Journal of Mathematical Research&Ex position
Vol.18,No.3,384-390,August1998
Note on Existence of Periodic Solutions of One Class
Differential Equ ations3
Feng Zhaosheng
(Dept.of Math.,Northern Jiaotong University,Beijing100044)
Fei S humi n
(Automatic Institute of S outheast University,Nanjing210096)
Abstract In the present paper we investigate the number of periodic solutions of the following differential e2 quation
dy dt =
A1(t)y+A2(t)y2+A3(t)y3
a0(t)+a1(t)y+a2(t)y2
(33)
which was discussed in paper[1,2],and obtain the theorem by the method of cross-ratio of the solutions of
(33)without the traditional condition assum ption that the functions A i(t),a j(t)(i=1,2,3;j=0,1,2)
are differential.
K eyw ords differential equation,periodic solution,existence,transformation.
Classif ication AMS(1991)34C25/CCL O175.12
1.Introduction
It′s well-known that the question on the existence and the number of periodic solutions about differential equation plays an important role in the studies of nonlinear oscillation and the qualtative theory of ordinary differential equations.We see easily that the results in this area is useful to the exis2 tence and uniqueness of limit cycle of differential systems and applied widely in Physics and Engineer2 ing.
Condsider the following differential equation
dy dt =f(t,y)=
A1(t)y+A2(t)y2+A3(t)y3
a0(t)+a1(t)y+a2(t)y2
.(1.1)
Constructing one strip domain such that the solution of(1.1)y(t)in the boundary of this domain will not leave it,and then by using Brouwer fixed point theory,it is easy to get the theorems for the exis2 tence of periodic solutions of(1.1)[1,2].Comrade Lilin once obtained the theorem for the number of periodic solutions of(1.1)by the Lloyd′s method in[2]in the above theorem,however,it is needed
3Received December21,1995.The sub ject supported by NJ U F.
that the condition at the functions A i(t),a j(t)(i=1,2,3;j=0,1,2)is not only continuous T-pe2 riodic,but also differential(see Theorem2.1in[2]).
Out results in this paper,obtained by the method of cross-ratio of solutions of(1.1),gives the sufficient conditions under which equation(1.1)has at most two non-trivial periodic solutions with2 out the traditional assumption that A i(t),a j(t)(i=1,2,3;j=0,1,2)are differential functions,as is well known such an assumption plays an important roal in the proofs of many results[1,2,etc].
2.R esults in[2]
Change equation(1.1)to following form
dz
dt
=P0(t)+P1(t)z+…+P n(t)z n,(2.1) where P i(t)(i=0,1,2,…,n)are T-periodic functions,n may be inifinity,the number of T-pe2 riodic solutions of(2.1)has been discussed in paper[3,4],thus we can use these results for ours.First2 ly,we consider the problem to transform(1.1)into(2.1).
G enerally,a0(t)+a1(t)y+a2(t)y2may be decomposed into(b0(t)+b1(t)y)(c0(t)+c1 (t)y),where b0(t),c0(t),b1(t),c1(t)are real functions,and b0(t)c0(t)=a0(t),b1(t)c1(t) =a2(t),b0(t)c1(t)+c0(t)b1(t)=a1(t).Here,we assume a21(t)-4a0(t)a2(t)>0,then this decomposition is suitable.Let
r=
y
b0(t)+b1(t)y
then y=
b0(t)r
1-b2(t)r.
(2.2)
Transformation(2.2)is topological in the neighbourhood of y=0.By the way,we always assume that the results of this section only hold in the neighbourhood of y=https://www.doczj.com/doc/5213759715.html,ing(2.2),(1.1)becomes
dr dt =
(B1r+B22r+B33r+B44r)-(
b0r
b0
+
(b0 b1-b1 b0)r2
b0
)
(c0+er)
,(2.3)
where the“?”denote the derivative with respect to t,and
e=(a21-4a0a2)1 2,
B1=A1 b0
,
B2=A2-3A1b1
b0
,(2.4)
B3=A3b0-2A2b1+3A1b21
b0
,
B4=A2b21-A3b0b1-A1b31 b0
.
