第一章
1.设x 为准确值，x*为x 的一个近似值.称e*=x*-x 为近似值的绝对误差，简称误差。ε*=|e*|叫做近似值的误差限，
e ?x
=
x ??x x
为相对误差，
εr
?=ε?
|x | 为相对误差限。
2.采用四舍五入原则时，值的误差不超过末位数字的半个单位(对π估计值取
3.14时，误差|π-3.14|≤0.5 * 10-2). 3.
ε(x 1?±x 2?)≤ ε(x 1?)+ε(x 2?
) ε(x 1?·x 2?)≤|x 1?|ε(x 2?)+|x 2?|ε(x 1?) ε(x 1?/x 2?
)≤|x 1?|ε(x 2?)+|x 2?|ε(x 1?
)2?2
4.相近数相减、大数吃小数等问题会加大误差。
T1. 已测得某场地长?的值为?*=110m ，宽d 的值为d*=80m ，已知 |? - ?*| ≤ 0.2m ，|d – d*| ≤ 0.1m.试求面积s=?d 的绝对误差限与相对误差限。
解：因为s= ?d, es e?
=d,es
ed =?.
故 ε(s
?)
≈|(es el
)?|ε(l ?)
+
|(es ed
)?
|ε(d ?), (es el )?=d ?=80m (es
ed
)?
=l ?=110m ε(l ?)=0.2m ε(d ?)=0.1m
得绝对误差限 ε(s ?)=27(m 2)
相对误差限
εr
?=
ε(s ?)|s |
=
ε(s ?)l d ≈0.31%
T3. 计算I n =e ?1∫x n e x
dx(n =0,1,…)1
并估计误差。 解：由分部积分可得
I n =e ?1∫x n d (e x )=e ?1(x n e x |01?∫e x d (x n )1
)1
=1?e ?1n ∫x n?11
e x
dx =1?nI n?1 I 0=e
?1
∫e x
10
dx =1?e ?1
得到通式{I n =1?nI n?1 (n =1,2,…)
I 0=1?e ?1
(1)
为计算出I 0须先计算e -1,采用泰勒展开式，取k=7，使用四位小数
计算。由 e ?1
≈1+(?1)+
(?1)22!
+?+
(?1)k k!
, e ?1≈0.3679 ,
截断误差R 7=|e -1-0.3679|≤ 18! < 1
4 * 10-4
当初值取I 0≈0.6321=I
?0时,用式(1)递推计算公式为 A ={I
?0=0.6321I ?n =1?nI ?n?1,n =1,2,…
计算结果见表1-1
表1-1
从表中n=8时，出现负值，这与I n 大于0矛盾。由积分估值得：
e ?1n+1
=e ?1(min 0≤x≤1
e x )∫x n dx 1
0
e x )∫x n
dx =1n+1
1
(2)
当n 较大时，使用I
?n 近似I n 显然是不正确的，计算公式和计算过程是
正确的，计算结果错误额原因主要是初值I ?0有误差E 0=I 0?I ?0，由此导致以后各步计算误差 E n =I n ?I
?n 满足关系 E n =?nE n?1=(?1)n n!E 0 ,n =1,2,…
这就说明I
?0有误差E 0，则I ?n 就是E 0的n ！倍误差。当n=8时， 若|E 0|=1
2*10-4,则|E 8|=8！*|E 0|>2，这说明I ?8完全不能近似I 8了.它表明计算公式(A)是不稳定的。
可以通过另一种计算方案.由式(2)取n=9，得
e ?110
1
10
,粗略的
取I 9≈1
2(
1
10+
e ?1
10
)=0.0684=I 9?
,然后将公式(1)倒过来算，即由
I 9?算出I 8?,I 7?,…I 0?,公式为
B ={I 9?=0.0684
I n?1?
=1n
(1?I n ?
), n =9,8,…,1
计算结果如表1-2
表1-2
可以看出I 0?与I 0的误差不超过10-4.记 E n ?=I n ?I n ?,则 |E 0?|=
1n!
|E n ?
|,
|E 0?|比|E n ?|缩小了n!倍，因此，尽管|E 9?|较大，但由于误差逐步缩小，故可以用I n ?近似I n .反之，当使用方案(A)计算时，尽管初值I
?0相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果并不可靠。 故方案(A)是数值不稳定算法，方案(B)是数值稳定算法。
第二章
1.插值问题：对于给定的函数(上的点)，构造简单插值函数逼近原函数，保证在所给点的位置插值函数值等于原函数值。
2.拉格朗日插值多项式：L n (x )
=∑y k l k (x)n 0其中y k 为各个插值
节点的函数值，l k (x)是插值函数的基函数。并满足
l k (x j )={1 k =j
0 k ≠j
满足此条件的l k (x k )通式为
l k (x k )=(x ?x 0)···(x ?x k?1)(x ?x k+1)···(x ?x n )
(x k ?x 0)···(x k ?x k?1)(x k ?x k+1)···(x k ?x n )
引入记号 ωn+1(x )=(x ?x 0)(x ?x 1)···(x ?x n ) 误差R n (x )=f (x )?L n (x )=
f (n+1)(δ)
(n+1)!
