葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间
第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用
教学过程
一、例题精析 应用迁移 拓展提升
1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5)
3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1]
小结：
5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( )
6.函数的零点个数是_________________
小结：
提示：建议：注意：要求：
二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
9.设函数1
()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =
A 在区间1
(,1),(1,)e e 内均有零点。
B 在区间1
(,1),(1,)e e 内均无零点。
C 在区间1
(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。
D 在区间1
(,1)e
内无零点，在区间(1,)e 内有零点。
10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( )
B.1
12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) >x 2 =x 2 D.不能确定 ()ln 26f x x x =+-4.求函数的零点个数。 1x 2 1 x ()2 -26 log x x -， 2 x 导函数零点问题 一．方法综述 导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略 类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点 【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+， 即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-， 由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数. ?函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 函数零点存在性定理基础题 1．函数()25x f x =-存在零点的区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（4，5） 【答案】B ． 【解析】 函数单调递增，并且()()()23130f f ?=-?<，所以在区间()3,2上存在一个零点． 2．若函数在区间内存在一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a <- C ．1a <-或1a > D ．11a -<< 【答案】C ． 【解析】 由零点存在性定理得：(1)(1)0,(1)(1)0,f f a a -<-+<因此1a <-或1a >．选C ． 3．函数f （x ）＝ln x － 2x 的零点所在的大致区间是（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（1e ，1）和（3，4） D ．（e ，＋∞） 【答案】B ． 【解析】 ∵f （1）＝－2<0，f （2）＝ln2－1<0，又∵f （x ）在（0，＋∞）上是单调增函数， ∴在（1，2）内f （x ）无零点．又∵f （3）＝ln3－ 23 >0，∴f （2）·f （3）<0． ∴f （x ）在（2，3）内有一个零点．故选B ． 4．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有部分对应值表如下： 那么函数()f x 一定存在零点的区间是 （ ） A ．()1-∞, B ．()12, C ．()23, D ．()3+∞, ()1f x ax =+(1,1)-a 【答案】C ． 【解析】 根据函数的对应值表可得(1) 6.10,(2) 2.90,(3) 3.50f f f =>=>=-<，根据函数的零点存在性定理，一定存在零点的区间是()2,3．故选C ． 5．函数f （x ）=log 3x －8+2x 的零点一定位于区间（ ） A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（3，4） D ．（5，6） 【答案】C ． 【解析】 函数f （x ）=log 3x -8+2x 为增函数， ∵f （3）=log 33-8+2×3=-1＜0，f （4）=log 34-8+2×4=log 34＞1＞0， ∴函数在（3，4）内存在零点．故选C ． 6．方程log 3x +x =3的解所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，+∞） 【答案】C ． 【解析】 可构造函数f （x ）=log 3x +x -3，方程log 3x +x =3的解所在的区间是函数f （x ）=log 3x +x -3零点所在的区间，又函数f （x ）=log 3x +x -3在定义域上单调递增，结合零点存在性定理对四个选项中的区间进行验证即可． 由于f （0）不存在，f （1）=-2，f （2）=log 32-1＜0，f （3）=1＞0， 故零点存在于区间（2，3），方程log 3x +x =3的解所在的区间是（2，3） 故选C ． 函数零点存在性定理标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续 0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。 证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为],2[],2, [b b a b a a ++，如果0)2 (=+b a f 。则定理获证。如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2 (b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为 ],[22b a ，它满足[a,b]?[11,b a ]],[22b a ?，0)()(2222 22<-=-a f b f a b a b 且。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:① [a,b]?[11,b a ]?????],[22b a ；②n n n a b a b 2-=-；③0)()( 课题：判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理 学习目标： （一）知识与技能： 2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． （二）过程与方法： 自主发现、探究实践，理解函数零点存在的条件． （三）情感、态度、价值观： 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史.. 