导数及其应用
一、知识点梳理
1.导数：当x ?趋近于零时，
x
x f x x f ?-?+)
()(00趋近于常数c 。可用符号“→”记作：
当0→?x 时，
x
x f x x f ?-?+)()(00c →或记作c x x f x x f x =?-?+→?)
()(lim
000，符号“→”读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。 即 x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0'
2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率
x
x f x x f x f k x ?-?+==→?)
()(lim
)(000
0'切
由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-
3.导数的四则运算法则：
1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='
3）)()
()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='?
?
????4.几种常见函数的导数：
(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）
（ (3)x x cos )(sin ='
(4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =
' (6)e x
x a a log 1
)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5.函数的单调性：
在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果
0)(' 6.函数的极值 求函数)(x f 极值的步骤: ①求导数)(x f '。 ②求方程0)(/ =x f 的根. ③列表； ④下结论。 7.函数的最大值和最小值 （1）设)(x f y =是定义在区间[]b a ,上的函数，)(x f y =在),(b a 内有导数，求函数 )(x f y =在[]b a ,上的最大值与最小值，可分两步进行. ①求)(x f y =在),(b a 内的极值. ②将)(x f y =在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）若函数)(x f 在[]b a ,上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数)(x f 在[]b a ,上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值. 注意：（1）在求函数的极值时，应注意：使导函数)(x f '取值为0的点可能是它的极值点， 也可能不是极值点。例如函数3)(x x f =的导数2 3)(x x f ='，在点0=x 处有0)0(='f ，即点0=x 是3 )(x x f =的驻点，但从)(x f 在()+∞∞-,上为增函数可知，点0=x 不是) (x f 的极值点. (2) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值，然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个点使得导函数为0，那么立即可以断定在这个点处的函数值就是最大（小）值。 （3）极大（小）值与最大（小）值的区别与联系 二、典型例题解析： 例1 （1）若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的 值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．'02()f x - D ．0 （2）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或133 - （3）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 A ． B ． C ． D ． （4）已知函数2)12()(2 3+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值 为 （ ） A ．2 B.-2 C. 7 2 D.4 例2．3 2 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 。 解：当－1≤x <0时，()f x '>0，当0 所以当x ＝0时，f （x ）取得最大值为2。 点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0的点未必都是极值点，如：函数3 ()f x x =。 例3：设函数f(x)= 32 23(1)1, 1.x a x a --+≥其中（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。 解：由已知得[]' ()6(1)f x x x a =--，令' ()0f x =，解得 120,1x x a ==-。 （Ⅰ）当1a =时，'2 ()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当1a >时，()'()61f x x x a =--????，' (),()f x f x 随x 的变化情况如下表： x (,0)-∞ 0 (0,1)a - 1a - (1,)a -+∞ '()f x + - + ()f x 极大值 极小值 从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上单调递增。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值； 当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值31(1)a --。 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 例4：已知函数3 21()13 f x x ax ax = +++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。 （2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减， 若存在，请求a 的取值范围。 解：先求导得2 ()2f x x ax a '=++ （1） ()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0?≤ ∴2 440a a -≤，解得01a ≤≤ （2） 要使得()f x 在[]1,1-上单调递减 且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立， 即()()11201120f a a f a a '-=-+≤???'=++≤?? 解得a ∈? ∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。 例5：已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l ⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程； （Ⅱ）求由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积 解： 设直线1l 的斜率为1k ，直线2l 的斜率为2k ， '21y x =+，由题意得10'|1x k y ===,得直线1l 的方程为2y x =- 1221 1 1l l k k ⊥∴=- =- 211,1x x +=-=-令得,212,2x y x x y =-=+-=-将代入得 2l ∴与该曲线的切点坐标为(1,2),A --由直线方程的点斜式得直线2l 的方程为：3y x =-- （Ⅱ）由直线1l 的方程为2y x =-,令0=2y x =得: 由直线2l 的方程为3y x =--，令0=3y x =-得: 由23 y x y x =-??=--?