第五讲 锐角三角函数
【问题探索】
一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中：
?===2
2
2111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？
（2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？
【新课引入】
由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。
1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：
b
a
A A A =∠∠=
的邻边的对边tan
同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.
3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考：
你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：
【总结归纳】
1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；
2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。
C C 1 C 2
【精选例题】
（一）锐角三角函数的概念
例1、（1）在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 （2）Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3
5
，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．
24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5
（3）菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BC=6cm ，那么tan
2
A
为（ ） A ．35 B ．45
C
解析：
（1）角A 的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样，因此两边比值也不变。故选A ； （2）画直角三角形草图，根据cosA=AC AB 可知，63
5
AB =，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。故选A ；
（3）画菱形ABCD ，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan 2A =3
5
。故选A 。 前思后想：
解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。 牛刀小试：
1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A ．都缩小1
3
B ．都不变
C ．都扩大3倍
D ．无法确定
2．如图，在正方形网格中,直线AB ．CD 相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A.34
B.
43 C. 35 D. 45
3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B
重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）
A ．
247
B
C ．
724 D ．1
3
A B
C
D
4. 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，sinB=2
7
则cosB= .
5．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，则tanB= ． 答案：
1．B ； 2. C ； 3. C ；
4. 5. 34
（二）特殊角的三角函数值
例2 计算下面各式：
①2
3tan303cos 302sin30?
?-?
②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-?+?+??+? 解析：
①
2
3tan303cos 302sin30?
?-?
3
②2
22
2cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-?+?+??+?
2
121?++=34 前思后想：
关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。记住三角函数值最关键。
例3. 已知∠A 是锐角，且
A 等于（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析：
根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°
A=60°，故选C 。 前思后想：
对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”——既能顺推，又能倒推。 牛刀小试：
1．计算：（1
）104sin 60(2)2008)-?+-- （2）2tan 604sin30cos45+? 2.已知α为锐角，当
2
1tan α
-无意义时，求tan(α+15°)—tan(α-15°)的值。
6
8
C
E
A
B
D
3.21θ=，则θ= ,
4．在△ABC 中，若2|tan 1|cos )0A B -+=，则∠C 的度数为 ．
5. 在△ABC 中，若│sinA—12
│+cosB ）2=0，则∠C=_______度． 答案：
1．（1）104sin 60(2)2008)-?+--=41
2
—1=12；
（2）2tan 604sin30cos45+?=2+412?2．
2
1tan α
-无意义，∴tan α=1，=45α∴?
∴ tan(α+15°)—tan(α-15°)=tan60°—tan30°。
3．
21θ=，∴tan2θ230θ∴=?，15θ∴=?。
4．2|tan 1|cos )0A B -+=，∴tan 1A =，cos B =
，∴∠A=45°，∠B=30°，∴∠C=105°。
5．│sinA—12
│+—cosB ）2=0，∴sinA=12，。
∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C=120°。
（三）锐角三角函数的大小比较
1、当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2、当角度在0°<α<90°间变化时，
0
当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0.
