贵州省贵阳市第一中学2018届高三上学期适应性月考（一）
数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合{}61M x x =-<<，{}33N x x x =-或，则M N =（ ） A ．{}13x x x -或 B ．{}63x x -<<- C ．{}31x x -<<
D ．{}13x x << 2．设复数z 满足243z i i -=+，则z =（ ）
A ．44i +
B ．44i -
C ．22i -
D ．22i + 3．设向量,a b 满足?2a b =，7a b -=，则a b +=（ ）
A B ．11 C D ．15 4．若1tan()3αβ-=
，1tan 4β=，则tan2α=（ ） A ．7736 B ．7785 C ．117 D ．711
5．执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b k 分别为0，2，4，则输出的p =（ ）
A ．32
B ．5
C ．73
D ．196
6．已知事件“在正方形ABCD 的边CD 上随机了一点P ，使ABP ∠为三角形APB 中最大角”发生的概率为（ ）
A ．12
B ．14
C ．13
D ．23
7．若一正方体的体积为27，则其外接球的表面积为（ ）
A ．9π
B ．12π C
D ．27π
8．已知圆22:(1)(3)9C x y -+-=的圆心C 在直线l 上，且l 与直线20x y +-=平行，
则l 的方程是（ ）
A ．40x y +-=
B ．40x y ++=
C ．20x y --=
D ．20x y -+= 9．设函数21()ln(1)1f x x x
=-++，则不等式(1)(32)f f x <+的解集是（ ） A ．1(,1)(,)3
-∞--+∞ B ．1(,)3-+∞ C ．(1,)-+∞ D ．1
(1,)3
-- 10．若变量,x y 满足条件3372x y x y y -≥??+≤??≥-?
，则22(3)x y +-的最小值是（ ）
A ．13
B ．18
C ．20
D ．26
11．在等差数列{}n a 中，若0n a >，且52a =，则
2819a a +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．16
12．设()'f x 为定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数，且()()'0f x f x x -
>恒成立，则（ ）
A ．()()3443f f >
B ．()()3443f f <
C ．()()
3344f f >
D ．()()3344f f <
二、填空题 13．只用“加减乘除”就可解决问题.88511，16351，？，10251；“？”处应填的数字是__________．
14．以下四个命题中，为假命题的有__________．（填序号）.
（1）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（2）如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行；
（3）两两相交且不过同一点的三条直线不一定共面；
（4）垂直于同一平面的两平面平行.
15．已知函数()231,024,0x x f x x x x ?->=?--≤?
，若方程()f x m =有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________.
16．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，M 为椭圆上一点，且212?3F M F M c =，则此椭圆离心率的取值范围是__________．
三、解答题
17．如图，在平面四边形ABCD 中，090PAD ∠=，0120PBC ∠=，060CPD ∠=，
6AB =，1:2
AP PB =，PC =.
（1）求cos BPC ∠的大小；
（2）求PD 的长.
18．某学校高二年级共有1600人，现统计他们某项任务完成时间介于30分钟到90分钟之间，图中是统计结果的频率分布直方图.
（1）求平均值、众数、中位数；
（2）若学校规定完成时间在[30,50)分钟内的成绩为A 等；完成时间在[50,70)分钟内
的成绩为B 等；完成时间在[70,90)分钟内的成绩为C 等，按成绩分层抽样从全校学生中抽取10名学生，则成绩为B 等的学生抽取人数为？
（3）在（2）条件下抽取的成绩为B 等的学生中再随机选取两人，求两人中至少有一人完成任务时间在[60,70)分钟的概率.
19．如图，在三棱锥K ABC -中，,,D E F 分别是,,KA KB KC 的中点，平面KBC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，KBC ?是边长为2的正三角形，3AC =.
（1）求证：BF ⊥平面KAC ；
（2）求三棱锥F BDE -的体积.
20．已知12,F F 是离心率为12的椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，,A B 是
椭圆C 与x 轴的两交点，设点P 坐标为(,)a b ，若12PF F S ?=（1）求P 点坐标；
（2）设点Q 是椭圆上异于,A B 的动点，直线,QA QB 分别交直线:=l x m （2m <-）于,M N 两点，是否存在实数m ，使得11MF NF ⊥？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数22ln ()x f x x
+=，设其极大值点为a . （1）求a 及()f x 的最大值； （2）求证：曲线ln 3x y x --=
在(,)a +∞上存在斜率为4的切线，且切点的纵坐标054y -<<-.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为：2sin()33π
ρθ+=，曲线C 的参数方程为：
3cos 23sin x y αα
?=??=+??，（α为参数），其中[0,2)απ∈. （1）写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；
（2）若,A B 为曲线C 与直线l 的两交点，求AB .
23．选修4-5：不等式选讲 设()231f x x x =-++.
（1）求不等式()4f x x <+的解集；
（2）若函数()()g x f x ax =+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.
参考答案
1．B
【解析】 因为{}61M x x =-<<,{}
33N x x x 或=-,M N ?={}|63x x -<<-． 故选B ．
2．C
【解析】
由条件知，移项得 244,22,z i z i =+=+ 22z i =-
故选C ．
3．C
【解析】
2||a b +=()()()222.a b
a b ++ ，()()()222||2.a b a b a b -=+-=7
所以()()22a b +=11，所以 2||15a b += ，a b + C ． 点睛：找到a b +和a b -的关系，通过平方得到两者关系，要有见模平方的意识． 4．A
【解析】
tan tan 1tan()1tan tan 3αβαβαβ--==+ 得7tan 11α= ，22tan tan 21tan ααα==- 7736
． 故选A ． 点睛：熟悉两角和差公式，先由正切两角和差公式得7tan 11
α=，再由二倍角公式得2
2tan tan 21tan ααα=
-． 5．C
【解析】 ,,a b k 分别为0，2，4，进入循环，第一次结束得1,4,1,2p a b n ==== ，
再进入循环:6,2,6,3,p a b n ====
再进入循环:77,12,,433p a b n =
===，不满足n <4 故输出值，73
p = ． 故选C ．
6．A
【解析】 因为ACB ∠所对应边长始终大于正方形边长，所以最大角可能是ABP ∠，或ACB ∠，只需要AC > BC 即可．当P 点为CD 中点时，ABP BAP ∠=∠，当P 点在靠近C 的一半时，ABP ∠是最大角．
故选为A.
7．D
【解析】
正方体外接球的球心在体对角线的中点上，设正方体边长为a 正方体的体积为
3
27, 3.a a == 外接球的半径r ==24V π= = 27π． 故选D ．
8．A
【解析】
设直线为0x y m ++= ，代入点(1,3) 得4m =- ．故选A ．
点睛：两条直线平行的设法，斜率相等，只需要截距不同．
9．D
【解析】
原函数是偶函数，且在0x > 时，函数单调递减，故1>32x + ，
11321,13
x x -<+<-<<- ，故选D. 点睛：解不等式，如果不好解，就要考虑函数的单调性，奇偶性，直接比较自变量的关系． 注意偶函数要加绝对值.
10．B
【解析】
目标函数表示点(,)x y 到(0,3) 的距离的平方，画出可行域，由图象知道点
(0,3)到3x y -≥
的距离最小，d =
=，()2
23x y +-=2d =18． 11．A
【解析】 由等差数列性质得：28524,a a a +== 2819a a +
=82282882911911()()(19)(104444a a a a a a a a ++=+++≥+= ， 等号成立的条件为828282
9,3a a a a a a == ，故选A ． 点睛：熟练应用等差数列的性质，得28524,a a a +==为定值，再由基本不等式的性质得结果，注意验证等号成立的条件．
12．A
【详解】
()()'0f x f x x ->，即()()'0xf x f x x
->， 设()()f x g x x =
，则()()()2''xf x f x g x x -=， 当0x >时，()'0g x >恒成立，
即()g x 在()0+∞，
上单调递增， ()()()()4343,43f f g g ∴>∴
>，()()3443f f ∴>.
故选：A.
13．73155
【解析】
1+6=7 6-3=3 3*5=15 515÷=
故得到73155．
14．（2）（3）（4）
【解析】（2）两条直线可能会异面，也可能会交叉．
（3）由条件知不共线的三点确定一个平面，两两相交且不过同一点的三条直线会交于三个不共线的点，确定唯一的一个平面．
（4）不一定平行，有可能相交，比如，常见的墙角，两个交于一条直线的墙面垂直于地面． 故选（2）（3）（4）．
15．（0，2）
【解析】
画出函数图像如图所示，得二次函数最高点位()1,2- ，常函数y m = 和曲线有三个交点，则位于x 轴上方，最高点下方即可.故得()0,2m ∈．
16．152，????
【解析】
设点(,),M x y 212
?3F M F M c = ，2222(,)(,)3x c y x c y x c y c -*+=-+= ， 2224x y c +=,又因为222222b x a y a b += ，结合两式得224
2
25a c a x c -= ，又因为 220x a ≤≤ ，得12???
?，. 故得12???
?，． 点睛：向量坐标化，得到2224x y c +=，再利用点在曲线上得222222b x a y a b +=，
解出224
2
25a c a x c -=，最终利用点坐标的有界性，得不等式． 17．
(1) cos 14
BPC ∠=
；（2
）PD = 【解析】 试题分析：（1）由余弦定理得边长BC ，再利用余弦求角
（2）用已知角表示未知角，再利用两角和差公式求得． （Ⅰ）因为6AB =， 且AP ∶12
PB =，所以42BP PA ==，. 在△PBC
中，4120BP PC PBC ==∠=?，.又因为
222||||2cos PC PB BC PB BC PBC =+-∠， 即212816||242BC BC ??=+-???- ???，解得2BC =或6BC =-(舍)，
所以222
||||cos 2BP PC BC BPC BP PC +-∠===??
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos 14BPC ∠=
，所以sin 14
BPC ∠=， 所以()()sin sin πsin APD BPC CPD BPC CPD ∠=-∠-∠=∠+∠
114214214=+?=
，所以cos 14
APD ∠=，
所以PD =．
18．（1）平均数56.5=，众数为55，中位数为50656+=；（2）B 中抽7人；
（3）两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为
1121
． 【解析】
试题分析：（1）应用条形分布直方图求平均数的公式为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5?+?+?+?+?+?=
（2）根据系统抽样，按照比例抽得人数
（3）用列举法，将满足条件的例子都写出来，根据离散型随机变量的概率计算公式得到
1121
． （Ⅰ）平均数为350.1450.1550.5650.2750.05850.0556.5?+?+?+?+?+?=； 众数为55；因为完成时间在[30，50)分钟内的频率为0.2，在[50，60)分钟内的频率为0.5，所以中位数为50656+=．
（Ⅱ）因为A ，B ，C 的频率比为2︰7︰1，共抽10人，所以B 中抽7人．
（Ⅲ）抽出的成绩为B 等学生中完成任务时间[50，60)分钟的学生有5人，设为a ，b ，c ，d ，e ；在[60，70)分钟的学生人数为2人，设为x ，y ，
则7人中任选两人共有：
(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，x )，(a ，y )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，e )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共21种． 两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟内的有：
(a ，x )，(a ，y )，(b ，x )，(b ，y )，(c ，x )，(c ，y )，(d ，x )，(d ，y )，(e ，x )，(e ，y )，(x ，y )共11种．
所以两人中至少有一人完成任务时间在[60，70）分钟的概率为1121
．
19．(1)见解析；(2) F BDE D EFB V V --==
． 【解析】 试题分析：（1）要证线面垂直，先要得到线线垂直．(2)利用三棱锥体积公式，但是需要转化一下三棱锥的顶点F BDE D EFB V V --=．
（Ⅰ）证明：因为平面KBC ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，
所以AC ⊥平面KBC ，又因为BF 在平面KBC 上，
所以BF ⊥AC ．
又因为△KBC 是正三角形，且F 为CK 的中点，
所以BF ⊥KC ．
所以BF ⊥平面KAC ．
（Ⅱ）解：因为112EFB S == 又因为AC ⊥平面KBC ，DF//AC ，
所以DF ⊥平面KBC ．
又因为1322
DF AC ==，
所以113332F BDE D EFB EFB V V S DF --==
?== 点睛：要计算体积，选择合适的底面积和高，此题，就转化了顶点F BDE D EFB V V --=． 20．（1）P 点坐标（2
；（2）存在实数4m =-，使得MF 1⊥NF 1．
【解析】
试题分析：（1）利用离心率，面积公式的方程，求出椭圆方程，进而得点坐标；
（2）用点坐标表示斜率，()()()()()1100
220
00
22022422··1114MF NF m y m y m y x x k k m m m x
+--+-==+++-， 再利用点在曲线上，22200020314344x y y x +=?=--，两式比较，又因为11
·1MF NF k k =-，得到m 值； （Ⅰ）因为12c e a =
=，
又因为1212?2
PF F S c b bc ===
两式联立解得2a b ==，，
所以P 点坐标（2
． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为22
+143
x y =， 设Q (x 0，y 0)，则002QA y k x =+，直线QA 方程为()00+22
y y x x =+， 令x m =得M 点坐标为()0022m y m x ??+ ?+??
，， 同理002QB y k x =-，直线QB 方程为()0022
y y x x =--， 得N 点坐标为()0022m y m x ，??- ?-??
，
∴()()()()()
1100
220
00
22
022422··1114MF NF m y m y m y x x k k m m m x +--+-==+++-， 又Q (x 0，y 0)在椭圆上，∴22200020314344
x y y x +=?=--， ∴()112243··141MF NF m k k m -??=-=- ???
+，解得4m =-，所以存在实数4m =-，使得MF 1⊥NF 1． 点睛：此题的妙处在于，用Q (x 0，y 0)点坐标表示两条直线，再得斜率，联立点在曲线上，利用整体代换的思想；
21．（1）3
2e a -=；332
e (e )2
f -=；（2）00()(54)y
g x =∈--，． 【解析】
试题分析：（1）利用极值点的定义，和单调性，33
2e e 2f -??= ???
为f (x )的极大值，也是最大值，32e a -=．
（2）利用切线的定义()00202ln 4x g x x +=='，和另一种表示方式，1221y x y k x -=- 得0000
ln 24x x x x -=-． （Ⅰ）解：函数()22ln x f x x +=
的定义域为{x |x >0}． 因为()32ln 3(0)x f x x x
-->'=． 令()'0f x =，解得32e x -=．
当0 2e -时，()'0f x >， 当32e x ->时，()'0f x <， 所以332e e 2 f -??= ???为f (x )的极大值，也是最大值，32e a -=． （Ⅱ）证明：令()ln 3x g x x --=，得()2 2ln x g x x +'=， 因为()()142ln24122f f ??=?->= ??? ，， 且由（Ⅰ）得，f (x )在112， ?? ???内是减函数， 所以存在唯一的x 0∈112， ?? ???，使得()()00'4g x f x ==． 所以曲线ln 3x y x --= 在()+a ∞，上存在以(x 0，g (x 0))为切点，斜率为4的切线． 由()00202ln 4x g x x +=='得0000 ln 24x x x x -=-， 所以()000000 23144g x x x x x x =--=--. 因为x 0∈112，?? ??? ， 所以()()0054y g x =∈--， ． 点睛：（2）利用切线斜率的两种表示方式，构造方程 0000ln 24x x x x -=-， 先得到横坐标的范围，再求纵坐标的范围． 22．（1 30y +-= ,22((2)9x y ++-=；（2 ）||AB =． 【解析】 试题分析：（1）利用参数方程化普通方程的公式转化，（2）利用圆中特有的垂径定理，得圆心到线的距离，再求弦长； （Ⅰ）∵π2sin 33ρθ? ?+= ??? ，∴sin cos 3ρθθ+=，直线l 的直角坐标方程：30y +-=． 曲线C ：323x cos y sin αα?=??=+??，， (α为参数)， 消去参数可得曲线C 的普通方程为：(()22 29x y ++-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，(()22 29x y ++-=的圆心为D (2)，半径为3． 设AB 中点为M ，连接DM ，DA ， 圆心到直线l 的距离323 22d -+-==，所以2DM =， 又因为3DA =，所以MA =，所以AB = 23．（1）（0，3）；（2）533a -<<- ． 【解析】 试题分析： （1）利用零点分区间的方法，去掉绝对值，分段求解；（2）利用数形结合，将函数零点问题转化为图像交点问题； （Ⅰ）分段讨论得不等式解集为（0，3）． （Ⅱ）利用图象可得533a -<<-
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