2013年普通高等学校统一考试数学试题
卷Ⅰ 必做题部分
乐享玲珑，为中国数学增光添彩！
免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用
一．填空题。 1．函数)4
2sin(3π
+
=x y 的最小正周期为 。
2．设2
)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。
3．双曲线19
1622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
4．集合}1,0,1{-共有 个子集。
5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。
6
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。
9．抛物线2
x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。
10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 3
2
=，若AC AB DE 21λλ+=
A
B
C
1
A D E F 1
B 1
C
（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。
11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为F ，右准线为
l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1
=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之
间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。
14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n
的值为 。 二．解答题：
15．本小题满分14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=
＝，
，παβ<<<0。 （1
）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c =
，若a b c += ，求βα,的值。
16．本小题满分14分。
如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.
17．本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上。
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
A
B
C
S
G
F
E
18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。现有甲．乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为m in /50m 。在甲出发m in 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为m in /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，
1312cos
=
A ，5
3cos =C 。 （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
19．本小题满分16分。设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。记c
n nS b n
n +=
2，*N n ∈，其中c 为实数。
（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）；
（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。
20．本小题满分16分。
设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数。
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。
21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。
如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，,C AC 经过圆心O ，且2BC OC = 求证：2AC AD =
22．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。
已知矩阵1012,0206A B -????==????
????
，求矩阵B A 1
-。
23.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。
C B
A
在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为???=+=t y t x 21
（t 为参数），曲线C 的参数方程为???==θ
θtan 2tan 22y x
（θ为参数），试求直线l 与曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
24．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。
已知b a ≥＞0，求证：b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
25．本小题满分10分。
如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 （1）求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值 （2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值。
26．本小题满分10分。 设
数
列
{}122,3,3,34444n a ：
，-，-
，-，-，-，-，，-1-1-1
k k k
k k
个
（），，（），即当
1122
k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时，1
1k n a k -=（-），记12n n S a a a =++ ()n N +∈，对于l N +∈，定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +
=∈≤≤是的整数倍，，且
（1）求集合11P 中元素的个数； （2）求集合2000P 中元素的个数。
参考答案
一、选择题
1．解析：本题主要考察三角函数的周期公式ω
π
2=
T ∴2
22πω
π
=
=
T =π 2．解析：本题主要考察复数的模22y x z +=∵i i z 43)2(2-=-=
∴5)4(322=-+=
z
3．解析：本题主要考察双曲线12222=-b
y a x 的两条渐近线的求法，把1改成0得022
22=-b y a x
∴双曲线12222=-b
y a x 的两条渐近线的方程为x a b
y ±=
∴双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为x y 4
3
±=
4．解析：本题主要考察子集的有关概念。 ∵集合},,,{21n a a a 的子集个数为n
2 ∴集合}1,0,1{-共有3
2= 8 个子集
5．解析：本题主要考察准确读算法及流程图，注意执行过程，∴3=n
6．【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：905
92
88919089=++++=x ．
方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(222222
=-+-+-+-+-=S ．
7．【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都
取到奇数的概率为
63
20
9754=
??． 8．解析：本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识。
设三棱柱高为h ，底面ABC ?面积为S ,∴三棱柱ABC C B A -111的体积为Sh V =2
∵F 是1AA 的中点 ∴2:1:1=h h ∵F E ，分别是AC AB ，的中点∴4:1:1=s s
∴24
1
2141313131111121121=??====--h h S S Sh h S V V V V C B A ABC ADE F 棱柱三棱锥
9．解析：本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识。
x y 2'= ∴21
'
===x y k ∴切线方程为)1(21-=-x y
与x 轴交点为)0,2
1
(
A ，与y 轴交点为)1,0(-
B , 当直线y x z 2+=过点)0,21(A 时02
1
m ax +=z
当直线y x z 2+=过点)1,0(-B 时2)1(20m in -=-?+=z
∴y x 2+的取值范围是?????
?
