4.高阶微分方程与微分方程组

§ 4高阶微分方程与微分方程组

、 高阶微分方程与微分方程组的互化

已给一个n 阶方程

y n = f x,y,y ；y , ,y 心

设y i =y,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n-i)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方 程组

dy i

~r = y2

dx dv^_y

-y 3 dx dy n 」

~T~ = y

n

dx

孚=f(x,y i ,y 2,…,yn ) dx

式中y i ,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数.

反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个 n 阶微分方程. 比如，两个一阶微分方程的方程组 字二 f i x, %,y 2 字=f2(x, y i , y2 )

.dx

将方程(1)对x 求导数

记作

从方程(1)中解出y 2

y 2 二 y 2 x,y i ,y i

代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程

d 2y i 宀 2 x, y i , y i

dx

这里函数「x, y i , y i 由函数f i , f 2所确定，因而是已知的?所以两个一阶微分方程组可以化为 一个二阶微分方程?

二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法

i. y (n) = f (x ) 将方程写成

dx d 2y i dx 2

f i

；:f i 上 —i

1

f i -

L 、、

l 、、

'

x ;y i

；:f

1

斜

d 2y i

dx 2 二 F x, y i , y 2

2 若不能解出y (n)，但原方程可写成参数形式：

y (n -1)=?(t), y (n )=Xg(t)

d n-1)= yOdx

-pdt c,y n ，」t

按类型2的方法，可得通解(参数形式)

申7t \

dt c,y =心 t,G,C 2, ,C n 4

4. F (y (n-2), y (n)尸0 设方程可解出y (n ):

积分后得到

yC 」)=f f (x 0X + G

?X0

重复这一过程到积分n 次，就得到微分方程的通解：

(X ]dx f + 斗二￥ + 空X 二磐 + …+C 」X — X 。)+ c n

(n —1!

(n —2)

X

X

f X

X 0 f

2.

1

2

nf

d ?筈存途厂…

(n)、

1

= ----- | n -1!

F (x ,y (n) )=0 若能解出y (n )，则方程化成类型1求解. 若不能解出y (n )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解:

F(「(t)>(t)尸 0 则原方程可写成参数形式 x= (t), y (n )='- (t) 由 d n-1)= y (n )dx= (t) '(t)dt

得 y (n 」)=(屮(t 卩 \t )dt

，1(t,G )

又由

y (n-2)=y (n-1)dx=-'1(t,c 1) '(t)dt

得

yD=胖‘id 卩 ? pt +C 2 =屮 2(t,C 1,q )

t , y ^! n t,C 1，C 2，,C n

3. F (y (n-1), y (n) )=0

1 若从方程可解出y (n ):

则令y (nT )=Z ,上式化成

y (n )=f(y( n-1))

◎f z dX

这是变量可分离的方程，设解为

那末化成类型1 其通解为

z= '(X,Cj

y (n -1)= ,(x,q)

C 2

n-2!

Gd 花宀。一 C n

则从

y =

n

设函数(t),‘-(t) (:

最后得原方程的参数形式的通解

令z=y( 2，方程两边乘以2z'化成

(n) “ (n-2).

y =f(y )

2

d(z' )=2f(z)dz

积分后有

z = 2 f z dz C i

用分离变量法求得

Z= ,(X,C i,C2)

那末

再积分n-2次就得原方程的通解.

y(n-2)= .(x,c i,C2)

三、线性微分方程组

1.齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组［齐次与非齐次］线性微分方程组的一般形

式为

咚=a ii(t M +3i2(t Mi +a in(t ”n + fi(t ) dt

*孚=&2建M +a22(t“2 十…+a2n(t”n + f?(t ) dt

学=a ni(t M +a n2(t “2 + …+&“吐弘+ 仁⑴

L. dt

式中a ik(t)和f i(t) (i =i,2,…,n ; k =i,2，…，n)都是自变量t的已知连续函数.如果至少有一个f i(t) 不恒

等于零，则称⑴为非齐次线性微分方程组?如果所有f i(t)都恒等于零，则称(i)为齐次线性微分方程组，它的一般形式是

鉴= an(t M +a i2(t)y2 + …+a m(t 必

dt

?dy2= a2i (t M + a22 (t “2 + …+a2n(t”n (

dy^ = anjt M +a n2(t)y2 + …+a nn(t)y n .dt

如果齐次线性微分方程组(2)与非齐次线性微分方程组(i)具有相同的系数(即对应的a ik(t)都相同)，就称(2)是非齐次线性微分方程组(i)的对应的齐次线性微分方程组?

