代数方程组和微分方程组的求解
微分方程组和代数方程组的符号解代数方程组的符号求解代数方程组的符号求解函数为solve 函数，函数调用格式为
其中fun1, fun2,…为符号表达式。var1,var2,….为符号变量，指明所求解的变量。如果不指明所求解的变量，则系统根据变量在英文字母中与x 的接近程度选择。
)
var ,,2var ,1var ,,,2,1(m funm fun fun solve x =solve 函数还有另一种调用形式
其中是字符串，定义方程。也是字符串，指明所求解的变量。
)
var ,,2var ,1var ,,,2,1(m eqm eq eq solve x =
例：求解线性方程组
??
???=++=++=++32
1az y x z ay x z y ax 参考程序
syms x y z a
[u,v,w]=solve(a*x+y+z-1,x+a*y+z-2,x+y+a*z-3,x,y,z)
u =
(a -4)/(a^2 + a -2)
v =
2/(a + 2)
w =
(3*a)/(a^2 + a -2)
也可以利用下面的语句求解
>> s=solve('a*x+y+z-1','x+a*y+z-2','x+y+a*z-3','x','y','z')
s =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
z: [1x1 sym]
其中，s是结构形数据。可以用下面的方法显示求得的解
>> s.x
ans=
(a -4)/(a^2 + a –2)
方程组的符号求解得到的是解析式。其优点是可以得到含未知参数的解，有利于进一步的分析。缺点是计算效率低，且复杂的问题一般得不到解析解。
常微分方程组的符号求解
常微分方程（组）的符号运算函数为dsolve ，调用格式为
变量= dsolve (equ1,equ2,….);
其中equ1, equ2等是字符串，描述微分方程。方程形式与solve 语句中类似，其中的导数项利用D 表示，Dy,D2y 分别描述y 的一阶和二阶导数。初值和边值条件也利用方程描述。例5.2：求微分方程的通解和在初始条件下的特解
02222=+-y dt
dy dt y d 2)0(,1)0(='=y y >> y=dsolve('D2y-2*Dy+2*y=0')
y =
C24*exp(t)*cos(t) + C25*exp(t)*sin(t)
>> y=dsolve('D2y-2*Dy+2*y=0','y(0)=1','Dy(0)=2')
y =
exp(t)*cos(t) + exp(t)*sin(t)
代数方程的数值方法
1、多项式求根
在matlab 语言中，多项式利用行向量表示。如向量
用作多项式函数时，与多项式
对应。因此，多项式运算对应向量的相关运算，如多项式的加法对应向量的加法等。
()45021-=u 4
5234+-+=x x x p 多项式运算的几个常用函数：
p=conv(p1,p2) %多项式乘法
[d,r]=deconv(p1,p2) %多项式除法
dp=polyder(p) %多项式的导数
ip=polyint(p) %多项式的积分（原函数）
y=polyval(p,x) %输出多项式p 在向量x 的值
多项式求根的函数为r=roots(p);其中r 是多项式p 的所有根组成的向量。
例：求多项式
的根并在多项式图形中表示。
1260
16922233281382023456-+--+-x x x x x x q =[1 -20 138 -328 -223 1692 -1260];
r=roots(q);
x=-2.2:0.05:8;
y=polyval(q,x);
y1=polyval(q,r);
plot(x,y,r,y1,'p')
xlim([-2.2,8])
legend('polynomial','roots ‘)
线性方程组
Ax=b 可以利用矩阵除法直接得到。但当系数矩阵为稀疏矩阵时，利用稀疏矩阵函数可以得到更高的计算效率。
2. 线性方程组的求解
例：求解n 阶线性方程组
对n=1000，分别利用正常方法和稀疏矩阵求解，并比较计算时间。
???????? ??=???????? ?????????? ??111121*********
01
2321 n x x x x
参考程序：
clc
clear
n=1000;
A=diag(2*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(ones(1,n-1),-1); A(n,1)=1;
b=ones(n,1);
tic
x=A\b;
toc
A1=sparse(A);
tic
x=A1\b;
toc
输出结果：
Elapsed time is 0.144504 seconds.