例4.（1 ）。
A ．1 1 1- D.1 （2）当锐角α>30°时，则cosα的值是（ ）
A ．大于12
B ．小于12
C D 解析：
（1）
tan 301?-
∴就要讨论tan30°—1的正负性
tan30°<1，∴ tan30°—1<0，
∴1)1 故选A
（2）因为cos30°，且当0°<α<90°时，cos α随着α的增大而减小，所以锐角α>30°时，
cos α。故选D 前思后想：
可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。 牛刀小试：
1.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。
2.已知30°<α<β<90°cos 1cos βα-＝ 。
3.若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h 的范围是（ ）（取7.13=）
A 、3＜h ＜5
B 、5＜h ＜10
C 、10＜h ＜15
D 、h ＞15 4.若0°<α<45°，则下列各式中正确的是（ ）
A.sin α>cos α
B.cos α>sin α
C.tan α>1
D.tan α>tan -1α 答案：
1．因为sin45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号； 2．因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<α<β<90°， 所以cos β—cos α<0，cos β—cos30°<0，1—cos α>0，
∴)
c 1c o s
βα-+-
＝cos α—cos β——cos β）+1—cos α
＝1
3．h=10tan α，且30°＜α＜45°，∴
10h <<，故选B 。 4．因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<α<45°”，故选B 。
（四）互余的两个角的三角函数
sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα， 例5. 若sin28°=cosα，则α=________． 解析：
因为“cos(90°-α)=sinα”，所以α=90°—28°=62°. 前思后想：
sin(90°-α)=cos α， cos(90°-α)=sinα这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。 牛刀小试：
1．sin60°=cos_____=______；cos60°=sin________=________． 2.已知tan α＝1（0°≤α≤90°）则0cos(90)α-＝ 。 3.若001
sin(90),cos(90)2
αα-=-则=_____.
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，?根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2，根据三角函数的概念有sinA=
a c ，cosA=
b c
，sin 2
A+cos 2
A=2222222
a b a b c c c ++==1，sin cos A A =a c ÷b c =a
b
=tanA ，?其中sin 2A+cos 2A=1，sin cos A A =tanA 可作为公式来用．例如，△ABC 中，∠C=90°，sinA=45
，求cosA ，tanA 的值．
解法一：∵sin 2A+cos 2A=1； ∴cos 2A=1－sin 2A=1－（
45）2=9
25
． ∴cosA=
35，tanA=sin cos A A =45÷35=4
3
． 解法二：∵∠C=90°，sinA=4
5
． ∴可设BC=4k ，AB=5k ． 由勾股定理，得AC=3k ．
根据三角函数概念，得cosA=
3
5
，tanA=43．
运用上述方法解答下列问题：
（1）Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
3
5
，求cosA ，tanA 的值；
（2）Rt △ABC 中，∠C=90°，，求sinA ，tanA 的值； （3）Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=1
2
，求sinA ，cosA 的值； （4）∠A 是锐角，已知cosA=15
17
，求sin （90°－A ）的值． 答案：
1．cos30°；sin30°，12；
2．tan α＝1（0°≤α≤90°），45α∴=?，∴0cos(90)α-。
3．
01sin(90)2α-=
，9030α∴?-=?，
0cos(90)cos30α∴-=?= 4．（1）∠C=90°，sinA=3
5
．
∴可设BC=3k ，AB=5k ．由勾股定理，得AC=4k ．
根据三角函数概念，得cosA=4
5
，tanA=34．
（2）∠C=90°，．∴可设AC=，AB=5k ．
由勾股定理，得．根据三角函数概念，得，tanA=12．
（3）∠C=90°，tanA=12
． ∴可设BC=k ，AC=2k ．
由勾股定理，得．根据三角函数概念，得，． （4）sin （90°—A ）=cosA=
15
17
.
（五）三角函数在平面直角坐标系中的应用
例6. 如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，?
另一边经过点P （2，），求角α的三个三角函数值． 解析：
P （2，，∴OP=4，∴sin αcos α=12，tan α。
前思后想：
F
E
D
C
B
A
在平面直角坐标系中，求直线与x 轴夹角的三角函数值，过直线上的点作x 轴的垂线段，与x 轴和直线一起构成直角三角形，根据该点的横坐标和纵坐标可以求出该三角形的三边长度，从而求出三角函数值。 牛刀小试：
1.点()sin 60,cos60M -??关于y 轴对称的点的坐标是
2.已知锐角α的终边经过点P （x ，2），点P 到坐标原点的距离r ＝13 ,则sin α= ，cos α＝ .