ωn+1(x ) δ∈[x 0,x n ]
通常只需求出f (n+1)(δ)的最大值即可
3.牛顿插值公式：牛顿插值公式在得出插值函数后，即使再添加新的节点，也无需重新计算之前的参数。只需将新参数添加到多项式上即可。通式为 P n (x )=a 0+a 1(x ?x 0)+···+a n (x ?x 0)···(x ?
x n?1)
定义均差: f [x 0x k ]
=
f (x k )?f(x 0)x k ?x 0
f [x 0,x 1,···,x n ]=f [x 1,x 2,···,x n ]?f [x 0,x 1,···,x n?1]
n 0
即n+1项的均差为后n 项的均差减去前n 项的均差再除以首尾之差
P n (x )=f (x 0)+f [x 0,x 1](x ?x 0)+··
·+f [x 0,x 1,···,x n ](x ?x 0)···(x ?x n?1)
误差为R n(x)=f(x)?P n(x)=f[x,x0,···,x n]ωn+1(x)
通常使用 f[x,x0,···,x n]≈f[x0,x1,···,x n+1]来近似计算
均差表
X k f(X k)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差
X0f(X0)
X1f(X1)f[x0,x1]
X2f(X2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]
X3f(X3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]
X4f(X4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4] 4.差分形式的牛顿插值公式：在遇到等距节点时，使用差分牛顿公式。
x k=x0+k? ?为步长
定义差分：x k处的一阶差分：?f k=f k+1?f k,
二阶差分：?2f k=?f k+1??f k；n阶差分：?n f k=?n?1f k+1??n?1f k 令x=x0+th得
P n(x)=f0+t?f0+t(t?1)
2!
?2f0+···+
t(t?1)···(t?n+1)
n!
?n f0
余项R n(x)=t(t?1)···(t?n)
(n+1)!
?n+1f(n+1)(δ) δ∈(x0,x n)
差分表
5.埃尔米特插值：满足在某些点上的导数值相等。
①三点一导。求满足P(x i)=f(x i) i=(0,1,2)以及P′(x1)=f′(x1)的插值多项式与余项。
P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x?x0)+f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)
+A(x?x0)(x?x1)(x?x2)
由P’(x1)=f’(x1)得
P′(x1)=0+ f[x0,x1]+f[x0,x1,x2](x1?x0)+f[x0,x1,x2](x1?x1) +A(x1?x0)(x1?x2)=f′(x1)
得A=f′(x1)?f[x0,x1]?f[x0,x1,x2](x1?x0)
(x1?x0)(x1?x2)
余项为R(x)=1
4!
f(4)(δ)(x?x0)(x?x1)2(x?x2)
②两点及导数相等，插值条件为
{H3(x k)=y k, H3(x k+1)=y k+1
H′3(x k)=m k, H′3(x k+1)=m k+1
构造 H3(x)=αk(x)y k+αk+1(x)y k+1+βk(x)m k+βk+1(x)m k+1
有等式{αk(x k)=1,αk(x k+1)=0,α′k(x k)=α′k(x k+1)=0;
αk+1(x k)=0,αk+1(x k+1)=1,α′k+1(x k)=α′k+1(x k+1)=0;
以及{
βk(x k)=βk(x k+1)=0, β′k(x k)=1,β′k(x k+1)=0;
βk+1(x k)=βk+1(x k+1)=0, β′k+1(x k)=0,β′k+1(x k+1)=1;得αk(x)=(1+2
x?x k
x k+1?x k
)(
x?x k+1
x k?x k+1
)
2
.
αk+1(x)=(1+2
x?x k+1
k k+1
)(
x?x k
k+1k
)
2
.
βk(x)=(x?x k)(
x?x k+1
x k?x k+1
)
2
.
βk+1(x )=(x ?x k+1)(x ?x k x k+1?x k
)2
.
误差为 R 3(x )=1
4!f (4)(δ)(x ?x k )2(x ?x k+1)2
T1.已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。
解：由题意取x 0=0.32,y 0=0.314567; x 1=0.34,y 1=0.333487;
x 2=0.36,y 2=0.352274
用线性插值计算，取x0与x1，由公式有
L 1(x )=x?x 1
x
0?x 1
y 0+x?x 0
x
1?x 0y 1 或L 1(x )
=y 0+y 1?y 0
x
1?x 0
(x ?x 0)
得 L 1(x )=0.314567+0.946(x ?0.32)
sin (0.3367)≈L 1(0.3367)=0.330365
其截断误差|R 1(x)|≤
M 22!
|(x ?x 0)(x ?x 1)|，
M 2=max x 0≤x≤x 1
|f ′′(x)|=max x 0≤x≤x 1
|?sinx |=sinx 1≤0.3335 故 |R 1(0.3367)|=|sin0.3367?L 1(0.3367)|≤0.92?10?5
使用抛物插值计算，根据拉格朗日插值公式，
L 2(x )=y 0l 0(x)+y 1l 1(x)+y 2l 2(x)
其中l k (x)满足l k (x j )={0 k ≠j
1 k =j , 代入数值，得插值函数 ···
sin(0.3367)≈L 2(0.3367)=0.330374 其误差上限R 2(x)≤
M 36
|(x ?x 0)(x ?x 1)(x ?x 2)|,其中
M3=max
x0≤x≤x2
|f′′′(x)|=cosx0<0.9493
则 R2(0.3367)=|sin0.3367?L2(0.3367)|≤2.0316?10?7
T2.给定f(x)=x 3
2,x0=
1
4
,x1=1,x2=9
4
,试求f(x)在[1
4
,9
4
]上的三次埃
尔米特插值多项式P(x)使它满足P(x i)=f(x i)(i=0,1,2), P′(x1)= f′(x1).
解：由题可得
f(x0)=1
8
,f(x1)=1,f(x2)=
27
8
,f′(x1)=
3
2
构造均差表如下：x i f(x i)
1 41 8
117
6
9 427
8
19
10
11
30
由埃尔米特插值通式得
P(x)=1
+
7
(x?
1
)+
11
(x?
1
)(x?1)+A(x?
1
)(x?1)(x?
9
)
由P′(x1)=f′(x1)得
P′(1)=7
6
+
11
30
(1?
1
4
)+A(1?
1
4
)(1?
9
4
)=
3
2
得A=?14
255
，P(x)=?14
255
x3+263
450
x2+233
450
x?1
25
R(x)=P(x)?f(x)=1
4!f(4)(δ)(x?1
4
)(x?1)2(x?9
4
)
=1
·
9
δ?
5
2(x?
1
4)(
x?1)2(x?
