汪志诚热力学与统计物理答案【篇一：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】
xt>1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?解：已知理想气体的物态方程为
?
。
pv?nrt,（1）
由此易得
??
1??v?nr1
??,（2） ??
v??t?ppvt
1??p?nr1
??,（3） ??
p??t?vpvt
??
?t??????????2??.（4）
v??p?t?v??p?p
1??v??1??nrt?1
1.8 满足pv
n
?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明： n??
cv n?1
理想气体在多方过程中的热容量cn为
cn?
解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
??q???u???v?
cn?lim???p?????. （1） ?t?0?t??n??t?n??t?n
对于理想气体，内能u只是温度t的函数，
??u?
???cv, ??t?n
所以
??v?
cn?cv?p??. （2）
??t?n
将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得
。（3） tvn?1?c1（常量）
将上式微分，有
1 / 15
vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0,
所以
v??v???.（4） ??
(n?1)t??t?n
代入式（2），即得
cn?cv?
pvn???cv,（5） t(n?1)n?1
其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量c
多方过程，多方指数n?
cn?cpcn?cv
n
如果是常数，该过程一定是
。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有
du??q??w.（1）
对于准静态过程有
?w??pdv,
对理想气体有
du?cvdt,
气体在过程中吸收的热量为
?q?cndt,
因此式（1）可表为
(cn?cv)dt?pdv. （2）
用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注意cp?cv?vr,可得
(cn?cv)
dtdv
?(cp?cv).（3） tv
将理想气体的物态方程全式求微分，有
dpdvdt??. （4） pvt
式（3）与式（4）联立，消去
dt
，有 t
(cn?cv)
2 / 15
dpdv?(cn?cp)?0. （5） pv
令n?
cn?cpcn?cv
，可将式（5）表为
dpdv?n?0. （6） pv
如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得
。（7） pvn?c（常量）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.12 假设理想气体的c和c之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中
p
v
t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?t?，其表达式为
lnf(t)??
dt
??1t
解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
cvdt?pdv?0. （1）
用物态方程pv?nrt除上式，第一项用nrt除，第二项用pv除，可得
cvdtdv
??0. （2） nrtv
利用式（1.7.8）和（1.7.9），
cp?cv?nr,cpcv
??,
可将式（2）改定为
1dtdv
??0.（3） ??1tv
将上式积分，如果?是温度的函数，定义
lnf(t)??
1dt
, （4） ??1t
可得
，（5） lnf(t)?lnv?c1（常量）
或
f(t)v?c（常量）。（6）
3 / 15
式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t 和v的关系。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p?v图中两条绝热线交于c点，如图所示。设想一等温线与
两条绝热线分别交于a点和b点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程abca中，系统在等温过程ab中从外界吸取热量q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有
w?q。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。
第二章均匀物质的热力学性质
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
p?f(v)t,
试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
故有
4 / 15
p?f(v)t,（1）
??p?
???f(v). （2） ?t??v
但根据式（2.2.7），有
??u???p?
?t?????p, （3） ??v?t??t?v
所以
??u????tf(v)?p?0. （4） ?v??t
这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数.
2.3
求证： (a)???0; (b
??p?h
??s?
??s?)?????v?u
0.
解：焓的全微分为
dh?tds?vdp. （1）
令dh?0，得
内能的全微分为
令du?0，得
p??s???0. （4） ???vt??u
du?tds?pdv. （3）
??s?v
???0. （2） ??
t??p?h
2.6试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在
节流过程中的温度降落.
解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数
??t???t?
和????描述. 熵函数s(t,p)的全微分为 ??p?s??p?h
??s???s?
ds??dt???dp. ?
?t??p??p?t
5 / 15
【篇二：热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案】??。
解：已知理想气体的物态方程为pv?nrt,由此易得??
1??v?nr1
??, ??
v??t?ppvt
??
1??p?nr11??v??1??nrt?1
??,?????t????????2??.
p??t?vpvtv??p?t?v??p?p
11
,?t?，试求物态方程。 tp
解：以t,p为自变量，物质的物态方程为v?v?t,p?,
1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实
验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：lnv=
其全微分为dv??
