导数综合
一、单选题
1．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1
2．设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得
0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．3,12e ??
-
????
B ．33,2e 4??
-????
C ．33,2e 4??????
D ．3,12e ??
??
??
3．已知a R ∈，设函数222,1,
()ln ,
1,x ax a x f x x a x x ?-+=?->?若关于x 的不等式()0f x 在R
上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1
B ．[]0,2
C ．[]0,e
D ．[]1,e
4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3
1812343
y x x =-
+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件
D ．7万件
6．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]--
B ．9
[6,]8
--
C ．[6,2]--
D ．[4,3]--
7．在同一直角坐标系中，函数()2
23222
a
y ax x y a x ax x a a R 与=-+=-++∈的图像不可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数2e (),()212x
f x
g x x x a x
==-++-，若12,(0,)x x ?∈+∞，都有
()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(,)e -∞
B ．(,e]-∞
C ．,
2
e ??-∞ ??
?
D ．,
2
e ?
?-∞ ??
?
二、填空题
9．已知函数f （x ）=e x -2x+a 有零点，则a 的取值范围是___________． 10．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 11．在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2b
y ax x
=+
（,a b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += .
12．若函数3()3ln f x m x x =-+在1,e e ??????
上有两个不同的零点，则实数m 的取值范
围为_________.
三、解答题
13．已知函数()()ln f x x a x a R =-∈ （1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； （2）谈论函数()f x 的零点个数
14．已知函数()x x b e f x a =++的图像在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=. （1）求()f x 的表达式；
（2）当0x >时，2
()1f x x mx ≥++恒成立，求m 的取值范围.
15．若函数f(x)=ax 2?2ax ?2ln(x ?1)(a ∈R)． （Ⅰ）讨论函数f (x )的单调性；
（Ⅱ）若f (x )在(1,2]上存在两个零点，求a 的取值范围．
利用导数证明不等式 1．（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． (1)讨论()f x 的单调性； (2)若()()140f x a x e +++-≤对任意2 ,x e e ??∈??恒成立， 求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； (3)求证()() 13ln 12ln 22+++()()1ln 14ln 2 2+++++n !ln 21n +<() *,2N n n ∈≥（2n ≥，n *∈N ）． 2．（本小题满分10分）（1）设1x >-，试比较ln(1)x +与x 的大小； （2）是否存在常数N a ∈，使得111 (1)1n k k a a n k =<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成 立？若存在，试求出a 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 3．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有2 22221212121e n n ?? ?>+++． 4．（本小题满分14分）已知函数()1x f x e x =--，x R ∈， 其中，e 是自然对数的 底数．函数()1g x xsinx cosx =++，0x >． （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）将 ()g x 的全部零点按照从小到大的顺序排成数列{}n a ，求证： （1）(21)(21)22n n n a ππ -+<<，其中*n N ∈； （2）222212311112 ln 1ln 1ln 1ln 13 n a a a a ?? ??????++++++ ++< ? ? ? ??????? ??． 5．（本小题满分12分）已知函数2 ()ln (0)f x ax x x x a =+->. （1）若函数满足(1)2f =,且在定义域内2 ()2f x bx x ≥+恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；
专题2.3导数中的零点问题 解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。 一、能直接分离参数的零点题目 此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。 例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x ==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题） 这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。 在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可 例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e 上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。
导数 一、导数的概念 函数P=f(G),如果自变量G 在G 0处有增量x ?，那么函数P 相应地有增量y ?=f （G 0+x ?）－f （G 0），比值x y ??叫做函数P=f （G ）在G 0到G 0+x ?之间的平均变 化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数P=f(G)在点G 0处可导，并把这个极限叫做f （G ）在点G 0处的导数，记作f ’ （G 0）或P ’|0x x =。f ’(G 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（） A ．k 2B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练：设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数P=f （G ）在点G 0处的导数的几何意义是曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0）） 处的切线的斜率。也就是说，曲线P=f （G ）在点p （G 0，f （G 0））处的切线的斜率是f ’（G 0）。 切线方程为P －P 0=f /（G 0）（G －G 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1 ln x x '=; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 习题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成） （1）()f x π=（2）4()f x x =（3）()f x =4）()sin f x x =
导数 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函 数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。f ’(x 0)=0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 例、 若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 2 1 D ．以上都不是 变式训练： 设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． 1．x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000； 2．.2) ()(lim 000h h x f h x f h --+→ 3．若2)(0='x f ，则k x f k x f k 2) ()(lim 000--→=？ 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数）
2016高考数学汇编：导数 1.【2016高考新课标1文数】若函数1 ()sin 2sin 3 f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值 范围是（ ） （A ）[]1,1-（B ）11,3??-????（C ）11,33??-????（D ）11,3? ?--?? ? ? 2.【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01, ln ,1,x x x x -<?图象上点P 1，P 2处的 切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 3.【2016高考四川文科】已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 4. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式_____________________________. 5.【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数()()()2 2e 1x f x x a x =-+-． (I)讨论()f x 的单调性； (II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围. 6.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.
1 专训1.5 导 数 1. 若函数3 21()53 f x x ax x =-+-无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．[1,1]- C ．(,1) (1,)-∞-+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞ 2．已知5ln 5a =，1b e -=，3ln 2 8 c = ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 思维导图 答题区 一．单选题（每题5分，8题，共40分） 限时：16min
2 A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．b a c >> 3．点P 在曲线3 2 3 y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ） A ．[0,]2 π B ．3( , ]24ππ C ．3[ ,)4 ππ D ．3[0, )[ ,)2 4 π ππ? 4．若函数()3 3=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,4- B ．()1,4- C ．11,2 ??- ?? ? D ．11, 2??- ??? 5．函数4 ()3ln f x x x x =+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)- B ．(0,1) C ．(4,)+∞ D ．(0,4) 6．()||f x lnx =，()()g x f x mx =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．10, e ?? ??? B ．12, e e ?? ??? C ．()0,1 D ．1,e ?? +∞ ??? 7．若函数()x x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤ B ．1a ≤ C ．1a ≥ D ．2a ≥ 8．函数()3 2 2 f x x ax bx a =--+在1x =处有极值为10，则a 的值为（ ） A ．3 B ．-4 C ．-3 D ．-4或3 9．设函数()ln x e f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 定义域是()0,∞+ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方 C ．()f x 存在单调递增区间 D ．()f x 有且仅有一个极值点 二．多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分，4题，共20分） 限时：10min
导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈
例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.
例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围.
例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.
例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k
导数综合 一、单选题 1．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 2．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得 0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ?? - ???? B ．33,2e 4?? -???? C ．33,2e 4?????? D ．3,12e ?? ?? ?? 3．已知a R ∈，设函数222,1, ()ln , 1,x ax a x f x x a x x ?-+=?->?若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e 4．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =- +-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 6．当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9 [6,]8 -- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 7．在同一直角坐标系中，函数()2 23222 a y ax x y a x ax x a a R 与=-+=-++∈的图像不可能的是（ ） A ． B ． C ． D ．
导数 一、导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在x 0 处有增量?x ，那么函 数 y 相应地有增量?y =f （x + ?x ）－f （x ），比值 ?y 叫做函数 y=f （x ）在 x 到 x + ?x 之间的平均变化率， 0 0 ?x 0 0 即?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。如果当?x → 0 时， ?y 有极限，我们就说函数 y=f(x) ?x ?x ?x 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f ’（x 0 ） 或 y ’| 。f’(x 0 )= lim ?y = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。 x = x 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 例、 若lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) = k ，则lim f (x 0 + 2 ? ?x ) - f (x 0 ) 等于（ ） ?x →0 A. 2k ?x B. k C. 1 k 2 ?x →0 ?x D. 以上都不是 变式训练： 设函数 f (x ) 在点 x 0 处可导，试求下列各极限的值． 1. lim ?x →0 f (x 0 - ?x ) - f (x 0 ) ； ?x 2． lim f (x 0 + h ) - f (x 0 - h ) . h →0 2h 3．若 f '(x ) = 2 ，则lim f (x 0 - k ) - f (x 0 ) =？ k →0 2k 二、导数的几何意义 函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ） 处的切线的 斜率是 f ’（x 0 ） 。 切线方程为 y －y 0 =f / （x 0 ）（x －x 0 ） 。 三、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ① C ' = 0;（C 为常数）
导数及其应用练习题 一选择题 1. 设)(x f 在0x x =处可导，且,1)()3(000lim =?-?+→?x x f x x f x 则)(0'x f =（ ） A.1 B.0 C.3 D. 3 1 2.已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为（ ） A.1 B. 2 C.-1 D.-2 3.若函数,5)1(3 1)(2'3++-= x x f x x f 则)1('f 的值为（ ） A.-2 B.2 C. 32- D.3 2 4.设曲线1 1-+=x x y 在点（3,2）处的切线与直线01=++y ax 垂直，则a 的值为（ ） A.2 B.21 C. 21- D.-2 5.设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =图像如下图所示，则导函数)(' x f y =的图象可能是（ ） A B. C. D. 6.设函数)(,)()(2x g y x x g x f =+=在点))1(,1(g 处的切线方程为,12+=x y 则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线斜率为（ ） A.4 B.41- C. 2 D.21- 7.函数13 1)(3++=ax x x f 在)1,(--∞上是增函数，在)1,1(-上是减函数，则=)1(f （ ） A.37 B.1 C. 3 1 D. -1 8.曲线x x y +=331在点)3 4,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A.91 B. 92 C. 31 D. 3 2 9.由直线0,1,2,21====y x y x x 所围成的图形面积是（ ） A.415 B. 417 C. 2ln 2 1 D. 2ln 2
目录 目录 (1) 考点一导数的概念 (2) 题型1 变化的快慢和变化率 (2) 题型2 导数的概念 (3) 考点二导数的几何意义 (3) 题型3 有关斜率的判断与计算 (3) 课后综合巩固练习 (5)
考点一 导数的概念 1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义， 令0x x x ?=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ?=-=-=+?-，则当0 x ?≠时，比值00()()f x x f x y x x +?-?= ??叫做函数()y f x =在0x 到0x x +?之间的平均变化率． 2.瞬时变化率：如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x x +?-?趋近于一个常数l ，则 数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． 可用符号记为：当0x ?→时，00()() f x x f x l x +?-→?． 还可以说：当0x ?→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化 率l ，记作：000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?． 3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作() 0f x '0|x x y ='可以写为：0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?． 4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导， 这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ， 内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数． 题型1 变化的快慢和变化率 1．（2010?浙江模拟）有人从“若a b <，则2222b a a b b a -<<-”中找到灵感引入一个新概念， 设2()F x x =，()2f x x =，于是有f （a ）()() F b F a f b a -<<-（b ） ，此时称()F x 为甲函数，()f x 为乙函数，下面命题正确的是( ) A ．若2()32f x x x =+则32()F x x x C =++，C 为常数 B ．若()cos f x x =，则()sin F x x C =+，C 为常数 C ．若2()1f x x =+，则()F x 为奇函数 D ．若()x f x e =，则F （2）F <（3）F <（5） 2．（2007秋?德化县期末）一个作直线运动的物体，它的速度v （米/秒）与时间t （秒)满足3(0)v t t =，如果它在a 秒内的平均速度与2秒时的瞬时速度相等，则a 等于( )
导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3()'2 f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. `
1.高考命题回顾 例1.已知函数) （a e2x+(a﹣2) e x﹣x. f x f x的单调性； （1）讨论() 《 （2）若() f x有两个零点，求a的取值范围. '
例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. （
例3.（本小题满分12分） ~ 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 ] 例4.(本小题满分13分)
已知常数0a >,函数2()ln(1).2 x f x ax x =+-+ (Ⅰ)讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性; (Ⅱ)若()f x 存在两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的取值范围. : <
! 例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. ;
含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳． 一、分离参数，转化为最值策略 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出 ()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转 化为函数求最值． 例1、已知函数x x x f ln )(=.（Ⅰ）求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论． 例2.已知a 是实数，函数))(2 a x x x f -=（. （Ⅰ）若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值． 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论． 例3、已知函数2 ()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论()f x 在定义域上的单调性． 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论． 例4、已知0>m ，讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性．
用导数研究曲线的切线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则 ） A. B. 2 C. 3 D. 2．在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式() ()211n x x x ++-展开式中4x 的系数为（ ） A. 120 B. 135 C. 140 D. 100 3，若曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. ()2,2- C. D. 4．已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切， 则a + ） A. [﹣2，2] B. C. D. 5．若函数()()g x f x ax =-在区间() 2 0,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6．设函数()()()2 2 2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得成立，则实数a 的值是 A. B. C. D. 1 7．对任意的0x >，总有，则a 的取值范围是（ ） A. ()( lg lg lg e e ?-∞-?， B. (] 1-∞， C. ()1lg lg lg e e ??-??， D. ()lg lg lg e e ? ?-+∞??，
8．已知()f x 是定义在R 上的单调函数，满足()1x f f x e ??-=??，则()f x 在()() 0,0f 处的切线方程为（ ） A. 1y x =+ B. 1y x =- C. 1y x =-+ D. 1y x =-- 9．函数 与 的图象关于直线 对称， 分别是函数 图象上的动点， 则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 10．已知12,P P 为曲线（0x >且1x ≠）上的两点，分别过12,P P 作曲线 C 的切线交y 轴于,M N 两点，若120PM P N ?=，则MN =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．设点P 为函数与()()23ln 20g x a x b a =+>图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲 A. B. C. D. 12．如右图，直线2y ax =+与曲线()y f x =交于A B 、两点，其中A 是切点，则下列判断正确的是 （ ） A. ()h x 只有一个极值点 B. ()h x 有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C. ()g x 的极小值点小于极大值点，且极小值为-2 D. ()g x 的极小值点大于极大值点，且极大值为2 13．过点A(2,1)作曲线()3 3f x x x =-的切线最多有( ) A. 3条 B. 2条 C. 1条 D. 0条 14．设函数()()2 340f x x ax a =->与()2 2ln g x a x b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的 最大值为 A. B. C. D.
导数恒成立问题 1、已知函数 （a 为实数） （I ）若 在处有极值，求a 的值； （II ）若 在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围。 2、设函数2()ln f x x x ax =++. （Ⅰ）若12 x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围； 3、设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+. （Ⅰ）求f (x )的单调区间； （Ⅱ）若当1[1,1]x e e ∈--时，不等式f (x ) 4、已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 5、已知函数239()()(24 f x x x =++）对任意m x f x f x x ≤--∈|)()(|],0,1[,2121不等式恒 成立，试求m 的取值范围。 6、已知函数()2 a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围． （2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立， 求实数a 的取值范围． 7、设函数 (1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；(3)设函数 ，若在[l ，e]上至少存在一组使成立，求实数a 的取值范围. 8、设函数x e x x f 22 1)(=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围． 9、已知21()(1)2 x f x e a x =-+ （1）求()f x 在0x =处的切线方程．（2）若()f x 在区间(0,2]x ∈为增函数，求a 的取值范围 导数的应用基础题 函数的单调性 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为( ) A.(-1,1) B.(-∞,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sinx B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=lnx-x 3. 已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( ) 4.若f(x)=,e 区间是. 7.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,2),则 b= ,c= . 8.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调递增函数,则b的取值范围为. 三、解答题(每小题10分,共20分) 9. 已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围. 10.已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0. (1)求函数y=f(x)的解析式. (2)求函数y=f(x)的单调区间. 函数的极值 专题十四 函数与导数综合 一．解答题（共20小题） 1．（2019?全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23 -，求a ． 2．（2019?新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由． 3．（2019?新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围． 4．（2019?新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点； （2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 5．（2019?江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值； （2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427 M ． 6．（2019?天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a ，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e <<， ()i 证明()f x 恰有两个零点； ()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->． 7．（2019?天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． 专题二 极限与导数的概念 一、极限 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞ →，另外)(lim 0 x f x x + →=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类似地)(lim 0 x f x x - →表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 第十讲导数及其运算1．导数与导函数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx，我们称它为函数y ＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝ 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝e x f′(x)＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln x f ′(x )＝1 x f (x )＝lo g a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ； (3)[f (x )g (x )]′＝ (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ ，即y 对x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 2014 高考数学真题汇编函数与导数 (一) 1、[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝? ????x 2＋1，x >0， cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数 C ．f (x )是周期函数 D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 2．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3．[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ????23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－1 2 4．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数 5、[2014·全国卷] 若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间????π6，π 2是减函数，则a 的取值范 围是________． 6．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1 7、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 121 3 ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 8，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A. 1x 2 ＋1＞1 y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3 9．[2014·重庆卷] 函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 10、[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-1 A B导数的应用基础题学生版
专题14 函数与导数综合(学生版
第二章 数学奥赛极限和导数(学生版)
+∞→a a a n n n ； （3）???? ??++++++∞ →n n n n n 2221 211 1lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ 二、基础训练题 1．n n n n n 3232lim 1 1++++∞→=_________.
第10讲 导数及其运算(学生版)
2014高考真题函数导数(一)学生版
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