Let z=r
c0+er
,then
r=
c0z
1-ez,
(2.5)
We can think transformation(2.5)is topological.By(2.5),(2.3)becomes
dz dt =P1z+P2z2+P3z3+
P4z4
1-ez
(2.6)
or
dz dt =∑
∞
n=1
P n z n,(2.7)
where
P1=(B1- c0)
c0
-
b0
b0
,
P2= c0e-c0 e-2B1c1
c0
+B2+
b0e-b0 b1+b1 b0
b0
,(2.8)
P3=B3c0-B2c1+B1c21 c0
,
P4=B4c20,
P5=B4c20e.
Now,we assume B4=0,that is
A3y2+A2y+A1=0,(2.9)
where y=-b0(t)
b1(t)
,then P k(k>3)of(2.7)is zero.By the results of[3],we give the following
Theorem If a i(t),A j(t)(i=0,1,2;j=1,2,3)are conti nuous dif f erential T-periodic f unc2 tions,(2.9)hol ds.Then w hen
B1+B2u+b3u2>0,(2.10)
w here u=-c0(t)
c1(t)
.equation(1.1)has at most t w o nont rivial T-periodic sol utions.
Proof Since(2.9)holds,(2.7)becomes
dz
dt
=P1z+P2z2+P3z3.(2.11) The results of paper[3]guarantee that(2.11)has at most three T-periodic solutions,when(2.10) holds,that is the P3of(2.11)is more than zero.Because z=0is one of T-periodic solutions of(2.
11),and transformation(2.2),(2.5)are topological,then(1.1)and(2.7)has the same number of T-periodic solutions,that is,three.But z=0,that is,y=0is trivial.Then the conclusion of The2 orem2.1is true.
3.Our Main R esults
Firstly,we introduce the following lemma which is needed in the proof of the Theorem. Lemma[5] If I is some open i nterval,y∈I,g′′(y)exists and g′′(y)≥0,and let a,b,c,d∈I such that a 1 d+c-b-a [ d-b b-a∫ b a g(y)dy+ c-a d-c∫ d c g(y)dy]≥ 1 c-b∫ c b g(y)dy.(3.1) Which also can be written d -c (c -a )(d -a )∫b a g (y )dy +b -a (d -b )(d -a ) ∫d c g (y )dy ≥(d -c )(b -a )(d +c -b -a )(c -a )(d -a )(d -b )(c -b )∫c b g (y )dy.(3.2) The equality sign holds if and only if g (y )is linear for y ∈[a ,d ].If g ′′(y )exists and g ′′ (y )≤0,then the inequality sign of (3.1)and (3.2)is “≤”and the equality sign holds if and only if g (y )is linear for y ∈[a ,d ]. We consider the differential equation (1.1).Where A i (t ),a j (t )(i =1,2,3;j =0,1,2)are con 2tinuous T -periodic functions ,may not be differential.Our main idea is similar to that of Theorem 1in paper [5],that is ,if i (t )(i =1,2,3,4)are four different T -periodic solutions on the same subinterval J of I ,and f ′ (t ,y )is concave (convex )in y for any fixed t ∈I ,by applying the lemma ,the cross -ratio (with the solutions properly number ) R (t )= 3(t )- 1(t ) 4(t )- 1(t ): 3(t )- 2(t ) 4(t )- 2(t ) , t ∈J is monotone increasing (monotone decresing ),which contradicts with the hypothsis that R (t )is T -periodic. Here ,we als o assume that a 1(t )2-4a 0(t )a 2(t )>0,then a 0(t )+a 1(t )y +a 2(t )y 2may be decom 2posed into (b 0(t )+b 1(t )y )(c 0(t )+c 1(t )y ),where b i (t ),c i (t ),i =0,1;are real functions ,and b 0(t )c 0(t )=a 0(t ),b 1(t )c 0(t )=a 2(t ),b 0(t )c 1(t )+c 0(t )b 1(t )=a 1(t ),thus ,we have f (t ,y )=A 1(y )+A 2(t )y 2+A 3(t )y 3 a 0(t )+a 1(t )y +a 2(t )y 2=A 1(t )y +A 2(t )y 2+A 3(t )y 3 (b 0(t )+b 1(t )y )(c 0(t )+c 1(t )y ) =d 0(t )b 0(t )+b 1(t )y +d 1(t )c 0(t )+c 1(t )y +d 2(t )y +d 3(t ).Which d i (t )(i =0,1,2,3)satisfy that d 0c 0+d 1b 0+d 0c 1y +d 1b 1y +(d 2y +d 3)(a 0+a 1y + a 2y 2)=A 1y +A 2y 2=A 3y 3,that is