??v?dv1??v?1??v???v?
v （1）全式除以，有dt?dp.?dt?????dp.???
?t?pvv?tv?p??p??p??t??t
dv
??dt??tdp. （2）上式是以t,pv
根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为
为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有lnv?
???dt??
t
dp?. （3）若
??
?1111?
,?t?，式（3）可表为lnv???dt?dp?.（4）选择图示的积分路线，
从(t0,p0)积tpp??t
vtp
?即,v0t0p0
分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体积由v0最终变到v，有
ln
11pvp0v0
，或pv?ct.(5) 式（5）就是由所给??,?t?求得的物态方??c（常量） tptt0
程。确定常量c需要进一步的实验数据。
1.3 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数?t数值都很小，在
一定温度范围内可以把?和?t看作常量. 试证明简单固体和液体的物
态方程可近似为v(t,p)?v0?t0,0???1???t?t0???tp??.解: 以t,p为
状态参量，物质的物态方程为v?v?t,p?.根据习题1.2式（2），有
dv
??dt??tdp.（1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在?和?t
可以看作v
常
量
的
情
形
下
，
有
ln
v
???t?t0???t?p?p0?,v0
（2）或
v?t,p??v?t0,p0?e
??t?t0???t?p?p0?
.（3）考虑到?和?t的数值很小，将指数函数展开，
准确到?和?t的线性项，有
v?t,p??v?t0,p0???1???t?t0???t?p?p0???.（4）如果取p0?0，即有v?t,p??v?t0,0???1???t?t0???tp??.（5）
1.7 小匣题解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能u与其原来在大气中的内能u0
由式（1.5.3）u?u0?w?q
（1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为w1和w2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由v0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为w1??p0?v?p0v0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则w2?0.因此式（1）可表为
u?u0?p0v0.
（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
p0v0?nrt,（3）
u0?u?cv(t?t0)?
nr
(t?t0)??1
（4）式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有t??t0.（5）活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，其物态方程为p0v?nr?t0.（6）与式（3）比较，知v??v0. （7）
1.8 满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量cn为cn?
n??
cv n?1
解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
??q???u???v?cn?lim???p?????. （1）对于理想气体，内能u
只是温度t的函数， ?t?0?t??n??t?n??t?n??u???v?n
所以?c,c?c?pvnv????. （2）将多方过程的过程方程式pv?c与
理想气体的物
??t?n??t?n
态方程联立，消去压强p可得tvn?1?c1（常量）。（3）将上式微分，有vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0,所以?
vpvn????v?
c?c??cv, (5)其中用了式（4）代入式（2），即得??.nv?
t(n?1)n?1(n?1)t??t?n
（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量
cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数
n?
cn?cpcn?cv
。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有du??q??w.（1）对于准静态过程
有?w??pdv, 对
理想气体有du?cvdt,气体在过程中吸收的热量为?q?c,因此式（1）可表为ndt
(cn?cv)dt?pdv. （2）用理想气体的物态方程pv?vrt除上式，并注
意cp?cv?vr,可
得(cn?cv)
dtdvdpdvdt
?(cp?cv). ??. （3）将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）tvpvt
dt
，有 t
式（3）与式（4）联立，消去
cn?cpdpdv
，可将式（5）(cn?cv)?(cn?cp)?0.（5）令n?
pvcn?cv
表为
dpdv?n?0. （6）如果cp,cv和cn都是常量，将上式积分即得pvn?c（常pv
量）。（7）式（7）表明，过程是多方过程。
1.10 声波在气体中的传播速度为
??假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体
单位质量的内能u和焓h可a2
由声速及?给出：u??u0,
???1a2
h ??h0 其中u0,h0为常量。
?-1
2
解：根据式（1.8.9），声速a的平方为a??pv, （1）其中v是单
位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为
m
rt,式中m是气体的质量，m?是气体的摩尔质量。对于单位质量的
气体，有 ?m1?
pv??rt, （2）代入式（1）得 a2??rt.（3）以u,h表示理想气体的
比
mmpv?