［解的存在定理］如果线性微分方程组⑴的所有系数a ik(t)和右端函数f i(t)在区间(t i,t2)内连续，那末方程组⑴在此区间的每一点t o(t i

［解的基本结构］

1 齐次线性微分方程组的任意两个解的线性组合还是这个方程组的解.

2 含n个未知函数的齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的n个线性无关解的线性

组合.

3 含n个未知函数的非齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的一个特解与它的对应的齐次线性微分方程组的通解的和?

2. 常系数线性微分方程组

微分方程组

(1)

dy 1 上 ==a ii% +印2丫2 +…+^ny n + ￡ (t ) dt dy 2 r = = a 2i% +a 22y 2 +…+a 2n y^ f^t ) dt pl.. — =ani y i +a n2y 2 + …+a nn y n + fn (t ) J dt

称为常系数线性微分方程组，式中a i j 是常数.当fj(t)三0(i=1,2,…,n)，称⑶为齐次的，当f i (t)不 全恒等于零，称(3)为非齐次的.

［特征根与齐次方程组的线性无关解］

a 〔i - ‘ a 〔2 a 21

a 22 一

a

n1 a

n2

是入的n 次代数方程，它称为非齐次线性微分方程组(3)所对应的齐次线性微分方程组的特征 方程，特征方程的根称为特征根?

根据特征根的不同情形，给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式 ?

［用常数变易法求非齐次方程组的特解］非齐次线性微分方程组(3)的一个特解，可由 对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得

?

设y i1,y 21,…,y n1；y i2,y 22,…,y n2；…；y in ,y 2n ,…,y nn 是对应的齐次线性微分方程组的n 个线性无关 解.那末非齐次线性方程组的一个特解y i *, y 2*,…,y n *可由下列形式确定

y i =C i (t Mi +C2(t “12 + …十 Cn(t "in

* . . .

』y 2 =Ci(t “2i +C 2(t “22 + …+Cn(t“2n 』n = Ci (t "ni + C2(t )Y n2 +…+ C 」t "nn

式中C i (t)是待定函数，它们满足下列方程组：

dC i

dC 2 ...

y ii

y i2 -

dt dt dC dC 2

...

y 2i 亠 y 22 亠

y 2

dt dt a i n a 2n

知f i t

y in 俎+y 举+…+

dt y n2

dt 从上面方程组解出 虫i ,虫i ,…，gp i ，再积分就得出所要求的C i (t) (i=i,2，…,n)

dt dt dt

例求解微分方程组：

y ni

y n2 y nn 俎=f n t

dt

dx

= x 2y —e ，

—= 4x + 3y + 4e 」 0

解先求对应的齐次线性微分方程组

dx

戶 dy dt

的通解.由特征方程

e 」

dt

_t dC 2 , _t dt 积分后，取

1 -5t

e 6

C 2 (t ) = -2t

于是所求方程组（1 ）的通解是

‘ 5t r 1

〕 x(t)=qe +芒-1-2上直

5t r 1 】

y(t )= 2c j e 5t

+ 严

-c 2 le

式中C 1 ,C 2为任意常数?