d 0c 0+d 1b 0+d 3a 0=0 d 0c 1+d 1b 1+a 0d 2+d 3a 1=A 1 d 2a 1+d 3a 2=A 2 d 2a 2=A 3 则(3.4) We define thatΩ1denotes the domain{y:b0(t)+b1(t)y>0and c0(t)+c1(t)y>0},Ω2de2 notes the domain{y:b0(t)+b1(t)y>0and c0(t)+c1(t)y<0}∪{y:b0(t)+b1(t)y<0and c0 (t)+c1(t)y>0}andΩ3denotes the domain{b0(t)+b1(t)y<0and c0(t)+c1(t)y<0}. Derivate f(t,y)in y,we have f′(t,y)=d2- d0b1 (b0+b1y)2 - d1c1 (c0+c1y)2 , f″(t,y)= 2d0b21 (b0+b1y)3 + 2d1c21 (c0+c1y)3 , f (t,y)=- 6d0b31 (b0+b1y)4 - 6d1c31 (c0+c1y)4 . Thus,we obtain the following Theorem1 If A i(t),a j(t)(i=1,2,3;j=0,1,2)are conti nuous T-periodic f unctions,a21-4a0a2>0,and-d0b1≥0,-d1c1≥0,(or-d0b1≤0,-d1c1≤0).Then equation(1.1) has at most t w o non-t rivial T-periodic sol utions at the dom ai nΩ1orΩ2orΩ3. Proof We discuss the case at the domainΩ1the other cases is treated analogously. Recall that through any point(t0,ζ)∈I×R,there passes a unique maximal solution (t,t0,ζ)(t∈I(t ,ζ)of(1.1)),in the following t0∈[0,T]is arbitrary,but fixed. Next,we assume i(t)= (t,t0,ζi)(i=1,2,3,4;ζ1<ζ2<ζ3<ζ4)are four different T-pe2 riodic solutions of(1.1)on the same interval J From(1.1),we get ?2(t)- ?1(t) 2(t)- 1(t)=∫ 2(t) 1 (t) f′(t,y) 2(t)- 1(t)dy, t∈J.(3.5) And by intergration In 2(t)- 1(t) ζ 2 -ζ1 =∫∫a(t)f′(τ,y) 2(τ)- 1(τ)dτdy,(3.6) where a(t)denotes the domain t0≤τ≤t, 1(t)≤y≤ 2(t)(see Fig.1).From(3.1)and(3.6), we get In R(t) R(t0) =∫∫a(t)∪b(t)f′(τ,y) 3(τ)- 1(τ)dτdy- ∫∫a(t) ∪b(t)∪c(t) f′(τ,y) 4(τ)- 1(τ)dτdy- ∫∫b(t)f′(τ,y) 3(τ)- 2(τ)dτdy+ ∫∫b(t) ∪c(t) f′(τ,y) 4(τ)- 2(τ)dτdy =∫∫a(t) 4- 3 ( 3- 1)( 4- 1)f ′(τ,y)dτdy+ ∫∫c(t) 2- 1 ( 4- 2)( 4- 1)f ′(τ,y)dτdy- ∫∫b(t)( 4- 3)( 2- 1)( 4+ 3- 2- 1) ( 3- 1)( 4- 1)( 4- 2)( 3- 2)f ′(τ,y)dτdy,(3.7) where b(t)denotes the domain t0≤τ≤t, 2(t)≤y≤ 3(t),and c(t)denotes the domain t0≤τ≤t, 3(t)≤y≤ 4(t). Suppressing the variable τof intergration in the last three integrals ,let g (y )=f ′ (t ,y ),putting a = 1(τ),b = 2(τ),c = 3(τ),and d = 4(τ )in (3.2),clearly ,g ″(y )≥0(or g ″(y )≤0),y ∈R ,for any fixed τ∈[t 0,t ],hence we may apply the lemma ,we obtain 4- 3( 3- 1)( 4- 1)∫ 2 1f ′(τ,y )dy + 2- 1( 4- 2)( 4- 1)∫ 4 3f ′(τ,y )dy -( 4- 3)( 2- 1)( 4+ 3- 2- 1)( 3- 1)( 4- 1)( 4- 2)( 3- 2)∫ 3 2f ′(τ,y )dy >0.(3.8) Integrating the above inequality with respect to τfrom t 0to t ,we get the last expression in (3.7)to be positive.Thus ,we conclude that R (t )is monotone incresing ,that is ,R (0) If a 21-4a 0a 2<0,we have A 1y +A 2y 2+A 3y 3a 0+a 1y +a 2y 2=A 3a 2y +A 2a 2-A 3a 1a 22+Ey +F a 0+a 1y +a 2y 2,where E =A 1-A 3a 0a 2-A 2a 2a 1-A 3a 21a 22,F =A 3a 1a 0-A 2a 2a 0a 22 .Similar to the proof of Theorem 1,we have Theorem 2 If A i (t ),a i (t )(i =1,2,3;j =0,1,2)are conti nuous T -periodic f unctions ,a 21-4a 0a 2<0,and [Ey +F a 0+a 1y +a 2y 2]″≥0 (or ≤0).Then equation (1.1)has at most t w o non -t rivial T -periodic sol utions at the dom ai n Ω1or Ω2or Ω3. R eferences [1]Lilin ,Existence of periodic about one class dif f erential equation and its application ,Ann.of Diff.Equs.,5:4 (1989),427-434. [2]Lilin ,Existence of periodic about one class dif f erential equation ,Chinese Quarterly