选取一个模糊控制的实例讲解，有文章，有仿真，有详细的推导过程。
一．实验题目：基于模糊控制系统的单级倒立摆
二．实验目的与要求：
倒立摆是联结在小车上的杆，通过小车的运动能保持竖立不倒的一种装置，它是一个典型的非线性、快速、多变量和自然不稳定系统，但是我们可以通过对它施加一定的控制使其稳定。对它的研究在理论上和方法上都有其重要意义。倒立摆的研究不仅要追求增加摆的级数，而且更重要的是如何发展现有的控制方法。同时, 它和火箭的姿态控制以及步行机器人的稳定控制有很多相似之处，由此研究产生的理论和方法对一般工业过程也有广泛用途。
本文研究了倒立摆的控制机理，用Lagrange 方法推导了一级倒立摆的数学模型，这为研究多级和其它类型的倒立摆甚至更高层次的控制策略奠定了一个良好的基础。对系统进行了稳定性、可控性分析，得出倒立摆系统是一个开环不稳定但可控的系统的结论。
本文主要研究用极点配置、最优控制和模糊控制方法对倒立摆进行稳定控制。最优控制方法是基于状态反馈，但能实现输出指标最优的一种控制方法，方法和参数调节较简单，有着广泛的应用。模糊控制有不依赖于数学模型、适用于非线性系统等优点，所以本文尝试了用模糊控制对倒立摆进行控制，以将先进的控制方法用于实际中。
同时，对倒立摆系统的研究也将遵循从建模到仿真到实控，软硬件结合的系统的控制流程。在这过程中，借助数学工具Matlab7及仿真软件Simulink，作了大量的仿真研究工作，仿真结果表明系统能跟踪输入，并具有较好的抗干扰性。最后对实验室的倒立摆装置进行了软、硬件的调试，获得了较好的控制效果。
三．实验步骤：
1.一级倒立摆系统模型的建立
在忽略了空气阻力、各种摩擦之后（这也是为了保证Lagrange 方程的建立），可
将一级倒立摆系统抽象为由小车和匀质杆组成的系统，本系统设定如下：
小车质量M；摆杆质量m，长为l；小车在x 轴上移动；摆与竖直方向夹角为θ，规定正方向如图所示；加在小车x 轴上的力为F；
拉格朗日算子L 是系统动能Ec 和势能Ep 之差，拉格朗日方程由拉格朗日算子L 和广义坐标qi ( i=1,2,3⋯n) 表示如下：
Fi 为系统沿该广义坐标方向上的外力，D 为由摩擦而消失的能，本系统中可认为D=0；本系统有两个广义坐标分别是x、θ。
整个系统（车＋摆）移动时的动能：
其中v 代表摆重心的速度矢量，重心位移为(x轴方向)（y轴方向）于是：，
系统势能是摆重心的势能：
于是拉格朗日算子;
,
于是根据自由度q(t)=x(t) 的拉格朗日方程如下：
（1-1）同理，可获得根据自由度q(t)=θ(t), 的拉格朗日方程如下：
因广义坐标θ方向上无外力作用，即
即拉格朗日方程为：（1-2）
由于倒立摆在平衡过程中摆角幅度很小，设竖直向上方向为θ＝0 ，则在竖直方向附近摆角不大的范围内，可近似认为
于是（1-1）、（1-2）式可线性化为：
整理成状态空间方程形式，可得
（其中取u=F）（1-3）实际系统的参数为：M=1Kg, m=0.1Kg, l=0.5m, g≈10m/s2
2.一级倒立摆系统性能分析
单级倒立摆系统的的开环特征根用matlab 的p=eig(A) 语句计算得
{0 0 5.6745 -5.6745}
这说明开环系统有一个极点在∣S∣平面右半平面，有两个极点在原点，因此系统是不稳定的。
根据线性系统理论系统{A,B,C,D}能控，满秩，即rankQ0=k，在matlab 里可以编辑m文件，求解系统的能控阵、能观阵，求它们的秩，从而
判断系统的能控性、能观性。对于（3）式所表示的系统求得所以系统开环虽不稳定，但状态完全能控，这为实现倒立摆的稳定控制提供了理论依据。
计算一级倒立摆线性动态方程开环特征根、能控性矩阵过程作为实验结果1。
3.状态反馈和极点配置法
设控制对象状态方程为：
控制系统的各种特性以及其各种品质指标很大程度上由其闭环系统的零点和极点的位置决
定。极点配置法的控制原理就是设计状态反馈律中的K矩阵，使反馈闭环后的系统：
具有所需要的极点配置。
即闭环特征方程：
为所期望的极点。
下面给出Gura-Bass 算法的步骤：
1判断Σ(A,B)的完全可控性。确定能否完成预定的闭环极点配置综合目标。
2由给定的动态指标或闭环极点要求确定闭环特征多项式的n个系数βi。
3确定开环系统的特征多项式。
4求变换阵L=
能控阵Q=
5状态反馈阵K 由下式求出
采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点,
带入系统的物理参数M=1Kg, m=0.1Kg, l=0.5m, g≈10m/s2
得到系统矩阵A 和输入矩阵B 为
由上面分析可知，倒立摆系统有在复平面右半平面的特征根，所以该系统是不稳定的。也就是说，u=0 时，倒立摆系统是不稳定的系统；同时也意味着当x 非零时，总存在将x 转移至零的控制作用，亦即系统的状态是能控的。根据线性系统理论，不稳定的系统应用状态反馈，可使反馈后的系统的特征根，即矩阵（A-BK）的特征值，位于复平面的左半平面，从而使闭环系统稳定。亦即可使摆杆垂直且使小车处于基准位置，达到稳定状态；完全能控的系统可以通过对状态反馈矩阵的适当选择，使系统的极点按性能指标得到任意期望的配置。
对于上述倒立摆系统根据Gura-Bass 算法配置其闭环极点，使其阶跃响应满足：过渡过程时间ts，超调量σ% %<5%。首先要将期望的性能指标转化为复平面上极点的位置。其思路就是根据经验公式和性能指标确定一对主导闭环极点，然后将非主导极点放在复平面上远离主导极点的地方。根据系统的动态指标超调量σ%<5%，过渡过程时间t s<3s，以及二阶系统极点与动态指标的关系：
可以求得期望的系统闭环主导极点为：p1=-2+2i，p2=-2-2i，因为原系统是四阶的，所以选取另外两个非主导极点为－20 和－80。此程序作为实验结果2。
4.一级倒立摆系统的最优控制器设计
