基本初等函数的导数公式及导数运算法则
教学设计
——人教A版数学选修2-2第1章第2节第2课时
武汉十一中周少雄
一、教材背景分析
1．教材的地位和作用
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-2第1章第2节第2课时. 教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数的定义推导这些公式和法则，只要求能够利用它们求简单函数的导数即可.
本节内容以前面学习的导数的概念、几何意义及运用导数定义求几个常见函数的导数为基础，给出常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式，“思考”说明了为什么要引入导数运算法则，由导数公式及运算法则，就能得到两个基本函数的和、差、积、商的导数，熟练掌握导数公式及运算法则，为后续学习复合函数的导数奠定基础，特别是对研究函数问题掌握了必要的数学工具.
本课直接呈现基本初等函数的导数公式及运算法则，要求学生了解并掌握公式和法则，并设计了三道例题，让学生熟悉基本初等函数的导数公式和导数运算法则的运用，更重要的是，通过例题1和例题3的学习，体验数学与生活的联系，体会数学的文化价值，即运用数学知识解决实际问题.
2．学情分析
知识结构：学生已学习导数的概念和几个常用函数的导数，了解并掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，运用导数公式和运算法则求相关函数的导数.
心理特征：高二的学生已经具备了一定自主学习、分析探究问题的能力，让学生自主学习、恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系，解决相关问题.
3．教学重点与难点
重点：熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.
难点：运用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求导数，并能解决实际问题.
关键：引导学生自主学习、合作探究.
二、教学目标
1．通过自主学习，了解基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（不要求证明）.
2．通过适量的练习，熟悉导数公式和运算法则的运用.
3．通过对实际问题的合作探究，体会数学与生活实际的联系，用数学知识解决实际问题，进一步熟悉导数公式和运算法则.
4．通过自主学习、合作探究的学习方式，提高学生的自学能力和分析探究问题的能力，类比辨析公式和法则、探讨实际问题的解决方法，培养学生的理性精神.
三、教法选择和学法指导
教法：自主学习、合作探究．
学法：自主学习，了解基本初等函数的导数公式，会运用公式和法则求简单函数的导数，合作探究，进一步熟悉公式和法则的运用，会求比较复杂一些函数的导数，螺旋上升地学习核心数学知识和提高解决问题的能力.
四、教学基本流程设计
五、教学过程设计
1. 创设情境，激发兴趣
你听说过“品水师”吗？在加拿大，以水代酒已逐渐成为一种健康的时尚，如今“品水师”在加拿大是一种新兴职业，备受人们的尊重，因为在加拿大有句俗语叫“无水不成席” . 作为人体七大营养素之一的水，品水师认为，必须达到两项硬指标：
（1） 水中的矿物质含量丰富，每升水中含有不少于60毫升的矿物质；
（2） 水的纯净度高于百分之八十.
问题提出：已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
5284()(80100)100c x x x
=<<-. 你知道净化到纯净度为98%时所需净化费用的瞬时变化率是90%时的多少倍吗？
2. 自主学习，感悟新知
问题导学（自学本节内容至例2，回答下列问题）
（1） 写出基本初等函数的导数：
()()()____;f x c c f x '==若为常数，则
()(),()____;f x x Q f x αα*'=∈=若则
()sin ,()____;f x x f x '==若则
()cos ,()____;f x x f x '==若则
(),()____;x f x a f x '==若则
(),()____;x f x e f x '==若则
()log ,()____;a f x x f x '==若则
()ln ,()____.f x x f x '==若则
（2） 写出导数的运算法则：
[]()()()();f x g x f x g x '''+=+
[]()()()();f x g x f x g x '''-=-
[]()()()()()();f x g x f x g x f x g x '''?=+
[]()()()();cf x c f x cf x cf x ''''=+=
[]
2()()()()()(()0).()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''??-=≠???? （3） 求下列函数的导数：
12(),()
____;f x x f x -'==若则 7()l o g ,()____;
f x x f x '==若则 42()39,()________.f x x x f x '=-+=若则
（4） 通过自主学习，谈谈你在学习过程中的收获和疑问.