-21,2
10．解析：本题主要考察向量的加减法及待定系数法等基础知识。
AC AB AC AB AB AC AB BC AB BE DB DE 213
2
61)(32213221λλ+=+-=-+=+=
+= ∴???
????
=-=32
6121λλ ∴2121=+λλ
11．解析：本题主要考察函数的奇偶性．一元二次不等式的解法等基础知识及分类讨论的数学思想方法。 设x ＜0，则x -＞0，∴x x x x x f 4)(4)()(2
2
+=---=-∵)(x f 是定义在R 上的奇函数 ∴)()(x f x f -=- ∴x x x f 4)(2
+=- ∴x x x f 4)(2
--= 又∵0)0(=f
∴???
??<-->-=)0(40)
0(4)(2
2x x x x x x x f
∴???>->x x x x 402或者???>-- ∴5>x 或者05<<-x ∴不等式x x f >)(的解集用区间表示为()()+∞-,50,5 法二：【解析】做出x x x f 4)(2 -= (0>x )的图像，如下图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观 察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。 12．解析：本题主要考察椭圆的性质，以及化繁为简运算能力及数学思想方法。 AOB Rt ?中， 利用面积相等1d AB OB OA ?=? 或者利用原点)0,0(O 到直线1=+b y c x 即0=-+bc cy bx 的距离公式得a bc d =1，因为c c a d -= 22带入126d d =得a bc c c a 62=- ∴a bc c c a 622=- ∴a b c c a 62 22=- 左边分子分母同时除以2 a 右边平方再开方得： x y ＝x y ＝x 2—4P (5,5) 5) x ∴2222261a c a e e -=- ∴2 2 2161e e e -=- ∴6122=-e e ∴0162 4 =-+e e ∴312 = e （2 12 -=e 舍）∴33=e 法二：【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2，由等面积得：1d ＝a bc 。若126d d =，则c b 2＝6 a bc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2 a ，得：0662=+?? ? ??-??? ??a b a b ，解之得：a b ＝ 3 6，所以，离心率为：331e 2 =?? ? ??-=a b 设点)1, (x x P （0>x ） ，则2 22222)1(2)1()1()(a x x a x x a x a x d ++-+=-+-= 设t x x =+1（2≥t ），则212 22-=+t x x 2)(22-+-=a a t d ，设2)()(22-+-=a a t t f （2≥t ） 对称轴为a t = 分两种情况： （1）2≤a 时，)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数，故2=t 时，)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ，∴0322=--a a ，∴1-=a （3=a 舍） （2）a ＞2时，∵)(t f 在区间 []a ,2上是单调减，在区间[)+∞,a 上是单调增， ∴a t =时，)(t f 取最小值 ∴222)(22min =-+-= a a a d ，∴10=a （10-=a 舍） 综上所述，1-=a 或10 14．解析：本题主要考察等比数列的有关概念及性质．指数函数二次函数的单调性．猜想与证明等知识及推理论证能力。 由21 5 = a ，及376=+a a 得方程组： ?????=+=3 )1(21 51 41q q a q a 两式相除得：062 =-+q q ，∴2=q （3-=q 舍）∴3211 =a ∵n n a a a a a a 2121>+++ ∴ )1(21111)1(-+++>--n n n q a q q a ∴2 ) 10)(1(212-->-n n n ① ∴n 2＞2 ) 10)(1(2 12-->-n n n ∴n 2＞2 ) 10)(1(2 --n n ② 先通过②式利用函数x x f 2)(=大致确定n 的取值范围： ∴2 )10)(1(--> n n n ∴01132 +-n n ＜0∴212913-＜n ＜212913+ 又∵+ ∈N n 且12212113=+＜2 12913+＜13216913=+∴最大正整数n 的值为12 再通过①式利用函数12)(-=n n g 及2 ) 10)(1(2)(--=n n n h 在区间 [)+∞,6上是单调性说明最大正整数n 的 值为12 又∵2 )1012)(112(12 212 -->- 12 13 -＜2 ) 1013)(113(2 -- 且函数12)(-=n n g 及2 ) 10)(1(2)(--=n n n h 在区间 [)+∞,6上是单调增函数 ∴最大正整数n 的值为12 15．本题主要考查平面向量的加法．减法．数量积．三角函数基本关系式．诱导公式等基础知识，考查运算能力与推理论证能力 解：（1）∵2||=- ∴2||2 =- 即() 222 22 =+-=-， 又∵1sin cos ||2 2 2 2 =+==αα，1sin cos ||2222 =+==ββ∴222=-∴0=∴⊥ （2）∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴???=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即???-=-=βαβ αsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得：βsin 221-= ∴21sin =β ∴2 1 sin =α ∵παβ<<<0 ∴ πβπα6 1,65== 16．本题主要考察直线与直线．直线与平面．以及平面与平面的位置关系，考察空间想象能力及推理论证能力 证明：（1）∵AB AS =，SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点 ∵E ．F 分别是SA ．SB 的中点 ∴EF ∥AB 又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF ∥平面ABC 同理：FG ∥平面ABC 又∵EF FG=F, EF ．FG ?平面ABC ∴平面//EFG 平面ABC （2）∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ?平面SAB AF ⊥SB ∴AF ⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF ⊥BC 又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB ．AF ?平面SAB ∴BC ⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB ∴BC ⊥SA 17．本题主要考察直线与圆的方程．考察直线与直线．直线与圆．圆与圆的位置关系等基础知识，考察运用数形结合．待定系数法等数学思想方法分析问题解决问题的能力。 （1）解：由? ? ?-=-=14 2x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1 ∴圆C 的方程为：1)2()3(2 2 =-+-y x 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx ) (n g ) (n h ∴ 11 3 232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43 -=k ∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者34 3 +-=x y 即3=y 或者01243=-+y x （2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22 =--+-a y a x 又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）则22222)3(y x y x +=-+整理得：4)1(22=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点 ∴[]12)1()42(122 2+≤---+≤-a a 由08852 ≥+-a a 得R x ∈ 由01252 ≤-a a 得5 120≤≤x 终上所述，a 的取值范围为：?? ? ???512,0 18．