内能和比焓（单位质量的内能和焓）。由式（1.7.10）—（1.7.12）知
m?u?
rt?rt
?m?u0,m?h??m?h0. （4）将式（3）代入，即有 ??1??1
a2a2
u??u0,h??h0. （5）式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，
测
?(??1)??1
定气体中的声速和?即可确定气体的比内能和比焓。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之
间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，
下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝
热过程，试计算大气温度随高度的变化率
dt
，并给出数值结果。 dz
解：取z轴沿竖直方向（向上）。以p(z)和p(z?dz)分别表示在竖
直高度为z和z?dz处的大气压
强。二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即
p(z)?p(z?dz)??(z)gdz,（1）式中?(z)是高度为z处的大气密度，g
是重力加速度。将p(z?dz)展开，有
ddp(z)dz, 代入式（1）p(z)???(z)g.（2）式（2）给出由于重力的
存在，得dzdz
?
导致的大气压强随高度的变化率。以m表大气的平均摩尔质量。在高度为z处，大气的摩尔体积为m?m?
，则物态方程为p(z)，消?rt(z), （3）t(z)是竖直高度为z处的温度。代入式（2）
??(z)?(z)dmg
去?(z)得p(z)??p(z). (4）由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度
随压强的变化率为、
dzrt(z)??t????t?d?1td??1m?g
，有t(z)??. （5）综合式（4）和式（5）p?z???.（6）大????
?pdz?r??p?s??p?sdz
气的??1.41（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均
摩尔质量为
d12
t?z???10?k?1 km.，m??29?1?30?kg?mogl?,??9.8m代s入式（6）得
dzp(z?dz)?p(z)?
（7）式（7）表明，每升高1km，温度降低10k。这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km，大气温度降低6k左右。
1.12 假设理想气体的cp和cv之比?是温度的函数，试求在准静态
绝热过程中t和v的关系，该关系式中要用到一个函数f?t?，其表
达式为
lnf(t)??
dt
??1t解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足cvdt?pdv?0.用物态方程pv?nrt除上式，第一项用nrt除，第二项
用pv除，可得
cvdtdv??0. （2）利用式（1.7.8）和（1.7.9），nrtv
cp?cv?nr,cpcv
??,
可将式（2）改定为
1dtdv1dt
??0. （3）将上式积分，如果?是温度的函数，定义lnf(t)??, （4）
可得
??1tv??1t
， (5)或f(t)v?c（常量）。（6） lnf(t)?lnv?c1（常量）
式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中t
和v的关系。 1.13 利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理
想气体卡诺循环的效率仍为??1?
t2
. t1
解：在?是温度的函数的情形下，1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有
q1?rt1ln
vvv2v
, w?q1?q2?rt1ln2?rt2ln3.（1） q2?rt2ln3, （2）（3）
v1v4v1v4
根据1.13题式（6），对于1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有f(t1)v2?f(t2)v3, （4）
f(t2)v4?f(t1)v1, （5）从这两个方程消去f(t1)和f(t2)，得
v2v3v
?, （6）故w?r(t1?t2)ln2, （7）所以在?是温度的函数的情形下，v1v4v1
理想气体卡诺循环的效率仍为??
tw
?1?2.（8） q1t1
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p?v图中两条绝热线交于c点，如图所示。设想一等温
线与两条绝热线分别交于a点和b点（因为等温线的斜率小于绝热
线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程abca中，系
统在等温过程ab中从外界吸取热量q，而在循环过程中对外做功w，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到
原来的状态。根据热力学第一定律，有w?q。这样一来，系统在上
述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了
热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。因此两条绝热线不可
能相交。
1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为t1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为t2，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过1?解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有
t2
. t1
qi
?0, （1）式中qi是热机从温度为ti的热源吸取的热量（吸热qi为正，放热qi?tii
为负）。将热量重新定义，可将式（1）改写为
?t
j
qj
j
??