我的收获_______________________________________________________________ 我的疑问_______________________________________________________________ 3. 展示成果，简单应用
（1）谈一谈——在自主学习过程中，你有哪些收获和疑问？
（2）比一比——看谁是“好记星”，记得快，记得准，你发现了这些公式和法则之间的联系或区别了吗？
（3）辨一辨——下列说法中，正确的是（ ）
A 1ln 2,2
y y '==若则 B 5 1.05 1.05 1.05ln1.05t t t ''?????==????
C 221(23)2(23)46x x x -'??+=+=+??
D 22
sin (sin )sin ()cos sin ,x x x x x x x x y y x x x ''--'===若则 （4）算一算——求下列函数的导数： A 组 1
2(),()____;f x x f x -
'==若则
7()log ,()____;f x x f x '==若则
42()39,()________.f x x x f x '=-+=若则
B 组 3()3202012,()________.f x x x f x '=-+=若则
,_______________n x y x e y '==若则
4. 合作探究，深化提高
日常生活中的饮用水通常是经过净化，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
5284()(80100)100c x x x
=<<-. 1、求();c x '
2、求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%； （2）98%.
3、求(98)(90)
c c ''，并说明水的纯净度与净化费用之间的关系. 解：1、252845284(100)5284(100)()100(100)x x c x x x '''?--?-??'== ?--?? 22
0(100)5284(1)5284.(100)(100)x x x ?--?-=
=-- 2、净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
002
528490(90)52.84().(10090)c '==-纯净度为时，净化费用的瞬时变化率为元吨 002528498(98)1321().(10098)c '=
=-纯净度为时，净化费用的瞬时变化率为元 3、(98)(90)
c c ''＝25. 这说明水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
5. 反馈升华，优化方法
练1 tan y x =求的导数；
练2 (1)2sin
cos 22
x x y x x =--求的导数. 6. 悬念小结，延伸再探
【课堂小结】 通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？
1.2导数的计算 【课题】：1.2.3导数的运算法则 【教学目标】： （1）知识与技能：掌握一个函数的和、差、积、商的求导法则并能求某些简单函数的导数；通过实例，理解复合函数的求导法则。 （2）过程与方法：利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想，尝试探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解. （3）情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神. 【教学重点】：掌握函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则. 【教学难点】：学生对积和商的求导法则的理解和运用以及复合函数的求导法则. 【课前准备】：课件 这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第)()]g x f ='')()]f x g =
u. x ．求下列函数的导数： ；（2）y
练习与测试： A ．基础题 1．函数2 (1)y x x =+的导数是（ ） (A)2 1x + (B)2 3x (C)2 31x + (D)2 3x x + 答案：C 2．函数1()2 x x y e e -=+的导数是（ ） (A)1()2x x e e -- (B)1()2 x x e e -+ (C)x x e e -- (D)x x e e -+ 答案：A 3．若2 ' ()(2),(2)20,f x x a f a =+==且则 . 答案：1 4．某汽车启动阶段的路程函数为3 2 ()2(1)10s t t t =+-，则汽车在1t =秒时的瞬时速度为 . 答案：4 5．求下列函数的导数： （1）3 cos y x x =- (2)( )()2325y x x =+- (3)sin x y x = (4)()8 57y x =- 答案：(1)' 2 3sin y x x =+ (2) ' 2 9302y x x =-+ (3) ' 2 cos sin x x x y x -= (4) '7 40(57)y x =- B ．难题 1．已知曲线4 3 2 :3294C y x x x =--+ （1）求曲线C 在点()1,4-的切线方程； （2）对于（1）中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由.
