三角函数图像与性质
三角函数的图像与性质教案 考纲要求 1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－π 2，π 2)上的性质. 要点识记 1个必会思想——整体思想的运用 研究y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象和性质求解． 2个重要性质——三角函数的周期性与单调性 (1)周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π |ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最 小正周期为π |ω|. (2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同： ①y＝sin(π 4－x)，②y＝sin(x－ π 4)． 教材回归 判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)． (1)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×) (2)y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (×) (3)y＝cos(x＋π 3)在[0，π]的值域是[－1， 1 2]．(√) (4)y＝sin(2x＋5 2π)是非奇非偶函数．(×) 考向一三角函数的定义域、值域 例1(1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－π 4)在区间[0， π 2]上的最小值为() A. －1 B. － 2 2 C. 2 2 D. 0 (2)函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．
[解析] (1)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，34π]， ∴y ∈[－22，1]，选B 项． (2)由题意，得????? 2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即????? sin x >12，cos x ≤12， [2k π＋π3，2k π＋56π)(k ∈Z ) 变式练习 1.已知f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) ______． 2.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为 __2__． 3.函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为____[－9,1]____． [易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出现错误． 三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 考向二 三角函数的单调性 例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个
高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 （一）三角函数的性质 1、三角函数的定义域，值域或最值问题； 2、三角函数的奇偶性及单调性问题；常见题型为：三角函数为奇 函数（或偶函数）的充要条件的应用；寻求三角函数的单调区间；比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性；寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. （二）三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换； 2、型三角函数的图象问题；重点是“五点法”作草
图的逆用：由给出的一段函数图象求函数解析式； 3、三角函数图象的对称轴或对称中心：寻求或应用； 4、利用函数图象解决应用问题. （三）化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函 数 . 3、周期性 （1）基本公式
（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点及（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究
三角函数的图像与性质(王玮玮) 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（B版）》必修4 本节课“三角函数的图像和性质”选自实验教材第一章第四节。下面我将从五个方面说明本节课的教学设计。 1教学设计思路 2教材分析 3学情分析 4教学目标与重点、难点 5教学流程 一、教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点： （1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。 （2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。当学生接触新知—周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思、多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，使知识深化。 二、教材分析： 地位与作用：本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践
中提供了有力的工具。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。 美国华盛顿一所大学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了,就理解了.”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程 三、学生情况分析： 知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具备了一定的绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质。心理上，具备了一定的分辨能力、语言表达能力，初步形成了辩证的思维方法。另外学生基础差异较大，在小组中尽量搭配合理，在练习和作业中注意分层，另外学生对观察正切线得出函数单调性以及利用单位圆中的三角函数线作图有困难，要加强指导。 四、鉴于以上认识，确定本节课的（一）教学目标为： 1. 知识与技能目标：通过研究掌握正弦函数图像及其画法；掌握余弦函数图像；深刻理解五点作图法中五点的本质。