k
qk
?0, （2）式中qj是热机tk
从热源tj吸取的热量，qk是热机在热源tk放出的热量，qj，qk恒正。将式（2）改写为
?t
j
qj
j
??
k
qk
. （3）假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为t1，在热机tk
qj1
q?,??j
t1jjtjqk1
??t2ktk
向其放出热量的热源中，热源的最低温度为t2，必有
故由式（3）得
?q,
kk
11
q??jtt1j2
?q. （4）定义q??q
k
1j
为热机在过程中吸取的总热量，q2?
kj
?q
k
k
为
热机放出的总热量，则式（4）可表为
q1q2tq
?,（5）或 2?2.（6）根据热力学第t1t2t1q1
【篇三：11热力学统计物理第四版汪志诚_答案】
t>1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。解：已知理想气体的物态方程为
pv?nrt,（1）
由此易得
??
1??v?nr1
??,（2） ??
v??t?ppvt
1??p?nr1
??,（3） ??
p??t?vpvt
??
?t??????????2??.（4）
v??p?t?v??p?p
1??v??1??nrt?1
1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，
其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述
积分求得：
如果??,?t?
1
t1
，试求物态方程。 p
解：以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?v?t,p?,
其全微分为
??v???v?
dv??dt???dp. （1） ?
??t?p??p?t
全式除以v，有
dv1??v?1??v???dt???dp. ?vv??t?pv??p?t
根据体胀系数?和等温压缩系数?t的定义，可将上式改写为
dv
??dt??tdp. （2） v
1
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnv????dt??tdp?.（3）
若??,?t?，式（3）可表为
?11?
lnv???dt?dp?. （4）
p??t
1
t1p
选择图示的积分路线，从(t0,p0)积分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体
积由v0最终变到v，有
ln
vtp
=ln?ln, v0t0p0
即
pvp0v0
， ??c（常量）
tt0
或
pv?
1t
1p
c. t （5）
式（5）就是由所给??,?t?求得的物态方程。确定常量c需要进一步的实验数据。
2
1.4 在0c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为今使铜块加热至10c。??4.85?10?5k?1和?t?7.8?10?7pn?1.?和?t 可近似看作常量，问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
a）根据1.2题式（2），有
dv
??dt??tdp. （1） v
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dt的关系为
dp?
?
dt. （2） ?t
在?和?t可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得
p2?p1?
?
?t?t?. （3） ?t21
将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态?v,t1?和终态?v,t2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?10?5
p2?p1??10?622pn. ?7
7.8?10
因此，将铜块由0c加热到10c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?v
???t2?t1???t?p2?p1?. （4） v1
将所给数据代入，有
3
?v
?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4.
因此，将铜块由0c加热至10c，压强由1pn增加100pn，铜块体
积将增加原体积的4.07?10?4倍。
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换
热量之前，它的内能u与原来在大气中的内能u0之差为
u?u0?p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能u与其原
来在大气中的内能u0由式（1.5.3）
u?u0?w?q （1）
确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为w1和w2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由v0变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没
有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统
所做的功为
w1??p0?v?p0v0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
w2?0.
因此式（1）可表为
u?u0?p0v0.（2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
p0v0?nrt, （3）
u0?u?cv(t?t0)?
nr
(t?t0) （4） ??1
式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有
t??t0. （5）
活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，
4
其物态方程为
p0v?nr?t0.（6）
与式（3）比较，知
v??v0. （7）
1.8 满足pvn?c的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量cn为
c??
n?
nn?1
cv 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
c???q???limt?0???t?????u???p???v?
n?. n??t?n??t?n
对于理想气体，内能u只是温度t的函数，
???u?
??t???cv, n
所以
c?cp???v?
nv???t??. n
将多方过程的过程方程式pvn?c与理想气体的物态方程联立，消去压强得
tvn?1?c1（常量）
。将上式微分，有
vn?1dt?(n?1)vn?2tdv?0,
所以
???v?
??t?
???v.n
(n?1)t代入式（2），即得
cpvnn?cv?
t(n?1)???n?1
cv, 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
（1）（2）
p可（3）（4）（5） 5