高中数学主干知识与基础知识归类
一.集合与简易逻辑
集合表示－集合中的关系－集合运算，命题形式－四种命题关系－充分、必要条件 1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x
y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域。
2.集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?.②空集是任何集合的子集,记为A ??.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为
A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况，如：}012|{2
=--=x ax
x A ,如果A R +
=?
,求a 的取值.(答：0a ≤)
④()U
U U C A B C A C B = ,()U U U C A B C A C B = ；
A B C A B C = （）（）； A B C A B C = （）（）. ⑤A B A A B B =?= U U A B C B C A ????U A C B ?=? U C A B R ?= .
⑥
A B 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+- .
⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n
；真子集(非空子集)个数为2
1n
-；非空真子集个数为22n
-.
3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如：已知函数
12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c
,使
0)(>c f ,求实数p
的取值范围.(答：32
(3,
)-)
4.原命题: p q ?；逆命题: q p ?；否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的.如：“β
αsin sin ≠”
是“β
α
≠”的 条件.(答：充分非必要条件)
5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).
6.注意命题p q
?的否定形式与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定形式是p q ??；否命题是p q ???.命题“
p 或q ”的否定是“p
?且q ?”；“
p 且q ”的否定是“p ?或q ?”.
如：“若a 和b 都是偶数，则b a
+是偶数”的否命题是“若a
和b 不都是偶数,则b a
+是奇数”
否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”.
7.常见结论的否定形式
二.函数
函数概念－函数图象－函数性态（定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、对称性、周期性）－特殊函数图象与性质－应用（内部应用、应用题） 1.①映射f
:
A B
→是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合
A 中的元素必有象且A 中不
同元素在
B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?).
②一一映射f :
A B
→： ⑴“一对一”的对应；⑵
A 中不同元素的象必不同,
B 中元素都有原象.
2.函数
f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共
点可能没有,也可能有任意个.
3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.
4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠
;偶次根式被开方数非负;对数真数0
>,底数0
>且1≠
；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若
()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义域由()a g x b ≤≤解出；若
[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的
值域.
5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围).④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法；⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域；⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).
6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法；
⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。
7.函数的奇偶性和单调性
⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=；
定义域含零的奇函数必过原点(
(0)0f =)；
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
()()0f x f x ±-=或
()()
1(()0)f x f x f x -=±≠；
注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个
(如
()0f x =定义域关于原点对称即可).
⑸奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数
12
2
log (2)y x x =-+的单调递增区间是_____________.(答：(1,2))
8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对x 而言）； 上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑵翻折变换：()|()|f x f x →；()(||)f x f x →.⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即
证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.
②证明图像
1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线
x =(
y
轴)对称；函数
()
y f x =与函数
()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称； ⑤若
()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2
a b x +=对称；
⑥函数
()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2
b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；
⑦函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =
对称(由
()()
2
f x A f x y +-=
确定)；
⑧函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点2
2
(,)m n
对称；
⑨函数
()y f x =与函数1
()y f
x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于
y x a =+（或y x a =-+）的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；
曲线1C ：
(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=.
9.函数的周期性：⑴若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；
⑵若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ； ⑶若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ； ⑷若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；
⑸()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -； ⑹
()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()
()f x f x a +=-
,则
()y f x =的周期为2||a ；
10.对数：⑴log log n
n
a a
b b =(0,1,0,)a a b n R +
>≠>∈；⑵对数恒等式log (0,1,0)a N
a
N a a N =>≠>；
⑶log ()log log ;log log log ;log log n
a a a a a a a a M N
M
N M N M N M
n M ?=+=-=；
1
log log a
a n
M =
；⑷对数换底公式log log log b b a N a
N =
(0,1,0,1)a a b b >≠>≠；
推论：121123log log log 1log log log log n a b c a a a n a n b c a a a a a -??=????= .
(以上
120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠> 且12,,n a a a 均不等于1)
11.方程()k
f x =有解k D ?∈(D 为()f x 的值域)；()a f x ≥恒成立[()]a f x ?≥最大值,
()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值.
12.恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法(最值法)； ⑵转化为一元二次方程根的分布问题； 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系； 14.二次函数解析式的三种形式： ①一般式：
2
()(0)f x ax bx c a =++≠；②顶点式：
2
()()(0)f x a x h k a =-+≠； ③零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式()a g x ≤b ≤解出；若[()]f g x 的定
义域为[,]a b ,求
()f x 的定义域，相当于[,]x a b ∈时,求()g x 的值域；⑵复合函数的单调性由“同增异减”判定.
17.对于反函数,应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数 也是奇函数；⑶定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数； ⑸互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；⑹()y f x =与1
()y f
x -=互为
反函数,设
()f x 的定义域为A ,值域为B ,则有1
[()]()f f
x x x B -=∈,1
[()]()f f x x x A -=∈.
18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
()()()0f u g x u h x =+≥(或0≤)()a u b ≤≤()0
()0f a f b ≥???
≥?
(或()0()0f a f b ≤??≤?)；
19.函数(0,)ax b cx d
y c ad bc ++=≠≠的图像是双曲线：①两渐近线分别直线d c
x =-(由分母为零确定)和
直线a
c
y =
(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c
c
-
；③反函数为b dx cx a
y --=；
20.函数
(0,0)b x
y ax a b =+
>>
：增区间为(,)-∞+∞,
减区间为[0),(0-.
如：已知函数12
()ax x f x ++=
在区间(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是_____(答：12
(
,)+∞).
三.数列
数列概念－数列通项、前n 项和－特殊数列的通项、前n 项和及性质－应用（内部应用、应用题）
1.由n S 求
n
a ,
1*
1(1)
(2,)
n n n S n a S S n n N -=??=?-≥∈?? 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}n a 满足11153
4,n n n a S S a ++=+=
，求n a (答：{
1
4(1)
34(2)
n n n a n -==
?≥). 2.等差数列1{}
n n n a a a d -?-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-?=+≥∈
2
112
2
(,)(,)n n d d a an b a d b a d S An Bn A B a ?=+==-?=+=
=-
；
3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m n
d --=
；
②m n l k m
n l k a a a a +=+?+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；
③若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n
n ka tb +(k 、t 是非零常数)是等差数列；
④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S -- 仍是等差数列；
⑤等差数列{}n a ,当项数为2n 时,S S nd -=偶
奇,1
n n S a S
a +=奇偶
；项数为21n -时,
(*)n S S a a n N -==∈偶中奇,21(21)n n S n a -=-,且1
S n S
n =
-奇偶
；
()(21)n n n
n
A a
B b f n f n =?