Journal of Mathematics ,4:7 (1992),20-25. [3]N.G.Lloyd ,the N umber of periodic of the equation dz dt =P 0(t )+P 1(t )z +…+P n (t )z n ,Proc.London Math.S oc.,27:3(1973),667-700. [4]N.G.Llody ,On analytic dif f erential equation ,Proc.London Math.S oc.,30:3(1975),430-444. [5]Feng Zhaosheng ,On periodic solutions of a class of Riccati equation w ith eriodic coef f icients ,Journal of Northern Jiaotong University ,2(1997). [6]Feng Zhaosheng ,Existence of periodic solutions of second order neut rale quation ,Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics ,21:2(1995),114-118. [7]Feng Zhaosheng and Guan K eying ,On the non -oscillation solution and their asym ptotic behavior of a class of Ric 2 cati equation ,Journal of Nonlinear Dynamics in Science and Technology ,(1995),S pecial Number 209-215. [8]Guan K eying and G ao Guo,Qualtative analysis of the solutions of mixed Bergers-KdV equation,Chinese Science, A:1(1987),64-73. 关于一类微分方程周期解的存在性的注记 冯兆生 (北方交通大学数学系,北京100044) 费树岷 (东南大学自动化所,南京210096) 摘 要 本文主要探讨下列周期系数微分方程 dy dt = A1(t)y+A2(t)y2+A3(t)y3 a0(t)+a1(t)y+a2(t)y2 (33) 的周期解个数问题,利用方程(33)解的差率法得到了方程(33)周期解的个数定理.本文仅在A i(t),a j(t)(i=1,2,3,j=0,1,2)是连续周期函数的条件下得到这一结论,从而减弱了文[2]中相应定理的条件,即A i(t),a j(t)均是连续可微的周期函数. 带有时滞的动力系统的运动稳定性 分五部分内容，第一部分是Понтрягин定理，给出解实部、虚部的形式；第二部分分析了线性系统的一般性质、特征方程重根时解的表示和解的指数估计；第三部分讨论解的存在唯一性；第四部分探讨解的表达式；第五部分给出Фрид定理。以此说明特征方程根的实部的符号可以用以判断带有时滞的线性系统的稳定性。 直接法的基本定理 一、Понтрягин定理 要讨论的常系数线性系统的滞量τ为常数，所指的滞后型与中立型系统分别为1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ>， 这时，相应的特征方程分别是0ij ij ij a b e λτδλ-+-=， 0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=。 对0τ=的情形0ij ij ij a b e λτδλ-+-=为一代数方程1 10n n n P P λλ -+++=。 在常微分方程解的稳定性理论中，关于特征方程()0P λ=的根的实部符号这样一个问题是极其重要的。如果给了方程组的平衡态之位置及其对应的特征多项式()P λ，则欲是平衡态的位置稳定，其充要条件是特征多项式()P λ的所有根都有负实部。 但是，现在的特征方程0ij ij ij a b e λτδλ-+-=，0ij ij ij ij a b e c e λτλτλδλ--++-=已不再是代数方程，可系统的稳定性仍然与特征根的分布紧紧联系在一起，这两个特征方程的一切根i λ都有0i Re λδ≤<时，系统 1()()n i ij j ij j j x a x t b x t τ=??=+-??∑， 1 ()()()n i ij j ij j ij j j x a x t b x t c x t ττ=??=+-+-??∑，1,2, ,i n =0τ> 微积分术语中英文对照 A、B: Absolute convergence ：绝对收敛 Absolute extreme values ：绝对极值 Absolute maximum and minimum ：绝对极大与极小Absolute value ：绝对值 Absolute value function ：绝对值函数Acceleration ：加速度 Antiderivative ：原函数，反导数 Approximate integration ：近似积分(法) Approximation ：逼近法 by differentials ：用微分逼近 linear ：线性逼近法 by Simpson’s Rule ：Simpson法则逼近法 by the Trapezoidal Rule ：梯形法则逼近法Arbitrary constant ：任意常数 Arc length ：弧长 Area ：面积 under a curve ：曲线下方之面积 between curves ：曲线间之面积 in polar coordinates ：极坐标表示之面积 of a sector of a circle ：扇形之面积 of a surface of a revolution ：旋转曲面之面积Asymptote ：渐近线 horizontal ：水平渐近线 slant ：斜渐近线 vertical ：垂直渐近线 Average speed ：平均速率 Average velocity ：平均速度 Axes, coordinate ：坐标轴 Axes of ellipse ：椭圆之对称轴 Binomial series ：二项式级数 Binomial theorem：二项式定理 C: Calculus ：微积分 differential ：微分学 integral ：积分学 Cartesian coordinates ：笛卡儿坐标一般指直角坐标Cartesian coordinates system ：笛卡儿坐标系Cauch’s Mean Value Theorem ：柯西中值定理Chain Rule ：链式法则 Circle ：圆 Circular cylinder ：圆柱体，圆筒 Closed interval ：闭区间 Coefficient ：系数 Composition of function ：复合函数 Compound