一、求曲线32
31y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程.
二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本.
三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切.
四、求下列函数的单调区间:
1. 42()23f x x x =--
2. 32()23f x x x =-
3. 42()23617f x x x =-+
五、求下列函数的极值:
1. 32()23121f x x x x =+-+
2. 32()(10)f x x x =-
3. 2()(2)f x x x =-
4. 32()32412f x x x x =+-+
六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:
1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈-
2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈
3. 543()551,[1,2]f x x x x x =-++∈-
七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数a b c 、、,
八、函数3226[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值
九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点.
求()f x 的表达式
十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度
为36米,求每间猪圈的最大面积
【导数的应用练习题(文科)答案】
一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为
二、8080|4|320q q C q =='==.
三、22|42,x k y b b ='===+?=- 切点(2,4)在抛物线上,得4c =. 四、1. 增区间:(-1,0)、(1,+∞);减区间:(-∞,-1)、(0,1).
2. 增区间:(-∞,0)、(1,+∞);减区间:(0,1).
3. 增区间:(-3,0)、(3,+∞);减区间:(-∞,-3)、(0,3).
五、1. (2)21,f -=极大值 (1)6f =-极小值.
2. (6)3456,f =极大值 (10)0f =极小值.
3. 232(),327
f =极大值 (2)0f =极小值. 4. (4)92,f -=极大值 (2)16f =-极小值.
六、1. (3)46,f =最大值 (1)6f =-最小值 <又:(3)10f -=, (2)21f -=> 2. (4)8,f =最大值 (1)1f =-最小值 <又:(2)4f =, (3)3f => 3. (1)2,f =最大值 (1)10f -=-最小值 <又:(2)7f =-, 3[1,2]?->
七、-3、2是0y '=的根 1.5a ?=, 18b =-;(2,-10)在曲线上12c ?=.
八、令0y '=得0,2x x ==,由下表知3m =,∴最小值为(2)37f -=-.
九、设32()f x ax bx cx d =+++ 则(3)0,(3)0,f f '==(1)8f =,切线过(3,0)和(1,8)点，从而知切线的斜率(1)k f '==4-，故有： 3227930127605()53983
3249
a b c d a a b c b f x x x x a b c d c a b c d +++==????++==-????=-++??+++==????++=-=??.
22.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。 又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上， 有3000200022(31)(1)y x x y x x ?=-+??-=--??，消去0y 得320000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =- ，于是2k =或14 -， 所以所求切线方程为2y x =或1944y x =-+。 归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法 （1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。 （2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率
导数的几何意义、曲线的切线方程： 一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题： 第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点； 第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ； 第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围） 第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率； 第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释 类型一：在某点的切线方程 例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。 解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程 例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意， 所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练
曲线上一点处的切线 响水县第二中学 授课人：陈强 时间：2016.11.19 教学目标 1、知识技能目标：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率概念及求法． 2、过程方法目标：掌握“局部以直代曲”和“用割线逼近切线”的思想方法． 3、情感态度价值观目标：培养学生从实际问题中去发现问题、解决问题(数学思想)的能力. 教学重点 理解曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。 教学难点 对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解以及会求在某点处的切线斜率． 教学过程 一、情境导入 1.函数()f x 在区间[]12x x ，上的平均变化率为2121 ()()f x f x x x --． 即：曲线上两点的连线（割线）的斜率（平均变化率）近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势. 2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究） 从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法． （1）观察“点P 附近的曲线”你看到了怎样的现象？ （2）“几乎成了一条直线”，有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”近） 二、建构数学 1．割线逼近切线 动画演示，观察点Q 的运动，直线PQ 线PQ 斜率的变化，生成概念． Q 为曲线上不同于点P 的一点，这时， 直线PQ 称为曲线的割线； 随着点Q 沿曲线向点P 运动， 割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线， 当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最 终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，