=-.
⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式
100n n a a +≥??≤?(或100
n n a a +≤??
≥?).也可用2
n S An Bn =+的二次函数关系来分析. ⑦若,()n m a m a n m n ==≠,则0m n a +=；若,()n m S m S n m n ==≠,则()m n S m n +=-+；
若
()m n S S m n =≠,则S m +n =0；S 3m =3(S 2m －S m )；m n m n S S S mnd +=++.
4.等比数列121
111{}
(0)(2,*)n n n n n n n n a a a q q a a a n n N a a q
+--+?
=≠?=≥∈?=.
5.等比数列的性质 ①n m
n
m a a q
-=
,n q =
{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n
a b 等也是等比数列；
③111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n
n q q a a a a a q q q
q na q na q S q q q ------==????==??-+≠=≠????；④m n l m n l k a a a a +=+?=(反之不一定成立)；
m
n
m n m n n m S S q S S q S +=+=+. ⑤等比数列中232,,,m m m m m S S S S S -- (注：各项均不为0)仍是等比数列. ⑥等比数列{}n a 当项数为2n 时,
S S
q =偶奇
；项数为21n -时,
1
S
a S
q -=奇
偶
.
6.①如果数列{}n a 是等差数列,则数列{}n
a A (n
a A
总有意义)是等比数列；如果数列{}n a 是等比数列,则数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠是等差数
列；
②若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列；
③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列
和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项；
④三个数成等差的设法：,,a d a a d -+；四个数成等差的设法：3,,,3a d a d a d a d --++；
三个数成等比的设法：
,,a q
a aq ；四个数成等比的错误设法：3
3
,
,,a a q
q
aq aq (为什么？)
7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.
1
-
1
1
sin cos αα
-1
-
-sin cos αα+⑵已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a 用作差法：11,(1)
,(2)
n
n n S n a S S n -=?=?
-≥?. ⑶已知12()n a a a f n ???= 求n a 用作商法：()(1)
(1),(1),(2)
n f n f n f n a n -=??
=?≥??.
⑷若1
()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知
1
()n n
a a f n +=,求n a 用迭乘法.
⑹已知数列递推式求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)：①形如1n
n a ka b -=+,1n
n n a ka b -=+,
1n n a ka a n b -=+?+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a .②形如11n n n a ka b
a --+=
的递推数列都
可以用 “取倒数法”求通项.
8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.公式：
1
2
123(1)n n n ++++=+ ；
2222
16
123(1)(21)
n n n n ++++=
++ ；
3333
2
(1)
2
123[
]
n n n +++++= ；
2
135n n ++++= ；常见裂项公式
111(1)
1
n n n
n ++=
-
；
1111()
(
)n n k k
n
n k
++=
-
；
1
1
1
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]n n n n n n n -++++=
-
；
11(1)!
!
(1)!
n n n n ++
=
-
。常见放缩公式：2
12
=
<
=.
9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题
⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
⑵利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为：
(1)
2
(1)(12)(1)(
)
n n n S p r p r p
nr p n r
+=+++++=+ (等差数列问题）；
②复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p
元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此
下去,分n 期还清.如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款
x 元应满足：1
2
(1)(1)
(1)
(1)n
n n p r x r x r x r x --+=+++++++ (等比数列问题).
四.三角函数 1.α终边与θ
终边相同
2()k k Z αθπ?=+∈；α终边与θ终边共线()k k Z αθπ?=+∈；α终边与θ终边关于x 轴对称
()k k Z αθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ?=-+∈；α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ?=++∈；α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ?=-+∈.
2.弧长公式：||l
r θ=；扇形面积公式：2
112
2
||S lr r θ=
=
扇形；1弧度(1rad )≈57.3?.
3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.
注意： tan15cot 752?=?
=-；tan75cot152?=?=+
4.三角函数同角关系中(八块图)
sin cos x x ±、sin cos x x ?”的关系.
如2
(sin
cos )12sin cos x x x x ±=±等.
5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)．
6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：()α
αββ=+-；2()()ααβαβ=++-；2()()αβαβα=+--；2
2αβ
αβ++=?
； 2
2
2
()(
)αββααβ+=-
--等；
“1”的变换：22
1sin cos tan cot 2sin 30tan 45x x x x =+=?=?=?； 7.重要结
论：sin cos )a x b x x ?+=
+其中t a n b a
?=
）；重要公式2
2cos 1sin 2α
α-=
；
2
cos α=
1cos 22
α
+；
sin 1cos 2
1cos sin tan
αααα
α
-+
=
=
；2
2|cos
sin
|θ
θ
±.
万能公式：2
2tan 1tan sin 2αα
α+=
；2
2
1tan 1tan cos 2αα
α
-+=
；2
2tan 1tan tan
2αα
α-=
.
8.正弦型曲线
sin()y A x ω?=+的对称轴2
()k x k Z ππ?
ω
+
-=
∈；对称中心(
,0)()k k Z π?
ω
-∈；
余弦型曲线
cos()y A x ω?=+的对称轴()k x k Z π?
ω
-=
∈；对称中心2
(
,0)()k k Z ππ?
ω
+
-∈；
9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：
sin sin sin 2a b c A
B
C
R =
=
=；
余弦定理：2
2
2
22
2
2
2
()222cos ,cos 1b
c
a
b c a
bc
bc
a b c bc A A +-+-=+-=
=
-；
正弦平方差公式：2
2
sin
sin sin()sin()A B A B A B -=+-；三角形的内切圆半径2ABC S a b c
r ?++=
；
面积公式：
12
4sin abc R
S ab C ?=
=
；射影定理：cos cos a b C c B =+.
10.ABC ?中,易得：A B C π++=,①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+.