导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】
第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
计算导数（2） 一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。 二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、课时安排：1课时 四、教学过程 （一）、复习 1、导数的定义； 2、导数的几何意义； 3、导函数的定义； 4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??) ()( （3）取极限，得导数/ y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 （1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3 问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？ 问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ （二）、新课探析 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2 ()2x x '= ⑸ 32 ()3x x '= ⑹ 2 11()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1 ()x x α αα-'= （α为常数） ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠， ⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠，且
⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1 )(lnx = ' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 2、例题探析 例1、求下列函数导数。 （1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y = （4）x y 3log = （5）y=sin( 2π+x) (6) y=sin 3 π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f ' 例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。 例3、若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1、求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率 变式2、求曲线y=x 2 过点(0,-1)的切线方程 变式3、求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程 变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. （三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用 导数公式表 （四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与
教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用
3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致
导数的概念（第1课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ?+?+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ?-?+=??=→?→?α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ?+?=+-+?+=-?+=-?+=?2)11(1)1()1()1()()(2200 222+?=??+?=??x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+?=??=→?→?x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度 我们知道，物体作直线运动时，它的运动规律可用函数)(t s s =描述．
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
导数的计算 一、考点热点回顾 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1 y x = 的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式． 几个常见函数的导数 探究1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为 ()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y ?→?→?'=== 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间 的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 探究2．函数()y f x x ==的导数 因为 ()()1y f x x f x x x x x ?+?-+?-===?所以00lim lim11x x y y x ?→?→?'=== 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间 的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
探究3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==???222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化， 切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2 y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2 y x =增加得越来越快．若 2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度 为2x ． 探究4．函数1 ()y f x x == 的导数 因为11 ()()y f x x f x x x x x x x - ?+?-+?== ???2() 1()x x x x x x x x x x -+?==-+??+?? 所以220011 lim lim()x x y y x ?→?→? '==-=-? 探究5．函数()y f x == 的导数 因为 ()()y f x x f x x x x ?+?-== ?? ? = = 所以0lim lim x x y y x ?→?→?'===?
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.
《导数的概念》教学设计 安阳县实验中学申现军一、内容和内容解析 （一）内容 导数的概念 （二）内容解析 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数． 二、学生学情分析 1. 有利因素：学生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学习了平均变化率，本节课继续以高台跳水问题为背景，进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习，并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫了大量的关于函数变化率的经验；另外，正一中学学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度题基本思想． 三、目标和目标解析 1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；
《导数的几何意义》教学设计 安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云 一、教材依据导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1 第三章第二节的内容。 二、设计思想 教材分析： 导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 本节内容分了两部分也即两个课时，一是导数的概念；二是导数的几何意义。之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。教材中利用逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线，这种定义才反映了切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来” （恩格斯语）的微积分思想，让学生反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式——几何直观，从而加深对导数概念的认识和 理解。 学情分析:
设计理念: 学生为本，重视思维发生的过程，重视切线定义的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。 三、教学目标 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数f（x）在x X0处的导数f / X0的几何意义就是函数f（x）的图像在x X0处的切线的斜率。 （数形结合），即：f/ x o lim —x辿=切线的斜率； 0x X （2）会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，体会“数形结合”的数学思想方法。 （3）通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应 用能力和创新能力的目的
1.1.2 导数的概念 教学目标：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2、会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 教学重难点： 重点：1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用 难点：导数概念的理解. 教学过程： 情境导入： 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为： 2() 4.9 6.510h t t t =-++.通过上一节的学习，我们可以求在某时间段的平均速度.这节课我们将学到如何求在某一时刻的瞬时速度，例当t =1时的瞬时速度. 合作探究： 探究任务一：瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 新知： 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度t s ??当t ?趋近于0时的速度. 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=??，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0 |x x y =' 即000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ?趋近于0可正、可负、但不为0，而y ?可以为0 (3)x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ?+?+）的割线斜率 (4)导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标： 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x = 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 )
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单 位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的 01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ； （4）y ＝ x x 4； （5） y ＝x x ln 1ln 1+-．
（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x （7） y ＝x x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． '' ' '252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ?--?-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ?--?-=-25284(100) x =- （1） 因为' 25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为'25284(98)1321(10090) c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这
样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-