interest ：复利 Concavity ：凹性 Conchoid ：蚌线 Conditionally convergent：条件收敛 Cone ：圆锥 Constant function ：常数函数 Constant of integration ：积分常数 Continuity ：连续性 at a point ：在一点处之连续性 of a function ：函数之连续性 on an interval ：在区间之连续性 from the left ：左连续 from the right ：右连续 Continuous function ：连续函数 Convergence ：收敛 interval of ：收敛区间 radius of ：收敛半径 Convergent sequence ：收敛数列 series ：收敛级数 Coordinates：坐标 Cartesian ：笛卡儿坐标 cylindrical ：柱面坐标 polar ：极坐标 rectangular ：直角坐标 spherical ：球面坐标 Coordinate axes ：坐标轴 Coordinate planes ：坐标平面 Cosine function ：余弦函数 Critical point ：临界点 Cubic function ：三次函数 Curve ：曲线 Cylinder：圆筒, 圆柱体, 柱面 Cylindrical Coordinates ：圆柱坐标 D: Decreasing function ：递减函数 Decreasing sequence ：递减数列 Definite integral ：定积分 Degree of a polynomial ：多项式之次数 Density ：密度 Derivative ：导数 of a composite function ：复合函数之导数 of a constant function ：常数函数之导数directional ：方向导数 domain of ：导数之定义域 of exponential function ：指数函数之导数higher ：高阶导数 partial ：偏导数 of a power function ：幂函数之导数 of a power series ：羃级数之导数 of a product ：积之导数 of a quotient ：商之导数 as a rate of change ：导数当作变化率 right-hand ：右导数 second ：二阶导数 as the slope of a tangent ：导数看成切线之斜率Determinant ：行列式 Differentiable function ：可导函数 Differential ：微分 Differential equation ：微分方程 partial ：偏微分方程 Differentiation ：求导法 implicit ：隐求导法 partial ：偏微分法 term by term ：逐项求导法 Directional derivatives ：方向导数Discontinuity ：不连续性 第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。 二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则 第四讲 微分方程解的稳定性 上一讲，我们利用最大值原理讨论了新古典经济增长模型，得到了两个方程，一个是状态变量的转移方程，另一个是欧拉方程。这两个方程构成了包含状态变量和控制变量的二元一次方程组。 []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 这个方程组是一个非线性微分方程组，一般情况下，非线性方程组不存在解析解，即方程组的解不能用初等函数来表示。因此，他们的性质需要借助其他方法来了解。 微分方程：变量为导数的方程叫做微分方程。 常微分方程：只有一个自变量的微分方程叫做常微分方程。 偏微分方程：有两个或两个以上自变量的方程叫做偏微分方程。 微分方程的阶：微分方程中变量的导数最高阶叫做方程的阶。 线性方程：方程的形式是线性的。 例如，方程0)()()()(321=+++t x t y a t y a t y a 是一个二阶线性常微分方程。 又如，索洛－斯旺模型的基本方程是一个非线性方程： ())()()(t k t k s t k ?-=δα 再如，拉姆齐模型的动态是下列微分方程组的解： []δα--=-) ()()()()(1 t k t c t k t k t k []δραα--=-1 )() ()(t k t c t c 一、 一阶微分方程 一阶微分方程可以用下面的方程表示 ),(y x f dx dy = (1.1) 其中，函数R R R f →?:是连续可微函数。 最简单的微分方程是 )(x f dx dy = (1.2) 它的解可表示为不定积分： ?+=c dx x f y )( (1.3) 其中，?dx x f x F )()(＝表示任意一个被被积函数，c 为任意常数。当然，我们也可以确定任意一个被积函数，例如，令??x dt t f dx x f x F 0)()()(＝＝, 则(2.2)的不定 积分可表示为 ?+x c dt t f y 0)(＝ 这时，不定积分仍然代表无穷多条曲线，如果给出初始条件0)0(y y =, 则，上面微分方程的解就是 ?+x y dt t f y 00)(＝ (1.4) 二、 常见的一阶微分方程解法 1． 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程的一般形式为 )()(x g y x p dx dy =+ (2.1) 边界条件（即初始条件）0)0(y y =。 为求解线性微分方程，在方程的两边同乘以?x dt t p 0)(ex p , 则方程的左边为 dx dt t p y d y dt t p x p dt t p dx dy x x x ??? ???= ?+???0 00)(exp )(exp )()(exp 所以 ??? ??=??? ?????x x dt t p x g dx dt t p y d 00)(exp )()(exp (2.2) 方程(2.2)的解为 ?? ????+? ?? ????? ??-=???c dt t p x g dt t p y x x x 000)(exp )()(exp (2.3) 2. 