②2
2
sin
cos
A B C +=,2
2
cos
sin
A B C +=,2
2
tan
cot
A B C +=. ③sin sin a b A B A B >?>?>
④锐角ABC ?中,2
A B π+>
,sin
cos ,cos cos A B A B ><,222a b c +>,类比得钝角ABC ?结论.
⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=. 11.角的范围：异面直线所成角2
(0,
]π；直线与平面所成角2
[0,
]π；二面角和两向量的夹角[0,]π；直线的倾斜角[0,)π；1l 到2l 的角[0,)π；1l 与
2l 的夹角2
(0,]π
.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
五.平面向量
向量概念－向量的表示－向量运算及其几何意义－应用：作为工具，解决几何问题、三角问题等，关键是“线段向量化”
1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = . (1)1221//0a b x y x y ?-= ；(2)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
.
2.平面向量基本定理：如果
1
e 和
2
e 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量
a
,有且只有一对实数
1λ、2
λ,使
1122a e e λλ=+ .
3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ?==+ ；其几何意义是a b ? 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；a
在b
的方向上的投影||cos ||a b
a b θ?==
4.三点A 、B 、C 共线AB ? 与AC 共线；与AB 共线的单位向量||
AB
AB ±
.
5.平面向量数量积性质：设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,
则cos ||||a b
a b θ?==
；注意:,a b ?? 为锐角0a b ??> ,,a b
不同向；,a b ?? 为直角0a b ??= ；,a b ?? 为钝角0a b ??<
,,a b 不反向.
6.a b ? 同向或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-
；a b ? 反向或有0
||||||||||||a b a b a b a b ?-=+≥-=+ ；a b ? 不共线||||||||||a b a b a b ?-<±<+
.
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212a b x x y y ?=+
；
||AB = ⑵若(,)a x y =
,则222
a a a x y =?=+ . 8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点
P 在线段21P P 上时,0λ>；当点P 在线段21P P (或12P P )延长线上时,1λ<-或10λ-<<.②
分点坐标公式：若12P P PP λ=
；且1
11(,)P x y ,(,)P x y 222(,)P x y ； 则
121211(1)x x y y x y λλ
λλλ++++?
=??≠-??=??
, 中点坐标公式：
12122
2(1)x x y y x y λ++?
=??=??=??. ③1
P ,P ,2P 三点共线?存在实数λ、μ使得12O P O P O P λμ=+
且1λμ+=. 9.三角形中向量性质：①AB AC +
过B C 边的中点：||
||
||
||
()()AB AC AB AC
AB AC AB AC +⊥- ；
②13
()0PG PA PB PC G A G B G C G =++?++=?
为ABC ?的重心；
③PA PB PB PC PA PC P ?=?=??
为ABC ?的垂心；
④||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=? 为ABC ?的内心；||
||
(0)AB AC
AB AC λλ+≠
所在直线过ABC ?内心. ⑤设
1122
(,),(,)A x y B x y , 1
2AO B A B B A S x y x
y ?=
-. 1||||sin 2
ABC S AB AC A ?==
⑥O 为A B C ?内一点,则0BO C AO C AO B S O A S O B S O C ???++=
.
10.(,)(,)(,)a h k P x y P x y ='''?????→
按平移
,有x x h y y k
'=+??
'=+?(PP a '= )；(,)()()a h k y f x y k f x h ==?????→-=- 按平移
.
六.不等式
不等式的基本性质－几个重要不等式－不等式的证明－几类不等式的解法－应用（内部应用、应用题） 1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：
①若0ab >,b
a
>,则
1
1
a b
>
.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若0
,
>b a ,
22
11a b a b
++≥≥
(当且仅当b
a =时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ”，
常用的方法为：拆、凑、平方等；(2),,a b c R ∈
，
2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)；(3)公式注意变形如：
2
2
2
2
2
(
)a
b a b ++≥,2
2
(
)a b ab +≤；(4)若
0,0a b m >>>,则
b b m a
a m
++<
(真分数的性质)；
4.含绝对值不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+≥-=-；,a b 异号或有0
||||||||||||a b a b a b a b ?-=+≥-=+.
5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：0A B A B -≤?≤.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；⑵综合法：
由因导果；⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有：①添加或
舍去一些项,如：
|
|a ；
n >.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本
不等式,如：
(1)
2
n n ++
.④利用常用结论：0
1
11
-=<
；0
2
2
11111111
(1)(1)1
k
k k k
k
k k
k k
++---
=
<
<
=
-
(程度
大)；0
3
2
2
11
1
1
1121
1
(
)k
k
k k --+<
=
-
(程度小)；
⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.如：知
222
x y a +=,可设
co s ,sin x a y a θθ==；知22
1x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ=(01r ≤≤)；知
222
2
1x y a
b
+
=,可设cos ,sin x a y b θθ==；已
知222
2
1x y a
b
-
=,可设sec ,tan x a y b θθ==.
⑺最值法,如：()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则()a f x <
七.直线和圆的方程
直线、圆的方程－直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系－ 曲线与方程－应用
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π）；
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2
tan ()k
παα=≠
(如右图)：
3.直线方程五种形式：⑴点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k
，则直线
方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式：已知直线在y
轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为
y kx b =+,它不包
括垂直于
x 轴的直线. ⑶两点式：已知直线经过
111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为
1121
21
y y x x y y x x ----=
,它不包括垂直于坐标轴的直线.
⑷截距式：已知直线在x 轴和
y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1x y a
b
+=,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写
成
0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.
提醒：⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两
截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等? 直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.
4.直线1
111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： ⑴平行?12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距)；
⑵相交?
12210A B A B -≠；(3)重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=.
5.直线系方程：①过两直线
1
l ：
1110A x B y C ++=,2l ：2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为
111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=；②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为
0()Ax By m m c ++=≠；③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.
6.到角和夹角公式：⑴1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线
2l 重合所转的角θ,(0,)θπ∈且2112
121tan (1)k k k k k k θ-+=
≠-；
⑵1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2
,(0,
]πθθ∈且2112
121tan |
|(1)k k k k k k θ-+=≠-.