重点难点： 重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件． 难点：探究发现函数零点的存在性. 课题引入：在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今 天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年—100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法… 问题·探究 （一）回顾旧知，“温故知新”。 1、函数的零点：对于函数)(x f ，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f 的零点（zero point ）. 2、等价关系： 方程0)(=x f 有实数根 ?函数)(x f y =的图像与x 轴有交点?函 数)(x f y =有零点. 巩固练习：求下列方程的根． （1）0652 =+-x x （2） )1lg()(-=x x f （3）062ln =-+x x （二）提出问题，“星河探秘”。（零点存在性） 问题1：函数y ＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数y ＝f(x)一定有零点？ （1）观察二次函数32)(2 --=x x x f 的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○ 1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞） ． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （2）观察下面函数)(x f y =的图象，分析其图像在零点两侧如何分布？ ○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． （4）观察上面（3）的函数图象： 若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是 ____ （间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是____（相同／互异） （三）讨论探索，发现“新大陆”。 根的存在性定理：如果函数)(x f y =在区间][b a ,上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0)()( ? ? 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b) 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==. 3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=． 函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688] 函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)．f(b) 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论： （1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点； （2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点； （3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点； （4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减． 其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）． 答案 由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点． （3）正确， （1）不能确定， （2）中零点可能为1， （4）中单调性也不能确定． 故答案为：（3） 例题2： 已知函数有零点，则实数的取值范围是（） 答案： 例题3： 例题4： 函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得 ∴（5a-1）（a+1）≥0 ∴a≥ 1/5 或a≤-1 故选D ． 教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()( 连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x 零点存在性定理 如果函数y = f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0那么，函数y = f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c ) = 0这个c 也就是方程f (x ) = 0的根 定理的理解 （1）函数在区间[a ，b ]上的图象连续不断，又它在区间[a ，b ]端点的函数值异号，则函数在[a ，b ]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a ，b ]上连续且存在零点，则它在区间[a ，b ]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 例：函数y = f (x ) = x 2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a 的取值范围. 解析：①f (x )在(0，1)内有2个零点，则其图象如下 则(0)0(3)00032 f f a b a >??>????≥??<-??>? 葛沽一中整体建构教学模式导学案 高一 年级 数学 学科 主备人： 备课或教研组长审核签字 使用人签字 使用时间 第 11 周 第 5 课 课题： 零点存在定理的应用 教学过程 一、例题精析 应用迁移 拓展提升 1．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2） 2．(2014·天津模拟)方程log 4x-=0的根所在区间为( ) A. B. C.(3,4) D.(4,5) 3．（2014·北京模拟）已知方程lgx=2-x 的解为x 0,则下列说法正确的是( ) ∈(0,1) ∈(1,2) ∈(2,3) ∈[0,1] 小结： 5.(2014·济南模拟)函数f(x)＝ 的零点个数为( ) 6.函数的零点个数是_________________ 小结： 提示：建议：注意：要求： 二．拓展练习 7.已知函数f(x)= 在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 8.函数f(x)=ln(x+1)- 的零点所在的大致区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9.设函数1 ()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1 (,1),(1,)e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,)e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1 (,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 10. 