本题主要考察利用正余弦定理解三角形．二次函数的最值．以及三角函数的基本关系．两角和的正弦等基础知识，考察数学阅读能力和分析解决实际问题的能力。 解：（1）∵1312cos =A ，53cos =C ∴） ，（、20π∈C A ∴135sin =A ，5 4 sin =C ∴[]65 63 sin cos cos sin sin sin sin = +=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据 sinB sinC AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB == （2）设乙出发t 分钟后，甲．乙距离为d ，则13 12 )50100(1302)50100()130(222 ? +??-++=t t t t d ∴)507037(20022 +-=t t d ∵1301040 0≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时，即乙出发37 35分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。 （3）由正弦定理sinB sinA AC BC = 得50013565 631260sin sinB ===A AC BC （m ） 乙从B 出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m ），还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则 350 710 500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14 625 431250≤ ≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在?? ? ???14625,431250范围内 法二：解：（1）如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ． （2）设乙出发x 分钟后到达点M ， 此时甲到达N 点，如图所示． 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)， 由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2 －14000 x ＋10000， 其中0≤x ≤8，当x ＝35 37 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． （3）由（1）知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝126 5 (min)． 若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：86 5 (min) ． 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝1250 43 m/min ． 若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：56 5 (min) ． 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝625 14 m/min ． 故乙步行的速度应控制在[125043 ，625 14 ]范围内． 19．本题主要考察等差数列等比数列的定义．通项．求和等基础知识，考察分析转化能力及推理论证能力。 证明：∵}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2 ) 1(-+ = （1）∵0=c ∴d n a n S b n n 2 1 -+== ∵421b b b ，，成等比数列 ∴412 2b b b = ∴)2 3 ()21(2d a a d a +=+ ∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 2 1 = ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222) 1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 2 22= ∴左边=右边∴原式成立 （2）∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ，∴11)1(d n b b n -+=带入c n nS b n n += 2 得： 11)1(d n b -+c n nS n += 2 ∴)()21()21(1112 1131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴??? ??? ??? =-==+--=-0)(0 0210211 111 11b d c cd d a d b d d C B A D M N 由①式得：d d 2 1 1= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得：0=c 法二：证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-= ，2 2)1(a d n b n +-=． 当421b b b ，，成等比数列，412 2 b b b =， 即：??? ??+=??? ??+2322 d a a d a ，得：ad d 22 =，又0≠d ，故a d 2=． 由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 2 22=． 故：k nk S n S 2 =（* ,N n k ∈）． （2）c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22 222)1(， c n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2 222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=2 22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：0 22)1(2=++-c n a d n c ，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c ． 经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列． 20. 本题主要考察导数的运算及利用导数研究函数的性质，考察函数．方程．不等式的相互转化，考察综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力。 （1）解：由 01)('≤-= a x x f 即a x ≤1 对),1(+∞∈x 恒成立， ∴max 1??? ???