这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线． 2．割线斜率逼近切线斜率 切线的概念提供了求切线斜率的方法． 再提中心问题：对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均变化率表示为什么？我又用怎样数学模型来刻画曲线上P 点处的变化趋势呢？ 为了更好地反映点Q 沿曲线向点P 运动，我们选择了一个变量x ?． 不妨设(())P x f x ，，(())Q x x f x x +?+?，，则割线PQ 的斜率为 ()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-?，当点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，割线PQ 的斜率 就会无限逼近点P 处切线斜率，即当x ?无限趋近于0时，()()f x x f x x +?-?无限趋近点(())P x f x ，处切线斜率． 三、例题展示： 例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率． 变式1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程 变式2：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程． 例2：一跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设()t s 后 运动员相对于水面的高度为 2() 4.9 6.510H t t t =-++，试确定2t s =时运动员的速度。 练习：练习：已知f(x)= x ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
2求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121 f x x x x ''=??+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，
2017届高三数学二轮复习——求曲线)(x f y =的切线方程的 几种方法 课前预习 1、已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += 2、若x 轴是曲线 3ln )(+-=kx x x f 的一条切线，则=k 3、已知曲线x y =与x y 8=的交点为P ，两曲线在点P 处的切线分别为21,l l ，则切线21,l l 与y 轴所围成的三角形的面积为 4、已知函数x x f =)(，x a x ln )(g =，R a ∈.若曲线)(x f y =与曲线)(x g y =相交，且在交点处有相同的切线，则切线方程为 5、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>= x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则=2 1x x 典型例题 例1、已知函数 x x x f 32)(3-=． （1）求)(x f 在点)1,1(-处的切线方程； （2）若过点)1(t P ，存在3条直线与曲线)(x f y =相切，求t 的取值范围．
例2、已知函数为常数）b a b ax x x x f ,(2 5)(23+++=，其图象是曲线C ． (1)当2-=a 时，求函数)(x f 的单调递减区间； (2)已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一个点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线21l l ，的斜率分别为21,k k ．问：是否存在常数λ，使得12 k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 例3、对于函数 )(x f ，)(g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数)(x f 和)(g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点．设函数)0()(2≠-=a bx ax x f ，()x x ln g =． （1）当0,1=-=b a 时，判断函数 )(x f 和)(g x 是否相切，并说明理由； （2）已知0>=a b a ，，且函数)(x f 和)(g x 相切，求切点P 的坐标．
过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
一般n 次曲线切线方程的推导 光信1001 黄飞洪 关键词：一般n 次曲线，某点的切线方程， 提要：在求曲线上某点的切线时，通常会使用先求导得到斜率后再求切线，此法在二次曲线中尚可使用，但如果是n 次曲线就不大现实了，因此如果能找到该类曲线切线的某些规律，在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间 首先，我们先来分析几个比较特殊的例子： ○1圆A ：x 2+y 2=r 2在（x 0,y 0）处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2 ○2椭圆B ：A 2a)x +（+B b y 2 )(+=1在（x 0,y 0）处的切线方程为1))(())((00=+++++B b y b y A a x a x ○3双曲线C ：A 2a)x +（-B b y 2 )(+在（x 0,y 0 ）处的切线方程为1))(())((00=++-++B b y b y A a x a x ○4抛物线C ：y 2 =2px 在（x 0,y 0）处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程，总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2（或y 2）型变为x 0x （或y 0y ）型，x(或y)型转变为2 0x x +（或20y y +）型，但在一般的二次曲线中包含了xy 的项，那么，这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢？ 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在（x 0,y 0）处的切线方程 方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0 y’= -E Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在（x 0,y 0）处的切线方程为y-y 0= - E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0)
一、求曲线3231y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543 ()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数 a b c 、、, 八、函数32 26[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值 九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式 十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度 为36米,求每间猪圈的最大面积 【导数的应用练习题(文科)答案】 一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为 二、8080|4|320q q C q =='==.
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当
学习资料 仅供学习与参考 2求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数33y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由'2()33f x x =+，得切线的斜率为'(2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14()2(21)2121 f x x x x ''=??+=++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'200()31k f x x ==-，
切线方程的求法 例1、已知曲线1y x = （1）求曲线在点()1,1P 处的切线方程 （2）求曲线过点()1,0Q 处的切线方程 （3）求满足斜率为13 -的曲线的切线方程 答案： （1）20x y +-= （2）440x y +-= （3）30x y +-=或30x y ++= 解析： (1)∵21y x '=- 又()1,1P 是曲线上的点， ∴P 是切点，所求切线的斜率为()11k f '==- 所以曲线在P 点处的切线方程为()11y x -=-- 即20x y +-= (2)显然()1,0Q 不在曲线1y x =上，则可设过该点的切线的切点为1,A a a ?? ??? ，则该切线斜率为()121k f a a '==- 则切线方程为()21 1y x a a a -=--．① 将()1,0Q 代入方程①得()21101a a a -=--， 解得12 a =， 故所求切线方程为440x y +-=.
