一、 三角形当中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底
×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD 时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2
特别地如图2，当BE=ED ，DF=FC ，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2
在等底模型中（图3），当AE=DE 时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2
二、平行四边形中的一半模型
由于三角形的面积公式S=底×高÷2，
平行四边行的面积公式S=底×高
所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构
一半模型
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。
三、梯形中的一半模型
在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。
如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2
如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型
如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2
【能力提升】
【巩固练习】
【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。
【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。
【例2】如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，阴影部分面积是（ ）平方厘米．
【例3】
例题精讲
4
A B
F E
D C
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4，矩形EDFG的边EF过A点，G点在BC上，若DG=5，则矩形EDGF的宽DE=_____；
E
A D
F
B C G
【巩固】如图所示，正方形 A B C D的边长为8厘米，长方形 E B G F的长 B G为1 0厘米，那么长方
形的宽为几厘米？
E
A B
F
D G C
【例4】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是1 3，3 5，4 9．那么图中阴影部分的面积是多少
A D
35
49
E
13
B C
【巩固】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是11,32,57．那么图中
阴影部分的面积是多少？
A D
32
57
11
B C
【例5】如图所示，长方形ABCD内的阴影面积之和为65，AB=8，AD=15,四边形EFGD的面积是？
【思考题】
提示：构造一半模型
（很多时候，需要我们构造一半模型来解决一些问题。）
【巩固】如图,已知正方形ABCD面积为50，求长方形DEFG面积。
【例6】如图8，已知长方形ABCD面积是50,梯形ABFE的腰上ED=DF，求梯形ABFE的面积。
【巩固】如图9，长方形ABCD中，SΔEGH=5，SΔIBC=20，SΔIFG=8，求阴影部分面积。
【例7】
【例8】如图所示，正方形ABCD的边长是10厘米，BO长8厘米，求ＡＥ的长？
组合图形面积（一） 知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形 的面积是多少平方厘米？ 练习1：1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）
2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加 4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题2】 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。
练习2： 1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。
例3：图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 练习3： 1、 计算下面图形的面积（单位：厘米） 2、 求图中阴影部分的面积。 3、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。
大海传功等积变形五大模型——共边模型、鸟头模型 共角模型(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 1.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的 面积相等。 拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。 2.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍， 那么它的面积也是另一个的n倍； 两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍，那么它的面积也是另一个的n倍。 D A E D E A D D A E E A B C B C B C B 如图,S:S (AB AC):(AD AE) △ABC△ADE C 【例1】(★★)【例2】(★★★) 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大 三角形，已知：S△ADE 2,S△AEC 5,S△BDF 7,S△BCF 3, 那么三角形BEF的面积为___________。
1
如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△ BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1，则 △DCF的面积等于。等腰△ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分， 求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。 【例5】（★★★）【例6】(★★★★) 已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行， 若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面积。 2