9
4)
δ∈(
1
4
,
9
4
)
第三章
1.范数：具有“长度”概念的函数对于多项式X=[x 1,x 2,….,x n ]：
{
||X ||∞=max 1≤i≤n
|x i |, 无穷范数/最大范数||X||1=∑|x i |n i=1, 1?范数
||X||2=(∑x i 2n
i=1
)12, 2?范数
对于函数f (x ),x ∈[a,b]:
{
||f||∞=max a≤x≤b |f(x)|||f||1=∫|f (x )|dx
b
a ||f||2
=(∫f 2(x)dx b a
)1
2
其中无穷范数用于求最佳一致逼近，2-范数用于求最佳平方逼近 2.向量內积：定义两个向量X ∈[x 1,…,x n ],Y ∈[y 1,…,y n ]的內积为：
(X,Y )=x 1y 1+?+x n y n
3.勒让得多项式：在区间[-1,1]上，权函数ρ(x)=1,由{1,x,…,x n }正交化得到的多项式。递推公式为：
(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )?nP n?1(x ) (n =1,2,…)
P 0(x )=1,
P 1(x )=x
4.切比雪夫多项式：在区间[-1,1]上,权函数ρ(x )=√2
,由{1,x,…,x n
}正交化得到的多项式。递推公式为：
T n+1(x )=2xT n (x )?T n?1(x ) (n =1,2,…)
T 0(x )=1, T 1(x )=x
5.最佳平方逼近：对于f(x)∈C [a,b ]及C[a,b]中的一个子集φ=span{φ0,φ1,…,φn },若存在S ?(x)∈φ使得
||f (x )?S ?(x)||22=min S(x)∈φ∫ρ(x )[f (x )?S(x)]2
dx b
a
则称S ?(x)是f(x)在子集φ∈C[a,b]上的最佳平方逼近。 该问题等价于求多元函数
I (a 0,a 1,…,a n )=∫ρ(x )[∑a j φj (x )?f(x)n
j=0
]2dx 的最小值b
a
等价于解 ∑(φk (x ),φj (x ))a j =(f (x ),φk (x )) (k =0,1,…,n)n
j=0
取φk (x )=x k ,ρ(x )=1,f (x )∈[0,1],则S ?(x )=a 0?+a 1?x +…+a n ?x n
，
(φj (x ),φk (x ))=∫x k+j
dx =1
k +j +1
1
(f (x ),φk (x ))=
∫f (x )x k dx 结果记为d k 1
得到可用于求a 0,a 1,…,a n 的矩阵
[
1
1
2…
1
n +11
2
13…1n +2?
1
?1?…
?1]
[a 0a 1
?a n
]=[d 0d 1?
d n ] 误差分析:令δ(x )=f (x )?S ?(x),则平方误差为
||δ(x)||22=(f (x )?S ?(x ),f (x )?S ?
(x ))
=(f (x ),f (x ))?(S ?(x ),f (x ))
=||f (x )||22
?∑a k ?
(φk (x ),f (x ))n
k=0
最小二乘法:求一个函数与所给点{(x i,y i),i=0,1,…,m}拟合，是对离散点的拟合并且考虑权函数问题。
I(a0,a1,…,a n)=∑ω(x i)[∑a jφj(x i)?f(x i)
n
j=0]2
m
i=0
(φj,φk)=∑ω(x i)φj(x i)φk(x i)
m
i=0
(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)记为d k
m
i=0
列出等式，解出a0,a1,…,a n。其中m表示共有m+1个点，n为最高项次数
T1.求f(x)=2x3+x2+2x?1在[-1,1]上的最佳2次(逼近多项式的次数)逼近多项式.
解：由题意，所求逼近多项式P2?(x)应满足
max
?1≤x≤1
|f(x)?P2?(x)|=min.
采用切比雪夫多项式进行逼近，满足条件
f(x)?P2?(x)=1
2
T3(x)=2x3?
3
2
x
时，多项式f(x)?P2?(x)与零偏差最小，故
P2?(x)=f(x)?1
2
T3(x)=x2+
7
2
x?1
就是f(x)在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式。( 当区间为[a,b]时，需将变量替换到[-1,1]。
可令 x=1
2
[(b?a)t+a+b],t∈[?1,1])
接上题，设区间为[2,4].则x =1
2
(2t +6)=t +3 t ∈[?1,1]
f (t )=2(t +3)3+(t +3)2+2(t +3)?1=2t 3+19t 2+62t +68
当f (t )?P 2?(t )=1
2
T 3(t )=2t 3?3
2
t 时，多项式f (t )?P 2?(t )与零偏差
最小，故
P 2
?=f (t )?12T 3(t )=412
t 2
+62t +68,t =x ?3得
P 2
?=41(x ?3)2+62(x ?3)=68
T2.设f (x )=2,求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。
解:设该多项式为 S 1?
=a 0+a 1x 由
∑(φk (x ),φj (x ))a j =(f (x ),φk (x )) (k =0,1,…,n)n
j=0
有
d 0=∫√1+x 2dx =1
2
10In(1+√2)+√22
≈1.147
d 1=
∫x√1+x 2dx =1
3
1
(1+
x 2)3
2|1
≈0.609
得方程组
[ 11 12
13]
[a 0
a 1]=[1.1470.609] 解得 a 0=0.934 a 1=0.426 故 S 1?
=0.934+0.426x
平方误差||δ(x )||22
=(f (x ),f (x ))?(S 1?(x ),f (x ))
=∫(1+x 2)dx ?0.934d 0?0.426d 1=0.00261
最大误差 ||δ(x)||∞=max 0≤x≤1
|√1+x 2?S 1?
(x)|≈0.066
T3.已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线。
解：将所给数据在坐标纸上标出，从图中可看出各在一条直线附近，故可选择线性函数作拟合曲线。
令S 1?=a 0+a 1x ,有题可知m =4,n =1,φ0(x )=1,φ1(x )=x .故
(φ1,φ1)=∑ωi 4
i=0
x i
2=74
(φ0,f )=∑ωi f i =47 (φ1,f )=∑ωi x i f i =145.54
i=0
4
i=0
由此可得方程组 {8a 0+22a 1=4722a 0+74a 1=145.5
解得 a 0=2.5648,a 1=1.2037
(φ0,φ0)=∑ωi 4
i=0
=8
(φ0,φ1)=(φ1,φ0)
=∑ωi 4
i=0
x i=22
故所求曲线为 S1?(x)=2.5648+1.2037
第四章
1.数值积分原理：由积分中值定理知，在区间[a,b]内存在一点δ使得
∫f (x )dx =(b ?a)f(δ)b
a
,因此，可以在[a,b]上适当选区某些节点x k ，
然后用f(x k )加权平均得到平均高度f(δ)的近似值。由此导出求积公式
∫f(x)dx b a
≈∑A k f(x k )n
k=0
式中x k 为求积节点，A k 为求积系数，也称伴随节点x k 的权。 代数精度：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称改求积公式具有m 次代数精度。欲使求积公式具有m 次代数精度，只要令它对于f (x )=1,x,…,x m 都准确成立即可。即满足：
{
∑A k =b ?a n
k=0
∑A k n k=0
x k =12
(b 2
?a 2)
? ∑A k n
k=0
x k m =
1m +1(b m+1?a m+1)=∫x m dx b a
余项：代数精度为m 的求积公式余项表达式为：
R [f ]=∫f (x )dx ?∑A k f (x k )=Kf (m+1)(η)n
k=0
b
a
其中
K =1()[1(b m+2?a m+2)?∑A k x k m+1n
k=0
]
稳定性：若求积公式中系数A k >0(k =0,1,…,n)，则此求积公式是稳定的。
梯形公式: ∫f (x )dx ≈(b ?a)
f (a )+f(b)
2
b a
,代数精度为1，余项为
R [f ]=?(b ?a )3
12
f"(η) ,η∈(a,b)
中矩形公式: ∫f (x )dx ≈(b ?a)f(
a+b 2
)b
a
,代数精度为1,余项为
R [f ]=(b ?a )3
24
f"(η) ,η∈(a,b)
插值型求积公式：根据拉格朗日插值公式
L n (x )=y 0l 0(x )+?+y n l n (x )=∑y k l k (x)n
k=0
令 A k =
∫l k
(x )dx (k =0,1,…,n ), f (x k )=y k b
a 得到积分公式
I n =∑A k f(x k )n
k=0
余项为 R [f ]=
f (n+1)(δ)
(n+1)!
ωn+1(x) 牛顿-科特斯公式：将积分区间[a,b]划分为n 等分，步长?=b?a
n
,选取等距节点x k =a +k?构造出的插值型求积公式：
I n =(b ?a )∑C k (n )
f (x k ) n
k=0
称为牛顿?科特斯公式。
当n=1时，C 0
(1)
=C 1
(1)
=1
2
,这时的求积公式就是梯形公式
T =(b ?a)2
[f (a )+f(b)]
当n=2时，此时求积公式为辛普森公式：
S =(b ?a)6[f (a )+4f (a +b
2
)+f (b )],代数精度为3
余项为 R[f]=?b?a
180
(b?a
2
)
4
f(4)(η),η ∈(a,b)
当n=3时，S=(b?a)
8
(f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3))当n=4时，求积公式称为科特斯公式：
C=(b?a)
90
[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]
余项为 R[f]=?2(b?a)
945
(b?a
4
)
6
f(6)(η),η ∈(a,b)
当阶数n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度
复合求积公式：把积分区间拆分成若干个子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式，从而提高精度。
①复合梯形公式：将区间[a,b]划分为n等分，分别对点x k=a+ k?,?=b?a
n
,k=0,1,…,n在每个子区间[x k,x k+1](k=0,1,…,n?1)上采用梯形公式。
T n=?
2
[f(a)+2∑f(x k)+f(b)
n?1
k=1
]
余项为 R n(f)=?b?a12?2f"(η),η ∈(a,b)
②复合辛普森求积公式：记x
k+1
2=x k+1
2
?,即对两点之间的中点再取
一次函数值。得：
S n=?
6
[f(a)+4∑f(x
k+
1
2
)+2∑f(x k)+f(b)
n?1
k=1
n?1
k=0
]
余项为 R n(f)=?b?a
180(?
2
)
4
f(4)(η),η ∈(a,b)
高斯求积公式：一般有n+1个节点的求积公式的代数精度最高为2n+1
次方。对满足具有2n+1次代数精度的求积公式，称其节点x k 为高斯点，求积公式为高斯求积公式。对一个插值型求积公式的节点a ≤x 0≤?≤x n ≤b 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式ωn+1(x )=(x ?x 0)(x ?x 1)…(x ?x n )与任何次数不超过n 的多
项式P(x)带权ρ(x)正交。即 ∫P (x )ρ(x )ω(x )dx =0b
a
。其余项为
R n [f ]=
f (2n+2)(η)(2n+2)!
∫ωn+12
(x)ρ(x)dx b
a
,当次数不到2n+1时，余项为0，故高斯公式精度为2n+1.高斯求积公式同时也是收敛且稳定的。
T1.试确定节点x 0,x 1及系数A 0,A 1 ,使其具有尽可能高的代数精度。。∫f (x )dx ≈A 0f (x 0)+A 1f (x 1)1
?1. 解：由代数精度的性质，令原式对于f (x )=1,x,x 2,x 3精确成立，
得
{ A 0+A 1=2
x 0A 0
+x 1A 1=0
x 02A 0+x 12
A 1=23x 03A 0+x 1
3
A 1=0 解得 A 0=A 1=
1,x 0=?√33,x 1=√3
3
于是有∫f (x )≈f (?√33
)+f(√3
3
)1
?1
.当f (x )=x 4时,上式两端分别
为25与2
9,故对f (x )=x 4不精确成立，故该式的代数精度为3.
T2.给定形如∫f (x )dx ≈A 0f (0)+A 1f (1)+B 0f′(0)1
的求积公式,试
确定系数A 0、A 1、B 0使公式具有尽可能高的代数精度。
解：依照题意，可令f (x )=1,x,x 2分别代入求积公式使它精确成
立。 当f (x )=1时，得 A 0+A 1=∫11
dx =1 当f (x )=x 时，得A 1+B 0=∫x 10dx =12
当f (x )=x 2时，得A 1=∫x 2dx =1013
解得 A 0=23，A 1=13，B 0=1
6
于是得
∫f (x )dx ≈23f (0)+13f (1)+1
6f′(0)1
当f (x )=x
3
时，∫x 3
dx =1
4
10
，而上式右端为1
3,故对f (x )=x 3不精确成立，其代数精度为2.
由余项公式，有R [f ]=Kf′′′(η),令 f (x )=x 3
K =1[∫x 3
dx ?(2f (0)+1f (1)+1f ′(0))10]=?1
故 R [f ]=?172
f ′′′(η) η∈(0,1)
T3.对于函数f (x )=
sinx x
给出n=8的函数表,试用复合梯形公式及复
合辛普森公式计算积分 I =∫sinx
dx,1并估计误差。
解：使用复合梯形公式：T n =
2
[f (a )+2∑f (x k )n?1k=1+f(b)],
在区间[0,1]上将区间分为8等份，n=8,h=1
8。代入上求积公式中得：
T 8=0.9456908
误差 |R 8(f )|=|I ?T 8|≤?b?a 12
?2max 0≤x≤1
|f ′′(x )|≤0.000434
使用复合辛普森公式：
S n =?
6(f (a )+4∑f (x k+12
)n?1k=0
+2∑f (x k )n?1
k=1
+f(b))
将[0,1]分为四等份，n=4,h=1
4,代入有 S 4=0.9460832.误差为 R 4(f )=|I ?R 4|≤b ?a 180(?2)4max 0≤x≤1
|f (4)(x )|=0.271?10?6
T4.计算积分I =∫e x
1
dx,若用复合梯形公式,问区间[0,1]应分多少份才能使误差不超过1
2*10-5,若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度，问区间[0,1]应分多少等份？
解：由于f (n )(x )=e x ,b ?a =1,由复合梯形公式余项公式得误差
上界为 |R (f )|=?
b?a 12
?2f
′′(
δ)≤
112
·(1n
)2
e ≤1
2
?10?5
解得n ≥212.85故可取n=213，满足题意。
若采用复合辛普森公式计算，则|R n (f )|=
b?a 2880(1n
)4e ≤1
2
?10?5,
得n ≥3.707,可取n=4满足题意，此时区间[0,1]实际应分为8等份
T5.确定求积公式∫√
xf (x )dx ≈A 0f (x 0)+A 1f(x 1)1
0的系数A 0,A 1
及节点x 0,x 1,使它具有最高的代数精度。
解：具有最高代数精度的求积公式是高斯型求积公式，其节点为
关于权函数ρ(x )=√x 的正交多项式零点x 0,x 1。
数值分析试题 一. 填空题： 1. 设A=?? ????4311，则 ||A||1 = ，||A||∞ = _______，()A ρ=_________； 2. 已知函数()y f x =的观测数据为(0,1),(1,2),(2,3，则二次Lagrange 插值多项式22()L x a bx cx =++中a = ， b =_____ ， c =_____； 3. 为使求积公式012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++?的代数精度尽量高，则0A =_____，1A =______，2A =______，其具有代数精度为_____次； 4. 设给出(1)2,(0)1,(1)0,(0)2f f f f '-====-，可求得其三次插值多项式 233()H x a bx cx d x =+++中a =____，b =_____ ，c =______ ，d =_____； 5．对3()31f x x x =++，差商[0,1,2,3]f = ；[0,1,2,3,4]f = 。 二．已知函数()y f x =的观测数据为： 1．构造差商表，并写出Newton 插值多项式（按降幂排列）； 2．用最小二乘法求形如 2y a bx cx =++的经验公式使与题目数据拟合； 3．用复化梯形公式计算4 1()f x dx ?的近似值。 三．分别用下列方法求方程3310x x +-=在[0,1]内的根使误差小于110-： 1. Newton 法（取00.4x =）； 2. 试证明用简单迭代格式3/)1(31k k x x -=+求其在[0.2,0.4]内的根是收敛的。 四. 用下列各种方法求解方程组Ax b =，即 ??????????-122111221????????321x x x =???? ??????-001 1．Gauss 消元法； 2．Doolittle 分解法； 3. 写出求Ax b =的解的Jacobi 迭代格式，并取(0)(0,0,0)T x =求(3)x ； 4. 判定矩阵A 对Jacobi 迭代的收敛性，并证明你的结论。 五．1．用2段Simpson 公式（5节点）计算?511dx x 的近似值（计算中取五位有效数字）； 2．若使误差不超过610-，用复化梯形公式计算上述积分至少应取多少个节点？
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)首师大考研复试班-首都师范大学计算数学考研复试经验分享
首师大考研复试班-首都师范大学计算数学考研复试经验分享首都师范大学建于1954年，办学历史可追溯至1905年成立的通州师范，是国家“双一流”建设高校、北京市与教育部“省部共建”高校。学校现有学科专业涵盖文、理、工、管、法、教育、外语、艺术等，六十多年来已培养各类高级专门人才二十余万名，是北京市人才培养的重要基地。 学校现有博士学位授权一级学科17个，博士点100个，博士后流动站16个，硕士学位授权一级学科26个，硕士点141个，专业学位类别14个。国家重点学科4个，国家重点培育学科1个，北京市一级重点学科8个，北京市二级重点学科12个，北京市一级重点建设学科2个，北京市二级重点建设学科13个，北京市一级重点培育学科4个，交叉学科北京市重点学科2个;1个省部共建国家重点实验室培育基地，2个教育部重点实验室，1个教育部省属高校人文社会科学重点研究基地，1个教育部工程研究中心，1个民政部重点实验室，1个国家级实验教学示范中心，1个国家虚拟仿真实验教学中心，1个国家国际科技合作基地，1个国家语委科研基地，1个北京市高校高精尖创新中心，1个北京实验室，11个北京市重点实验室，2个北京市高等学校工程研究中心，1个北京市工程技术研究中心，1个北京市工程实验室，1个北京市社会科学与自然科学协同创新研究基地，4个北京高等学校市级校外人才培养基地，7个北京市实验教学示范中心，10个省、部级设置的研究(院、所、中心)、实验室。 启道考研复试班根据历年辅导经验，编辑整理以下关于考研复试相关内容，希望能对广大复试学子有所帮助，提前预祝大家复试金榜题名！ 专业介绍 计算数学是由数学、物理学、计算机科学、运筹学与控制科学等学科交叉渗透而形成的一个理科专业。 复试科目与人数
. 《工程中的数值分析》开放性考试
工程中的数值分析题目： 建筑与土木工程系分院： 14土木工程本一班级： 陈凯名：姓14219114125号：学 日14122016 完成日期：年月 温州大学瓯江学院教务部. . 二○一二年十一月制 实现二分法的和算法及Excel1.1 由闭区间上连续函数的性质f(b)<0f(a)·[a,b]上连续,且在原理:设函数 f(x)二分法的基本思想内至少有一个实根.(a,b),方程(2.2)在区间及定理2-1可知,,进一步缩小有根区间:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号是. ,从而求出满足精度要求的根的近似值将有根区间的长度缩小到充分小算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c). (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
(2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c; (3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4. Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)<0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值 (a+b)/2. 同理“=IF(f(中点值)<0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b. 如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。 . . 1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函数,任取初值x,代入方程得到 x=φ(x),x=φ(x)····x=φ k+121001(x),k=0,1,2,····k称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,x称为第k步迭代k值. 若{x}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散. k算法： （1）确定初值
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
浅谈数值分析在机械工程领域的应用 摘要：MATLAB是目前国际上最流行的科学与工程计算的软件工具, 它具有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、模拟仿真和最优化设计等功能。本文浅谈MATLAB在机械设计优化问题的几点应用。 关键词：MATLAB 约束条件机械设计优化数值分析 引言：在线性规划和非线性规划等领域经常遇到求函数极值等最优化问题，当函数或约束条件复杂到一定程度时就无法求解，而只能求助于极值分析算法，如果借助计算器进行手工计算的话，计算量会很大，如果要求遇到求解极值问题的每个人都去用BASIC,C和FORTRAN之类的高级语言编写一套程序的话，那是非一朝一日可以解决的，但如用MATLAB语言实现极值问题的数值解算，就可以避免计算量过大和编程难的两大难题，可以轻松高效地得到极值问题的数值解，而且可以达到足够的精度。 数值分析是一门研究如何在计算机上求解数学问题算法的学科,主要内容有:误差分析,插值法,数值微积分,数值代数, 矩阵计算和微分方程数值解法等, 是工科各专业大学本科及研究生中开设的一门计算量大,算法多,实践性比较强的专业课。在长期的教学实践中,数值分析课程常采用C语言进行教学和实验, 要求学生既要对算法有充分了解,又要熟练掌握C语言的语法和编程技巧, 导致学生和教师将大量的时间和精力都花在繁琐的数值计算以及对各种结果绘图上面，学习效果往往令人不满意。M a t l a b 是M a t h W o r k s 公司开发的一款以数值计算为主要特色的数学工具软件, 在数值计算领域独领风骚。其所带强大的符号运算功能, 几乎包括高等数学所涉及的运算, 如求极限、导数、微分、积分、函数的级数展开、解常微分方程等等, 并且样条工具箱中的命令调用格式极为简单方便, 对工科学生来说, 掌握起来无需费多大力气, 而对机械系等理工科系的同学,通过初步了解M a t l a b还可以进一步挖掘其强大的功能, 对学习其他课程也有帮助。本文讨论基于matlab在机械方面的数值分析。 一．数值分析方法的研究 1、数值分析方法意义
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。（范数用∞?） 四、（ 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据
为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法： ??? ? ??? ++==++=+) ,() ,()2 121(1 21211 hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n
B班大作业要求： 1. 使用统一封皮； 2. 上交大作业内容包含： 一摘要 二数学原理 三程序设计（必须对输入变量、输出变量进行说明；编程无语言要求，但程序要求通过）四结果分析和讨论 五完成题目的体会与收获 3. 提交大作业的时间：本学期最后一次课，或考前答疑；过期不计入成绩； 4. 提交方式：打印版一份；或手写大作业，但必须使用A4纸。 5. 撰写的程序需打印出来作为附录。
课程设计 课程名称： 设计题目： 学号： 姓名： 完成时间：
题目一：非线性方程求根 一 摘要 非线性方程的解析解通常很难给出，因此非线性方程的数值解就尤为重要。本实验通过使用常用的求解方法二分法和Newton 法及改进的Newton 法处理几个题目，分析并总结不同方法处理问题的优缺点。观察迭代次数，收敛速度及初值选取对迭代的影响。 用Newton 法计算下列方程 （1） 310x x --= ， 初值分别为01x =，00.45x =，00.65x =； （2） 32943892940x x x +-+= 其三个根分别为1,3,98-。当选择初值02x =时给出结果并分析现 象,当6 510ε-=?，迭代停止。 二 数学原理 对于方程f(x)=0，如果f(x)是线性函数，则它的求根是很容易的。牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程f(x)=0逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程f(x)=0有近似根x k (假定k f'(x )0≠) ，将函数f(x)在点x k 进行泰勒展开，有 k k k f(x)f(x )+f'(x )(x-x )+≈??? 于是方程f(x)=0可近似的表示为 k k k f(x )+f'(x )(x-x )=0 这是个线性方程，记其根为x k+1，则x k+1的计算公式为 k+1k () x =x -'() k k f x f x ，k=0,1,2,… 这就是牛顿迭代法或简称牛顿法。
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
武 汉 大 学 2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b ?时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。 二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中 211625608A ????=?????? 226768b ????=?????? 三、（14分）设方程组 123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌 其中a 为常数。 （1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式； （2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下： 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。 五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 2 1 320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。
六、（12 求形如 y bx x =+ 的拟合曲线。 七、（14分）（1）对初值问题 00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ì??= ??í??=?? 验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的； （2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）： (0)1 dy dt y ?=???=? [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑?=≈n k k k b a x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式， 并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω （1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？ （2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有?=b a n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>
《工程中的数值分析》开放性考试 题目：工程中的数值分析 分院：建筑与土木工程系 班级：14土木工程本一 姓名：陈凯 学号：14219114125 完成日期：2016年12月14日 温州大学瓯江学院教务部
二○一二年十一月制 1.1 二分法的和算法及Excel实现 原理:设函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0由闭区间上连续函数的性质及定理2-1可知,方程(2.2)在区间(a,b)内至少有一个实根.二分法的基本思想是:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号,进一步缩小有根区间,将有根区间的长度缩小到充分小,从而求出满足精度要求的根的近似值. 算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c). (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c; (3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4. Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)<0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值(a+b)/2. 同理“=IF(f(中点值)<0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b. 如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )
数值分析试题 2007.12 一、简答下列各题：（每题4分，共20分） 1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？ 2．设??? ? ??=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。 3．设??? ? ? ??=131122321A ，求A 的LU 分解式。 4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式?-≈b a a b a f dx x f ))(()(的截断误差R[?]。 二、解答下列各题：（每题8分，共56分） 1．已知线性方程组??? ??=-+=-+=-+3 53231 4321 321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？ 2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中： ???? ? ??--=211111112A 3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。 4．给定离散数据 试求形如3bx a y +=的拟合曲线。 5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。 6．证明求积公式： ? +++-≈3 1 ) 5 3 2(5)2(8)532(5[91)(f f f dx x f
是Gauss 型求积公式。 7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。 三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α； 2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题： ?? ?∈=='] ,[,)(),(b a x a y y x f y α 的差分公式： ?? ??????? =++==++=+α 0121211) 32 ,32() ,()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法； 2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？ ?1 0sin xdx
工 程 中 的 数 值 分 析 20 年月日A4打印/ 可编辑
《数值分析》 课程教学方法改革案例 1.课程简介 （1）课程类别：专业选修课程 （2）学科类别：工学--计算机科学与技术 （3）课程目标和教学内容： 解决问题的数值方法已经成为工程学乃至社会科学研究中非常重要的基础工具。《数值分析》是应用性很强的数学类课程，是工程数学与计算机应用的桥梁。该课程介绍将连续的数学模型离散化，通过计算机程序在有限步骤内求得数值近似解的方法。通过一系列的实验帮助学生掌握基本的误差分析方法、求解非线性方程和线性方程组的方法、求特征根、用插值及拟合近似计算函数值、计算近似定积分、求解微分方程的方法等。通过学习，学生将掌握经典算法的基本理论、使用技巧，并能够灵活应用以解决实际问题。 （4）教学对象：计算机与软件工程专业三年级本科学生；每年开设3个左右教学班，每班人数控制在50人以内，采用小班化教学。 （5）教学场景：课堂教学在多媒教室，实验教学在计算机实验机房。 2.课程教学重点解决的问题 工程数学领域内用到的大量数学模型，还不能直接用计算机求解，必须通过数
值方法把原始数学模型离散化，变为算法语言能认识的、有限步可解的数学模型，才可用计算机编程、运行得到数值解。《数值分析》就是以高等数学和算法语言为基础，介绍这些数值方法的来龙去脉，使学生学会基本原理，并掌握灵活实际应用的技巧。 在传统的数值分析教学活动及教材中，往往偏重理论证明和简单的手工跟踪算法实践，较少给出数值实验习题，而对如何进行数值实验，如何基于算法进行编程练习等更没有提出要求。但这是一门应用性很强的数学类的课程，因此教学过程中应特别注重实践。虽然专业软件MATLAB具有强大的计算功能，但处理一些特殊困难的问题时仍然不能保证得到好的效果，所以专业人员仍然有必要掌握对基本算法的实现能力，才能在改进算法适应性方面得心应手。 另一方面，数学的学习是锻炼科学研究能力的重要手段之一，课程本身传递的知识固然重要，更重要的是引导学生训练逻辑思维能力，掌握逻辑推理的一般方法，从而培养出科学严谨的思维习惯以及主动探索求知的精神。 3.围绕问题的教学方法改革 （1）教学实施策略与方法 针对课程教学的目标和教学中重点解决的问题，目前课程采用的教学实施策略和方法主要有：基于团队的学习组织方式、基于问题的互动教学、基于编程大作业的实践能力培养、以及基于拓展性课题的研究性学习。 1.基于团队的学习组织方式。课程采用小班教学，人数基本限定在50人以内， 第一堂课将学生分为18组，最多每3人一组。每组学生在课堂学习中座位集中（为了课堂讨论），在课外实践中分工合作完成18个拓展性课题的研究任务。
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
岩土工程数值分析读书笔记 摘要：阅读笔记分为两部分：理论学习和plaxis模拟相关问题。 理论部分 0岩土工程数值分析简介 岩土工程问题解析分析是以弹塑性力学理论和结构力学作为理论依据，适用于解决连续介质、各向同性材料、未知量少、边界条件简单的工程问题，存在很大的局限性。 岩土工程问题数值分析是借助于计算机的计算能力，适用于解决材料复杂、边界条件复杂、任意荷载、任意几何形状，适用范围广。 岩土工程数值分析发展过程： 20世纪40年代，使用差分法解决了土工中的渗流及固结问题，如土坝渗流及浸润线的求法、土坝及地基的固结等。 20世纪60年代，使用有限元法成解决了土石坝的静力问题的求解。 20世纪70年代，使用有限元法解决了土石坝及高楼(包括地基)的抗震分析。 20世纪80年代，边界元法异军突起，解决了半无限域的边界问题；地基的静力及动力问题都使用边界元法得到了有效地解决。 岩土工程数值分析的方法有两类，一类方法是将土视为连续介质，随后又将其离散化，如有限单元法、有限差分法、边界单元法、有限元线法、无单元法以及各种方法的耦合。另一类计算方法是考虑岩土材料本身的不连续性，如裂缝及不同材料间界面的界面模型和界面单元的使用，离散元法，不连续变形分析，流形元法，颗粒流等数值计算方法。 1数值分析过程中存在的问题及解决措施 问题：(1)对岩土工程数值分析方法缺乏系统的知识和深入的理解，出现问题时不知道在什么情况下属于理论问题或数学模型问题；在什么情况下是属于计算方法问题或本构模型问题；在什么情况下是参数的确定问题或计算本身的问题等。 (2)各种本构模型固有的局限性。具有多相性土的物理力学性质太复杂，难以准确地用数学模型和本构模型描述。例如邓肯一张模型不能反映剪胀性，不能反映压缩与剪切的交叉影响； (3)现有的试验手段和设备不能提供适当、合理和精确的参数。靠少数样本点所获得的参数难以准确地描述整个空间场地的物理力学性能；土的参数因土样扰动难以高质量的获取，其精度很差。 (4)数学模型还会给人造成一种错觉，让人觉得其计算结果也一定会更好、更可靠。这样可能使人们忽略了精确的数学公式也照样会有出错的可能性。只有当输入参数的质量和精度很高，并能与数学模型的精度相匹配时，才有可能得到较为准确的计算结果。 措施：(1)加强对土的本构模型的教学与培训，了解和掌握各种土的本构模型的优点和局限性以及模型参数的离散性。 (2)在使用数值分析方法的同时，不断地积累使用经验，包括他人的经验。
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
沈阳航空航天大学研究生试卷（A） 2011-2012 学年第一学期课程名称：数值分析出题人: 王吉波审核人: 一、填空题（本题40 分每空 4 分） 1．设l j (x) ( j 0 ,1, ,n) 为节点x0 , 1 , , x 的n 次基函数，则 l j ( x i ) x n 1, 0, i i j j 。 2．已知函数(x) x 1 f 2 x ，则三阶差商 f [1, 2, 3, 4] = 0 。 3．当n=3 时，牛顿- 柯特斯系数 1 (3) 3 (3) (3) C0 , C C ，则 1 2 8 8 (3) C 3 1 8 。 ( ) Bx( k) f k k 1 收敛的 4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式, 0,1,2 , x 充分必要条件是(B) 1或B 的谱半径小于 1 。 5．设矩阵 1 2 A ，则A 的条件数 Cond (A)2 = 3 。 2 1 6.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005 cm 才能使 其面积误差不超过1 2 cm 。 1 1 7.要使求积公式(0) ( ) 8. f (x)dx f A1 f x1 具有 2 次代数精确度，则 4 x 2/3 ，A1 3/4 。 1 9 18 9 - 27
18 45 0 - 45 其 中， A 8. 用杜利特尔（Doolittle ）分解法分解 A LU ， 9 0 126 9 27 -45 9 135 则 1 1 1 2 3 1 2 L ， 1 - 2 1 0 3 U 9 18 9 9 -18 81 - 27 9 54 9
西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =-
1. 五个节点的Newton-Cotes 求积公式的代数精度为______，五个节点的求积公式最高代数精度为___________。（即Gauss 型求积公式） 2. 已知数值求积公式为3 11 ()[(1)4(2)(3)]3 f x dx f f f ≈++? ， 则其代数精度为______。 3. 数值积分公式1 '12 ()[(1)8(0)(1)]9 f x dx f f f -≈-++?的代数 精度为_________。 4. 要使求积公式1 110 1 ()(0)()4 f x dx f A f x ≈ +?具有2次代数精度，则1x =___,1A =___。 5. 在Newton-Cotes 求积公式：() ()()()n b n i i a i f x dx b a C f x =≈-∑? 中，当系数()n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当___________时的Newton-Cotes 求积公式不能使用。 ()8()7()10()6A n B n C n D n ≥≥≥≥ 6. 若用复化梯形公式计算1 0x e dx ?，要求误差不超过6 10-，利 用余项公式估计，至少用______个求积节点。 7. 对于Gauss 型求积公式3 1 ()()()b k k a k f x x dx A f x ρ=≈∑?，其中 ()x ρ为权函数，下列说法错误的是_________。
（A ）该求积公式一定是稳定的； （B ）3 1()k k k A f x b a ==-∑； （C ）该求积公式的代数精度为5； （D ）2 (35)()()0b a x x x x dx ωρ-=? ，其中3 1 ()()k k x x x ω==∏-。 8. 0{()}k k x ?∞ =是区间[0,1]上权函数 ()x x ρ=的最高系数为1的正交多项式族，其中0()1x ?=，则1 40()_______x x dx ?=?。 9. 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度： 1 010 1 ()()(1)2 xf x dx A f A f ≈+? 10. 数值积分公式形如 1 ()()(0)(1)(0)(1)xf x dx S x Af Bf Cf Df ''≈=+++? （1）试确定参数A 、B 、C 、D ，使公式的代数精度尽量高； （2）设4 ()[0,1]f x C ∈，推导余项公式1 0()()()R x xf x dx S x =-?， 并估计误差。 11. 用8n =的复化梯形公式和复化Simpson 公式计算 1 x e d x -? 时， （1）试用余项估计其误差； （2）计算积分的近似值。