Elapsed time is 0.009240 seconds.
3. 非线性方程求根求解非线性方程一般利用以下形式的迭代方法：
著名的Newton 迭代法
就是众多迭代方法中的一种。
)(=x f )(1k k x x ?=+ ,2,1,0=k )
()(1k k k x f x f x '=+迭代是一种逐步近似的过程，在迭代求根中，需要给定初始近似x 0来启动迭代过程。初始近似的选取非常重要，这是因为
(1) 许多方法只有当接近所求的解时，迭代才收敛。
(2)当方程有多个解时，需要充分靠近所求的解，才能保证迭代收敛到这个解。
Matlab中非线性方程求根的函数是fzero，调用格式为
p=fzero(fun,x0);
其中x0是初始值。fun可以是字符串以指示函数名，也可以是以@开头的函数句柄如
‘sin’，@sin，@(x)sin(x)
例：求方程sin(x)+cos(x)=1 的解。初始值依次选取x
0=1,2, (10)
参考程序：
r=zeros(1,10);
for x0=1:10
r(x0)=fzero(@(x)(sin(x)+cos(x)-1),x0);
end
r
运行结果：
r =
1.5708 1.5708 1.5708 1.5708 6.2832 6.2832 6.2832 7.8540 7.8540 7.8540
运行结果显示：在一般情况下，迭代收敛到与初始值接近的根。
例：求解方程
0102
=-+?-dt e x x t 参考程序：
function r=rootexample(x0)
r=fzero(@rootfun,x0);
end
function f=rootfun(x)
f=x+quad(@(t)exp(-t.^2),0,x)-1;
end
运行结果：
>> r=rootexample(0.8)
r =
0.5219
>> r+quad('exp(-x.^2)',0,r)-1 %check the solution
ans =
-2.2204e-016
例：求方程
的最小正根。
10
)
sin(
5
1
=
∑= k
kx kx
首先寻找初始值。画出方程
在上的图形
10
)
sin(
)
(
5
1
-
=∑
=
k
kx
kx
x
f
>> x=0:pi/50:2*pi;
>> y=x.*sin(x)+2*x.*sin(2*x)+3*x.*sin(3*x)+4*x.*sin(4*x)…+5*x.*sin(5*x)-10;
>> plot(x,y,x,0)
利用对上述图形的局部放大图
（下图）估计得到初始值x
=3.8
>> format long
>> r=fzero (@(x)(x.*sin(x)+2*x.*sin(2*x)+3*x.*sin(3*x)+4*x.*…sin(4*x)+5*x.*sin(5*x)-10),3.8)
r =3.908485977246559
例：求含参数代数方程
的根与a 的关系。ax e e
x a a x f x x 4
02.02.02sin 3),(--+-=
function rootfinding
x=0:0.01:5;l=1;root_1=zeros(1,length(x));
for a=x;
root_1(l)=fzero(@(x)fun(x,a),a);
l=l+1;
end
plot(x,root_1,'-')
xlabel('parameters')
ylabel('roots')
end
function f=fun(x,a)
f=a-3*x.^2.*exp(-0.2*x)+exp(-0.02*x).*sin(a*x).^4;
end
注：含参数的方程的求解对后续计算非常重要。如上面例子求参数，使得根取极大等。
4.非线性方程组求解
非线性方程组的一般形式为
其中
)(=x F ??????? ??=),,,(),,,(),,,()(2
1212211n n n n x x x f x x x f x x x f x F 非线性方程组求解的matlab 函数为
使用方法完全类似于函数fzero ，但对初始条件的选择要困难的多。
)
0,(x fun fsolve x =
实验6 线性代数方程组的数值解法 [实验目的] 1. 1. 学会用MATLAB 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析； 2. 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。 [实验内容] 5-5 输电网络：一种大型输电网络可简化为图5.5（见书）所示电路， 其中R 1，R 2，…，R n 表示负载电阻，r 1，r 2，…，r n 表示线路内阻，I 1，I 2，…，I n 表示负载上的电流。设电源电压为V 。 (1)列出求各负载电阻R 1，R 2，…，R n 的方程； (2)设I 1=I 2=…=I n =I ，r 1=r 2=…=r n =r ，在r=1，I=0.5，V=18，n=10的情况下求R 1，R 2，…，R n 及总电阻R 0。 [问题分析、模型建立及求解] (1) 设电源负极为电势为0，电阻R 1上对应节点电压为V 1，对于任意节点，根据KCL 定律列出方程： 11 1++----=k k k k k k k k r V V r V V R V 而 k k k R V I =，可得： 111111)(++++--++-= k k k k k k k k k k k k R r I R r I r I R r I I k=2，3，……，n-1； k=1时 2221211R r I R r I I +- =，为与上式形式一致，化为 22212111111)(R r I R r I r I r V I +--=- k=m （12-≤≤n m ）时 111111)(++++--+--+= m m m n m m m m m m m m R r I R r I r I R r I I k=n 时 n n n n n n n R r I R r I I -= --11 设以上方程组的矩阵形式为：b AR = 则 []T n R R R R 21=
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空
浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的 相通性 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。 随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。
几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。 一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性 4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。 二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性 在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/dc170095.html, 浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性 作者：向文黄友霞 来源：《教育教学论坛》2016年第32期 摘要：《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。 关键词：《高等数学》；《线性代数》；相通性 中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）32-0196-02 随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。 几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。 一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性 4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。 二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性 在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无
偏微分方程理论学习 一． 偏微分方程发展简介 1. 常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2. 偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程 ??? ????<<=>==??=??,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ， 其中后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为 为了满足初始条件，必须有
本科实验报告 课程名称：数值计算方法B 实验项目：线性方程组的直接解法 最小二乘拟合多项式 实验地点：ZSA401 专业班级：学号：201000 学生姓名： 指导教师：李志 2012年4月13日
线性方程组的直接解法 一、实验目的和要求 实验目的：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解方程组。 实验要求：利用高斯消元法，LU 分解法或追赶法进行编程，求解题中所给的方程组。 二、实验内容和原理 实验内容：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解下列方程组： ① ?? ?? ? ?????=????????????????????13814142210321321x x x ②??? ? ?? ??????=????????????????????? ?? ? ??--?-2178.4617.5911212592.1121130.6291.513 14 .59103.043 2115x x x x ③?? ??? ??? ? ???????----=????????????????????????????????-55572112112112121 n n x x x x （n=5,10,100,…） 实验原理：这个实验我选用的是高斯消元法。高斯消元法：先按照 L ik =a ik^(k-1)/a kk^(k-1) , a ij^(k)=a ij^(k-1)-l ik a kj^(k-1) [其中k=1,2,…,n-1;i=k+1,k+2,…,n;j=k+1,k+2,…,n+1] 将方程组变为上三角矩阵，再经过回代，即可求解出方程组的解。 三.计算公式 通过消元、再回代的求解方法称为高斯消元法。特点是始终消去主对角线 下方的元素。 四、操作方法与实验步骤 #include "Stdio.h" #define N 3 main() { double a[N][N+1],b[N]; int i,j,k,x=0; for(i=0;i 浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以 试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程起源发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布 尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根 据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总 x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为 人数为)(t x。 因为总人数为常数n 浅谈线性代数与计算机的关系 线性代数是计算机专业的一门重要基础课程,同时又作为各高等院校和工科类专业的数学基础课程，它具有很强大的应用性和实用性。线性代数是数学的一个分支，它主要处理线性关系问题，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；用过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已经被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 自计算机产生以来，随着计算机的不断发展和进步，计算机语言也在进步，但是很多软件或编程的编写都离不开计算机算法，这时一种好的计算方法就会成为一个软件或编程的亮点。以前，在计算机的计算算法中，对于一些复杂的计算总是要花很多步骤来完成，既麻烦又容易出错，并很浪费时间（比如在计算机上用算法求鸡兔同笼的问题，如果是用一般算法来求的话，我们会发现很吃力，但是引用的线性代数的矩阵理论就简单的多了），所以在计算效率方面提不上去的话，就会限制计算机的发展和进步。而线性代数的引入就改变了这个问题，使得计算机的发展更加迅猛，到了今天计算机得到广泛应用的时候，计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等 技术无不是以线性代数为理论基础并组成其计算机算法中极其重要的一部分。线性代数在计算机领域的应用与计算机的计算性能是成正比例的，同时，这一性能会随着计算机硬件的不断创新和发展而得到极大的提升。 线性代数的计算机应用在全球有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程。.经过几个月的编程,并利用当时的计算机运行了56个小时才求出其解。又如，1992年至1997年,美国国家科学基金会资助的ATLAST(Augment the Teaching of Linear Algbra using Software Tools)计划重点强调在线性代数教学中应该利用新的计算方法技术。 线性代数在计算机方面的应用，促进了计算机的算法计算的发展，同时，计算机的算法进步也为解决线性代数的问题提供了很大的便利（体现为计算机在线性代数中的应用），可以说，在计算机广泛应用的今天，线性代数的计算离不开计算机，运用计算机解决线性代数问题可以让我们充分掌握线性代数的实际应用。 在引用计算机计算有关线性代数问题之前，要求解一个线性微分方程组是非常困难的事情，通常要通过找出各个原函数从而把一些相关的积分求出来，但是，在实际情况中，原函数并不是总是存在的，因此总需要数值解来求得结果，而在运用计算机求解之前，数值解要通过人工计算的，这种方法既浪费精力，又会耗费大量的时间。 第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。 二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1122a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则 数学家与线性代数 在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。1683年关孝和(日本人)最早引入行列式概念（一说为莱布尼兹）。关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯莱在1855年引入了矩阵的概念，定义了矩阵的运算，零矩阵和单位矩阵，逆矩阵等等，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的研究报告》。19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了千余篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。 莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,德国数学家、物理学家和哲学家,1646～1716) 莱布尼兹1646年7月1日，出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。 1661年，15岁的莱布尼兹进入莱比锡大学学习法律，在听了教授讲授的欧几里得的《几何原本》的课程后，莱布尼茨对数学产生了浓厚的兴趣。 1667年，莱布尼兹发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。 1672年，莱布尼茨深受惠更斯的启发，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作，开始创造性的工作。 莱布尼兹一生没有结婚，没有在大学当教授。他平时从不进教堂，因此他有一个绰号Lovenix，即什么也不信的人。1793年，汉诺威人为他建立了纪念碑；1883年，在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕像；1983年，汉诺威市政府照原样重修了被毁于第二次世界大战中的“莱布尼兹故居”，供人们瞻仰。 线性代数方程组求解 一、实验要求 编程求解方程组: 方程组1: 方程组2: 方程组3： 要求: 用C/C++语言实现如下函数： 1.bool lu(double* a， int＊ pivot, int n）； 实现矩阵的LU分解。 pivot为输出参数,pivot[0,n）中存放主元的位置排列. 函数成功时返回false，否则返回true。 2.bool guass（double const* lu， int const* p, double* b, int n）； 求线代数方程组的解 设矩阵Lunxn 为某个矩阵anxn 的LU 分解，在内存中按行优先次序存放。p[0，n)为LU 分解的主元排列.b 为方程组Ax=b 的右端向量.此函数计算方程组Ax=b 的解，并将结果存放在数组b ［0，n ）中.函数成功时返回false ，否则返回true 。 3。 void qr(double* a ， double ＊ d, int n);矩阵的QR 分解 假设数组anxn 在内存中按行优先次序存放。此函数使用HouseHolder 变换将其就地进行QR 分解。 d 为输出参数，d [0,n) 中存放QR 分解的上三角对角线元素。 4。 bool hshld(double const*qr ， double const*d, double*b ， int n); 求线代数方程组的解 设矩阵qrnxn 为某个矩阵anxn 的QR 分解,在内存中按行优先次序存放。d [0,n ） 为QR 分解的上三角对角线元素。b 为方程组Ax=b 的右端向量。 函数计算方程组Ax=b 的解,并将结果存放在数组b[0，n)中。 函数成功时返回false ，否则返回true 。 二、问题分析 求解线性方程组Ax=b ，其实质就是把它的系数矩阵A 通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此,在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A 变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要,然而矩阵A 的变换通常有两种分解方法：LU 分解法和QR 分解法。 1、LU 分解法： 将A 分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U,即:A=LU ， 其中 L=??????? ?????1001 00 12121 n n l l l ， U=? ? ??? ? ??????nn n n u u u u u u 000 00222112 11 2、QR 分解法： 将A 分解为一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R,即：A=QR 三、实验原理 解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组： ⑴ Ly=b，求y; ⑵ Ux=y,求x 。 设A 为非奇异矩阵，且有分解式A=LU , L 为单位下三角阵，U 为上三角 偏微分方程理论学习 一．偏微分方程发展简介 1.常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2.偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程，x k z y x ??=??+??+??T T T T 2222222其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程 ??? ????<<=>==??=??,0),()0,(, 0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为 ∑∞=-=1)/(.sin ),(T 2222n t l k n n l x n e b t x ππ 为了满足初始条件，必须有 ∑∞==1.sin )(n n l x n b x f π 实 验 报 告 四 代数方程求解 1、【示例】以下命令可求出方程 (x +1)e –x +e x sin x =0在0附近的一个根： >>y=sym('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x)'); % 用sym 命令定义符号表达式 >>x=solve(y,'x') % 用准解析方法求出方程最接近0的一个根 x =-0.86508244315736795185621568221837 或可用以下命令求解该方程以指定点为初始搜索点的数值解： >> y=inline('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x) ', 'x'); % 用数值方法求解时，方程要用inline 命令定义 >> x=fsolve(y,0) % 用数值方法从初始点1开始搜索方程的近似解 x = -0.8651 注：准解析命令solve 只能求出方程最接近0的一个实数根，而数值解法fsolve 可以通过初始搜索点的变化，得到不同的解（如果方程有多个实数解）。 【要求】仿照示例，用准解析方法求出30.5sin(42)4cos(2)0.5t t e t e t --++=的一个根；再用数值方法分别求该方程在-0.6和3附近的两个根。 y=sym('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5'); t=solve(y,'t') t =0.67374570500134756702960220427474 y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t'); t=fsolve(y,0.6) t = 0.6737 y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t'); t=fsolve(y,3) t = 2.5937 2、【示例】以下命令可求解非线性方程组339820 x y x x y ?+-=?+-=? >> eq1=sym('x^3+y^3-x-98'); % 定义第一个方程表达式 >> eq2=sym('x+y-2'); % 定义第二个方程表达式 >> [x,y]=solve(eq1,eq2) % 解方程组（用准解析方法） x = 13/12+1/12*2329^(1/2) 13/12-1/12*2329^(1/2) y = 11/12-1/12*2329^(1/2) 11/12+1/12*2329^(1/2) 或可用以下命令求解上述方程组以指定点为初始搜索点的数值解： >> f=inline('[x(1) ^3+x(2) ^3-x(1)-98; x(1)+x(2)-2]', 'x'); % 用inline 命令定义方程组 >> x=fsolve(f,[1;1]) % 用数值方法从初始点(1,1)开始搜索方程组的一个近似解 x = 实验五 微分方程及线性代数方程求解 一、实验目的 学习常微分方程和线性代数方程的求解方法 二、实验原理 1）常微分方程的求解 ode45函数依据4阶Runge-Kutta 法则求解微分方程，其调用格式为 [t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0) 这里，odefun 为微分方程的函数文件句柄，微分方程必须规范化为一阶微分方程，若为n 阶微分方程，则需整理为n 个一阶微分方程组，其形式为),(t y f y ='，y 是n*1的向量。tspan 为自变量范围,y0为一阶微分方程组的n*1初始列向量。t 是所求数值解的自变量数据列向量（长度为N ）。Y 是N*n 输出矩阵，第k 列则对应于微分方程组中第k 个分量的解。 odefun 项的格式为@funname. funname 是一个函数文件的文件名。该函数文件格式为： function ydot=funname(t,y) yot=[微分方程组]; 2）线性代数方程求解 含有n 个未知数的m 个方程的线性方程组写成矩阵形式b x A n m =?，判断方程是否有解，1)如果向量b 在矩阵A 列向量所张空间内（即rank(A)=rank([A,b])，有准确解。若rank(A)=n ，则解唯一，否则解不唯一，需求特解及齐次解，以表示完整解。2）如果向量b 不在矩阵A 列向量所张空间内（rank(A) 微分方程稳定性理论简介 1、一阶自治方程 ()()x t f x = （１） 使代数方程()0f x =的实根=x 0x 称为（1）的平衡点或奇点。0x x =也是方程（1）的解。 设x(t)是方程的解，若从0x 的 某邻域的任一初值出发都有0lim ()t x t x →+∞=，则称0x 是方程(1)的稳定平衡点（渐近稳定）；否则，称0x 是方程(1) 的不稳定平衡点。 例 dx x dt =- 判断平衡点稳定性的方法 （1） 间接法：利用定义，需要求出方程的解 （2） 直接法：不求方程的解 方程（１）的近似方程为： ))(()(00x x x f t x -'= （２） 对于一阶方程（１）与（２）的平衡点0x 的稳定性有如下结论： 若0()0f x '<，则0x 是（１）与（２）的稳定平衡点 若0()0f x '>，则0x 是（１）与（２）的不稳定平衡点 2、二阶方程 可用两个一阶方程表示为 ()(,)()(,)x t f x y y t g x y =??=? （３） 二维（平面）自治系统 使 (,)0(,) 0f x y g x y =??=? 的实根000(,)P x y 称为（３）的平衡点。同样，若存在000(,)P x y 的某个邻域的任一初值))0(),0((y x 出发，当t →+∞时 00((),())(,)x t y t x y →，则称000(,)P x y 是稳定的平衡点。 应用直接法讨论（３）的稳定性，先看线性常系数方程 ()()x t ax by y t cx dy =+??=+? （４） 二维（平面）线性自治系统 系数矩阵记做 a b A c d ??=???? ，设det 0A ≠，此时（４）有唯一平衡点0(0,0)P 。它的稳定性由（４）的特征方程 det()0A I λ-= 的根所决定。 2det()()0a b A I a d ad bc c d λλλλλ --==-++-=- 结论： 0????→???????????→???????????????????????????????????→???????→?? - （S 稳定）同号结点相异+ （U ）异号鞍点 (U)实根- (S)临界结点+ (U)重根- (S)退化结点+ (U)- (S)实部不为0焦点复根+ (U) 实部为中心（U ） 进一步，令()p a d =-+,det q ad bc A =-=，则特征方程为20p q λλ++=，特征根为 1,21 (2p λ=-± 1)240p q -> i) 0q > 0结点（S ）p >→ 0结点（U ）p <→ ii) 0鞍点（U ）q <→ 2) 240p q -= 0临界（退化）结点（S ）p >→0临界（退化）结点（U ）p <→ 3) 240p q -< 0焦点（S ）p >→0焦点（U ）p >→ 第二章线性代数方程组的直接解法 教学目标： 1.了解线性代数方程组的结构、基本理论以及相关解法的发展历程； 2.