五年级奥数一半模型教 师版 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 ?? ??? 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： ?? ?? ?? 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 ? 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
? 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 ? 【能力提升】
【 巩固练习】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为 24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 例题精讲 4
一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S
二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。
小学五年级奥数思维训 练全集 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
小学五年级奥数思维训练全集
第一周平均数（一） 专题简析：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 例1：有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 分析： ①：1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； ②：1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） ③：1箱苹果＋1箱桃=37×2=74（个） 由①、②可知：1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式③，用和差关系求出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 试一试1：甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？ 例2：某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？ 分析：原来三个数的和是2×3=6，后来三个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是4－3=1。 试一试2：有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？ 例3：五一班同学数学考试平均成绩分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是分，五一班有多少名同学？ 分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升－=（分）。9里面包含有几个，五一班就有几名同学。 试一试3：某班的一次测验，平均成绩是分。复查时发现把张静的89分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是分。全班有多少同学？ 专题二平均数（二） 专题简析：平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数例1：小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？ 分析：每次应多考：86－84=2（分）。100分比86分多14分，14里面有7个2分，所以，前面已经测验了7次，这是第8次测验。 试一试1：一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分，问这位同学一共考了多少门功课？ 例2：小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均分，政治、英语两科平均86分，语文、英语两科平均分84分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分？ 分析：因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语=168分，而英语比语文多10分，即英语－语文=10分，所以，语文：（168－10）÷2=79分，英语是79＋10=89分。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89=83分；而政治、数学两科平均分分，数学：×2－83=100分；最后根据五科的平均成绩是89分可知， 自然：89×5－（79＋89＋83＋100）=94分。 试一试2：甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少甲、丙两个数的平均数是多少 例3：两地相距360千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米？ 分析：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。顺水速度=360÷10=36（千米）是，顺水速度=汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，静水速度是36－6=30（千米）。而逆水速度=静水速度－水流速度，所以汽艇的逆水速度是30－ 6=24（千米）。逆水行全程时所用时间是360÷24=15（小时），往返的平均速度是360×2÷（10＋15）=（千米）。 试一试3：一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？ 例4：幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？
三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式 S= 底× 高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构 一半模型
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。（）（）（）（） （）（） 梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2
【能力提升】 【巩固练习】
【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米． 【例3】 如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内例题精讲 4
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边） 目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b = 【 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 》 E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A
小学五年级奥数题 一、 小数的巧算 （一）填空题 1. 计算 1.996+19.97+199.8=_____。 答案：221.766。 解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2) =222-(0.004+0.03+0.2) =221.766。 2. 计算 1.1+ 3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____。 答案：103.25。 解析：原式=1.1(1+3+...+9)+1.01?(11+13+ (19) =1.1?25+1.0175 =103.25。 3. 计算 2.89? 4.68+4.68?6.11+4.68=_____。 答案：46.8。 解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.8 4. 计算 17.48?37-17.48?19+17.48?82=_____。 答案：1748。 解析: 原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82 =17.48×(37-19+82) =17.48×100 =1748。 5. 计算 1.25?0.32?2.5=_____。 答案：1。 解析：原式=(1.25?0.8)?(0.4?2.5) =1?1 =1。 6. 计算 75?4.7+15.9?25=_____。 答案：750。 原式=75?4.7+5.3?(3?25) =75(4.7+5.3) =75?10 =750。 7. 计算 28.67?67+3.2?286.7+573.4?0.05=____。 答案：2867。 原式=28.67?67+32?28.67+28.67?(20? 0.05) =28.67(67+32+1) =28.67?100 =2867。
⑴直线AB 平行于CD ，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米 图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，H 是任意点。如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是______。 (2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 。 共边模型 (★★) (★★★) (★★★★ )
⑴如图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 ⑵(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方 形面积的15%，黄色三角形面积是21cm 2 。问：长方形的面积是多少平方厘米 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE ＝，CF ＝2。长方形EFGH 的面积为 。 如图，已知BD ＝DC ，EC ＝2AE ，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积。 (★★★) (★★★★) (★★★★★)
请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦！ 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为10厘米和12厘米。求阴影部分的面积。 A ．452cm B ．502cm C ．602cm D ．482cm 2．下图是一个长为8cm ，宽为6cm 的长方形，其中E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 边上边上的中点，求阴影部分的面积 A ．122cm B ．102cm C ．142cm D ．202cm 3．长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =cm ，15AD =cm ，四边形EFGO 的面积为多少 A ．122cm B ．102cm C ．152cm D ．182cm 4．下图是一个矩形，长为10厘米，宽为5厘米，则阴影部分面积为多少平方厘米。 A ．302cm B ．352cm C ．252cm D ．202cm 5．如图，ABCD 是梯形，ABFD 是平行四边形，CDEF 是正方形，AGHF 是长方形。又知AD ＝14厘米，BC ＝22厘米，那么，阴影部分的总面积是多少平方厘米 A ．452cm B ．502cm C ．602cm D ．562cm 6．如图，AD ＝DE ＝EC ，F 是BC 中点，G 是FC 中点，如果三角形ABC 的面积是24平方厘米，则阴影部分是多少平方厘米。 A ．142cm B ．132cm C ．122cm D ．112cm
小学五年级奥数题集锦及答案 1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶4.5千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米? 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米？ 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。求乙绕城一周所需要的时间？ 4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米？ 解：甲走完1/4后余下1-1/4=3/4 那么余下的5/6是3/4×5/6=5/8 此时甲一共走了1/4+5/8=7/8 那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4 所以甲走全程的1/4时，乙走了全程的1/4×4/5=1/5 那么AB距离=640/（1-1/5）=800米 5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米？ 解：一种情况：此时甲乙还没有相遇 乙车3小时行全程的3/7 甲3小时行75×3=225千米 AB距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米 一种情况：甲乙已经相遇 （225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=367.5千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇? 解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟 将全部路程看作单位1 那么甲的速度=1/30 乙的速度=1/20 甲拿完东西出发时，乙已经走了1/20×9=9/20 那么甲乙合走的距离1-9/20=11/20 甲乙的速度和=1/20+1/30=1/12 那么再有（11/20）/（1/12）=6.6分钟相遇 7、甲，乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走36千米，乙每小时走48千米，若甲车比乙车早出发2小时，则乙车经过多少时间才追上甲车？ 解：路程差=36×2=72千米 速度差=48-36=12千米/小时 乙车需要72/12=6小时追上甲 8、甲乙两人分别从相距36千米的ab两地同时出发,相向而行,甲从a地出发至1千米时,发现有物品以往在a地，便立即返回，去了物品又立即从a地向b地行进，这样甲、乙两人恰好在a，b两地的终点处相遇，又知甲每小时比乙多走0.5千米，求甲、乙两人的速度? 解： 甲在相遇时实际走了36×1/2+1×2=20千米
一、三角形当中的一半模型 - 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 , 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构 一半模型
@ 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 : （）（） 、 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 【 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 《 【能力提升】 【巩固练习】
例题精讲 · 【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 : 4 ， 【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米． @ 【例3】 ； 如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它 部阴影部分的面积是多少
小学五年级经典奥数题 题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为1元和1角的人民币，求换来的这两种人民币各多少张？ 题2、有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？ 题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？ 题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆？ 题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是雨天？ 题6、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？ 题7、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，共得152分，其中甲比乙多得16分，问：两人各中多少次？ 题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错了一题不仅不得分，而且还要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？ 答案： 1.解：设有1元的x张，1角的(28-x)张
x+0.1(28-x)=5.5 0.9x=2.7 x=3 28-x=25 答：有一元的3张，一角的25张。 2.解：设1元的有x张，2元的（x-2)张，5元的(52-2x) x+2(x-2)+5(52-2x)=116 x+2x-4+260-10x=116 7x=140 x=20 x-2=18 52-2x=12 答：1元的有20张，2元18张，5元12张。 3.解：设有7元和5元各x张，3元的(400-2x)张 7x+5x+3(400-2x)=1920 12x+1200-6x=1920 6x=720
《五年级奥数题》 1.推理问题： ABCDE五人进行乒乓球单循环赛，此赛进行一段时间之后，对已赛的场次做一个小统计，a赛4场，b赛3场，c赛2场，d赛1场，这时e赛了几场？到此赛结束还需要几场比赛？ 2.盈亏问题 妈妈买回一筐苹果，按计划天数数，如果每天吃5个，则多出45个苹果，如果每天吃7个则有少了9个苹果，问妈妈买了多少个苹果？ 3.鸡兔同笼问题（1） 小红在电视中得知新疆地区发生了雪灾，她想把平时节约的零花钱全部捐给灾区的小朋友，数了数，二角的纸币比五角的纸币多42张，可按钱数反而是五角的比二角的多6元，另外还有80元的硬币，问小红一共捐了多少钱？ (2)数学竞赛抢答题共10道，规定答对一道得15分，答错一道倒扣10分（不答按答错计算）小明回答了所有的问题，结果共得100分，问答对和答错各几道？ （3）某农民养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。鸡和兔各有多少只？
（4）某班50名同学为灾区人民捐款，平均每个女同学捐8元，每个男同学捐5元，已知全班女同学共比男同学多捐101元，求这个班男、女生个多少人？（设男女生各25人） （5）有面值分别为十元、五元、二元的人民币34张，共值178元，十元的张数和五元的张数同样多，十元、五元、和二元的人名币各多少张？（假设都是二元的） （6）一群公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃266个，已知每只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘桃5个，已知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？（假设公猴和母猴一样多） 4植树问题 有48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有几个学生？ 5、有一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把这个两位的两个数字对调位置，组成一个新的两位数，已知这两个两位数的差是54，求原来的两位数？ 6、如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为对称数，例如33 242 1661 30803 等都是对称数，求在1---1000中共有多少个对称数？ 7、有一个三位数，如果把数字6添在它前面可以得到一个四位数，添在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数的差是1611.求原来的三位数。
1、25除以一个数的2倍,商是3余1,求这个数．[4] 2、学校今年绿化面积1800平方米,比去年的绿化面积的2倍还多40平方米,去年绿化面积是多少平方米? [3] 3、洗衣机厂今年每日生产洗衣机260台,比去年平均日产量的2．5倍少40台,去年平均日产洗衣机多少台? [3] 4、化肥厂用大、小两辆汽车运47吨化肥,大汽车运了8次,小汽车运了6次正好运完,大汽车每次运4吨,小汽车每次运多少吨? [3] 5、一匹布长36米,裁了10件大人衣服和8件儿童衣服,每件大人衣服用布2．4米,每件儿童衣服用布多少米? 6、甲车每小时行48千米,乙车每小时行56千米,两车从相距12千米的两地同时背向而行,几小时后两车相距272千米? [4] 7、饲养场共养4800只鸡,母鸡只数比公鸡只数的1．5倍还多300只,公鸡、母鸡各养了多少只? 8、哥哥和弟弟的年龄相加为35岁,哥哥比弟弟大3岁,哥哥和弟弟各多少岁? [4] 9、甲、乙两车同时从相距528千米的两地相向而行,6小时后相遇,甲车每小时比乙车快6千米,求甲、乙两车每小时各行多少千米? 10、小张买苹果用去7．4元,比买2千克橘子多用0．6元,每千克橘子多少元? [4] 11、学校图书馆购买的文艺书比科技书多156本,文艺书的本数比科技书的3倍还多12本,文艺书和科技书各买了多少本? [4] 12、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍,甲、乙两人平均每人有82本书,求甲、乙两人各有书多少本. [4] 13、一只两层书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书搬60本到下层,那么两层的书一样多,求上、下层原来各有书多少本．[4] 14、有甲、乙两缸金鱼,甲缸的金鱼条数是乙缸的一半,如从乙缸里取出9条金鱼放人甲缸,这样两缸鱼的条数相等,求甲缸原有金鱼多少条．[4] 15、汽车从甲地到乙地,去时每小时行60千米,比计划时间早到1小时；返回时,每小时行40千米,比计划时间迟到1小时．求甲乙两地的距离．[5] 16、同学们种向日葵,五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵,五年级比四年级多种62棵,两个年级各种多少棵? 17、电视机厂生产一批电视机,如果每天生产40台,要比原计划多生产6天,如果每天生产60台,可以比原计划提前4天完成,求原计划生产时间和这批电视机的总台数．[5] 19、一把直尺和一把小刀共1．9元,4把直尺和6把小刀共9元,每把直尺和每把小刀各多少元? 20、甲、乙两个粮仓存粮数相等,从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后,甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍,原来每个粮仓各存粮多少吨? 21、甲、乙两堆煤共100吨,如从甲堆运出10吨给乙堆,这时甲堆煤的质量正好是乙堆煤质量的1．5倍,求甲、乙两堆煤原来各有多少吨? 22、甲仓存粮32吨乙仓存粮57吨以后甲仓每天存人4吨,乙仓每天存人9吨,几天后乙仓存粮是甲仓的2倍? 23、两根电线同样长短,将第一根剪去2米后,第二根长是第一根的1.8倍,原来两根电线各长多少米? [4] 24、一批香蕉,卖掉140千克后,原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍,这批香蕉共有多少千克? 25、小明去爬山,上山花了45分钟,原路下山花了30分钟,上山每分钟比下山每分钟少走9米,
一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底x高+2,决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。在等高模型中，（图 1 ）当BD=CD寸，阴影部分，S A ABD=2 ABO2 特别地如图2,当BE=ED , DF=FC，阴影部分面积，S A AEF=A ABO2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，S A EBC=A ABO2 、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=Bx高十2, 平行四边行的面积公式s=Bx高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半：
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“V”，不是打“X 梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 女口图4,在梯形ABCD中，BE=CE 贝U S A ADE=SABCD2 如图5,是它的变形，注意其中AF=DF BE=CE
四、任意四边形中的一半模型 女口图 6,在四边形 ABCD 中，AE=EB DF=CF 贝U SEBFD=SAB &D S ）：ABCD -axb S A BCE ■ S A BCF ■ S A BCD = S^BCP ■ fi x b x — 不规则图形 S]r ABCD =axb 眾ADE - -a blf 2 阴虧-￡ADE > S A BCE - —a xbl + —x i M bi - inxtbl t b2J - i ax b 【巩固练习】 S^BCE - -x a x b2 【能力提 升】 1 T 讦四边形同理
⑴直线AB平行于CD，可出现三对面积相等的三角形，如图⑴ ⑵两个 三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比; $■心屯匚口= RD ■ JD t S' -1 共边模型 芋积变形口 .4 二、一丰轶童
三、焦昆龙圧 正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ 二* (★★★) 图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，H是任意点。如果正方形的边长 是12,那么阴影部分的面积是_________ （2008年仁华考题）如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么阴影部分的 面积是_____________ 。
⑴如图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部 分的面积是 ____________________ 平方厘米。 D C ⑵（第三届“华杯赛”初赛试题 ）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方 形面积的15%，黄色三角形面积是 21cm 2 。问：长方形的面积是多少平方厘米？ f (★★★★★) 如图，已知BD = DC , EC = 2AE ，三角形ABC 的面积是30,求阴影部分面积。 如图，正方形 ABCD 的边长为6, AE = 1.5, CF = 2。长方形EFGH 的面积为 O
【本周31懸】 请用一条直线把它分成两个三角形，不允许有剩余呦! 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别为 10厘米和12厘米。 的面积。 2 2 A . 45cm B . 50 cm 2 2 C . 60cm D . 48cm AD 边上边上的中点，求阴影部分的面积? A . 12 cm 2 C . 14 cm 2 D G 求阴影部分 2. 下图是一个长为 8cm ，宽为6cm 的长方形，其中 H 分别为 BC 、CD 、 E 、 F 、 G 、
小学五年级奥数题集锦 及答案更新版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
小学五年级奥数题集锦及答案 1、甲乙两车同时从AB两地相对开出。甲行驶了全程的5/11,如果甲每小时行驶千米，乙行了5小时。求AB两地相距多少千米？ 解：AB距离=（×5）/（5/11）=千米 2、一辆客车和一辆货车分别从甲乙两地同时相向开出。货车的速度是客车的五分之四，货车行了全程的四分之一后，再行28千米与客车相遇。甲乙两地相距多少千米？ 解：客车和货车的速度之比为5：4 那么相遇时的路程比=5：4 相遇时货车行全程的4/9 此时货车行了全程的1/4 距离相遇点还有4/9-1/4=7/36 那么全程=28/（7/36）=144千米 3、甲乙两人绕城而行，甲每小时行8千米，乙每小时行6千米。现在两人同时从同一地点相背出发，乙遇到甲后，再行4小时回到原出发点。求乙绕城一周所需要的时间？ 解：甲乙速度比=8：6=4：3 相遇时乙行了全程的3/7 那么4小时就是行全程的4/7 所以乙行一周用的时间=4/（4/7）=7小时 4、甲乙两人同时从A地步行走向B地，当甲走了全程的1\4时，乙离B地还有640米，当甲走余下的5\6时，乙走完全程的7\10，求AB两地距离是多少米
解：甲走完1/4后余下1-1/4=3/4 那么余下的5/6是3/4×5/6=5/8 此时甲一共走了1/4+5/8=7/8 那么甲乙的路程比=7/8：7/10=5：4 所以甲走全程的1/4时，乙走了全程的1/4×4/5=1/5 那么AB距离=640/（1-1/5）=800米 5、甲，乙两辆汽车同时从A，B两地相对开出,相向而行。甲车每小时行75千米，乙车行完全程需7小时。两车开出3小时后相距15千米，A,B两地相距多少千米 解：一种情况：此时甲乙还没有相遇 乙车3小时行全程的3/7 甲3小时行75×3=225千米 AB距离=（225+15）/（1-3/7）=240/（4/7）=420千米 一种情况：甲乙已经相遇 （225-15）/（1-3/7）=210/（4/7）=千米 6、甲，已两人要走完这条路，甲要走30分，已要走20分，走3分后，甲发现有东西没拿，拿东西耽误3分，甲再走几分钟跟已相遇？ 解：甲相当于比乙晚出发3+3+3=9分钟 将全部路程看作单位1 那么甲的速度=1/30 乙的速度=1/20 甲拿完东西出发时，乙已经走了1/20×9=9/20
一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构 一半模型
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 【能力提升】 【巩固练习】
【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米． 【例3】 例题精讲 4
五年级卷 一、填空（每题2分） 1、某数分别与两个相邻整数相乘，所得的积相差150，这个数是（） 2、每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有109个盘子，则圆桌有（）张，方桌有（）张。 3、在1至1000这1000个整数中，既能被3整除有是7的倍数的整数有（）个。 4、三个连续自然数的积是120，这三个数分别是( )、( )、( )。 5、40人参加测验，答对第一题的有30人，答对第二题的有21人，两题都答对的有15人。两题都答错的有（）人。 6、今年八月一日是星期五，八月二十日是星期（）。 7、有一排算式：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，2+19，3+21，…，那么（）+（）= 1994 8、节日之夜，广场上挂起了一排彩灯，共1999盏，排列的规律是：从头起每八盏为一组，每组的八盏灯依次为三盏红灯，二盏黄灯，三盏绿灯，那么最后一盏灯的颜色是（）。 9、在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，再自右至左每隔5厘米染一个红点，然后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的木棍有（）条。10、A、B、C、D四个数，每次去掉一个数，将其余3个数求平均数，这样算了4次，得到以 下4个数：45、60、65、70，问原来四个数的平均数是（）。 11、妈妈买3千克苹果2千克梨，共付款12元；李奶奶买同样价格的苹果3千克，梨5千 克，共付款21元。买1千克苹果付款（）元和1千克梨付款（）元。 12、有10枚伍分硬币，“伍分”的面朝上放在桌子上。现在每次翻动其中的9枚，翻动（） 次，使“国徽”面全部朝上。 13、每张方桌上放有12个盘子，每张圆桌上放有13个盘子。若共有109个盘子，则圆桌有 （）张，方桌有（）张。 14、一座大桥长6700米，一列火车以每分钟1000米的速度通过大桥，从车头上桥到车尾离 桥共用了7分钟，这列火车长（）米。 15、小明把节省下来的硬币按四个1分、三个2分、两个5分的顺序排列，那么他排的第111个是（）分的硬币，这111个硬币共（）元。 二、计算（每题5分） 98766×98768－98765×98769 9999×2222＋3333×3334