四、 常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法（消去法）

［微分算子与逆算子］记

=x 2y

4x 3y

可知特征根为入=5, ?二-1.则相应的线性无关解是如下形式：

5t

x 1 t = A 1e

x 2 t = B 1e

%

5t 2

_t

y 1 t i ；二 A^e y 2 t i ； = B ?e

分别代入齐次线性方程组（2），利用待定系数法，

A 1 =C 1 , A2=2C 1 ,

B 1=

C 2 , B 2= -C 2 ,

所以齐次线性方程组（2）的通解为 5t

x t 二 &e < y t 二 2“e

确定出

（C 1是任意常

数）

_t -t

c ?e

5t

」

（C 1 ,C 2是任意常数）

其次，利用常数变易法求非齐次线性方程组 列方程组

（1）的一个特解?把Ci ,C 2看成是t 的函数，解下 I 5t de e - ! dt c 5t dC 1

2e ——-e .

dt dG _6t e dt

唾一 2 dt G （t 戶 -t

普二 Df t,弓丄二 DDf t =D 2f t/ ,df n^-DD nJ f t =D n ft

dt

dt

dt

称D,D 2,…,D n 为微分算子?一般地引进微分算子P D = D a i^^^ a

n_i D ' a n (a 1,a 2,^, an 是常数)规定它的意义是

P D f t = D n f t a i D n ‘ f t j 亠亠a n_i Df t a *

还引进微分算子的逆算子，D k 的逆算子记为 丄，规定它的意义是 D k

1

k

r f t 二… f t dt (k 为正整数)

D

k

1

P(D)的逆算子记为PD ，它满足条件

-1 1

P (D )|——f (t )卜 f (t )

P(D )

1

注意，t 的结果不是唯一的，而是一族函数?

［微分算子的简单性质与运算公式］ (线性)

若 P ( D ) = P 1 ( D )? P 2 ( D )，则

1 1 1 ——f(t) ： --------- f (t) P(D) P(D)]P 2(D) 「

上表中左栏各等式的意义是通常的，而右栏各等式的意义则是等号两边的函数族相同 ［用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解］

(交换律)

3° P(D)e x t = e x t

P( X

) 4° P(D 2)sin -t = P(- - 2)sin -t

1 -- e P(D)

1

x t

-

e

PC )

P(x )工 0)

1 . 2—sin P(D 2)

微分算子

10若C 1，C 2，…C k 为常数，则

P(D)[C 1f 1 (t)+ C 2f 2(t)+…

+ C k f k (t)] =C 1P(D)f 1(t)+ C 2P(D)f 2(t)+…

+ C k P(D)f k (t) (线性)

逆算子

若C 1，C 2，…C k 为常数，则

1

P (D )[C 1f 1(t) C 2 f 2 (t)

+ C k f k (t)]

1 f 1(t) C

2 ——f 2 (t)

P(D)

1 C k P(D)f k (t)

1

-G P(D)

P(D) RD) 1 1 --------- f (t)

P 2(D )]P (D )

(P(- - 2) = 0

1

二Q k (D)(A °t A 1t - …A k )

其中 Q k (D)二 a o - aQ ? a k D k

按以下方法求得：

将P(D)(按D 的升幕排列)，依一般的多项式除 法规则去除1,在第k+1步得到的商，当商中得到k 次

多项式时，除法停止，这k 次多项式即Q k (D).

2 方程PDx^e't f k t (当f k (t)为常数时P(入)=0) 依上表公式6，一个特解为

微分算子

5°P(D 2 3)COS t 二 PG-2)cos -t

逆算子 ------- 2 — COS :t

= P(D 2)

1 P^ - 2) 那末方程

6O P(D)e 肮g(t) =e“P(D Jg(t)

(位移定理)

7O

—1—e"g(t)= e xt ---------- 1 ----- g (t) P(D) P(D J"

设 P(0) “n =0,则

1 P(D)

k

k 1

(A o

t

At -

(位移定理)