利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等），自己或合作通过绘制正切线的变化研究性质，根据性质探究正切函数的图象。 2. 过程与方法：通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使对正弦函数图像的认知更为深刻。让学生借助单位圆中的三角函数线能画出tan y x =的图象，借助图象理解正切函数在(,) 22ππ -上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等），并能解决一些简单问题。 3. 情感态度与价值观：用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 （二）、教学重点、难点 1. 教学重点： （1）正弦函数、余弦函数的图像形状 （2）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质， （3）根据性质探究正切函数的图象。 2.教学难点：sin y x =在[]0,2x π∈时的函数图像。画正切函数的简图，体
【百度参赛】《三角函数的图像及性质复习教案》 教学设计方案 设计者：郝春菊 设计者单位：通榆县实验高中 一、教学内容概括 1、《三角函数的图像及性质》是人教版必修4第一章1.4节的内容.所用时间为一课时. 2、近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、教学目标分析 1、知识与技能：（ 1）．能画出y =sin x , y =c os x 的图像，了解三角函数的周期性； （2）．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点及奇偶性等）； （3）．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题的处理方 法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：使学生掌握三角函数图像及性质，并能应用解决问题 教学难点、关键：正弦函数，余弦函数的图像及性质应用方法和技巧 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 三 导言：预测2011年高考对本讲内容的考察为： 1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）； 2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y =A sin （w x +φ）的图象及其变换； 一、复习提问： 1、什么叫做正弦函数，余弦函数？定义域，值域各是什么？ https://www.doczj.com/doc/5b15371968.html,/view/536305.htm https://www.doczj.com/doc/5b15371968.html,/view/536314.htm 2、正弦函数，余弦函数都有那些性质？正弦函数，余弦函数图像如何？ https://www.doczj.com/doc/5b15371968.html,/upfiles/ztjj/jyrjdjs/11/gzkj/015.ppt#321,3,幻灯片 3
三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象：
值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】
例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，及2π-，4π-， 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x 成立，函 数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1
π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏．
． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)
是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．
《三角函数的图象与性质》(复习课)教学设计 广州市第十二中学吴秀汶 一.教学内容分析 该课复习的主要内容是三角函数的图象与性质，学生在前面已经学习了整章知识都是这节课的基础；此外，在这节课进一步提高学生的数形结合方 法，为后面的学习打好基础。对于课前的表格的练习,应注意学生重视对基本 概念学习的良好行为习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研， 从中不断发掘出更深层的内涵。 二.教学设计指导思想 高一学生已具备一定的教学知识和学习能力，所教的班是重点班,对于知识的归纳总结也有一定的能力，对于新问题，有主动思考问题、探索问题的信习和勇气，因此，本课遵循“以教师为主导，学生为主体”，“数学教学是数学活动的教学”等教学思想，把提问题作为教学出发点，指导尝试，总结反思。 三.教学目标 1．熟练掌握y=sinx; y=cosx; y=tanx的图象与性质; 2．能熟练进行图象的平移伸缩; 3．利用数形结合的方法解决有关问题。 四.教学重点、难点和关键 重点、难点是三角函数的图象与性质的灵活应用; 关键是利用数形结合的方法做综合题目. 五.教学方法：讲练结合法 六.教学媒体和时间
媒体：黑板、投影仪、多媒体设计； 时间：40分钟 七. 教学过程的设计 1. 开门见山，直接复习相关内容 由学生填写下表： 正弦、余弦、正切函数的主要性质：（每人发一张练习卷） 由学生填写完后，拿一位学生的练习卷在实物投影仪放出来。 2.问题探究 例1:如图所示的曲线是函数y=Asin(ωx+Ψ) (A ﹥0,ω﹥0)的图象的一 部分,求这个函数的解析式? （由学生自己先做，然后小组讨论 并提问，学生一般都能回答；跟着 再问学生这类问题的步骤，由学生 口述出方法） 例2：求函数x x y 2sin 2cos 87--=的最大值_____;最小值________. （先由学生做2分钟,再提问学生,最后再给出结论;）
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)图象 一、学情分析: 1.接触过描点作图法； 2.学习过“五点法”作正、余弦函数的图象； 3.学习过周期函数的定义． 二、教学目标： 知识目标： 1.“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象； 2.理解由图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的过程； 能力目标： 1.用“五点法”画出y=Asin(ωx+φ)的图象 2.能用图象变换的方法掌握y=Asin(ωx+φ)的图象的形成； 德育目标： 1.数形结合思想的渗透； 2.培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想； 3.培养学生的探究能力和协作学习的能力，从而提高学习数学的兴趣； 三、教学重点和难点分析： 在本节课的教学内容中，函数y=Asin(ωx+φ)的图象是核心，因此：教学重点：图像变换过程理解（即将参数A、ω、Φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响问题分解，从而把复杂问题分解成若干简单问题，充分体现化归思想）教学难点： 1.由y=sinwx变换到y=sin(wx+φ)的过程 2.多种变换的顺序:周期变换和相位变换的顺序不同时，平移变换的长度也随之改变，这是学生难以理解的，也是本节课的难点，教师在处理这个问题时，结合多媒体的动态演示，给学生清晰的讲述，指出理解这个问题的关键是两种变换作用的对象是x. 四、教学方法：探究—引导—归纳—应用 五、教学手段：多媒体，黑板 六、学法指导：从简单到复杂、特殊到一般的化归思想，体会数形结合的重要数学思想． 七、教学流程图： ↓ ↓ ↓ 八、教学过程： 一、情景引入：
前面我们接触过形如y=Asin(ωx ＋φ)的函数，它在实践中有很多用处．例如，在物理中，简谐振动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电中电流与时间的关系都是这样的函数．（多媒体给出简谐振动图１）（2分钟） 今天我们就来研究y=Asin(ωx ＋φ)（Ａ＞０，ω＞０）函数图象．前面我们已经学习过三角函数的＂五点作图法＂和函数的相关性质． 特别地，当Ａ＝１，ω＝１，φ＝０时就是我们熟悉的正弦函数y=sinx ．那么,当Ａ≠１，ω≠１，φ≠０时，函数的图象和性质又怎么样呢？ 二、新课讲授：（25分钟） 现在我们就来研究常数φ, ω, Ａ对函数图象的影响. 分组讨论：学生分为三组，根据用五点作图法作出的函数图象说出它们的联系（学生预习作业，学生团结协作，完成作图并讨论图象间的区别与联系） 第一组：y=sinx 和)3sin(π +=x y 第二组：x y sin =和x y 2sin = 第三组：x y sin =和x y sin 3= （巡视检查预习作业２） （一）我们来探索?对函数图象的影响 师：它们的定义域、值域、周期分别是多少？它们的图象又有如何关系？（对第一组学生提问） 多媒体演示，（并加以引导：分别在两条曲线上各选取纵坐标相同的两点Ａ，Ｂ，沿两条曲线同时移动两点，同时保证它们纵坐标相等，观察它们横坐标关系．） 回答：定义域： R ，值域：y ∈［-1，1］，周期： ，可以通过把正弦曲线向左平移3 π个单位长度得到． 总结归纳１：)0(),sin(≠+=??x y 的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|个单位长度而得到． （二）我们来探索ω对函数图象的影响 师：和第一组一样，你们对这两个函数的图象会有什么体会呢？（对第二组学生提问） 多媒体演示加以引导． 回答：定义域：Ｒ，值域：［－１，１］周期：分别是 和π，图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1倍(纵坐标不变)而得到的． 归纳总结２：)sin(?+=wx y 的图象，可以看作是把)sin(?+=x y 的图象上所有 的点的横坐标变为原来的 w 1倍． （三）探索Ａ对函数图象的影响
三角函数的图像和性质 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 0,2π上的简图． 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】
． ，及，
一般地，设函数y M，对任意的 叫做区间(a如果这样的M 无界函数．
过 程 行为 行为 意图 间 数,其函数值由?1增大到1；在每一个区间 3(2,222k k ππ +π+π)(k ∈Z )上都是减函数，其函数值由1减小到?1． 30 *动脑思考 探索新知 观察发现，正弦函数x y sin =在[]0,2π上的图像中有五个关键点：(0,0), ,12π?? ???, (),0π, 3,12π?? - ??? , ()2,0π． 描出这五个点后，正弦函数x y sin =,[]0,2π在上的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，经常首先描出这关键的五个点，然后用光滑的曲线把它们联结起来，从而得到正弦函数在[]0,2π上的简图．这种作图方法叫做“五点法”． 质疑 引领 总结 观察 思考 体会 五点 可以 教给 学生 自我 发现 总结 35 *巩固知识 典型例题 例1 利用“五点法”作函数x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 分析 x y sin =图像中的五个关键点的横坐标分别是0，2 π ，π，23π ，2π，这里要求出x y sin 1+=在五个相应的函数值， 从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像． 解 列表 x 0 π 2 π 3π2 2π x sin 1 0 ?1 0 x y sin 1+= 1 2 1 1 以表5-6中每组对应的x ,y 值为坐标，描出点),(y x ，用光滑的曲线顺次联结各点,得到函数 x y sin 1+=在[]0,2π上的图像． 说明 讲解 引领 质疑 分析 观察 思考 主动 求解 理解 讨论 安排 与知 识点 对应 例题 巩固 新知 注重 画图 时对 细节 的强 调和 引领 不等
函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计 （一） 教学重点：)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象； （二） 教学难点：)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 图象的作法及其变换方法； （三） 教学方法：启发诱导式； （四） 教学过程： 一、引入 播放小动画，引起学生兴趣，并提出问题： 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t （0≤t ≤24，单位：小时）的函数，记作y=f(t)，下面是某日各时的海浪数据： 怎样根据以上数据，建立y 与t 之间的函数关系？ 二、)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 图象画法。 问题一：怎样画出)3 2sin(2π +=x y 的函数图象？ [分析]主要方法：五点法。 （1）列表 （2）描点 （3）连线
注意：（1）五点法作图中x 的取值方法； （2）x 轴单位的确定。 三、图象变换 问题二：)3 2sin(2π +=x y 由x y sin =图象怎样变换得到？ [分析]（法一） x y sin = )3 sin(π + =x y )32sin(π + =x y )32sin(2π +=x y （法二） x y sin = x y 2sin = )6(2sin π + =x y )3 2sin(2π +=x y （此过程讲解配合动画演示） 四、例题 向左平移 3 π 个单位 横坐标缩小为原来 2 1 倍，纵坐标不变 2倍，横坐标不变 纵坐标伸长为原来 横坐标缩小为原来 2 1 倍，纵坐标不变 向左平移 6 π 个单位 2倍，横坐标不变 纵坐标伸长为原来
第一课时三角函数的图象和性质 三角函数的周期性 [教学目标] 一、知识与技能 了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。 二、过程与方法 从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。 三、情感、态度与价值观 培养数学来源与生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。 [教学重点] 周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 [教学难点] 周期函数的概念 [设计思路] 创设情境，从自然界中的周期现象出发，通过对P点的圆周运动这一模型的分析，引入周期函数的概念。 在研究P点的圆周运动时，给出了y=f(t)的图象；并在研究了三角函数的周期后，给出了y=sinx的图象，让学生从图象上对函数的周期加深理解，让学生体会数形结合的思想。 在讲解例2时，充分利用解方程的思想，让学生更易理解。 [教学过程] 一、创设情境 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。 二、学生活动 （P点的圆周运动）如图，点P自点A起，绕圆周按逆时针方向进行 匀速运动。点P的运动轨迹是： A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B …… 显然点P的运动是周期运动。 设圆的半径为2，每4分钟运动一周。设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t 的函数，记为y=f(t). 则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=……=0，（位置在A点） f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=……=4，（位置在C点） 一般地，点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同，由此能得到这样
基础梳理 1．“五点法”描图 (1) y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (3 (0,0)， ( ,1) ，(π，0)， 2 , 1) ，(2π，0)． 2 (2) y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)， 0) ，(π，－1)， (3 0) ，(2π，1)． ( , , 2 2 2．三角函数的图象和性质 [－1,1] [－1,1] R
(k+0)k ∈Z , 2( k 0)k ∈Z , 2 单调增区间 [2k-2k+k ∈Z； , ] 2 2 单调减区间 [2k+2k+3 k ∈Z , ] 2 2 单调增区间 (k-k+k ∈Z , ) 2 2
) ) 1 . 函数 y = cos(x + ，x ∈R ( )． 双基自测 3 A ．是奇函数 B ．是偶函数 C. 既不是奇函数也不是偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 y = - x ) 2. 函数 tan( 4 的定义域为( )． {x | x ≠ k - A ． 4 ∈ Z } B ．{x | x ≠ 2k - , k ∈ Z } 4 C ．{x | x ≠ k + 4 ∈ Z } D ．{x | x ≠ 2k + 4 ∈ Z } 3. y = sin(x - 的图象的一个对称中心是( )． 4 A ．(－π，0) B ． (- 3 C ． (3 4 D. ,0) 2 ( ,0) 2 4. 函数 f (x )＝cos (2x + 的最小正周期为 ． ) 6 考向一 三角函数的周期 【例 1】?求下列函数的周期： y = - x ) (1) sin( 3 2 ；(2) y = tan(3x - ) 6 考向二 三角函数的定义域与值域 (1) 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目： ①形如 y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设 sin x ＝t ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； ②形如 y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设 t ＝sin x ±cos x ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)． , k , k , k ,0)
三角函数的性质与图像 一、教学内容分析 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 二、学情分析 对于函数性质的研究，学生已经有些经验．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用． 三、教学目标 1、 知识与技能： （1）“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. （2）．图像变换规律. （3）．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 图像性质及常见问题 处理方法 2、过程与方法：培养学生应用所学知识解决问题的能力，独立思考
能力，规范解题的标准。 3、情感态度与价值观：培养学生全面的分析问题和认真的学习态度，渗透辩证唯物主义思想。 教 学 重 点：围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 教学难点、关键：图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 教 学 方 法：启发、引导、研讨相结合 教 学 手 段：结合学生复习情况，使用多媒体课件，提高教学的效率 教 学 课 时：一课时 四、知识梳理 1、 用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时，要找出五 个关键点。 2、 三角函数图像的变化规律。 横坐标变为原来的 倍 画出函数sin y x =图像
三角函数的教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
附件：教学设计模板
学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情. 如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题. 在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题共同探讨解决问题简单应用重现探索过程练习巩固.让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习. 六、教学过程 （一）创设问题情境 师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师加以引导并用幻灯片展示． 问题1： （1）各象限内三角函数值的符号是什么（只讨论正弦、余弦、正切） （2）任意角的三角函数的定义是什么？ （3）公式一的内容与作用是什么？ 问题2:已知如何求的值. 教师引导：能否再把0°～360°间的角的三角函数，化为我们熟悉的 0°～90°间的角的三角函数问题呢？这节课我们就来学习和研究这样的问题. 【设计意图】通过复习旧知，为新知识的学习打下基础.特别是各象限三角函数的符号，对于诱导公式记忆起关键作用.提出的新问题，引导学生进一步思考，激起学生们的兴趣. (二)探索开发新结论 教师引导：为了解决以上问题，我们采用各个击破的方法.首先看，如果我们知道一个任意角与(＋)三角函数值的关系，问题就解决了. 探究一：任意角与(＋)三角函数值的关系. 问题3： ①(＋)角的终边关系如何（
②互为反向延长线或关于原点对称） ③ ④与(＋)角的终边分别交单位圆于点P1，P2，则点P1与P2位置关系如 何（ ⑤关于原点对称） ⑥ ⑦点P1(x，y)，那么点P2的坐标怎样表示（P2(－x，－y)） ⑧sin与sin (＋)，cos与cos(＋)，tan与tan(＋)的关系如何？ ⑨ 经过探索，归纳成公式 -----公式二 【设计意图】公式二的三个式子中，是第一个解决的问题，由于方法及思路都是未知的，所以采取教师引导，师生合作共同完成办法．通过脚手架式的层层提问，引导学生自主推导诱导公式二，让学生体验证明猜想的乐趣，凸显学生学习的主体地位.同时，试图通过环环相扣的问题给学生传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯，从而达到“授人以渔”的目的.后两个均由学生类比讨论完成． 学生活动：小组讨论，代表发言交流． 问题4：公式中的角仅是锐角吗？ 【设计意图】课前提问的问题是以引入的，之后的讨论只是用代数方法换成了一般形式的角，有些同学肯定会有这样的疑问，所以这个问题的解决好，就是突破难点的关键.引导学生互相讨论，交流可以使学生记忆更深刻. 师生活动：演示几何画板课件，首先作出第一象限的任意角，之后得到相应的三角函数值，拖动其终边上任意点，再让学生观察每一象限内三角函数值的符号和它们之间存在的对称关系，从而验证了猜想，使学生更好的理解了这个公式．
三角函数的图像与性质 知识梳理： 题组1：基础再现 1.函数sin 2 x y =的最小正周期为 . 2.函数sin()4 y x π =+ 的单调增区间为 . 3.函数tan(2)3 y x π =- 的定义域为 . 4.不求值，判断下列各式的符号： （1）tan138tan143-o o （2）1317tan()tan()45 ππ--- 题组2：三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y =lgsin x + cos x －1 2 的定义域． 解：要使函数有意义，只需 sin 0, 1 cos .2x x >???≥??，∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+?? ?-≤≤+?? ∴定义域为(2,2]3 k k π ππ+ （k ∈Z ） ． 例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4 π ]的值域； （2）求函数cos 3 cos 3 x y x -= +的值域； （3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－1 2 ，求a ， b 的值． 解：（1）令sin x ＝t ，∵x ∈[－4π，4 π ]，∴t ∈[－2，2]． ∴y ＝－t 2+t +1＝－(t －12)2+5 4 ． ∴当t ＝12时，y max ＝5 ；当t ＝－2时，y min ＝12． ∴所求值域为，5 4 ]． （2）∵cos 3 cos 3 x y x -=+，∴33cos 1y x y +=-． ∵|cos x |≤1，∴33||1y y +-≤1，∴－2≤y ≤－1 2 ． ∴所求值域为[－2，－1 2 ]． 题组3：三角函数的单调性与对称性问题 一般地，函数y ＝A sin(ωx +?)的对称中心横坐标可由ωx +?＝k π解得，对称轴可由ωx +?＝k π+π 2 解得； 函数y ＝A cos(ωx +?)的对称中心、对称轴同理可得． 例3求函数y ＝sin( 4 π －2x )的单调减区间. 解：∵定义域为R ，又sin(2)4 y x π =--， ∴要求sin(2)4y x π=-的减区间即求sin(2)4y x π =-的增区间． ∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388 k x k ππ ππ-≤≤+（k ∈Z ）．
三角函数的图像与性质 二. 教学目标： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。 三. 知识要点： 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2. 三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是 的递增区间是， 3. 函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4. 由y＝sin x的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y＝sin x的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位， 再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将y＝sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x 轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 5. 对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 6. 五点法作y=A sin（ωx+）的简图： 五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 【典型例题】