得：52y =- 设由直线1l ，2l 和x 轴所围成的三角形的面积为S ，则：1525 [2(3)]224 s =?-?--= 三、练习： 1．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （4） 。 （1）在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 （2）在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 （3）在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 （4）在区间（∞-，0）),2(+∞?内，)(x f 为增函数 2．对任意x ，有34)('x x f =，(1)1f =-，则此函数为 2)(4 -=x x f 。 3．函数y=2x 3 -3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。 4．下列函数中，0x =是极值点的函数是 （2） 。 （1）3 y x =- （2）2 cos y x = （3）tan y x x =- （4）1 y x = 5．下列说法正确的是 （4） 。 （1）函数的极大值就是函数的最大值 （2）函数的极小值就是函数的最小值 （3）函数的最值一定是极值 （4）在闭区间上的连续函数一定存在最值 6．函数3 2 ()35f x x x =-+的单调减区间是 [0，2] 。 7．已知函数c bx x ax x f -+=4 4 ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中,,a b c 为常数。 （1）试确定,a b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。 教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用 3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致 导数 一、考纲要求 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题. 二、知识梳理 1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数． 问题探究：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，和统称为极值． 3．函数的最值与导数 函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值． 三，考点探究 考点一：函数的单调性与导数 【例1】设函数f(x)＝x3—3x2－9x－1．求函数f(x)的单调区间． §1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。 【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域 《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟 【学习目标】 1. 会利用导数解决曲线的切线的问题. 2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题. 3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题. 4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题 直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上； ②切点在曲线上； ③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释: 通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导, (1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数； (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数； (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释: (1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则 '()0f x ≤. (2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤. ② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥. (或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域； (2)求导数)(x f '； (3)求方程0)(='x f 的根； (4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域 ②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点； 若由负变正,则该点为极小值点. 注意:无定义的点不用在表中列出 ③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； (3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ； (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 要点诠释: ①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值. 导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老 一、基本知识点 1，导数：当x ?趋近于零时，x x f x x f ?-?+) ()(00趋近于常数C 。可用符号“→”记作：当 0→?x 时， x x f x x f ?-?+)()(00c →或记作c x x f x x f x =?-?+→?) ()(lim 000，符号“→” 读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作 )(0x f '。即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(l i m )(000 0' 2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(l i m )(000 0'切 由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得： （1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线 的斜率。 （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为： ))((00' 0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为： ))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则： （1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'=' （3）)() ()()()()()(2 x g x g x f x f x g x g x f '-'=' ?? ???? 高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量； ②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 §3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求 出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b); (4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) 导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。 §1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这 样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈- 课题：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究 探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 探究二：高台跳水： 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述 学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝ ( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2 【解析】 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1 ＝a ＝3.故选C. 【答案】 C 2．若函数f (x )＝－x 2 ＋10的图象上一点? ????32，314及邻近一点? ?? ??32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－3－(Δx )2 D ．－Δx －3 【解析】 ∵Δy ＝f ? ????32＋Δx －f ? ?? ??32＝－3Δx －(Δx )2， ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2 Δx ＝－3－Δx .故选D. 【答案】 D 3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 【解析】因为Δs Δt＝ 3(3＋Δt)2－3×32 Δt＝ 18Δt＋3(Δt)2 Δt＝18＋3Δt， 所以lim Δt→0Δs Δt＝18. 【答案】 B 4.如图3－1－1，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是() 图3－1－1 A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解析】Δy Δx＝ f(3)－f(1) 3－1 ＝ 1－3 2＝－1. 【答案】 B 5．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，则x0的值为() A．0 B．3 C．3 2 D．6 2 【解析】f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝ lim Δx→0[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－8x0＋2x20) Δx ＝lim Δx→0－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2 Δx ＝lim Δx→0 (－8＋22x0＋2Δx) ＝－8＋22x0＝4，所以x0＝3 2. 【答案】 C 二、填空题 2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实 际生活中的应用教案苏教版选修2-2 【教学目标】 1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法； ⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题. 【教学重点、难点】 解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题． 【教学过程】 一、复习引入： 导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决. 利用导数求函数的最值步骤: （1）求) (x f在(,) a b内的极值； （2）将) (x f的各极值与) (a f、) (b f比较得出函数) (x f在[,] a b上的最值. 二、例题分析： 例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？ 例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ b 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？ 例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b . 例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？ 例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比） 例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ， （1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？ 如何培养学生良好的行为习惯 我国著名教育家陶行知先生说：“播种行为，就收获习惯；播种习惯，就收获性格；播种性格，就收获命运。”这一育人哲理道出了培养行为习惯的重要性。叶圣陶先生十分重视少年儿童良好行为习惯的培养。他认为，“我们在学校里受教育，目的在养成习惯，增强能力。我们离开了学校，仍然要从多方面受教育，并且要自我教育，其目的还是在养成习惯，增强能力。”习惯越自然越好，能力越增强越好。良好的行为习惯是促进一个人健康成长的重要条件，是健全人格形成的基础。习惯有好坏之分，好习惯终身受其益，坏习惯终身受其累”。生活中有两种习惯养成不得，一种是不养成习惯的习惯，另一种是妨害他人的习惯（所谓不养成习惯的习惯就是指一个人做事没有强制与警觉，今天东，明天西，今儿这样，明儿又那样，这就可能什么习惯也养不成。久而久之，就成为一种不养成习惯的习惯）”。陶行知先生在改造中国教育的实践中提出了“生活教育理论”。他非常重视在做中学，主张在做中养成习惯，即实践中养成习惯。“生活即教育”。到处是生活，即到处是教育。整个社会是生活的场所，亦即教育之场所。教育无处不在。作为教育工作者，我们应该充分挖掘各自现有教育资源，结合各种教学活动，把“做人、做事、学习”的正确习惯的培养融入平常的教学活动中。持之以恒，自然成习惯。班主任是学生接触最多的老师，也是给学生影响最大的人，培养学生形成好的行为习惯对于班主任来说至关重要。那么作为班主任应该怎样培 养学生地习惯呢？下面我谈谈自己的观点： 一、教师要正确面对学生存在的不良习惯 先贤哲人孔子曾说：“少成若天性，习惯如自然。”充分说明人在自然状态下，不假思索，不必费什么心思，更不用意志去控制而形成的某种行为，就是一种习惯。所谓习惯也可以理解成人的一种自动化的行为，坏习惯也是一种自动化行为。作为教育者要认识到每个学生都追求上进，都希望获得别人（尤其是老师）的肯定和赞扬，他们不想犯错更不想故意与老师作对，他们之所以犯错是因为他们已有的习惯。这样，作为教师在教育学生的过程中就会减少一些情绪化的语言和手段，多一些理智的思考。既有利于对学生的教育，又有利于教师的心理健康。因为当教师在面对学生坏习惯的时候首先表现出的不能是生气和发脾气，当你用理解，用爱心去面对时问题就会变的简单化，处理起来也会更顺畅一些。所以用平和的心态，正确的面对学生的不良习惯是关健。作为班主任经常会遇到学生各种各样的突发事件，他们出现的一些坏习惯坏行为的确让人头痛，那么一定要先让自己心平气和，通过思考冷静的去处理。这样的效果肯定比发怒更管用。我们班有一位男生，进校时行为习惯特别差，经常给我带来麻烦事，起初我也很生气，认为他是朽木一个，总是以责备为主，但后来冷静思考后觉的自己处理的不好，因为责骂的效果并不好。于是我改变了方法，当他犯错时自己先保持平和心态然后让他讲原因，和他讲道理并且从学生角度想问题，处理问题。