f k t

常微分方程阶段(2)复习题

《常微分方程》第二阶段试题 一. 单选题 1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（ ） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ； )sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。 2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是（ ） （A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式为零 （C ） 12()=() x C x ??（常数） （D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=不是基本解组的充要条件是（ ） （A ）线性无关 （B ）朗斯基行列式不为零 （C ）12()()x C x ??≠（常数） （ ）线性相关 4.线性齐次微分方程组 ()dx A t x dt =的一个基本解组的个数不能多于（ ） （A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（ ）个． （A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n 6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1 ，则此方程通解为（ ） （A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-； （B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-； （C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-； （D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=- 7.方程x xe y y 2'2"=-的特解具有形式（ ）。 （A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=; （C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。 8.微分方程x x y y 2sin =+''的一个特解应具有形式（ ） （A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+ （C ）x B x A 2sin 2cos + （D ）()cos Ax B x +2 9.微分方程210y y '''++=的通解是（ ） （A ）x e x C C y -+=)(21； （B ）x x e C e C y -+=21； （C ）x e C C y x 21221-+=-； （C ）x x C x C y 2 1sin cos 21-+=。 10.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。（式中C C 12,为任意常数）（ ） （A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin （C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin 11.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( ) （A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ） b axe x + 12.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( ) （A ）A x sin （B ）A x cos （C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+

一阶线性微分方程组

第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。 令n 维向量函数 Y )(x =? ??? ?? ??????)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=????????????),,,,( ),,,,(),,,,(21212 211n n n n y y y x f y y y x f y y y x f

高阶微分方程的解法及应用

哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名刘晓辉学号09031212 指导教师徐亚兰职称副教授 2013年6月1日

哈尔滨学院本科毕业论文（设计） 目 录 摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15) 3.1 形如()n n d y f x dx =的高阶方程 (15) 3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y += 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '= 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

一阶常微分方程解法总结

页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u

常系数高阶线性非齐次微分方程

南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生：王灿灿 指导教师：童姗姗 完成日期: 2014 年 05 月

南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：毕业设计（论文）20页 表格： 0个 插图： 0幅

南阳理工学院本科毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：王灿灿 学号： 105100140078 指导教师（职称）：童姗姗(讲师) 评阅教师： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology

常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业王灿灿 [摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the

MATLAB 微分代数方程解法Microsoft Word 文档

微分代数方程(DAE)的Matlab解法 所谓微分代数方程，是指在微分方程中，某些变量满足某些代数方程的约束。假设微分方程的更一般形式 可以写成 前面所介绍的ODEs数值解法主要针对能够转换为一阶常微分方程组的类型，故DAE就无法使用前面介绍的常微分方程解法直接求解，必须借助DAE的特殊解法。 其实对于我们使用Matlab求解DAE时，却没有太大的改变只需增加一个Mass参数即可。描述f(t,x)的方 法和普通微分方程完全一致。 注意：ode15i没法设置Mass属性，换句话说除了ode15i外其他ode计算器都可以求解DAEs问题1.当M(t,y)非奇异的时候，我们可以将微分方程等效的转换为y'=inv(M)*f(t,y)，此时就是一个普通的ODE(当 然我们可以将它当成DAEs处理)，对任意一个给定的初值条件都有唯一的解 2.当m(t,y)奇异时，我们叫它为DAEs(微分代数方程)，DAEs问题只有在同时提供状态变量初值y0和状态变量一阶导数初值py0，且满足M(t0,y0)*yp0=f(t0,y0)时才有唯一解，假如不满足上面的方程，DAEs解算器会将提供的y0和py0作为猜测初始值，并重新计算与提供初值最近的封闭初值 3.质量矩阵可是一个常数矩阵(稀疏矩阵)，也可以是一个自定义函数的输出。但是ode23s只能求解Mass 是常数的DAEs 4.对于Mass奇异的DAEs问题，特别是设置MassSingular为yes时，只能ode15s和ode23t解算器 5.对于DAE我们还有几个参数需要介绍 a.Mass：质量矩阵，不说了，这个是DAE的关键，后面看例子就明白了 b.MStateDependence：质量矩阵M(t,y)是否是y的函数，可以选择none|{weak}|strong，none表示M与 y无关，weak和strong都表示与y相关 c.MvPattern：注意这个必须是稀疏矩阵，S(i,j)=1表示M(t,y)的第i行中任意元素都与第j个状态变量yi有 关，否则为0 d.MassSingular：设置Mass矩阵是否奇异，当设置为yes时，只能使用ode15s和ode23t e.InitialSlope：状态变量的一阶导数初值yp0，和y0具有相同的size，当使用ode15s和ode23t时，该属 性默认为0 下面我们以实例说明，看下面的例子，求解该方程的数值解 【解】 真是万幸，选取状态变量和求状态变量的一阶导数等，微分方程转换工作，题目已经帮我们完成。 可是细心的网友会发现，最后一个方程不是微分方程而是一个代数方程(这就是为什叫DAE的原因)，其实 我们可以将它视为对三个状态变量的约束。 (1)用矩阵形式表示出该DAEs

二阶常微分方程的几种解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得

12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=

高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.