7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =
；
两条平行线
10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离是d =
8.设三角形ABC ?三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123
(
,)33
x x x y y y G ++++；
9.有关对称的一些结论 ⑴点(,)a b 关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =的对称点分别是(,)a b -,(,)a b -,(,)a b --,(,)b a .
⑵曲线(,)0f x y =关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点(,)a b ：(2,2)0f a x b y --=；
②
x 轴：(,)0f x y -=；③y 轴：(,)0f x y -=；④原点：(,)0f x y --=；⑤直线y x =：
(,)0f y x =；⑥直线y x =-：(,)0f y x --=；⑦直线x a =：(2,)0f a x y -=.
10.⑴圆的标准方程：222
()()x
a y
b r -+-=. ⑵圆的一般方程：
2
2
2
2
0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.特别提醒：只有当22
40D E F +->时,方程
2
2
0x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为2
2
(,)D E -
-
,的圆(二元二次方程
22
0Ax Bxy C y D x Ey F +++++=表示圆0A C ?=≠,且2
2
0,40B D E AF =+->).
⑶圆的参数方程：
cos sin x a r y b r θ
θ=+??
=+?
(θ为参数),其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程主要应用是三角换元：
2
2
2
cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==； 2
2
2
cos ,sin (0x y t x r y r r θθ+=→==≤≤
.
⑷以
11(,)A x y 、22(,)B x y 为直径的圆的方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；
11.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,
)P x y 及圆的方程
2
2
2
()()x a y b r -+-=.①2
2
2
00()()x a y b r -+->?点P 在圆外；
②2220
0()()x a y b r -+-
2
2
00()()x a y b r -+-=?点P 在圆上.
12.圆上一点的切线方程：点00(,)P x y 在圆2
2
2
x y r +=上,则过点P 的切线方程为：2
00x x y y r +=；
过圆2
2
2
()()x
a y
b r -+-=上一点00(,)P x y 切线方程为2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=.
13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x 轴垂直的直线.
14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①d r >?相离 ②d r =?相切 ③d r
15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R ：d R r >+?两圆相离；
d R r =+?两圆相外切； ||R r d R r -<<+?两圆相交；||d R r =-?两圆相内切； ||d R r <-?两圆内含；0d =?两圆同心.
16.过圆
1C ：221110x y D x E y F ++++=,2C ：22
2220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)系方程为
2
2
2
2
11
1
222
()()0x y D x E y F x y D x E y F λ++++++
+++=.1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
18.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.
八.圆锥曲线方程
1.椭圆焦半径公式：设
00(,)P x y 为椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,则
1020,PF a ex PF a ex =+=-(“左加右减”)；
2.双曲线焦半径：设00(,
)P x y 为双曲线
222
2
1(0,0)x
y
a b a b
-
=>>上任一点,焦点为1(,0)F c -,2(,0)F c ,
则：⑴当P 点在右支上时,1020||,||PF a ex PF a ex =+=-+；⑵当P 点在左支上时,10||PF a ex =--,20||PF a ex =-；(e 为离心率).
另：双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的渐近线方程为
222
2
0x y a
b
-
=.
3.抛物线焦半径公式：设00(,)P x y 为抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点,F 为焦点,则
02
||p PF x =+
；
2
2(0)y px p =->上任意一点,F 为焦点，则02||p PF x =-+
.
4.共渐近线
b
a
y x =±
的双曲线标准方程为
2
2
22x
y
a b
λ-=(λ为参数,0λ≠). 5.两个常见的曲线系方程： ⑴过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是
12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
2
2
2
1x
y
a k
b k
+
=--,其中
2
2
max{,}k a b <.当2
2
min{,}k a b <时,表示椭圆；当2
2
2
2
min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.
6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
或12|AB x x =-
12]|y y =
=
-(弦端点112
2(,),(,)A x y B x y ,由方程(,)0y kxc b
F x y =+??
=?
消去y 得到02
=++c bx ax
,0?>,k
为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想； 7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为2
2b a
,焦准距为
2
b
c
p =
,抛物线的通径为2p ,焦准距为p ；
双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的焦点到渐近线的距离为b ；
8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为2
2
1Ax By +=(对于椭圆0,0A B >>)；
9.抛物线2
2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）为A B
,
11(,)A x y 、22(,)B x y ,则有如下结论：
⑴12|
|AB x x p =++；⑵2
124
p
x x =
,
2
12y y p =-； ⑶1
1
2||||
p
A F
B F +=
.
10.椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.
11.对于
2
2(0)y px p =≠抛物线上的点的坐标可设为2
0(
,)2y y p
,以简化计算.
12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆
222
2
1x y a
b
+
=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率
2
02
b x k a y =-
；在双曲线
222
2
1x y a
b
-
=中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线斜率2
02
b x k a y =
；在抛物线2
2(0)y
px p =>中,以00(,)P x y 为中点
的弦所在直线的斜率0
p y k =
.
13.求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立
x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法).⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,
可考虑将
x 、y
均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
14.解析几何与向量综合的有关结论： ⑴给出直线的方向向量(1,)u k =
或(,)u m n =
.等于已知直线的斜率k 或n m
；
⑵给出OB
OA
+与
AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点；
⑶给出0
=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
⑷给出()AP AQ BP BQ λ+=+
,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;
⑸给出以下情形之一： ①AC AB //； ②存在实数λ,使AB AC λ=
； ③若存在实数,αβ,
且1αβ+=；使O C O A O B αβ=+
,等于已知C B A ,,三点共线.
⑹给出1O A O B
O P λλ
++= ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即PB AP λ=
⑺给出
0=?MB MA ,等于已知MB
MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB
∠是钝角或反向共线,给出
0>=?m MB MA ,等于已知AMB
∠是锐角或同向共线.
⑻给出||
||
()M A
M B
M A M B M P λ+=
,等于已知MP 是AMB ∠的平分线.
⑼在平行四边形
ABCD
中,给出0)()(=-?+AD AB AD AB ,等于已知ABCD
是菱形.
⑽在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-
,等于已知ABCD 是矩形.
⑾在ABC ?中,给出2
2
2
OC OB
OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心(三角形的外心是外接圆的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点).
⑿在ABC ?中,给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点).
⒀在ABC ?中,给出OA
OC OC OB OB OA ?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点).
⒁在ABC ?中,给出+=OA OP ||||
()AB
AC
AB AC λ+
)(+
∈R λ等于已知AP
通过ABC ?的内心.
⒂在ABC ?中,给出,0=?+?+?OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ?的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线
的交点).
⒃在ABC ?中,给出12
()AD AB AC =+
,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线.
（一）椭圆
1. 椭圆的定义 (1) 符号语言形式
定义：|M F 1||M F 2| 2a >|F 1F 2| (M 为动点，F 1、F 2为定点，a 为常数) (2) 文字语言形式
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 注意：|2a |>|F 1F 2|非常重要，这是因为，当|2a | |F 1F 2|时，其轨迹为线段F 1F 2；当|2a |<|F 1F 2|时，其轨迹不存在。
(1) 标准方程中的常数b 源于b 2 a 2c 2
，常数a 和b 决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形．．
条件。 (2) 焦点F 1(c ,0)、F 2(c ,0)的位置，是椭圆的定位．．条件，它决定椭圆标准方程的类型。也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型
(3) 任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式。当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。
如：已知椭圆
19
16
=+
的左、右焦点分别为1F 、F 2
，点P 在椭圆上，若P 、F 1
、F 2
是一个直角三角形的三个顶点，求点P 到x
轴的距离。(注意∠F 1PF 2是不
可能取到直角的！)
5. 弦长公式：
||11||1212
212
y y k
x x k
AB -+
=
-+=
注意：使用弦长公式的前提：(1) 直线斜率要存在；(2) 直线方程与曲线方程联立后，?>0。 6. 点差法(常用于解决有关“弦”、“中点”问题，但要注意验证“?”)
如：给定双曲线
12
2
2
=-
y
x ，过点B (1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1
、Q 2
两点，且点B 是线段Q 1
Q 2
的中点。这样的直线如果存在，求出它的方程；
如果不存在，说明理由。
（二）、双曲线 1. 双曲线的定义 (1) 符号语言形式：
a
MF MF 2||||21=-< |F 1F 2| (M 为动点，F 1、F 2为定点，a 为常数)
(2) 文字语言形式：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点M 的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，|F 1F 2| 2c 。
若2a >|F 1F 2|，则M 点无轨迹；若2a |F 1F 2|，则M 点的轨迹以焦点F 1、F 2为端点 (向两端出发)的两条射线。
双曲线上的点的坐标(x ,y )都满足双曲线上的点的坐标(x 轴对称、y 轴对称，关于原点中心对称；轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。A 1(a ,0)、A 2(a ,0) A 1(0,a )、叫做双曲线的实轴，实轴长|A 1A 2| ②双曲线的焦点永远在实轴上。
B 1(0,b )、B 2(0,b ) B 1(b ,0)、线段称为双曲线的虚轴，虚轴长|B 1B 2| 2b 。
b (1)2
ABF C ? 4a 2m (AB 是过焦点的弦(与双曲线交于一支)且|AB | m )；
(2)
2
2
21α
ctg
b S F PF =?；
4. 等轴双曲线
实轴、长轴长相等的双曲线称为等轴双曲线。焦点在x 轴上，标准方程为x 2y 2 a 2 (a ≠0)；焦点在y 轴上，标准方程为y 2x 2 a 2 (a ≠0)。其渐近线方程为y ±x 。
以坐标轴为渐近线的双曲线方程为xy m (m ≠0)。
等轴双曲线42
c
xy =的两条渐近线x 0和y 0，若|F 1F 2
| 2c ，则???? ??--c c F 22,221、????
??c c F 22,2
22。
（三）、抛物线 1. 抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (点．F ．不在定直线．．．．．l ．上．)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 2. F 1 F 2 B 1 B 2 M O
A 1
H 1
x
y
H 2
A 2
x
a b -
=
y =
c
x -
=c x =B 1 B 2 O
A 1
A 2
F 2
F 1
x y x
b
-
=
x
b
y =
y y
3. 已知抛物线y 2 2px (p >0)，过焦点F 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，则x 1?x 2
4
2
p
，y 1?y 2 p 2，x 1?x 2y 1?y 2 4
32
p -
(即OB
OA ?)。
九.直线、平面、简单几何体
平面基本性质－空间的平行关系－空间的垂直关系－求空间的几何量（角、距、面积、体积）－解立几问题方法：几何法、向量法 1.从一点O 出发的三条射线O A 、O B 、O C .若AO B AO C ∠=∠,则点
A 在平面BO C 上的射影在BO C ∠的平分线上；
2.立平斜三角余弦公式：(图略)AB 和平面所成的角是1θ,A C 在平面内,A C 和AB 的射影1AB 成2θ,设3BAC θ∠=,则
12
3cos cos cos θθ
θ=；
3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线.⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.
5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式cos S S θ=射
斜
其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂，然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,
一般用三垂线定理作出垂线再求解.
⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,
确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.
7.用向量方法求空间角和距离：⑴求异面直线所成的角：设a
、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角||
||||
arccos a b
a b α??=
.
⑵求线面角：设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面
α的法向量,则斜线l 与平面α所成的角||
||||
arcsin l n l n α??=
. ⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内 b l ⊥ ,其方向如图(略),则二面角l αβ--的平面角||||
arccos a b
a b α??=
.(法二)设1n ,2n 是二面角 l αβ
--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l α
β--的平面
角1
2
1
2
||||
arccos n n
n n α
??=
.（4)求点面距离：设n
是平面α
的法向量,在α内取一点
B ,则A 到α的距离
||
|||cos |||
AB n d AB n θ?==
(即AB 在n 方向上投影的绝对值). 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为θ,则cos S S θ=侧底.
9.正四面体(设棱长为a )的性质： ①全面积
2
S =；②体积3
12
V =
；③对棱间的距离2
d a =
；④相邻面所成二面角13
arccos
α=；
⑤外接球半径
4
R a =
；⑥内切球半径12
r =；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3
h =.
10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体O ABC - 中,,,O A O B O C 两两垂直,令,,O A a O B b O C c ===,则⑴底面三角形A B C 为锐角三角形；
⑵直角顶点O 在底面的射影
H 为三角形A B C 的垂心；⑶2
BO C BH C ABC S S S ???= ；
⑷
2222
AO B BO C C O A ABC
S S S S ????++=；⑸
2
2
2
2
1
111O H
a
b
c
=
+
+
；⑹外接球半径R =
11.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长； 13.球的体积公式3
43
V R
π=,表面积公式2
4S
R π=；掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
十.排列组合和概率、统计
计数原理－排列组合－二项式定理－概率与计算－统计－应用（应用题） 1.排列数公式:!!()!
(1)(1)(,,*)m
n n m n m A n n n m m n m n N -=--+=
≤∈ ,当m n =时为全排列!n
n A n =.
2.组合数公式：(1)(1)()!
(1)(2)321
m
m
n
n
A n n n m C
m n m m m m ?-???--=
=
≤?-?-?????,01n
n n C C ==.
3.组合数性质：m
n m
n
n
C C -=；1
1r
r r
n n
n C C C -++=.
4.排列组合主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)； ③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n 组问题别忘除以!n .
5.常用性质：!(1)!!n n n n ?=
+-；即11n
n n
n n n nA A A ++=-；1
11(1)r
r
r
r r r n n C C C C r n +++++???+=≤≤；
6.二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：1
(0,1,2,...,)r
n r
r
r n T C a
b r n -+==；
⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别.
7.二项式系数具有下列性质：⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若n 为偶数,中间一项 (第
2
1n +项)的二项式系数最大；若n 为奇数,中间两项(第
12
1n -+和
12
1n ++项)的二项式系数最大.⑶0122n n
n n n n C C C C +++???+=；
2
1
3
1
2
n n n n n C C C C -++???=++???=.
8.二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和如
()()n
f x ax b =+展开式的
各项系数和为
(1)f ,奇数项系数和为
12
[(1)(1)]f f --,偶数项的系数和为12
[(1)(1)]f f +-.
9.等可能事件的概率公式：⑴()
n m
P A =
； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为：
()P A B +=
()()P A P B +；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；⑷独立重复试验概率公式()(1)k
k
n k
n n P k C p p -=-；⑸如果事件A
与
B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件；⑹如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是
1()1()()P AB P A P B -=-；
（6）如果事件A 与B 相互独立，那么事件A 与B 至少有一个发生的概率是1()1()()P A B P A P B -?=-. 10.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数
121
11()n n
i i x n
n
x x x x =∑=
++???+=
去估计总体平均数；⑵会用样本方差2
22
121[()()n
S
x x x x =
-+-+
2
2
221
1
11()]()()n
n
n i i i i n
n
x x x x x nx ==∑∑???+
-=-=
-去估计总体方差2
σ
及总体标准差；⑶学会用修正的
样本方差*2
2
2
2
1211
[()()()]n n S
x x x x x x -=
-+-+???+-去估计总体方差2
σ
,会用*S 去估计σ
.
第十一章 复数初步
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.
2.熟练掌握与灵活运用以下结论：⑴a bi c di a c +=+?=且(,,,)c d a b c d R =∈；⑵复数是
实数的条件：①0(,)z a bi R b a b R =+∈?=∈；②z R z z ∈?=；③2
0z R z ∈?≥.
3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ?=且0(,)b a b R ≠∈； ②z 是纯虚数
0(0)z z z ?+=≠；③z 是纯虚数2
0z ?<.
4.⑴复数的代数形式：z a bi =+；⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设1z a bi =+, 2(,,,)z c di a b c d R =+∈,则12()()z z a c b d i +=+++,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++,
1
22
2
2
2
2
(0)
z ac bd bc ad i z z c d
c d
+-=
+
≠++.
5. 重要结论：
2
2
z z
z z ==?；
6. 运算律：(1)∈=?==?+n m z z z z z
z z
z
z m
m
m
mn
n
m
n
m n m
,())(3())(2(2121；；N)；
7. 注意以下结论的灵活应用： (1)i i 2)
1(2
±=±； (2)
i i
i =-+11；
(3)
i i
i -=+-11；
(4)i i
i
i i
i
k k k k
-=-===+++3
42
41
4411，，，；
(5)03
2
1
=++++++n n n n
i i
i i ；
(6)13
2
1
-=???+++n n n n
i i
i
i ；
(7)
i ai
b bi a =-+(a 、b ∈R)；
(8)
i ai
b bi a -=+-+(a 、b ∈R)
8. 实系数一元二次方程02
=++c bx ax (a ≠0)的解
?>0：a
ac b b x
242
2
,1-±
-=
；? 0：a
b x x 221-
==；?<0：
a
i b ac b x 242
2,1-±
-=
(1) 无论?>0、? 0、?<0，韦达定理(根与系数的关系)均适用； (2) 求||21x x -，可以通过|4)(||)(|||212
212
212
21x x x x x x x x -+=-=-来解决；
如：已知关于x 的方程x 2mx 1 0的两根分别为x 1、x 2，且满足|x 1x 2| 1，求实数m 。(如果条件改为两个“虚根”又如何求解？)
(3) 求||||21x x +，可通过如下方法解决： ①当实根时，……
②当虚根时，21211212||2||2||||x x x x x x ===+。 如：已知关于x 的方程3x 26(m 1)x m 26 0的两根为x 1、x 2，满足|x 1||x 2| 4，求实数m 的值。
十三.极限
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明(注意步骤,两步缺一不可).
2.数列极限：⑴掌握数列极限的运算法则,注意其适用条件：一是数列{}n a ,{}n b 的极限都存在；二 是仅适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积),应先求和(或积),再求极限. ⑵常用的几个数列极限：C C n =∞
→lim (C 为常数)；1lim
0n n
→∞
=,0lim =∞
→n
n q
(||1q <,q 为常数).
⑶无穷递缩等比数列各项和公式11lim n n a q
S S →∞
-==
(0||1q <<).