3.（此题为补充题，用到一元二次方程的根与系数关系） 如图，点A （tanα，0），B （tanβ，0）在x 轴的正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角； （1）若二次函数y=－x 2－
2
5
kx+(2+2k －k 2)的图象经过A 、B 两点，求它的解析式。
（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由。 答案：
1．M
（12），∴它关于y
12）； 2．根据画图，由勾股定理可求x=3，所以sin α
，cos α
；
3．（1）在直角三角形ABC 中，由于∠α+∠β=90°，因此tanα?anβ=1，而A 、B 是抛物线与
x 轴的交点，根据韦达定理可得出tanα?tanβ=-（2+2k-k2）=1，据此可求出k 的值，然后根据tanα+tanβ＞0，将不合题意的k 值舍去，即可求出抛物线的解析式．
（2）本题的关键是求出C 点坐标，根据（1）可求出tanα、tanβ的值，以及A 、B 的坐标，过C 作CD ⊥AB ，可在直角三角形ACD 中，用tanα和CD 表示出AD ，同理可表示出BD 的长，根据A 、B 的坐标可得出AB 的长，根据AD+BD=AB 即可求出CD 的长，进而可求出AD 和OD 的长，即可得出C 点坐标，代入抛物线的解析式中进行判断即可．
【课后作业】
1．如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=1
4
BD ，
若四边形AECF 为正方形，则tan ∠ABE=_________． 2．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA=sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°4．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
5．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求底角∠B的三种三角函数值．6．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（）
A．1
2
B
C
D．1
7. 如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于（）
A.OD
B.OA
C.CD
D.AB
8．在△ABC中，若│sinA-1│+
）=0，则∠C=_______度．
9．△ABC中，若
，
，则∠C=_______．
10．计算下列各题．
（1）sin230°+cos245°
sin60°·tan45°；
（2）
22
1
cos30cos60
tan60tan30
-
?+?
???
+tan60°
11．在△ABC中，若∠A，∠B满足│sinA
（cosB－1
2
）2=0，则△ABC是（）
A．等腰非等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形12．求下列各式的值：
（1）2sin30°－3cos60°+tan45°；（2）cos270°+cos45°·sin45°+sin270°；
（3）3tan30°－2tan45°+2cos30°；（4）2cos30°+5tan60°－2sin30°。
13. 已知cosα＜0.5，那么锐角α的取值范围是（）
A．60°＜α＜90° B.0°＜α＜60° C.30°＜α＜90° D.0°＜α＜30°
14. 若α
＝。
15. 计算200020
sin27sin42cos48sin63
+-+＝。
16. 若0°<α<45°，下列不等式中正确的是（）（A）cosα （C）sinα 17. 开放探索题：O D C B A （1）如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化. 试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律. （2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值和余弦值的大小. （3）比较大小（在空格处填“>”、“<”或“=”） 若?=45α，则αsin ______αcos ； 若?<45α，则αsin ______αcos ； 若α>45°，则αsin ______αcos . （4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小： sin10°、cos30°、sin50°、cos70°. 18．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点 落在1A 处，已知OA =1AB =，则点1A 的坐标是（ ） Ａ．32?????， Ｂ．3? ???? Ｃ．32? ? ? Ｄ．12? ? ? 答案： 1．1 2； 2. 5； 3. A ； 4. 125； 5. sinB=1213，cosB=513，tanB=12 5 ； 6. A ； 7. A ； 8. 60°； 9. 105°； 10. （1 ）34（2 ）1 3 11. B ； 12. （1）1 2，（2）32 ，（3 ）2，（4 ）1； 13. A ； 14. 1-sin α； 15. 1； 16. C ； 17. （1）sin α随着α的增大而增大；cos α随着α的增大而减小； （2）sin18° A 1 B 2 B 3 B 1 C 2C 3 C 图（1） 1B 2 B 3 B A C 图（2） 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.) 3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 浦东新区2016年一模数学试卷（含答案详解） （总分150） 2016 一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分） 1.如果两个相似三角形对应边之比是1:4，那么它们的对应边上的中线之比是（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA 的值为（ ） A. B. C. D. 3.如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，以下能推得DE//BC 的条件是（ ） A. AD:AB=DE:BC ； B. AD:DB=DE:BC ； C. AD:DB=AE:EC ； D. AE:AC=AD:DB. 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ） A. a ＜0，b ＜0，c ＞0； B. a ＜0，b ＜0，c ＜0； C. a ＞0，b ＞0，c ＞0； D. a ＞0，b ＞0，c ＜0. 5.