慢慢的他有了一些变化，虽然还是会有一些小毛病但己经有了很大进步，这学期当了校卫生督察后经 第三章导数及其应用 备课人周志英 3.1 导数的概念 教学目的 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义； 2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法 3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。 教学重点和难点 导数的概念是本节的重点和难点 教学过程 一、前置检测(导数定义的引入) 1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？ 在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）及起跳后的时间t（单位：s）存在关系()10 =t t t h， - + 5.6 9.42+ 那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多 少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t ?时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉 表格1 格2 0?t 时，在[]t ?+2,2这段时间内 ()()()1 .139.41.139.422222-?-=?-?+?= ?+-?+-=t t t t t t h h v ()()()1 .139.41.139.422222-?-=??-?-= -?+-?+=t t t t t h t h v 当-=?t 0.01时，-=v 13.051； 当=?t 0.01时，-=v 13.149； 当-=?t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=?t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=?t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=?t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=?t 0.000 01时， -=v 13.099 951； 当=?t 0.000 01时，-=v 13.100 049； 导数综合应用（1） 教学目标： 1:知识目标：（1）理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； （2）理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有着广泛 的应用。 2:能力目标：（1）通过导数的单调性在上述具体问题中的应用，培养学生分析问题，解决问 题的能力。 （2）进一步加强学生的分类讨论能力，以及变换与转化的数学能力。 教学重点：通过构造函数，利用导数解决不等式，方程的根，曲线交点个数问题。 教学难点：；利用导数解决实际问题 教学过程 一．知识回顾 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若()f x ＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为____________． 3．若函数()f x ＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________． 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3 C ．a >－13 D ．a <－13 二．例题讲解 题型一 利用导数的几何意义解题 例1 设函数()f x ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a 、b 、c 、d ∈R)的图象关于原点对称，且当x ＝1时f (x ) 有极小值－23 . (1)求a 、b 、c 、d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论． 解 (1)∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－ax 3＋bx 2－cx ＋d ＝－ax 3－bx 2－cx －d ， ∴bx 2＋d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 3＋cx ，∴f ′(x )＝3ax 2＋c . ∵当x ＝1时，f (x )有极小值为－23，∴????? 3a ＋c ＝0，a ＋c ＝－23，解得????? a ＝13，c ＝－1. ∴a ＝13，b ＝0，c ＝－1，d ＝0. (2)假设存在两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，过此两点的切线互相垂直． 由)('x f ＝x 2－1得k 1＝x 21－1，k 2＝x 22－1，∴(x 21－1)(x 2 2－1)＝－1. ∵－1≤x 1≤1，－1≤x 2≤1，∴x 21－1≤0，x 22 －1≤0， ∴(x 21－1)(x 22－1)≥0，这与(x 21－1)(x 22－1)＝－1矛盾． ∴不存在这样的两点使结论成立． 变式训练：已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1，函数g (x )＝f (x )－ax 2＋3是奇函数． (1)求函数f (x )的表达式； (2)求函数f (x )的极值． 解 (1)()f x '＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， ∴f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0， 第二章 一元函数微分学 五、导数的应用 1、函数的增减性 设函数)(x f 在区间),(b a 内可导，那么 ①如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在该区间内单调增加（上升） ②如果在),(b a 内0)(<'x f ，则)(x f 在该区间内单调减少（下降） 确定函数)(x f y =的单调区间的步骤： ①求出0)(='x f 的点（驻点）及)(0x f '不存在的点； ②确定)(x f y =的定义域，由①中的点将)(x f 的定义域分成若干个部分区间； ③在每个部分区间上讨论)(x f '的符号，根据)(x f '在每个部分区间上的符号，决定函数的单调区间。 例25-1、确定函数x x x f 3)(3 -=的单调增减区间。 解：)1)(1(333)(2 -+=-='x x x x f 令0)(='x f ，则11-=x ，12=x 例25-2、 证明当0>x 时，x x <+)1ln(． 证：令)1ln()(x x x f +-=，则)(x f 在[)0,+∞上连续,且在()0,+∞内， ()01111>+= +- ='x x x x f ，由单调性判断定理知,)(x f 在[)0,+∞上单调增加,所以,当 0>x 时,有0)0()(=>f x f ，即0)1ln(>+-x x ，所以0>x 时,有)1ln(x x +>． 例25-3 、试证当1≠x 时，x x e e >. 证：令x x f x e e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='x x f . 当1高中导数及其应用教案
《导数的应用》教学设计
导数的应用(习题课)优秀教学设计
2020版高中数学高二选修1-1教案及练习归纳整理70知识讲解导数的综合应用题基础
导数及其应用 复习课 教案
导数及其应用(数学教案,知识点完整归纳)
高中数学导数及其应用电子教案
导数的综合应用 公开课教案
导数在实际生活中的应用1教案
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
导数及其应用教案设计
高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用 13
2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 第11课时 导数在实际生活中的应用教案 苏教版选修2-2.doc
第三章导数及其应用(教案)
选修11第三章导数及其应用教案
教案～导数的综合应用
导数的应用教案
相关主题
文本预览