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ， 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度， 直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 （答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角，则2 α 是第_____象限角 （答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
数学基础知识大全 常用的数量关系式 1.每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2.倍数×1倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3.速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4.单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5. 被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 6. 被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 7. 加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 8.因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9.工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率
小学数学图形计算公式 1.正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2.正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3.长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4.长方体(V:体积s:面积a:长b: 宽h:高) (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 三角形高=面积×2÷底h=2s÷a 三角形底=面积×2÷高a=2s÷h 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7.梯形(s：面积a：上底b：下底h：高) 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8.圆形(S:面积C:周长л d:直径r:半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×лs=лrr 9.圆柱体(v:体积h:高s：底面积r:底面半 径c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高
数学必修一基础要点归纳 第一章 集合与函数的概念 一、集合的概念与运算： 1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性、互异性、无序性；集合的表示法 有：列举法、描述法、文氏图等。 2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。 ②数集：{ } 2 2y y x =- 点集： (){},1x y x y += 3、子集与真子集：若x A ∈则x B ∈?A B ? 若A B ?但A ≠B ?A B 若{}123,n A a a a a =，，，则它的子集个数为2n 个 4、集合的运算：①{}A B x x A x B =∈∈且，若A B A =则A B ? ②{}A B x x A x B =∈∈或，若A B A =则B A ? ③ {} U C A x x U x A =∈?但 5、映射：对于集合A 中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B 中都有唯一的元素b 与 之对应，则称:f A B →为A 到的映射，其中a 叫做b 的原象，b 叫a 的象。 二、函数的概念及函数的性质： 1、函数的概念：对于非空的数集A 与B ，我们称映射:f A B →为函数，记作()y f x =， 其中,x A y B ∈∈,集合A 即是函数的定义域，值域是B 的子集。定义域、值域、对应法则称为函数的三要素。 2、 函数的性质： ⑴ 定义域：0 1 简单函数的定义域：使函数有意义的x 的取值范围，例： 25y x =- 的定义域为：25053302x x x ->??<? 2 复合函数的定义域：若()y f x =的定义域为[),x a b ∈，则复合函数 ()y f g x =????的定义域为不等式()a g x b ≤<的解集。 0 3 实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
高中数学 知识必背手册 目录 复数 ............................................................................................................................................. - 1 -集合与逻辑.................................................................................................................................. - 2 -三角学部分.................................................................................................................................. - 4 -数列部分...................................................................................................................................... - 8 -立体几何部分............................................................................................................................ - 11 -统计与概率................................................................................................................................ - 24 -解析几何必背公式.................................................................................................................... - 26 -导数必背知识清单.................................................................................................................... - 29 -平面向量.................................................................................................................................... - 30 -
第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定 ① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④| |2:)cos(),sin(ωπ ?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； (3)与周期有关的结论 )()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2； 8．基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：α x y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =； ⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02 =++c bx ax ； ⑻其它常用函数： ① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x a x y ； 9．二次函数： ⑴解析式： ①一般式：c bx ax x f ++=2 )(；②顶点式：k h x a x f +-=2 )()(，),(k h 为顶点；
高考文科数学的答题技巧总结 适当多做题,养成良好的解题习惯 要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路.刚开始要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,再找一些课外的习题,以帮助开拓思路,提高自己的分析、解决能力,掌握一般的解题规律.对于一些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在,以便及时更正.在平时要养成良好的解题习惯.让自己的精力高度集中,使大脑兴奋,思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用自如.实践证明：越到关键时候,你所表现的解题习惯与平时练习无异.如果平时解题时随便、粗心、大意等,往往在大考中充分暴露,故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的. 合理分配时间 1、文科数学就是和时间的斗争。高考文科数学试卷一发下来后，首先把全部问题看一遍。找出其中看上去最容易解答的题，然后假定步骤，思考怎么样的顺序解题才最好。 2、切忌不看题目盲目背题，要仔细审题，清楚题目要求你解决什么问题，然后有条不紊迅速解题，提高准确率。 3、解题格式要规范，重点步骤要突出。 4、选择题时间控制在35分中以内。小题小做、巧做、简单做，选择题和填空题要多用数形结合、特殊值验证法等技巧，节约时间。 5、保持心静，以不变应万变。切莫因旁人的翻卷或其他行为干扰自己的解决思路。这些都是高考文科数学应试答题高分技巧。 浏览试卷，确定考试策略 一般提前5分钟发卷，涂卡、填密封线内部分和座号后浏览试卷：试卷发下后，先利用23分钟时间迅速把试卷浏览一遍，检查试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、分值等概况以及试题的数目、类型、结构、占分比例、哪些是难题，同时根据考试时间分配做题时间，做到心中有数，把握全局，做题时心绪平定，得心应手。 巧妙制定答题顺序 在浏览完试卷后，对答题顺序基本上做到心中有数，然后尽快做出答题顺序，排序要注意以下几点： 1.根据自己对考试内容所掌握的程度和试题分值来确定答题顺序。