实验报告—代数方程与微分方程求解

实 验 报 告 四 代数方程求解 1、【示例】以下命令可求出方程 (x +1)e –x +e x sin x =0在0附近的一个根： >>y=sym('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x)'); % 用sym 命令定义符号表达式 >>x=solve(y,'x') % 用准解析方法求出方程最接近0的一个根 x =-0.86508244315736795185621568221837 或可用以下命令求解该方程以指定点为初始搜索点的数值解： >> y=inline('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x) ', 'x'); % 用数值方法求解时，方程要用inline 命令定义 >> x=fsolve(y,0) % 用数值方法从初始点1开始搜索方程的近似解 x = -0.8651 注：准解析命令solve 只能求出方程最接近0的一个实数根，而数值解法fsolve 可以通过初始搜索点的变化，得到不同的解（如果方程有多个实数解）。 【要求】仿照示例，用准解析方法求出30.5sin(42)4cos(2)0.5t t e t e t --++=的一个根；再用数值方法分别求该方程在-0.6和3附近的两个根。 y=sym('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5'); t=solve(y,'t') t =0.67374570500134756702960220427474 y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t'); t=fsolve(y,0.6) t = 0.6737 y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t'); t=fsolve(y,3) t = 2.5937 2、【示例】以下命令可求解非线性方程组339820 x y x x y ?+-=?+-=? >> eq1=sym('x^3+y^3-x-98'); % 定义第一个方程表达式 >> eq2=sym('x+y-2'); % 定义第二个方程表达式 >> [x,y]=solve(eq1,eq2) % 解方程组（用准解析方法） x = 13/12+1/12*2329^(1/2) 13/12-1/12*2329^(1/2) y = 11/12-1/12*2329^(1/2) 11/12+1/12*2329^(1/2) 或可用以下命令求解上述方程组以指定点为初始搜索点的数值解： >> f=inline('[x(1) ^3+x(2) ^3-x(1)-98; x(1)+x(2)-2]', 'x'); % 用inline 命令定义方程组 >> x=fsolve(f,[1;1]) % 用数值方法从初始点(1,1)开始搜索方程组的一个近似解 x =

matlab常微分方程和常微分方程组的求解

下载的，感觉不错，共享一下 常微分方程和常微分方程组的求解 一、实验目的： 熟悉Matlab 软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab 软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 二、相关知识 在MATLAB 中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程1dy dx x y = +的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')， 注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。 例2：求解常微分方程2 '''0yy y -=的MATLAB 程序为： Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组253t t dx x y e dt dy x y e dt ?++=??? ?--=??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t') 例4：求常微分方程组020 210cos ,224,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=?+-==??? ?++==??通解的MATLAB 程序为： [X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =

常微分方程组的MATLAB求解范例

微分方程求解是系统仿真、数学模型实现以及很多工程问题求解的核心部分，应用MATLAB可以方便地对一阶常微分方程组进行求解，这里将对其基本方法进行介绍。值得注意的是，高阶微分方程组可以通过引进参变量化为一阶常微分方程组，也可以同样方便解决。 若有一个微分方程（组）的参变量为列向量,即,且它参变量随时间变化的微分方程可以有以下方程描述： 这里的f函数是一个列向量，即, i=1,2,3…,n，它可以是任意非线性函数。 则一般微分方程可以如此求解： [t,x]=ode45(f,timespan,x0) 对于刚性方程，即一些解变化缓慢，一些解变化剧烈，且两者相差较为悬殊的这种方程，通常调用ode15s而非o de45进行求解。 例1： 解：编写function或者用匿名函数 表达f=y-2*x/y即可； function dy=f(t,y) dy=y-2*t/y; end 命令： t=[0,1];%y0=1; [x,y]=ode45('f',t,1);%注意 这里的x相当于自变量t plot(x,y,x,sqrt(1+2*x)),legend('数值解','解析解');