掌握高斯消去法的原理和计算步骤，理解顺序消去法能够实现的条件，并在此基础上理解矩阵的三角分解（即LU分解），能应用高斯消去法熟练计算简单的线性代数方程组； 3.在理解高斯消去法的缺点的基础上，掌握有换行步骤的高斯消去法，从而理解和掌握选主元素的高斯消去法，尤其是列主元素消去法的理论和计算步骤，并能灵活的应用于实际中。 教学重点： 1. 高斯消去法的原理和计算步骤； 2. 顺序消去法能够实现的条件； 3. 矩阵的三角分解（即LU分解）； 4. 列主元素消去法的理论和计算步骤。 教学难点： 1. 高斯消去法的原理和计算步骤； 2. 矩阵的三角分解（即LU分解）； 3. 列主元素消去法的理论和计算步骤。 教学方法： 教具： 引言 在自然科学和工程技术中，许多问题的解决常常归结为线性方程组的求解，有的问题的数学模型中虽不直接表现为线性方程组，但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组。例如，电学中的网络问题、船体数学放样中建立三次样条函数问题、最小二乘法用于求解实验数据的曲线拟合问题、求解非线性方程组问题、用差分法或有限元法求解常微分方程边值问题及偏微分方程的定解问题，都要导致求解一个或若干个线性方程组的问题。 目前，计算机上解线性方程组的数值方法尽管很多，但归纳起来，大致可以分为两大类：一类是直接法（也称精确解法）；另一类是迭代法。例如线性代数中的Cramer法则就是一种直接法，但其对高阶方程组计算量太大，不是一种实用的算法。实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss）消元法，其它算法都是它的变形和应用。 在数值计算历史上，直接法和迭代法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境和问题规模是密切相关的。一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中、低阶（200 n ）以及高阶带形的线性方程组，由于直接法的准确性和可靠性高，一般都用直接法求解。对于一般高阶方程组，特别是系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性方程组用迭代法有效。 《高等数学（下）与线性代数》习题参考答案 第六章 微分方程 习题一 一、判断题 1、×； 2、√； 3、√； 4、×； 5、× 二、填空题 1、2 ) (ln 21)(x x f = ； 2、x cxe y -=； 3、x y 2= ； 4、x x x y 9 1ln 3 1- = ； 5、C t x +=)(ln ? 三、1、C y x =?tan tan ； 2、C e e y x =-?+)1()1( 四、22sec )1(=?+y e x 五、1、Cx y x =-332； 2、223x y y -= 六、)ln 41(x x y -= 七、1、)(sin C x e y x +=-； 2、3 2 2 Cy y x += ； 3、)cos 1(1 x y --= ππ 八、??? ? ? ? -+=-t m k e k mk t k k v 2122121 九、x x e e x f 2323)(-= 习题二 一、选择题 1、（C ）； 2、（B ）； 3、（D ）； 4、（C ）； 5、（B ）； 6、（A ）； 7、（D ） 二、填空题 1、3221)3(C x C x C e x y x +++-=； 2、22 12 1C x x e C y x +--=； 3、) 1ln(1+-=ax a y 三、 1、x x e C e C y 221-+=； 2、x C x C y sin cos 21+=； 3、x C x C e C e C y x x sin cos 4321+++=-； 4、x e y x 5sin 32-= 四、?? ? ? ?-+=+-++-t k k t k k k e e k k v x 12 212 2242 41 2 2014 五、)sin (cos 2 1)(x e x x x ++=? 六、x e x c x x c y x cos 5sin 2cos 2cos 21+ +? = 第八章 多元函数微分学 习题一 一、 1、y y x +-112 ； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，-4； 4、? ??? ? ?++ ++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，2 2812x y -，xy 16-． 二、1．D ； 2．A ；3．D ；4．B ；5．A 三、 1．（1） ) ln(21xy x x z = ??， ) ln(21xy y y z = ??； （2） 1 -= ??z y x z y x u ， x x z y u z y ln 1= ??， x x z y z u z y ln 2 - =?? 2.1 2 2 22 222222 2 2 2 2 22 223. z xy z xy x x y y x y z y x x y x y ??==-?+?+?-=??+（）（） （） 4．xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1 ++=- 5．dy dx 3 231 + 习题二 一、 1、)()(y x f xy y x yf +'++，)()()()(y x f xy y x f y x y x f +''++'+++；浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈线性代数与计算机的关系
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