高中数学基础知识与基本技能 数学（3） 第二章 统计（续） 五、基础知识和基本技能评估试题 第二章 统计 测试卷 （本卷用时100分钟） （一）、选择题（共50分，每小题5分，其中只有一个是正确的）： 1、下列几项调查，适合作普查的是（ ） （A ）调查全省食品市场上某种食品的色素是否超标 （B ）调查中央电视台“焦点访谈”节目的收视率 （C ）调查你所住单元各家庭订阅报刊杂志情况 （D ）调查本市小学生每人每天的零花钱 2、刘翔在出征雅典奥运会前刻苦进行110米栏训练，教练对他某段时间的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，教练需要知道这些成绩的（ ） （A ）平均数 （B ）方差 （C ）中位数 （D ）众数 3、为了了解某地5000名学生的语文测试水平，从中抽取了200学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，下列说法不正确的是（ ） （A ）5000名学生成绩的全体是总体 （B ）每个学生的成绩是个体 （C ）抽取200学生成绩的集体是总体的一个样本 （D ）样本的容量是5000 4、一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是80和0.125，则n 的值为（ ） （A ）800 （B ）1250 （C ）1000 （D ）640 5、如果一组数据的方差是2 s ，将每个数据都乘以2，所得新数据的方差是 ( ) （A ）2 5.0s （B ）2 4s （C ）2 2s （D ）2 s 6、为了保证分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等，则要求（ ） （A ）每层等可能抽样 （B ）每层抽取同样的样本容量 （C ）每层用同一抽样方法等可能抽样 （D ）不同的层用不同的方法抽样 7、若b a ,是常数，下列有关连加符号 ∑ =n k 1 的运算 ① ∑==n k na a 1 ，②∑∑===n k n k k f b k bf 1 1 )()(，③[]∑∑∑===+=+n k n k n k k g k f k g k f 1 1 1 )()()()( 其中错误的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 8、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 § 1.1.1 、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法 . § 1.1.2 、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合 A 、 B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合A是集合 B的 子集。记作 A B . 2、如果集合A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合 A 中含有 n 个元素，则集合 A 有2n个子集 . § 1.1.3 、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 .记作：A B . 2、一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集.记作：A B . 3、全集、补集？C U A { x | x U , 且 x U } § 1.2.1 、函数的概念 1、设 A、 B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f: A B 为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x , x A . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等 . § 1.2.2 、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. § 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性证明的一般格式： 解：设 x1 , x2a, b 且 x1x2，则： f x1 f x2=, §1.3.2 、奇偶性 1 、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个x ，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为奇函数. 奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） § 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、一般地，如果x n a ，那么x叫做a的n次方根。其中n 1, n N . 2、当n为奇数时，n a n a ； n n a n
高中数学必修系列函数基础知识 初等函数的性质定义判定方法函数的奇偶性 函如果对一函数f（x)定义域内任意一个ｘ，都有 ｆ(-x）=-f(ｘ),那么函数ｆ(x）叫做奇函数； 函如果对一函数ｆ（x)定义域内任意一个ｘ,都有 f(－x)＝f（x),那么函数ｆ(x)叫做偶函数 （1)利用定义直接判断; (２)利用等价变形判断： f(x)是奇函数ｆ(-x)+f(x)＝0?f(x)是 数ｆ(－ｘ)－ｆ(ｘ)=0 函数的单调性 对于给定的区间上的函数f(x): （1)如果对于属于这个去件的任意两个自变的值 x1、x2,当x1 二次函数 y=ａｘ2+bx+ｃ（a、 b、ｃ为常数,其中a ≠0) R a>0时，?[－ ,+∞） a＜０时,?(- ∞,] ｂ=0时为偶函数 b≠0时为非奇非 偶函数 ａ＞0时,?在(－∞，-]上是减函数 在（－,+∞]上是增函数 a<0时, 在（-∞,-］上是增函数 在(-，+∞]上是减函数角 一条射线绕着它的端点旋转所产生的图形叫做角。旋转开始时的射线叫角的始边，旋转终止时的射线叫 角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 角的单 位制 关系弧长公式扇形面积公式 角度制１0＝弧度≈0.０1７４５ 弧度 l=S 扇形= 弧度制１弧度=≈５7018＇ｌ＝∣α∣·r S 扇形=∣α∣·r 2=lr 角的终 边 位置角的集合 在x轴正半轴上{α∣α=2kπ,k Z} 在ｘ轴负半轴上｛α∣α＝2kπ＋π,ｋZ} 在x轴上｛α∣α=ｋπ,k Z｝ 在y轴上{α∣α=ｋπ＋，k Z} 在第一象限内{α∣２ｋπ<α<2kπ+,kＺ} 在第二象限内{α∣2kπ+＜α<2kπ＋π,k Z｝ 在第三象限内 {α∣2ｋπ+π<α<2kπ+,ｋZ} 在第四象限内 ｛α∣2kπ+＜α<２kπ＋2π,kＺ} 特殊角 的三角 函数值 函数/角0 π2π ｓｉna 0 1 0 -1 ０ ｃosa １0 -１０ 1 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 高考数学总复习基础知识手册 一、 集合与简易逻辑 基本考点 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．子集个数 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空的真子集有2n –2个. 6. 7. 8. 9.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 常用结论 1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性. 2.对集合A B 、，A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.? 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依 次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B =”；“并的补等于补的交，即 ()U U U C A B C A C B =”. 5.判断命题的真假 关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”. 7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”. 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果. 注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?. 8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要 二、 函 数 基础考点 1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定： 高中数学各章节知识点汇总 目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21) 第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 原命题若p 则q 否命题 若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为 逆否 互逆否 互为逆否互互逆否 互第一章 集合与简易逻辑 一、集合知识 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质: ①U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C ②C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B ) 6. 设集合A 中有n 个元素,则①A 的子集个数为n 2； ②A 的真子集个数为12-n ； ③A 的非空子集个数为12-n ；④A 的非空真子集个数为22-n . 7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集 二．含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 1.整式不等式的解法：① 一元一次不等式的解集b ax >（)00<>a a 或分 ②一元二次不等式的解集)0(02>>++a c bx ax ：（大于取两边，小于取中间） ③一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆：x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过） 2.分式不等式的解法 ???≠≥?≥>?>0 )(0 )()(0)() (; 0)()(0) ()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f （移项通分，不能去分母） 3.含绝对值不等式的解法 c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （将x 的系数化为正,大于取两边，小于取中间） 三．简易逻辑 1．构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )(一真则真)； p 且q(记作“p ∧q ” )（一假则假）；非p(记作“┑q ” )（真假相反） 。 2．四种命题的形式：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 (原命题?逆否命题) 3、充要条件： 4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 根据高分考生笔记整理，助你30分钟熟记高考数学必考知识点 快速提高高考成绩 高分考生的经验： 对于以下知识点不必死记硬背，打印出来夹在笔记本中就可以。在练习中遇上不懂，先不要看答案，看看以下知识点，尝试解题，这样留下的印象最深刻，思考过程最重要。往往是每道题到牵涉其中几个考点，一道题就巩固几个考点，一直坚持练习做题，可以快速提高成绩。一般在几天左右就可以见效果，明显感觉到思路通畅，速度明显提高。另外，题海战术不可取，泛泛做100道题，不如认认真真理解好1道典型例题。 一、集合 （1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n -2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 （3）);()()();()()(B C A C B A C B C A C B A C I I I I I I Y I I Y == 二、函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 22 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出； ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数高中数学必修一集合知识点总结大全34337
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