可见求解效果不错。 例2、 解：编写function function dx=f(t,x)%返回值是列向量 dx=[-x(2)-x(3); x(1)+0.2*x(2); 0.2+(x(1)-5.7)*x(3)]; end 命令： t=[0,100]; y0=[0 0 0]';%注意是列向量 [x,y]=ode45('f',t,y0); plot(x,y)； 例3、 这是一个二阶微分方程组，可以引进变量,由此ODE可以化成如下形式 可以采用和例2相同的方法求解： function dx=f(t,x) dx=[x(2); -(x(1)^2-1)*x(2)-x(1)]; End

高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).

,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：

一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程

4.高阶微分方程与微分方程组

§ 4高阶微分方程与微分方程组 、 高阶微分方程与微分方程组的互化 已给一个n 阶方程 y n = f x,y,y ；y , ,y 心 设y i =y,y 2=y',y 3=y",…,y n =y (n-i)，那末解上面n 阶微分方程就相当于解下面n 个一阶微分方程的方 程组 dy i ~r = y2 dx dv^_y -y 3 dx dy n 」 ~T~ = y n dx 孚=f(x,y i ,y 2,…,yn ) dx 式中y i ,y 2,…,y n 看作自变量x 的n 个未知函数. 反过来，在许多情况下，已给n 个一阶微分方程的方程组也可以化为一个 n 阶微分方程. 比如，两个一阶微分方程的方程组 字二 f i x, %,y 2 字=f2(x, y i , y2 ) .dx 将方程(1)对x 求导数 记作 从方程(1)中解出y 2 y 2 二 y 2 x,y i ,y i 代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程 d 2y i 宀 2 x, y i , y i dx 这里函数「x, y i , y i 由函数f i , f 2所确定，因而是已知的?所以两个一阶微分方程组可以化为 一个二阶微分方程? 二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法 i. y (n) = f (x ) 将方程写成 dx d 2y i dx 2 f i ；:f i 上 —i 1 f i - L 、、 l 、、 ' x ;y i ；:f 1 斜 d 2y i dx 2 二 F x, y i , y 2

2 若不能解出y (n)，但原方程可写成参数形式： y (n -1)=?(t), y (n )=Xg(t) d n-1)= yOdx -pdt c,y n ，」t 按类型2的方法，可得通解(参数形式) 申7t \ dt c,y =心 t,G,C 2, ,C n 4 4. F (y (n-2), y (n)尸0 设方程可解出y (n ): 积分后得到 yC 」)=f f (x 0X + G ?X0 重复这一过程到积分n 次，就得到微分方程的通解： (X ]dx f + 斗二￥ + 空X 二磐 + …+C 」X — X 。)+ c n (n —1! (n —2) X X f X X 0 f 2. 1 2 nf d ?筈存途厂… (n)、 1 = ----- | n -1! F (x ,y (n) )=0 若能解出y (n )，则方程化成类型1求解. 若不能解出y (n )，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解: F(「(t)>(t)尸 0 则原方程可写成参数形式 x= (t), y (n )='- (t) 由 d n-1)= y (n )dx= (t) '(t)dt 得 y (n 」)=(屮(t 卩 \t )dt ，1(t,G ) 又由 y (n-2)=y (n-1)dx=-'1(t,c 1) '(t)dt 得 yD=胖‘id 卩 ? pt +C 2 =屮 2(t,C 1,q ) t , y ^! n t,C 1，C 2，,C n 3. F (y (n-1), y (n) )=0 1 若从方程可解出y (n ): 则令y (nT )=Z ,上式化成 y (n )=f(y( n-1)) ◎f z dX 这是变量可分离的方程，设解为 那末化成类型1 其通解为 z= '(X,Cj y (n -1)= ,(x,q) C 2 n-2! Gd 花宀。一 C n 则从 y = n 设函数(t),‘-(t) (: