高中数学 1.1.1 正弦定理教案教学分析
本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．
在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．
本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．
三维目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．
重点难点
教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．
教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路 1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，
这两个等式间存在关系吗？学生可以得到
a
sinA
＝
b
sinB
，进一步提问，等式能否与
边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．
思路 2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC 与BC的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．
推进新课
新知探究
提出问题
1 阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？
2 联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？
3 由 2 得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？
4 正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法
证明它？
5 什么叫做解三角形？
6 利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？
活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC
＝b，AB＝c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a
c
＝sinA，
b
c
＝sinB，又
sinC＝1＝c
c
，则
a
sinA
＝
b
sinB
＝
c
sinC
＝c.从而在Rt△ABC中，
a
sinA
＝
b
sinB
＝
c
sinC
.
那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．
如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三
角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则
a
sinA
＝
b
sinB
.同理，可得
c
sinC
＝
b
sinB
.
从而a
sinA ＝
b
sinB
＝
c
sinC
.
(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成) 通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC
上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，
由正弦函数在区间(0，π2
)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.
正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．
讨论结果：
(1)～(4)略．
(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．
(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出
三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．
应用示例
例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．
活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.
此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．
解：根据三角形内角和定理，得
∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.
根据正弦定理，得
b＝asinB
sinA
＝
42.9sin81.8°
sin32.0°
≈80.1(cm)；
c＝asinC
sinA
＝
42.9sin66.2°
sin32.0°
≈74.1(cm)．
点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．
变式训练
在△ABC中(结果保留两个有效数字)，
(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；
(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.
解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，
b sinB ＝
c sinC
，
∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°
≈1.6. (2)∵a sinA ＝b sinB
， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°
≈6.9. 例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：
(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；
(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°； (3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.
活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．
解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10sin75°sin60°≈11.2(如图1所示)．
图1
(2)由正弦定理，得
sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23
， 因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．
图2 当∠B≈41.8°时，
∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinC
sinA
＝
3sin108.2°
sin30°
≈5.7；
当∠B≈138.2°时，
∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，
c＝asinC
sinA
＝
3sin11.8°
sin30°
≈1.2(如图2所示)．
(3)由正弦定理，得
sinC＝csinB
b
＝
6sin120°
36
＝
6×
3
2
36
＝
2
2
，
因此∠C＝45°或∠C＝135°.
因为∠B＝120°，所以∠C＜60°.
因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得
a＝bsinA
sinB
＝
36
sin15°
3
2
≈2.2(如图3所示)．
图3
点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于
这一点，我们通过下面的变式训练来体会．
变式训练
在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)
解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角．
∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60
≈0.513 1， ∴B≈31°.
∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.
∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°
≈91. 例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC
＝AB AC
. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．
证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得
BD sin β＝AB sin α
，① DC sin β＝AC sin 180°－α ＝AC sin α
，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC
.
点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．
例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R及面积S.
活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．
解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可设B＝4k，C＝5k，
则9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.
由正弦定理，得R＝
10
2sin75°
＝5(6－2)，
由面积公式S＝1
2
bc·sinA＝
1
2
c·2RsinB·sinA＝75－25 3.
点评：求面积时，b未知但可转化为b＝2RsinB，从而解决问题．
知能训练
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S的值是( )
A. 2
B.3＋1
C.1
2
(3＋1) D．2 2
2．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边长为__________．
3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝__________.
答案：
1．B 解析：由正弦定理
a
sinA
＝
c
sinC
，得c＝
asinC
sinA
＝22，B＝180°－A－C
＝105°，
∴△ABC的面积S＝1
2
acsinB＝
1
2
×2×22sin105°＝3＋1.
2.5 32＋6
6
解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.
∴b为△ABC的最长边．
由正弦定理，得
b＝asinB
sinA
＝
5sin105°
sin60°
＝
5 32＋6
6
.
3.
3
3
解析：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)．∴(3sinB－sinC)cosA＝sinA·cosC，
化简，得3sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB.
∵0＜sinB≤1，
∴cosA＝
3 3
.
课堂小结
1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．
2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．
3．通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R的引入能给我们解题带来极大的方便．
作业
习题1—1A组1、2、3.
设计感想
本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．
本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提
出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．
备课资料
一、知识扩展
1．判断三角形解的方法
“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．
设已知a、b、A，则利用正弦定理
sinB＝bsinA a
，
如果sinB＞1，则问题无解；
如果sinB＝1，则问题有一解；
如果求出的sinB＜1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．
2．利用正弦定理进行边角互换
对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝
a
2R
，sinB＝
b
2R
，sinC＝
c
2R
(R
为△ABC的外接圆半径)．
这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用．3．正弦定理的其他几种证明方法
(1)三角形面积法
如图，已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D.
则Rt△ADB 中，sinB ＝AD AB
， ∴AD＝AB·sinB＝csinB.
∴S △ABC ＝12a·AD＝12
acsinB. 同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12
bcsinA. ∴acsinB＝absinC ＝bcsinA.
∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝c sinC
. (2)平面几何法
如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，
∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴c sinC
＝2R. 同理，可得a sinA ＝2R ，b sinB
＝2R. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC
＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式
a sinA ＝
b sinB ＝
c sinC
. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外
接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝c sinC
＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．
(3)向量法
①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.
由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，
为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，
由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.
∴|j ||AC
→|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)． ∴as inC ＝csinA.∴a sinA ＝c sinC
. 同理，可得c sinC ＝b sinB
. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC
. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.
由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →，
即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)，
∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝c sinC
. 同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC
. ③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝c sinC
显然成立． 综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立．
二、备用习题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( )
A ．5 2
B ．10 2 C.1063
D ．5 6 2．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32
，则a∶b∶c 等于 … ( )
A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3
C ．1∶2∶ 3
D ．2∶1∶3或1∶1∶ 3
3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
4．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则b a
的取值范围是 … ( )
A ．(－2,2)
B ．(0,2)
C ．(1，3)
D ．(2，3)
5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．
6．在△ABC中，已知a＝33
4
，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
7．在△ABC中，cosA＝－
5
13
，cosB＝
3
5
，
(1)求sinC的值；
(2)设BC＝5，求△ABC的面积．参考答案：
1．D 解析：由正弦定理，知
b
sinB
＝
a
sinA
，即
b
sin60°
＝
10
sin45°
，解得b＝
5 6.
2．D 解析：由题意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故选D.
3．D 解析：由正弦定理得
6
sin120°
＝
2
sinC
，得sinC＝
1
2
，于是有C＝30°
或C＝150°(不符合题意，舍去)．从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝ 2.
4．D 解析：由正弦定理知b
a
＝
sinB
sinA
，又∵B＝2A，
∴b
a
＝
sin2A
sinA
＝2cosA.
∵△ABC为锐角三角形，
∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.
∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.
∴2＜2cosA＜3，
即2＜b
a
＜ 3.故选D.
5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC ＝57×32＝5
3
14.
因此sinB ＝33
14， 所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝153
4. 6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝83
9.
7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝12
13.
由cosB ＝35，得sinB ＝4
5，
∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝16
65.
(2)由正弦定理，得
AC ＝BC×sinB sinA ＝5×4
5
1213
＝13
3， ∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×13
3×1665＝8
3.
正弦函数的性质 一、 教学目标： 1、 知识与技能 （1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、 过程与方法 通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、 情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具 在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1． 复习：（公式1）sin(360?k +α) = sin α 2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中α为不大于90?的非负角） [ [ [ ??????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角 ），当为第三象限角）， 当为第二象限角 ）， 当为第一象限角，当οοοοο ο οο οοο36027036027018018018090180) 900 （以下设α为任意角） 3． 公式2： 设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180?+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α 4．公式3： 同样可得： P (,-y )
第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项
人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°
1.1.2 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角 形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题， 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实 基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比 如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过 向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系， 如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两 边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的 角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还 要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路