期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
数值分析试题 一. 填空题： 1. 设A=?? ????4311，则 ||A||1 = ，||A||∞ = _______，()A ρ=_________； 2. 已知函数()y f x =的观测数据为(0,1),(1,2),(2,3，则二次Lagrange 插值多项式22()L x a bx cx =++中a = ， b =_____ ， c =_____； 3. 为使求积公式012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++?的代数精度尽量高，则0A =_____，1A =______，2A =______，其具有代数精度为_____次； 4. 设给出(1)2,(0)1,(1)0,(0)2f f f f '-====-，可求得其三次插值多项式 233()H x a bx cx d x =+++中a =____，b =_____ ，c =______ ，d =_____； 5．对3()31f x x x =++，差商[0,1,2,3]f = ；[0,1,2,3,4]f = 。 二．已知函数()y f x =的观测数据为： 1．构造差商表，并写出Newton 插值多项式（按降幂排列）； 2．用最小二乘法求形如 2y a bx cx =++的经验公式使与题目数据拟合； 3．用复化梯形公式计算4 1()f x dx ?的近似值。 三．分别用下列方法求方程3310x x +-=在[0,1]内的根使误差小于110-： 1. Newton 法（取00.4x =）； 2. 试证明用简单迭代格式3/)1(31k k x x -=+求其在[0.2,0.4]内的根是收敛的。 四. 用下列各种方法求解方程组Ax b =，即 ??????????-122111221????????321x x x =???? ??????-001 1．Gauss 消元法； 2．Doolittle 分解法； 3. 写出求Ax b =的解的Jacobi 迭代格式，并取(0)(0,0,0)T x =求(3)x ； 4. 判定矩阵A 对Jacobi 迭代的收敛性，并证明你的结论。 五．1．用2段Simpson 公式（5节点）计算?511dx x 的近似值（计算中取五位有效数字）； 2．若使误差不超过610-，用复化梯形公式计算上述积分至少应取多少个节点？
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分） 1、 已知x =0.004532是由准确数a 经四舍五入得到的近似值，则x 的绝对误差 界为_______________。 2、数值微分公式()() '()i i i f x h f x f x h +-≈ 的截断误差为 。 3、已知向量T x =，求Householder 变换阵H ，使(2,0)T Hx =-。 H = 。 4、利用三点高斯求积公式 1 1 ()0.5556(0.7746)0.8889(0)0.5556(0.7746) f x d x f f f -≈-++? 导出求积分 4 0()f x dx ?的三点高斯求积公式 。 5、4 2 ()523,[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.f x x x f =+-=若则 6、以n + 1个互异节点x k ( k =0,1,…,n ),（n >1）为插值节点的 Lagrange 插值基函数为l k (x)( k =0,1,…,n )，则 (0)(1)__________.n k k k l x =+=∑ 7、已知3()P x 是用极小化插值法得到的cos x 在[0,4]上的三次插值多项式，则3()P x 的 截断误差上界为3()cos ()R x x P x =-≤_________. 8、已知向量(3,2,5)T x =-，求Gauss 变换阵L ，使(3,0,0)T Lx =。L =_________. 9、设3 2 ()(7)f x x =-, 给出求方程()0f x =根的二阶收敛的迭代格式_________。
二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2）
（3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2 解： ①Newton 迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：? ??=1 3A ??? 22，??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收 敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(数值分析试卷及答案
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）设求方程 0cos 2312=+-x x 根的迭代法 k k x x cos 3 2 41+=+ (1) 证明对R x ∈?0,均有*lim x x k k =∞ →,其中*x 为方程的根. (2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 二、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的收敛性。 ??? ??=++-=++=-+. 022,1, 122321 321321x x x x x x x x x 三、（8分）若矩阵??? ? ? ??=a a a a A 000002，说明对任意实数0≠a ，方程组b AX =都是非病态的。（范数用∞?） 四、（ 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （℃）的试验数据
为 已知经验公式的形式为 2bx ax y += ，试用最小二乘法求出 a ，b 。 六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 [ ] dx x b ax b a I 2 1 1 2 ),(?--+= 取得最小值。 七、（14分）已知Legendre(勒让德)正交多项式)(x L n 有递推关系式： ?? ? ? ???=+-++===-+),2,1()(1)(112)()(, 1)(1110 n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 试确定两点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 ? -+≈1 1 2211)()()(x f A x f A dx x f 的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分 ?=2 11 dx e I x 八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的单步法： ??? ? ??? ++==++=+) ,() ,()2 121(1 21211 hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