≥x a 而由),1(+∞∈x 知x 1＜1 ∴1≥a 由a e x g x -=)('令0)('=x g 则a x ln = 当x ＜a ln 时)(' x g ＜0，当x ＞a ln 时)(' x g ＞0， ∵)(x g 在),1(+∞上有最小值 ∴a ln ＞1 ∴a ＞e 综上所述：a 的取值范围为),(+∞e （2）证明：∵)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数 ∴0)(' ≥-=a e x g x 即x e a ≤对),1(+∞-∈x 恒成立， ∴[] m in x e a ≤ 而当),1(+∞-∈x 时，x e ＞e 1 ∴e a 1≤ 分三种情况： （Ⅰ）当0=a 时， x x f 1 )('= ＞0 ∴f （x ）在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵ 0)1(=f ∴f （x ）存在唯一零点 （Ⅱ）当a ＜0时，a x x f -=1)(' ＞0 ∴f （x ）在),0(+∞∈x 上为单调增函数 ∵)1()(a a a e a ae a e f -=-=＜0且a f -=)1(＞0 ∴f （x ）存在唯一零点 （Ⅲ）当0＜e a 1≤ 时，a x x f -=1)(' ，令0)('=x f 得a x 1= ∵当0＜x ＜a 1时，x a x a x f )1()('--=＞0；x ＞a 1时，x a x a x f ) 1 ()('--=＜0 ∴a x 1=为最大值点，最大值为1ln 1 1ln )1(--=-=a a a a a f ①当01ln =--a 时，01ln =--a ，e a 1=，)(x f 有唯一零点e a x ==1 ②当1ln --a ＞0时，0＜e a 1 ≤，)(x f 有两个零点 实际上，对于0＜e a 1≤，由于e a e a e e f --=-=111ln )1(＜0，1ln 1 1ln )1(--=-=a a a a a f ＞0 且函数在??? ??a e 1,1上的图像不间断 ∴函数)(x f 在?? ? ??a e 1,1上有存在零点 另外，当??? ??∈a x 1,0，a x x f -=1)(' ＞0，故)(x f 在??? ??a 1,0上单调增，∴)(x f 在?? ? ??a 1,0只有一个零点 下面考虑)(x f 在?? ? ??+∞,1a 的情况，先证)(ln ln )(1 111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f ＜0 为此我们要证明：当x ＞e 时，x e ＞2 x ，设2)(x e x h x -= ，则x e x h x 2)('-=，再设x e x l x 2)(-= ∴2)('-=x e x l 当x ＞1时，2)(' -=x e x l ＞e -2＞0，x e x l x 2)(-=在()+∞,1上是单调增函数 故当x ＞2时，x e x h x 2)('-=＞4)2(2 '-=e h ＞0 从而2 )(x e x h x -=在()+∞,2上是单调增函数，进而当x ＞e 时，2 )(x e x h x -=＞2 )(e e e h e -=＞0 即当x ＞e 时，x e ＞2 x ， 当0＜a ＜ e 1时，即1 -a ＞e 时，)(ln ln )(1111121------=-=-=--a a a a a e a a ae e a ae e e f ＜0 又1ln 11ln )1(--=-=a a a a a f ＞0 且函数)(x f 在[] 1 ,1--a e a 上的图像不间断， ∴函数)(x f 在() 1,1--a e a 上有存在零点，又当x ＞a 1时，x a x a x f ) 1 ()('--=＜0故)(x f 在()+∞-,1a 上是单调减函数∴函数)(x f 在()+∞-,1 a 只有一个零点 综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当0≤a 时，)(x f 的零点个数为1；当0＜a ＜e 1 时，)(x f 的零点个数为2 21．本题主要考察切线的有关相似三角形的判定与性质，考察推理论证能力。 证明：连接OD ，∵AB 与BC 分别与圆O 相切于点D 与C ∴0 90=∠=∠ACB ADO ,又∵A A ∠=∠ ∴ADO RT ?～ACB RT ? ∴ AD AC OD BC = 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD 22．本题主要考察逆矩阵．矩阵的乘法，考察运算求解能力。 解：设矩阵A 的逆矩阵为???? ??d c b a ,则? ? ? ???-2001 ??????d c b a =??????1001 ，即??????--d c b a 22 =?? ? ???1001 ， 故a=-1，b=0，c=0，d=2 1∴矩阵A 的逆矩阵为???? ??? ??-=-210011 A , ∴B A 1-=???? ??? ??-21001 ??????6021 =????????--3021 23．本题主要考察参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考察转化问题的能力。 解：∵直线l 的参数方程为???=+=t y t x 21 ∴消去参数t 后得直线的普通方程为022=--y x ① 同理得曲线C 的普通方程为x y 22 = ② ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(，)1,2 1 (- 24．本题主要考察利用比较法证明不等式，考察推理论证能力。 证明：∵=---b a ab b a 2233 22()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--= 又∵b a ≥＞0，∴b a +＞0，0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233 ≥---b a ab b a ∴b a ab b a 2 23322-≥- 25．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。 解：（1）以{} 1,,AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -， 则)0,0,0(A )0,0,2(B ，)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=A ,)4,1,1(1--=A ∴10 10 318 2018,cos 11= = >= < D C B A ∴异面直线 B A 1与D C 1所成角的余弦值为 10 10 3 （2）)0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量 设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =，∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1=AC 由1,AC m AD m ⊥⊥ ∴? ? ?=+=+0420 z y y x 取1=z ，得2,2=-=x y ，∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=m 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ ∴32 324,cos cos =?-= = ><=θ， 得3 5sin = θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为 3 5 26．本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。 （1）解：由数列{}n a 的定义得：11=a ，22-=a ，23-=a ，34=a ，35=a ，36=a ，47-=a ，48-=a ， 49-=a ，410-=a ，511=a ∴11 =S ，12-=S ，33-=S ，04=S ，35=S ，66=S ，27=S ，28-=S ，69-=S ，1010-=S ， 511-=S ∴111a S ?=，440a S ?=，551a S ?=，662a S ?=，11111a S ?-= ∴集合11P 中元素的个数为5 （2）证明：用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上， ① 当1=i 时，3)12(13)12(-=+?