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列结论中错误的是（ ） A. AC 2=AD ·AB ； B. CD 2=CA ·CB ； C. CD 2=AD ·DB ； D. BC 2=BD ·BA. 6.下列命题是真命题的是（ ） A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似； B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似； 34 35 45 43 B A C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似； D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分） 7.已知，那么 . 8.计算： . 9.上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺1:5000 000的地图上，上海与杭州的图上距离约厘米. 10.某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡向下滑行了100m，则运动员下降的垂直高度是米. 11.将抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是 . 12.二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线x=2，若此抛物线与x轴的一个交点为（6,0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 . 13.如图，已知AD是△ABC的中点，点G是△ABC的重心，，那么用向量表示向量 为 . 14.如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是 . 15.如图，直线AA 1//BB 1 //CC 1 ，如果 ,AA 1 =2，CC 1 =6，那么线段BB 1 的长为 . x y = 1 3 x x+y = 1 3 3 AB = a a AB BC = 1 3 AG 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。 上海市浦东新区2021届初三一模数学试卷 2021.01 一、选择题 1. A 、B 两地的实际距离250AB =米，如果画在地图上的距离5A B ''=厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（ ） A. 1:500 B. 1:5000 C. 500:1 D. 5000:1 2. 已知在Rt ABC △中，90C ∠=，B α∠=，2AC =，那么AB 的长等于（ ） A. 2sin α B. 2sin α C. 2cos α D. 2cos α 3. 下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. ()213y k x =-+ B. 21 1y x = + C. ()()212y x x x =+-- D. 227y x x =- 4. 已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. a e a = B. e b b = C. 1a e a = D. 11a b a b = 5. 如图，在ABC △中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果ACD B ∠=∠，DE BC ∥，EF CD ∥，下列结论不成立的是（ ） A. 2AE AF AD =? B. 2AC AD AB =? C. 2AF AE AC =? D. 2AD AF AB =? 6. 已知点()1,2A 、()2,3B 、()2,1C ，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A. 点A 、B 、C B. 点A 、B C. 点A 、C D. 点B 、C 二、填空题 7. 如果线段a 、b 满足 52a b =，那么 a b b -的值等于 ； 8. 已知线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长线段MP 的长是 ； 9. 计算：2sin30tan 45-= ； 10. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度； 11. 已知AD 、BE 是ABC △的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果3AD =，那么 AF = ； 2016学年上海市杨浦区初三一模数学试卷 一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 如果延长线段AB 到C ，使得12 BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A. 2:1 B. 2:3 C. 3:1 D. 3:2 2. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是（ ） A. 100tan α B. 100cot α C. 100sin α D. 100cos α 3. 将抛物线22(1)3y x =-+向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（ ） A. 22(1)5y x =-+ B. 22(1)1y x =-+ C. 22(1)3y x =++ D. 22(3)3y x =-+ 4. 在二次函数2y ax bx c =++中，如果0a >，0b <，0c >，那么它的图像一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列命题不一定成立的是（ ） A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B. 两个等腰直角三角形相似 C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D. 各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 6. 在△ABC 和△DEF 中，40A ?∠=，60D ?∠=，80E ?∠=， AB FD AC FE =，那么B ∠的度数是（ ） A. 40? B. 60? C. 80? D. 100? 二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 线段3cm 和4cm 的比例中项是 cm 8. 抛物线22(4)y x =+的顶点坐标是 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学上册《 二次函数》
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