函数3()=2+2x f x x －在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 11. 函数f(x)=|x-2|-lnx 在定义域内零点的个数为( ) B.1 12.函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 13.已知函数f(x)=x+2x ,g(x)=x+lnx 的零点分别为x 1,x 2,则x 1,x 2的大小关系是( ) max min max 专题五 零点存在定理中取点问题 如果函数 y = f ( x ) 在区间[a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a ) f (b ) < 0 ，那么，函数 y = f ( x ) 在区间(a , b ) 内有零点，即存在c ∈(a , b ) ，使得 f (c ) = 0 ，这个c 也就是方程 f ( x ) = 0 的根. 在实际应用中，如何取 a , b ，是解决问题的难点. 类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 x 典例 1 已知函数 f ( x ) = e - ax +1. （1） 当 a = 1 时，求 y = f ( x ) 在 x ∈[-1,1] 上的值域； （2） 试求 f ( x ) 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1） [2 - e ,1]（2）当a ≤ 0 时， f ( x ) 只有一个零点；当 a > 0 时， f ( x ) 有两个零点． 【解析】 （1）当 a = 1 时， f ( x ) = x e x - ax +1，则 f '( x ) = 1- x -1 = g ( x ) ， e x 而 g '( x ) = x - 2 < 0 在[-1,1]上恒成立，所以 g ( x ) = e x f '( x ) 在[-1,1]上递减， f '( x ) = f '(-1) = 2e -1 > 0 ， f '( x ) = f '(1) = -1 < 0 ， 所以 f '( x ) 在[-1,1]上存在唯一的 x 0 = 0 ，使得 f '(0) = 0 ，而且 当 x ∈(-1, 0) 时， f '( x ) > 0 ， f ( x ) 递增；当 x ∈(0,1) 时 f '( x ) < 0 ， f ( x ) 递减； 所以，当 x = 0 时， f ( x ) 取极大值，也是最大值，即 f ( x ) = f (0) = 1， x 连续函数的主要性质 若函数()f x 在开区间(,)a b 内每一点0(,)x a b ∈都连续，即在每一点0(,)x a b ∈都有 0lim ()()x x f x f x →= 则称函数()f x 在开区间(,)a b 内是连续函数(图1-17)。而称函数()f x 在闭区间[,]a b 上是连续函数，除了它在开区间(,)a b 内每一点都连续外，还满足条件[图1-18]: () lim ()()x a x a f x f a +→>=(右连续) 和 () lim ()()x b x b f x f b -→<=(左连续) 在定义域上连续的函数简称为连续函数。读者在前面看到，多项式、有理函数、指数函数、简单三角函数，在定义域内每一点都是连续的，即它们都是连续函数。从几何上说，区间上的连续函数，它的图形(图象)是连续不断的曲线。 根据函数极限的运算规则，能够很容易地证明下面的结论。 定理1-5 若函数()f x 和()g x 在点0x 都是连续的，则它们的和、差、积、商[除去分母在点0x 等于0]在点0x 也都是连续的。特别，常数λ与函数()f x 的乘积()f x λ在点0x 当然也是连续的。 证 证明是简单的。譬如，因为 []000 00lim ()()()lim ()0()lim ()() x x x x x x f x f x f x g x g x g x g x →→→==≠ 所以商 () () f x g x 在点0x 是连续的。 根据上述定理，连续函数的和、差、积、商在定义域内仍是连续函数。 函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算。例如，函数2 x a [注意， 22 ()x x a a =，不是22()x x a a =]是由简单指数函数u a 和幂函数2x 复合而成的复合函数。再 如，log a 是由简单对数函数 log a u 、幂函数12u v ==和简单三角函数sin v x =，依次复合成的复合函数。 一般地，若函数()f u 定义在区间,A B 上，而函数()u u x =定义在区间,a b 上，且函数()u x 的函数值在区间,A B 上，则函数[()]f u x 就是定义在区间,a b 上的函数。称它 图1-18 x 图1-17 2014年高中数学零点存在性定理教学设计新人教版必修1 一、内容及其解析 （一）内容：零点存在性定理． （二）解析：本节课是关于函数零点的一节概念及探究课，是高中新课改人教A版教材第三章的第一节课的第二小节，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其它知识的联系的角度来引入较为适宜。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。 函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。 函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二、目标及其解析 （一）教学目标 （1）知识与技能：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。 （2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。 （3）情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 （二）解析 1．对于常见函数的图象学生要有印象，要能用描点法画出一些复杂函数的图象，同时，研究函数的单调性、奇偶性等性质，来判断方程的根的存在与否和个数； 2．函数的零点、方程的根、函数图象与X轴交点的横坐标具备等价关系，这种等价关系实质上是数学本质一致，只是各自有不同的描述对象而已，从而向学生渗透转化的数学思想； 3．本节课对函数零点存在性（即方程的根的存在性）的探究是借助实际问题抽象出来的，由此推广到一次函数、二次函数这两类特殊的函数，进一步推广到一般的情形，要注意推广的可行性、借助于函数图象的直观性，只要求学生理解其合理性并能对具体的函数进行简单应用。教学中，教师可以引导学生借助函数图象分析其逆定理的正确与否，由此达到充分理解此定理的目的。 三、问题诊断分析 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，初 函数零点存在性定理: 一般地，如果函数y=f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a) . f(b)导数与函数零点问题解题方法归纳
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