可分离变量的微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 摘要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型 ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- 的平衡点1 x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1 x=of the following delay single population model ()()()() () .1 1N t N t r t N t cN t ττ -- = -- is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity 高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根 数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80 第六章 微分方程 一、一阶微分方程 1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dx dy =+ ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +?? =?-通解 2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n ).()(d d 1111x Q y x P x y n n n =+?---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程 1．)()(x f y n = n 次积分 2． )',("y x f y = 不显含y 令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。 3． )',("y y f y = 不显含自变量 令)('y p y =，dy dp p dx y d =22，化为一阶方程。 三、线性微分方程 )()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ， 0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。 1．二阶线性齐次线性方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y （1） 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解， 则 )()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解, 则 )()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解. 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为 C x y x y ≡/) () (21（常数） 2．二阶线性非齐次线性方程 设 )(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+'' 的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程 的通解. 设)(* 1x y 与 )(*2x y 分别是二阶线性非齐次方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的两个特解。则+ )(* 1x y )(* 2x y 是 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 的特解。（叠加原理） 3.二阶线性常系数齐次方程 0'"=++qy py y 特征方程02 =++q pr r ，特征根 ,r r 4．二阶线性常系数非齐次方程 i) 如果 x m e x P x f λ)()(=, 则二阶线性常系数非齐次方程具有形如 x m k e x Q x y λ)(*= 的特解。 其中，)(x P m 是 m 次多项式, )(x Q m 也是系数待定的m 次多项式； 2,1,0=k 依照λ为特征根的重数而取值. i) 如果 []x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=, 则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为 [] x x R x x R e x y m m x k ωωλsin )(cos )() 2()1(*+= 第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换. 常微分方程解的稳定 性(修改) 常微分方程解的稳定性 摘要本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 关键字：常微分方程稳定性李雅普诺夫函数 V函数构造方法 引言 常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法 ,开创了常微分方程定性理论 , 同时在分析中引入几何方法 ,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁 ,带来了微分方程研究的新突破。李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转而进入了新的稳定性研究。 如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。 本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。 1、常微分方程稳定性 微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力 ,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏 ,致使研究的道路越来越窄。 此时单纯的定量分析已不能解决问题 ,必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑. 避开微分方程求精确解的定量方法 ,转向运用稳定性方法探求解的性质 ,从而解决常微分方程（组）的解的问题. 考虑微分方程组 （2.1） 其中函数对和连续，对 满足局部利普希茨条件。 设方程（2.1）对初值存在唯一解 , 而其他解记作 . 本文中向量的范数取 . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。 如果对于任意给定的和都存在 , 使得只要 就有 对一切成立，则称（2.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。 假设是稳定的，而且存在， 使得只要 第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又 x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微 常微分方程习题及解答 一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。 答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将 常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？ 答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 微积分术语 中英文对照A、B: Absolute convergence： 绝对收敛 Absolute extreme values： 绝对极值 Absolute maximum and minimum： 绝对极大与极小 Absolute value： 绝对值 Absolute value function： 绝对值函数 Acceleration： 加速度 Antiderivative ：原函数，反导数 Approximate integration ：近似积分（法） Approximation ：逼近法 by differentials ： 用微分逼近 linear： 线性逼近法 by Simpson ' s R：ule Simp son法则逼近法by the Trapezoidal Rule： 梯形法则逼近法 Arbitrary constant ：任意常数Arc length： 弧长 Area： 面积 under a curve： 曲线下方之面积 between curves： 曲线间之面积 in polar coordinates： 极坐标表示之面积 of a sector of a circle： 扇形之面积 of a surface of a revolution： 旋转曲面之面积Asymptote： 渐近线 horizontal ：水平渐近线slant： 斜渐近线 vertical： 垂直渐近线 Average speed： 平均速率 Average velocity： 平均速度 Axes, coordinate： 坐标轴 Axes of ellipse： 椭圆之对称轴 Binomial series： 二项式级数 Binomial theorem ： 二项式定理 Initial-value Problem for ODEs Solver 1.First,let we see the initial-value problem for ODEs(ordinary differential equations) solver : [T,Y,TE,YE,IE]=odesolver(odefun,tspan,y0,options) Sxint=deval(sol,xint) Matlab supplies the following solver: solver Type of problem degree of accuracy illustrate ode45 nonstiff medium The best single step method,basing on Dormand- Prince 4-5runge-kutta,usually the acquiescent algorithm and the first choice. ode23 nonstiff low Basing on Bogacki-Shampine Runge-kutta method of order two or three,occasionally it can get the better result than ode45 to solve the low-stiff equation,to arrive the same degree of accuracy it required the smaller step length than ode45. ode113 nonstiff From low to high Disorder multistep Adams-Bashforth-Moutlon algorithm,this algorithm using the several previous value of nodal points to calculate the current value of nodal point,so in the same degree of accuracy,it is faster than ode45 and ode23 and it’s appropriate for higher order or complex operation problem,but unsuitalbe for discontinuous system. ode15s nonstiff From low to medium The disorder multistep method of solving stiff system,this algorithm using the newest numerical difference formula.If using ode45 to calculate is too slow,you can try it. ode23s stiff low The fixed order single step method of solving stiff system,because it is the single step method ,sometimes it is quicker than ode15s,but which one is better lies on specific problem and that need us to test. ode23t medium stiff low ode23tb stiff low The input parameter: odefun:differential equation’s Matlab language describing function,must be function sentence or alphabetic string,must writing in Matlab normative form(that is first order explicit differential equations)微分方程稳定性分解
(完整版)微积分术语中英文对照
微分方程稳定性理论简介
4微分方程的解及解的稳定性
二次微分方程的通解
常微分方程平衡点及稳定性研究38112
高阶线性微分方程常用解法介绍
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高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的
第5章 定性和稳定性理论简介(常微分方程)
最新常微分方程解的稳定性(修改)
二次微分方程的通解
(完整版)常微分方程习题及解答
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微分方程ODEs解算器Initial-value Problem for ODEs Solver(English)
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