-==+S S i i 故原式成立 ② 假设当m i =时，等式成立，即)12()12(+?-=+m m S m m 故原式成立 则：1+=m i ，时， 2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m )32)(1()352(2++-=++-=m m m m 综合①②得：)12()12(+-=+i i S i i 于是 )1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i 由上可知：}12(+i i S 是)12(+i 的倍数 而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ，所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是 )12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数 又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数， 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i 所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数 故当)12(+=i i l 时，集合l P 中元素的个数为2 i 1-i 231=+ ++）（ 于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时，集合l P 中元素的个数为j i 2 + 又471312312000 ++??=）（ 故集合2000P 中元素的个数为100847312 =+ （第5题） 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 １.函数)4 2sin(3π + =x y 的最小正周期为 . ２.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ． 3.双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 . ４．集合}1,0,1{-共有 个子集． 5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 6. 的那位运动员成绩的方差为 ． 方差为:25 )9092()9088()9091()9090()9089(2 22222 =-+-+-+-+-= S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ,其中正整数m ,n （7≤m ，9≤n )可以任意选取,则n m ， 都取到奇数的概率为 ． ８.如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1 AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V . ９．抛物线2 x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) .若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 ． A B C 1A D E F 1B 1C 10．设E D ，分别是ABC ?的边BC AB ，上的点,AB AD 21= ，BC BE 3 2 =, 若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数)，则21λλ+的值为 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解 集用区间表示为 ． １2.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为 F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 . １３.在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数x y 1 = （0>x )图象上一动点, 若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 . 1４．在正项等比数列}{n a 中,2 1 5= a ,376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分) 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0. (1)若2||= -b a ,求证:b a ⊥; （2）设)1,0(=c ,若c b a =+,求βα,的值． 16．(本小题满分14分) 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证: (1）平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥． A B C S G F E 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷) 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上．在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷(选择题共50分) 注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．(2013四川，理1)设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{2} C．{－2,2} D． 答案：A 解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}， ∴A∩B＝{－2}．故选A． 2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()． A．A B．B C．C D．D 答案：B 解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称． 3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()． 答案：D 解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D． 4．(2013四川，理4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则()．A．?p：?x∈A,2x?B B．?p：?x?A,2x?B C．?p：?x?A,2x∈B D．?p：?x∈A,2x?B 答案：D 5．(2013四川，理5)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ππ 0, 22 ω? ?? >-<< ? ?? 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别 是()． A．2， π 3 -B．2， π 6 - C．4， π 6 -D．4， π 3 答案：A 解析：由图象可得，35ππ3π41234 T?? =--= ? ?? ， ∴T＝π，则ω＝2π π ＝2，再将点 5π ,2 12 ?? ? ?? 代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得， 5π sin1 6 ? ?? += ? ?? ， 令5π 6 ＋φ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 解得，φ＝2kπ－π 3 ，k∈Z， 又∵φ∈ ππ , 22 ?? - ? ?? ，则取k＝0， 2011年江苏省高考数学试卷 2011年江苏省高考数学试卷 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）（2011?