(3)设切点坐标为1,A a a ?? ???，则切线的斜率为22113 k a =-=-，解得a = ∴ 3A ?或3A ?'- ? ?． 代入点斜式方程得 即切线方程为.：30x y +-=或30x y ++= 注：（1）在一点，则该点即为切点 （2）过一点，该点不一定是切点，需要设出切点后，在进行计算！ （3）高考中，直线的表达形式一般为一般式表达，即0Ax By C ++=的形式！
练习题 1、曲线sin x y x e =+在点()0,1处的切线方程是？ 2、曲线32y x x =+-在点P 处的切线平行于直线41y x =-，则点P 的坐标为？ 3、若曲线3y x ax =+在坐标原点处的切线方程是20x y -=，则实数a ？ 4、曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为？ 5、设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为？ 6、曲线()1x y ax e =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =＿＿＿＿ 7、若函数()x e f x x =在x a =处的导数值与函数值互为相反数，求a 的值. 答案
曲线的切线 一、 基础知识： 1、 切线的定义：设P 是曲线上的一点，Q 是曲线上与P 邻近的一点。当点Q 沿着曲 线无限接近点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 就叫做曲线在点P 处的切线。 2、 函数y=f(x)在x=x 0处可导，则曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是： ))(()(000x x x f x f y -'=- 3、 关于切线的几个问题： （1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点） （2）直线y=kx+b 在其上一点P 处有切线吗？（答：有，切线与直线重合） 二、 例题选讲： 例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是 （ ） （A ）y=x 3+sinx （B ）x x y cos += （C ）13+=x x y （D ）y=|x| 答：选D ，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。 问1：（B ）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？ 答：有，切线为直线x=0。 小结：f(x)在x 0处可导?f(x)在x 0处有切线，反之不成立 f(x)在x 0处不可导≠>f(x)在x 0处没有切线。 问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？ 答：围绕定义。 小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。 例2 已知曲线3 4331+=x y 。 （1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程。 解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0 （2）设曲线与过点P 的切线相切于点A （x 0,343031+x ），则切线的斜率k=0|x x y ='=2 0x ， ∴切线方程为) ()(02 0343 031x x x x y -=+-， ∵点P(2,4)在切线上， ∴) 2()(402 0343 031x x x -=+- 解得x 0=2或-1， 故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。 变式：从点（-1，1）向曲线13 +=x y 引切线，试求切线的方程。
一、求曲线32 31y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程. 二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本. 三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切. 四、求下列函数的单调区间: 1. 42()23f x x x =-- 2. 32()23f x x x =- 3. 42()23617f x x x =-+ 五、求下列函数的极值: 1. 32()23121f x x x x =+-+ 2. 32()(10)f x x x =- 3. 2()(2)f x x x =- 4. 32()32412f x x x x =+-+ 六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值: 1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈- 2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈ 3. 543()551,[1,2]f x x x x x =-++∈- 七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数a b c 、、, 八、函数3226[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值 九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点. 求()f x 的表达式 十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度 为36米,求每间猪圈的最大面积 【导数的应用练习题(文科)答案】 一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为 二、8080|4|320q q C q =='==.
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求曲线在点某处或过某点的切线方程 1.求曲线在某点处的切线 例1．求曲线3 3y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程 分析：由在点(2,14)P --处的切线，可知(2,14)P --是切线的切点。由导数的几何意，可得切线的斜率等于函数3 3y x x =+在2x =-处的导数，再由直线的点斜式方程可求得切线方程 解：由' 2 ()33f x x =+，得切线的斜率为' (2)15k f =-=， 所以切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+ 归纳：这类问题就是已知点P 是切点，求切线方程。可以先求出函数在该点处的导数，它也就是切线的斜率，再运用直线的点斜式方求出切线方程 练习：求曲线12ln(21)y x =++在点(0,1)P 处的切线方程 解：由14 ()2(21)2121 f x x x x ''=? ?+= ++，得 切线的斜率为(0)4k f '==，故所求的切线方程为 14(0)y x -=-，即410x y -+= 2.求曲线经过点P 处的切线方程 例2．已知曲线C ：3 ()2f x x x =-+，求经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 错解：由' 2 ()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的
2斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处 的切线 只有一条：1l ；而经过点P 的切线却有两条：1l 与2l 。 正解：设经过点P （1，2）的直线与曲线C 相 切于点00(,)x y ，则由'2 ()31f x x =-， 得在点00(,)x y 处的斜率'2 00()31k f x x ==-， 有在点00(,)x y 处的切线的方程为 2000(31)()y y x x x -=--。 又因为点00(,)x y 与点P （1，2）均在曲线C 上， 有3 0002 00022(31)(1) y x x y x x ?=-+??-=--??，消去0y 得32 0000(31)(1)x x x x -=--， 解得01x =或012x =- ，于是2k =或1 4 -， 所以所求切线方程为2y x =或19 44 y x =-+。 归纳：求曲线经过点P 处的切线方程的方法 （1）解题步骤：（1）设出切点坐标00(,)x y ；（2）列关于0x 与0y 的方程组，求解方程组，进而求切线斜率；（3）写出问题的结论。 （2）上述列方程组的方法是根据下面三个条件：①切点在曲线上，②已知点在切线上，③切点处的导数等于切线斜率 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
过一点求曲线的切线方程的三种类型
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