142 2220 == -∞ +? λλA dx e x A x 2/32λ=A 2）坐标的平均值为：dx x x x 2 )(ψ?+∞ ∞ -= λ λλ23 42330 = =-∞ +? dx e x x 坐标平方的平均值为：224302 34λ λλ==-∞+? dx e x x x 3）动量平均值为： dx x dx d i x p )())((*0 ψψ -=? ∞ +dx xe dx d i xe x x ))((430λλλ--∞+-=? 动量平方的平均值为： dx x dx d x p )())((2 2 2* 2 ψψ -=? ∞ +dx xe dx d xe x x ))((42 2 230 λλλ--∞ +-=? 七、本题满分8分 解：①不是②是，1。③是，－1。④是，－1。⑤是，－1。 05级2学分答案B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1主量子数n ，角动量量子数l ，磁量子数m ，自旋磁量子数m s 2德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关，因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复合体系。 由基本假设 p h /=λ，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无必然联系。 3量子力学中角动量按下式定义：J i J J ??? =? 任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此定义较之角动量的仿经典定义 p r L ??? ?=更具普遍性，后者只适用于轨道角动量而不能适用于自旋。 自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属性。地球自转实际上仍然是地球各质点的 轨道运动，应与轨道角动量相对应，而不是与自旋相对应。 4具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。球谐函数),(?θlm Y 是L 2 和Lz 的共同本征函数 5在其自身表象中表示为对角矩阵： ??? ? ? ??=............0...0?21λλF ，,...,21λλ为F ?诸本征值 本征矢量为单元素的一列矩阵： ??????? ??=...0011?，?????? ? ??=...0102?，... 6自旋为 的半奇数倍的微观粒子，要求费米子的波函数是交换反对称的。 二、本题满分14分 设氢原子处于状态1212102 3 21 ),,(-- =ψψ?θψr ,求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。 解：1112 41443441E E E E C E n n n =+= = ∑，可能值14 1 E ，几率1； 22222 2224 3 241 =?+?= =∑n n n L C L ，可能值22 ，几率1； 43430412 -=-?+?= =∑z n n z L C L ，可能值- ，几率43；可能值0，几率4 1 三、本题满分15分 试证明)x 3x 2(e 3)x (33x 21 2 2ααπ αψα -=-是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。 证：一维线性谐振子的薛定鄂方程为 )()(2 1)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ① 把)(x ψ代入上式，有 把)(22 x dx d ψ代入①式左边，得 当ω 2 7 = E 时，左边=右边。n=3 )32(3)(3321 2 2x x e dx d x x ααπ αψα -=-，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ω 2 7 。 四、本题满分8分 证明在z l 的本征态下，0=x l 。 证明：由于?=?m m m l z ；x y z z y l i l l l l =-；所以01 =?-?= m l l l l m i l y z z y x 五、本题满分15分 设粒子限制在矩形匣子中运动，即 0(,,){V x y z ∞=，0 其余区域 ，求粒子的能量本征值和本征波函数。 解：匣内2 22E m ψψ- ?=k = 22()0k ψ?+=(3分) 采用直角坐标系，方程的解可以分离变量， 边界条件(0,0,0)0x y z ψ==== 本征函数(,,)sin sin sin x y z x y z A k x k y k z ψ=(4分) (,,)0x a y b z c ψ====,可得 312,,x y z n n n K k k a b c πππ = ==，1231,2,3n n n =，，(4分) 123 22 2 2 2312 []2n n n n n n E E m a b c π==++(2分) 归一化能量本征函数为312(,,)sin sin n n n x y z x y z a b c πππψ=??123 n n n 六、本题满分10分 求下列算符对易关系式： 1)?????=-x x x x L P P L 2)?????=-y x x y L P P L 解：)????(??)????(????y z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=- y x z x x y x z P z P P y P P P z P P y ????????????+--=0????????????=+--=x y x z x y x z P P z P P y P P z P P y 5分 )??????????22z x x x z x P x P P z P P x P z +--=z x x P x P P x ?)????(--=z P i ? -=5分 七、本题满分8分 证明i z y x =σσσ ??? 证明：z x y y x i σσσσσ ?2????=-（1）0????=+x y y x σσσσ（2） （1）+（2）得：z y x i σ σσ???=（3）（3）右乘z σ?：i i z z y x ==2????σσσσ 06级2学分考试答案及评分标准A 一、本题共13小题，15空，每空3分，满分45分 1.（共3分）要点：,...2,1,0n ,)2 1 n (E =ω+ = 注：该题为基本题，考核对量子力学中谐振子能量量子化问题的掌握情况。 2.（共3分）要点： /32 1(2) i p r e π?（或 ()/ 32 1(2) x y z i P x P y P z e π++） 注：该题为综合题，考核的知识点包括动量本征函数、平面波波函数和力学量的共同本征函数等，要求学生综合考虑这些知识点后作答。 3.（共6分）要点： 2 113,,224 - 注：该题为基本题，考核对自旋角动量的理解和掌握情况。 4.（共3分）要点：ll mm δδ'' 注：该题为基本题，考核的知识点是量子力学中非常重要的概念-球谐函数的正交性问题。 5.（共3分）要点：k n h P h E ====λ ων 注：该题为基本题，考核对量子力学中最重要的基本概念-德布罗意波的理解和掌握程度。 6.（共3分）要点：连续性、有限性、单值性 注：该题为基本题，考核对量子力学中波函数的理解和掌握情况。 7.（共3分）要点： （1）波函数的统计解释。（2）力学量用厄密算符表示。 （3）λλλd C C n n ΦΦψ ?+∑=(4)薛定谔方程ψψ H t i =?? （5）全同性原理 注：该题为基本题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意二项即可。 8.（共6分）要点：反对称对称 注：该题为基本题，考核对量子力学中全同粒子体系特性的理解情况。 9.（共3分）要点：2 n 注：该题为基本题，考核氢原子能级和简并度等问题。 10.（共3分）要点：1）斯特恩-盖拉赫实验2）光谱精细结构3）反常塞曼效应 注：该题为基本题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。 11.（共3分）要点：[] i p x x =, 注：该题为基本题，考核知识点是量子力学中重要的一个基本对易关系。 12.（共3分）要点：4 2 2 2 ≥?)p ()x (x ?? 注：该题为基本题，考核量子力学中的不确定关系。 13.（共3分）要点：概率dx ])x ,x (dx [ p 2 22ψ=? +∞ ∞ - 注：该题为基本题，考核概率和概率密度等知识点。 二、本题满分7分 证明：设算符 F ?与角动量算符 x J ?及y J ?皆对易，即[][]0J ?,F ?J ?,F ?y x ==┈┈2分 则 [][][[][]0J ?J ?,F ?i 1J ?J ?,F ?i 1J ?,J ?,F ?i 1J ?,F ?x y y x y x z =-== ┈┈3分 同理可知，若算符F ?与角动量算符x J ?及z J ?皆对易，则算符F ?必与y J ?对易；若算符F ?与角动量算符y J ?及z J ?皆对易，则算符F ?必与x J ?对易，于是，问题得证。┈┈2分 注：该题为基本题，考核学生对算符运算规则和角动量算符性质的掌握情况。 三、本题满分8分 证明：厄密算符的本征值方程为λψψ=F ?：┈┈2分 由厄密算符的性质 dx F dx F φψφψ? ?=**)?(?，若取φψ=，┈┈3分 即本征值是实数。，得****,λλψψλψψλ==??dx dx ┈┈3分 注：该题为基本题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。 四、本题满分9分 解：由于112 112 2Y Y L =，202 202 6Y Y L =┈┈2分 1111Y Y L z =，020=Y L z ┈┈2分 所以（1）z L 的可能值为 0, ；相应的概率为2221,C C ；平均值为2 1C ┈┈3分 （2）2 L 的可能值为2 2 6,2 ；相应的概率为 2 221,C C 。┈┈2分 注：该题为综合题，考核轨道角动量算符的本征值问题以及力学量的测量值及分布概率等问题。 五、本题满分9分 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ?∞ -= = ? ∞ -= /2330 04 dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??= ┈┈3分 0 2 2 03020 /23 20 20 /23 02 20 2/23 2 2214 4 sin sin 1)()2(0 00a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r -=??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ ?θθπ?θθπ┈┈3分 （3）τ?θψψd r r p c p ),,()()(* ?= 动量几率分布函数4222025302 ) p a (a 8)p (c )p ( +π==ω┈┈3分 注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。 六、本题满分6分 解：2 2 2 22 11?[(sin )]sin sin L θθθθθ????=-+??? 而2 22211[(sin )](,)(,)2sin sin E I θψθ?ψθ?θθθθ????-+=??? 则222 2 112[(sin )](,)(,)sin sin IE θψθ?ψθ?θθθθ????-+=???┈┈2分 为使(,)ψθ?在θ变化的整个区域(0~)π内都是有限的， 必须有 2 2(1)IE l l =+（0,1,2 l =） 2 (1)2l l E I += （0,1,2 l =）┈┈2分 (,)(,)lm Y ψθ?θ?=(0,1,2 m l =±±±)┈┈2分 注：该题为基本题，考核角动量平方算符的本征值问题。 七、本题满分8分 解：由0010110)01(22 12 1=???? ?????? ??==+ χχx x S S ，同理0=y S ，┈┈2分 ()4 011001)01(4)()(22 2122 12 2 22 =???? ?????? ??===-=?+z x z x x x x S S S S S S S χχ┈┈2分 ()4 )()(2 2122 12 2 22 ===-=?+z y z y y y y S S S S S S S χχ┈┈2分 ()() 16 42 2 =???y x S S ┈┈2分 注：该题为综合题，考核的知识点包括：波函数归一化，力学量平均值的计算以及力学量算符等。 八、本题满分8分 解：①2)(222=x dx d ∴2 x 不是22dx d 的本征函数。┈┈1分 ②x x e e dx d =2 2∴x e 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。┈┈1分 ③ x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 2 2-== ∴可见，x sin 是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分 ④ )cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(2 2x x x dx d x dx d -=-=-= ∴x cos 3是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分 ⑤ )cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴x x cos sin +是2 2 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。┈┈2分 注：该题为基本题，考核算符的本征函数和本征值的概念 06级2学分考试答案及评分标准B 一、本题共6小题，每小题4分，满分24分 1.（共4分）要点： 黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等。 注：该题为基本题，考核对量子力学发展过程的了解情况。要求考生至少答出其中三项。 2.（共4分）要点： 电子具有自旋的实验证据： 1）斯特恩-盖拉赫实验2）光谱精细结构3）反常塞曼效应 注：该题为基本题，考核对自旋假设的实验依据的掌握情况。 3.（共4分）要点： 主量子数n ，角动量量子数l ，磁量子数m ，自旋磁量子数m s 注：该题为基本题，考核描述氢原子所需的量子数这一知识点。 4.（共4分）要点： 五个基本假定： 1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。2）力学量用算符表示。 3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一 个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。 4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。 5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。 注：该题为基本题，考核量子力学理论框架的基本假定，考生答出其中的任意三项即可。 5.（共4分）要点： 厄米算符具有如下特性： 1）厄米算符的本征值为实数。┈┈1分 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数。┈┈1分 3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。┈┈1分 4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。┈┈1分 注：该题为综合题，考核量子力学中一个概念--厄米算符的性质。 6.（共4分）要点： 自旋为 的半奇数倍的微观粒子。┈┈2分 要求费米子的波函数是交换反对称的。┈┈2分 注：该题为基本题，考核自旋、费米子和波函数反对称化等知识点。 二、计算题（本题满分12分） 解：根据eV .K k 4 10862501-?=?┈┈3分 知本题氦原子的动能为：eV .kT E 4102937512 3 -?==┈┈3分 显然远小于氦原子的静止能量2 mc 。这样，便有E mc hc 22=λm .910261-?=┈┈6分 注：该题为基本题，考核德布罗意关系。 三、计算题（本题满分12分） 解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态薛定谔方程)()()()(22 2 2x E x x U x dx d m ψψψ=+- 在各区域的具体形式为 Ⅰ： )()()()(2 01112 2 2x E x x U x dx d m x ψψψ=+- < ① Ⅱ： )()(2 0 222 2 2x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ②┈┈2分 Ⅲ： )()()()(2 3332 2 2x E x x U x dx d m a x ψψψ=+- > ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。┈┈2分 方程(2)可变为 0)(2)(22222=+x mE dx x d ψψ 令2 2 2 mE k =，得0)()(22 222=+x k dx x d ψψ 其解为kx B kx A x cos sin )(2+=ψ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤ )()(32a a ψψ=⑥ ⑤ 0=?B 0sin =?ka A ∴x a n A x π ψsin ) (2=┈┈3分 由归一化条件 1)(2 =? dx x ψ 得1sin 0 2 2 =? a xdx a n A π 由mn a b a xdx a n x a m δππ?=*2 sin sin x a n a x a A πψsin 2)(22=∴=?┈┈2分 ),3,2,1( 222 2 2 == ?n n ma E n π可见E 是量子化的。┈┈2分 对应于n E 的归一化的定态波函数为 ?? ? ??><≤≤=-a x a x a x xe a n a t x t E i n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ┈┈1分 注：该题为基本题，考核一维无限深势阱问题。 四、本题满分12分 解：111241443441E E E E C E n n n =+== ∑2 2024 128 επμe -=，可能值141E ，几率1；┈┈4分 22222 2224 3 241 =?+?= =∑n n n L C L ，可能值22 ，几率1；┈┈4分 43430412 -=-?+?= =∑z n n z L C L ，可能值- ，几率43；可能值0，几率4 1 ┈┈4分 注：该题为综合题，考核氢原子的波函数的意义以及力学量的测值概率和平均值等知识点。 五、证明题（本题满分14分） 证明：已知 所以 )](2 1 )(2[ 1 11x n x n n n +-++= ψψα ┈┈7分 利用()()x nH x H n n 1 2-=' )](2 1)(2[ 11x n x n n n +-+-=ψψα┈┈7分 注：该题为基本题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力。 六、证明题（本题满分12分） 证明：z x y y x i σσσσσ ?2????=-（1）┈┈3分0????=+x y y x σσσσ（2）┈┈3分 （1）+（2）得：z y x i σ σσ???=（3）┈┈3分（3）右乘z σ?：i i z z y x ==2????σσσσ┈3分 注：该题为基本题，考核泡利算符的运算。 七、证明题（本题满分14分） 证明：一维线性谐振子的薛定谔方程为)()(2 1)(22222x E x x x dx d ψψμωψμ=+- ① 把)(x ψ代入上式，有 )()7()32(3)7(2243321 2 2 4 2 2x x x x e x x ψααααπ αααα -=--=-┈┈6分 把)(22 x dx d ψ代入①式左边，得 ) ()(27 )(21)(21)(27 )(2 1 )(2)(27 )(2 1)(2)(27)(21)(222222224222 22422 2222 22x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψμωψμωωψψμωψμωμψμμωψμωψαμψμαψμωψμ==+-= +-??=+-=+-=右边）（左边 ┈┈6分 当ω 27 =E 时，左边=右边。n=3 )32(3)(3321 2 2x x e dx d x x ααπ αψα -=-，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ω 2 7 ┈┈2分 注：该题为综合题，考核学生对一维谐振子波函数的理解和应用能力，以及灵活应用薛定谔方程求解问题的 能力。 量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1） 首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。 解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到 量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率 密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量 子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。 2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、 第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， 清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上， 测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波 长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金 属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现 有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷 的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金 属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频 率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电 子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光 波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若 粒子(电荷为2e)在磁感应 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用 频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．5619：波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10- 3 ?，则 利用不确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm 14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变 x (A) x (C) x (B) x (D) 量子力学试卷 1、考虑单粒子的薛定谔方程， ()()()()() 2 2 12,,,2i r t r t V r iV r r t t m ψψψ?=- ?++????? 1 V 与2 V 为实函数。 证明粒子的概率（粒子数）不守恒。 证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为 ()()3 3 22 ****2s d d r dS d rV r dt im τ τ ψψψ ψψψψψ =- ?-??+ ???????? 2、证明：量子力学的基本对易式 ,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z αβ= 3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。 4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态。 5、在z s 本征态1210χ?? = ? ??下，求n σ? 的可能测值及相应的几率，其 中 () sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ= 。 6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x 完备正交归一化条件 为 1 =? dx x x 与 () ' ' x x x x -=δ 波函数为 ψ ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件 为 1 =? dp p p 与 ( )' ' p p p p -=δ 波函数为 ψ ?p p =)( （1）. 证明 dp e p x ipx /2 1)() 2(1)(?= ?πψ dx e x p ipx /2 1)() 2(1)(-?= ψπ? （2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =??? ?? ?+)(22， 试建立动量表象中的能量本征方程。 7．Pauli 算符为 ?? ? ??=0110 x σ ，??? ? ??-=00i i y σ，??? ? ??-=1001 z σ， 给定()?θ方向单位矢量 ()()θ? θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n 求n n ?=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ sin cos n i i e n += (2).在0 =θ 时，λσ λσ λ sin c os z i i e z +=。利用该式证明 λ σλσσλσ λσ 2sin 2sin y x i x i z z e e -=- λ σλσσλσ λσ 2cos 2sin y x i y i z z e e +=- 量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态. 第一章 量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量 量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ； 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A 第 1 页 （共 3 页） 玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题，每小 题1分，共 20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ= p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 2 2φd d B 、-2 2 2φd d C 、i 2 2φd d D 、-i 2 2φ d d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σ z 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)10 1( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） 请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。 第一至四章 例题 一、单项选择题 1、普朗克在解决黑体辐射时提出了 【 】 A 、能量子假设 B 、光量子假设 C 、定态假设 D 、自旋假设 2、若n n n a A ψψ=?，则常数n a 称为算符A ?的 【 】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量 3、证实电子具有波动性的实验是 【 】 A 、 戴维孙——革末实验 B 、 黑体辐射 C 、 光电效应 D 、 斯特恩—盖拉赫实验 4、波函数应满足的标准条件是 【 】 A 、 单值、正交、连续 B 、 归一、正交、完全性 C 、 连续、有限、完全性 D 、 单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et i r Et i r ??ψ+- =, )exp()()exp()(22112t E i r t E i r ??ψ+-=, )exp()()exp()(213Et i r Et i r -+-=??ψ, )exp()()exp()(22114t E i r t E i r -+-=??ψ 其中定态波函数是 【 】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ4 6、在一维无限深势阱? ??≥∞<=a x a x x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为 【 】 A. πμ222 22 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ2222 16 n a . 7、量子力学中用来表示力学量的算符是 【 】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]? ,?[x p x = 【 】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、 2 9、守恒量是 【 】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量 C 、与体系哈密顿量对易的力学量 D 、其几率分布不随时间变化的力学量 玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷 课程名称：《量子力学》 （试卷编号：C ） （本卷满分100分，考试时间120分钟） 考试方法： 考试 考查 闭卷 开卷 仅理论部分 其他 系（院）：物理与教育技术系 专业：物理 年级：××级 ×× 班 学号： 姓名： 考试时间: 月 日 时 分 一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为 。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第 个量子数，它是 ，也可以是 。 3、光学定理是指 。 4、氢原子的基态波函数为 。 二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、 表象： 2、 厄米算符 ： 3、内禀角动量： 三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题， 每小题1分，共20分） 1、 有关德不罗意物质波的关系为：（ ） A 、λ= p h B 、λ=p C 、λ=hk D 、p=hk 2、 当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（ ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（ ） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、 （1/3 ） ω 请 考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。 4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（ ） A 、i 2 22φd d B 、-2 22φd d C 、i 22φd d D 、-i 2 2 φd d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（ ） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（ ） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σz 2分量为：（ ） A 、-1 B 、1 C 、)1 00 1 ( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（ ） A 、QND B 、SO （3） C 、QE D D 、su （2） 9、力学量算符A 随时间的变化规律为：（ ） A 、=)(t A dt d i -1[A ，H] B 、=)(t A dt d i 1[A ，H] C 、=)(t A dt d i 1[H ，A] D 、= )(t A dt d i -1[H ，A] 10、关于分波法，正确的描述是：（ ） A 、是一个近似方法，但通常要考虑多个相移 B 、是一个精确方法，但通常要考虑多个相移 C 、是一个近似方法，但通常要考虑2个相移 D 、是一个精确方法，但通常只要考虑2个相移 四、判断题（本大题共10题，正确的打“√”，错误的打“×”，每 题2分，共20分） 1、态叠加原理表明：任意态都可以用完备集合的本征态展开（ ） 2、由于波耳的对应原理，在经典物理中没有自旋，所以量子力学中的自旋没有确切的物理意义。（ ） 3、屏蔽的库仑场中，角动量的Z 分量是一个守衡量。（ ） 4、联系力学量A 在两个表象之间的变换为平移变换。（ ） 5、电子体系的波函数必定没有对称性。（ ） 6、描写的体系的量子数越多，描写就越精确。（ ） 7、磁通是一个经典概念，但在一定条件下仍然可以量子化。（ ） 8、两个光子只能分别占据两个量子态。（ ） 9、在量子力学中，转动不变性导致动量守衡。（ ） 10、分波法不可用于高能散射的研究。（ ） 五、计算题（本大题共3题，共24分） 1、用不确定关系估计一维无限深势阱中粒子基态时的能量，并求第一 激发态时X 与P X 的平均值。（8分） x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 e 2 nh 得a 2 ---- m 代入(2)，解出 设粒子限制在长、宽、高分别为 a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰 撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 P x n x h/2a , n x ,n y ,n z 1,2,3, 粒子能量 第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m 2 量子力学的诞生 2x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)] 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2 由此得 a j2E/m 2 口 p dx 2 j2m(E a ' 2 2 X . x ) 2m a _ __________ J a 2 x 2 dx a 2m a 2 nh E n n 1,2,3, (4) 积分公式： J a 2 u 2du arcs in^ c 2 a X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 X 方向，有 口 P x dx n x h n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期) 同理可得, P y n y h/2b . P z n z h/2c , mh ， 因而平面转子的能量 1,2,3, 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是： ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值 ,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位, E n x n y n 2m 2 2 2 2 、 P y P z ) 2m 2 n x ―2 a 2 n y b 2 2 n z c n x ,n y , n z 1,2,3, 设一个平面转子的转动惯量为I ， 求能量的可能取值。 2 提示：利用0 p d nh, n 1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P 2 /2I 。 解：平面转子的转角（角位移） 记为 它的角动量p I （广义动量） 是运动惯量。按量子化条件 p dx mh m 1,2,3, Bev 2 mv (1 ) 又利用量子化条件 P 电荷角动量 转角 2 口 pdq 0 mrvd 2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能 再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的 势能，按电磁学通电导体 在磁场中的势能 磁矩*场强 电流*线圈面积*场强 2 ev* r * B e r 一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得 运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc 点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n 2mc (n 1,2,3 ) ，未找到答案 E m P 2 /2I m 2 2 /2I ， 洛伦兹与向心力平衡 量子力学试卷 05级2学分A 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？ 3 试述电子具有自旋的实验证据。 4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。 5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 6一维空间两粒子体系的归一化波函数为),(2 1 x x ψ，写出下列概率： 发现粒子1的位置介于x 和dx x +之间（不对粒子2进行观测） 二、本题满分10分 设单粒子定态波函数为 )(1)(ikr ikr k be e r r +=-ψ，试利用薛定谔方程确定其势场。 三、本题满分12分 利用厄米多项式的递推关系和求导公式： ()()()0221 1 =+--+x nH x xH x H n n n ，()()x nH x H n n 1 2-=' 证明：一维谐振子波函数满足下列关系： )](21 )(2[1)(1 1x n x n x x n n n +-++=ψψα ψ η/)],(2 1 )(2[)(11ωαψψαψm x n x n dx x d n n n =+-=+- 已知一维谐振子的波函数为：()()2 121 2 !2, 2 2 ??? ? ??==- n N x H e N x n n n x n n πααψα 四、本题满分12分 一粒子在一维无限深势阱?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,, 0,0,0,)（ 中运动，求粒子的能 级和相应的归一化波函数。 五、本题满分12分 已知氢原 子的电子 波函数为 )(),()(4 1 ),,,(2/11131z z nlmm s Y r R s r s χ?θ?θψ= )(),()(4 3 2/12032z s Y r R -+χ?θ。 求在ψ态中测量氢原子能量E 、2L 、z L 、2s 、z s 的可能值和这些力学量的平均值。 六、本题满分14分 一维运动的粒子处于状态???? ?<≥=-0 , 00)(, x x Axe x x λψ 之中, 其中0>λ, A 为待求的归一化常数, 求： (1) 归一化常数; (2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值; (3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。 七、本题满分10分 附：氢原子能量本征值：222024 132n e E n ηεπμ-= 定积分：0! 1 0>= +-∞ ?αα αn x n n dx e x ，n 为正整数 球坐标系中：? θθθθθ2 2 2 22222 sin 1)(sin sin 1)(1??+????+????=?r r r r r r 05级2学分B 一、回答下列问题（每题5分，共30分） 1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子， 还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ （2）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？ 3量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自旋概念相对应？ 华中 一． 见华中98 T2 二． 见华中98 T3 三． 见华中98 T4 四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势 ???>≤=0x ,E 0 x ,0)x (U 43 ，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？ 解：写出分区薛定谔方程为： ???????>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0 x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222 12 1212 ???????>=ψ+ψ≤=ψ+ψ?0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212 1212 其解为?????>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x i 2ikx ikx 12 k 由x=0处的连续性条件，可得到： D i )R 1(ik )0()0(D R 1)0()0(2 k 2121=+?ψ'=ψ'=+?ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从 而 几 率 流 密 度 为 x x 22k D x x 2R x e ?9k 8e ?|D |J ,e ?9k e ?|R |k J ,e ?k J μ=μ=μ-=μ-=μ= 所以，反射几率 91|J ||J |R R == 透射几率： 98|J ||J |D D = = 满足 R+D=1 五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0 2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。 解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数： 忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222 12 2221+μπ=+= 考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对称的， 第一最低能态：n 1=1,n 2=1, 22 211a 22E μπ= ，则 )] s ()s ()s ()s ([a x sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ= ψ-- 由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为非简并态。 第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，22212a 25E μπ= 可组成如下四个态： 三重态： )x ,x ()x ,x (21S 21A ) 3,2,1(12χψ=ψ ) s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112 2121) 2,1(±±χχππ-ππ=ψ )] s ()s ()s ()s (][a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1z 2z 12121) 3(12 21212121χχ+χχππ-ππ= ψ-- 单态： )x ,x ()x ,x (21A 21S ) 4(12 χψ=ψ 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。量子力学试题
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