江苏）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________． 2．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________． 3．（5分）（2011?江苏）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________． 4．（5分）（2011?江苏）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________． 5．（5分）（2011?江苏）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是 _________． 6．（5分）（2011?江苏）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= _________． 7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为_________． 8．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两 点，则线段PQ长的最小值是_________． 9．（5分）（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωx+?），（A，ω，?是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）=_________． 10．（5分）（2011?江苏）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则 实数k的值为_________． 11．（5分）（2011?江苏）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为 _________． 12．（5分）（2011?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________． 13．（5分）（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________． 14．（5分）（2011?江苏）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是_________． 二、解答题（共9小题，满分120分） 15．（14分）（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若，求A的值； （2）若，求sinC的值． 16．（14分）（2011?江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证： （1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 17．（14分）（2011?江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）． （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1.函数y 3sin （2x ）的最小正周期为 ______________ 4 2?设z （2 i ）2 （i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________________ 2 2 3 .双曲线- — 1的两条渐近线的方程为 16 9 （第5题） 6 ?抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5此训练成绩（单位：环），结果如运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 方差为：S 2 2 2 2 2 (89 90) (90 90) (91 90) (88 90) (92 90) 2 5 . 7?现在某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m , n （ m 7 , n 9）可以任意选取，则 m , n 都取到奇数的概率为 ______________ . 8 .如图，在三棱柱A 1B 1C 1 ABC 中，D , E , F 分别是 AB , AC , AA 的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V ，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 的体积为 V 2，则 V , :V 2 __________ 9 ?抛物线y x 2在x 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D （包含 三角形内部和边界）?若 4 .集合｛ 1,0,1｝共有 ____________ 个子集. 5?右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 _____________ 点P（x, y）是区域D内的任意一点，贝U x 2y的取值范围是________ 2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。第I 卷1至2页，第II 卷2至5页考生作答是，须将答案答在答题卡上，在本试题作答，答题无效。满分：150分，考试时间150分钟。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第I 卷（选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1、设集合{}02|=+=x x A ，集合{}04|2=-=x x B ，则B A I =（ ） A 、{}2- B 、{}2 C 、{}2,2- D 、Φ 2、如图，在复平面内，点A 表示复数z 的共轭复数的点是（ ） A 、A B 、B C 、C D 、D 3、一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的直视图可以是（ ） 主视图 侧视图 俯视图 A 、 B 、 C 、 D 、 4、设Z x ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题B x A x p ∈∈?2,：，则（ ） A 、B x A x p ?∈??2,： B 、B x A x p ????2,： C 、B x A x p ∈???2,： D 、B x A x p ?∈??2,： 5、函数)2 2 ,0)(sin(2)(π ?π ω?ω< <->+=x x f 的部分图象如图所示， 则?ω,的值分别是（ ） A 、3 2π - 、 B 、6 2π - 、 C 、64π - 、 D 、3 4π 、 6、抛物线x y 42 =的焦点到双曲线13 2 2 =-y x 的渐近线的距离是（ ） A 、 2 1 B 、23 C 、1 D 、3 7、函数1 33 -=x x y 的图象大致是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为b a ,，共可得到b a lg lg -的不同值的个数是（ ） A 、9 B 、10 C 、18 D 、20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（ ） A 、41 B 、21 C 、43 D 、87 10、设函数为自然对数的底数）e R a a x e x f x ,()(∈-+=若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使得00))((y y f f =，则a 的取值范围是（ ） Ａ、],1[e Ｂ、]1,1[1--e Ｃ、]1,1[+e Ｄ、]1,1[1+--e e 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑。 棱锥的体积公式：1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 为高。 棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．。 6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 若DE AB AC λλ=+(λ、5,0) (5,)+∞ 、在平面直角坐标系xoy 12n n a a a a ++>的最大正整数二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分） 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。 （1）若||2a b -=，求证：a b ⊥； （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 （2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。 [解析] 本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系式、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。 （1）证明：（方法一）由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即2 2 22a a b b -?+=。 又222 2||||1 a b a b ====，所以222a b -?=，0a b ?=，故a b ⊥。 （方法二）(cos cos ,sin sin ),a b αβαβ-=-- 由||2a b -=，得：22||()2a b a b -=-=，即：2 2 (cos cos )(sin sin )2αβαβ-+-=， 化简，得：2(cos cos sin sin )0αβαβ+-=， 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷) 数学Ⅰ试题 参考公式： 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2 2 11()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.棱锥的体积公式：13 V Sh =， 其中S 是锥体的底面积，h 为高．棱柱的体积公式：V ＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ? ? =+ ?? ? 的最小正周期为__________． 答案：π 解析：函数π3sin 24y x ??=+ ?? ?的最小正周期2ππ2 T ==. 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________． 答案：5 解析：|z |＝|(2－i)2|＝|4－4i ＋i 2|＝|3－4i| 5=＝5. 3．(2013江苏，3)双曲线 22 =1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 答案：3 4 y x =± 解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为3 4 y x =±. 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集． 答案：8 解析：由于集合{－1,0,1}有3个元素，故其子集个数为23＝8. 5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________． 答案：3 解析：第一次循环后：a ←8，n ←2； 第二次循环后：a ←26，n ←3； 由于26＞20，跳出循环， 输出n ＝3. 6．(2013江苏，6) 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学 理工农医类(四川卷) 第Ⅰ卷(选择题 共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的． 1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2 －4＝0}，则A ∩B ＝( )． A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2} D ．? 2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数 的点是( )． A ．A B ．B C ．C D ．D 3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )． 4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则( )． A ．?p ：?x ∈A,2x ?B B ．?p ：?x ?A,2x ?B C ．?p ：?x ?A,2x ∈B D ．?p ：?x ∈A,2x ?B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ω?? ? >- << ?? ? 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )． A ．2，π 3- B ．2，π6- C ．4，π6- D ．4，π3 6．(2013四川，理6)抛物线y 2 ＝4x 的焦点到双曲线x 2 －2 3 y ＝1的渐近线的距离是( )． A ．12 B ． C ．1 D 7．(2013四川，理7)函数 3 31 x x y= - 的图象大致是( )． 8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( )． A．9 B．10 C．18 D．20 9．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )． A．1 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 7 8 10．(2013四川，理10)设函数f(x) a∈R，e为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x上存在点(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值范围是( )． A．[1，e] B．[e－1－1,1] C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1] 第Ⅱ卷(非选择题共100分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．(2013四川，理11)二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是__________．(用数字作答) 12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝__________. 13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈ π ,π 2 ?? ? ?? ，则tan 2α的值是__________． 14．(2013四川，理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是__________． 15．(2013四川，理15)设P1，P2，…，P n为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，P n的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，P n的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题： ①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和． 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数 学（理工类） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回． 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ） （A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）? 2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ??∈? （B ）:,2p x A x B ???? （C ） :,2p x A x B ???∈ （D ）:,2p x A x B ??∈∈ 5．函数()2sin()(0,)22f x x ππω?ω?=+>- <<的部分图象如图所示， 则,ω?的值分别是（ ） （A ）2,3π - （B ）2,6π - （C ）4,6π- （D ）4,3π 6．抛物线24y x =的焦点到双曲线22 13y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12 （B （C ）1 （D 7．函数2 31 x x y =-的图象大致是（ ） 8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ） （A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9．节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ）14 （B ）12 （C ）34 （D ）78 10．设函数()f x =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ） （A ）[1,]e （B ）1[,1]e - （C ）[1,1]e + （D ）1 [,1]e e -+ 第二部分 （非选择题 共100分） 注意事项： 必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．二项式5()x y +的展开式中，含23 x y 的项的系数是____________．（用数字作答） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 2014年四川省高考数学试卷（理科） 2014年四川省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2 63 个单位长度向右平行移动 ． ＞＜C ＞ D． ＜ 5．（5分）（2014?四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（） 7．（5分）（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角， 8．（5分）（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（） ，[[，[ 9．（5分）（2014?四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（）=2f（x） ③|f（x）|≥2|x| 10．（5分）（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，?=2（其 D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数=_________． 12．（5分）（2014?四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x） =，则f（）=_________． 13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是_________． 15．（5分）（2014?四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号） 2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 ：复数的运算 解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 ：抽样的方法 解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 ：双曲线的性质 解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时， ，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 ：球的体积的求法 解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 ：等差数列 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项 绝密★启用前 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． . 1.函数4 2sin(3π -=x y 的最小正周期为 ▲ . 解析：2= =2 T π π 2.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：34,Z i Z =-= 3.双曲线 19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4 x ± 4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：3 28=（个） 5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 解析：经过了两次循环，n 值变为3 6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解 析 ： 易 知 均 值 都 是 90 ， 乙 方 差 较 小 ， () ()()()()()() 2 22222 2 1 118990909091908890929025n i i s x x n ==-= -+-+-+-+-=∑ 7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到 奇数的概率为 ▲ . 解析： m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个 所以总共有7963?=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520?=种可能符合题意 所以符合题意的概率为 20 63 8.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥 ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析： 112211111334224 ADE ABC V S h S h V ==??=2013江苏省高考数学真题(含标准答案)
2013年高考理科数学四川卷word解析版
2011年江苏省高考数学试卷加解析
2013江苏省高考数学真题(含答案)
2013年四川高考理科数学试题及答案
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年江苏高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版
2013年高考理科数学江苏卷word解析版
2013四川高考数学(理科)答案及解析
2013年高考理科数学全国卷1有答案
2013年高考真题——理科数学(四川卷) 含答案
2013年高考数学全国卷1(理科)
2014年四川省高考数学试卷(理科)
2013年高考数学全国卷1答案与解析
2013江苏高考数学试卷及答案完美word版
相关主题
文本预览