武 汉 大 学 2015-2016第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷） 科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 一、（12分）设方程230x x e -=，为求其最大正根与最小正根的近似值，试分别确定两个含根区间[,]a b 和两个迭代函数()g x ，使当0[,]x a b ?时，迭代格式1()n n x g x +=分别收敛于最大正根与最小正根。 二、（12分）用杜利特尔（Doolittle ）分解算法求解方程 b Ax =，其中 211625608A ????=?????? 226768b ????=?????? 三、（14分）设方程组 123121113a a x a a x a a x 轾轾轾犏犏犏犏犏犏=-犏犏犏犏犏犏臌臌臌 其中a 为常数。 （1）分别写出Jacobi 迭代格式及 Gauss-Seidel 迭代格式； （2）导出Gauss-Seidel 迭代格式收敛的充分必要条件。 四、（12分）已知 )(x f y = 的数据如下： 求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H 及其余项。 五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分 2 1 320(,)I a b x ax bx dx 轾=--犏臌ò 取得最小值。
六、（12 求形如 y bx x =+ 的拟合曲线。 七、（14分）（1）对初值问题 00(,)[,]()dy f t y t a b dt y t y ì??= ??í??=?? 验证改进欧拉方法（也称预估-校正法）与微分方程是相容的； （2） 用改进欧拉方法求下面方程的数值解（取步长5.0=h ）： (0)1 dy dt y ?=???=? [0,1]t ∈ （取5位有效数字计算） 八、（12分）设求积公式 ∑?=≈n k k k b a x f A dx x f 1)()(为高斯型求积公式， 并记 )())(()(21n n x x x x x x x ---= ω （1）问给定的求积公式的代数精度是多少次？ （2）证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有?=b a n dx x x q 0)()(ω； （3）证明：n k A k ,,2,1,0 =>
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析模拟试卷1 一、填空（共30分，每空3分） 1 设??? ? ??-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数=________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________. 3 设?????≤≤-++≤≤+=2 1,121 0,)(2 323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________. 4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则 ?=1 )(dx x xq k ________，=)(2 x q ________. 5 设???? ??????=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当 其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的. 二、（14分）设4 9,1,41,)(2102 3 === =x x x x x f , （1）试求)(x f 在]4 9,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足 2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='. （2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式. 三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3 2 41+ =+， （1） 证明R x ∈?0均有? ∞ →=x x n x lim （? x 为方程的根）； （2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值； （3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论. 四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？
1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分段 线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 [] 0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --= ?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 所以分段线性插值函数为 ()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ?-∈?=? -∈??% ()1.50.80.3 1.50.35 L =-?=% 4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1 01 1dx x +?. 计算题4.答案 4 解 梯形公式 ()()()2b a b a f x dx f a f b -≈ ?+???? 应用梯形公式得 1 01111 []0.75121011dx x ≈+=+++? 辛卜生公式为
确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度 ()()()() 1010h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 证明题答案
故 ( )()()()40333h h h h f x dx f h f f h -= -++? 具有三次代数精确度。 1．设 3 2 01219 (), , 1, 44f x x x x x ==== （1）试求()f x 在 19,44???? ??上的三次Hermite 插值多项式()x H 使满足''11()(), 0,1,2,... ()()j j H x f x j H x f x === () x H 以升幂形式给出。 （2）写出余项()()()R x f x H x =-的表达式 计算题1.答案 1、（1） ()32142632331 22545045025x x x x H =- ++- （2） ()522191919()(1)(),()(,) 4!164444R x x x x x ξξξ-=---=∈ 3．试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 计算题3.答案
数值分析试题 2007.12 一、简答下列各题：（每题4分，共20分） 1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？ 2．设??? ? ??=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。 3．设??? ? ? ??=131122321A ，求A 的LU 分解式。 4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式?-≈b a a b a f dx x f ))(()(的截断误差R[?]。 二、解答下列各题：（每题8分，共56分） 1．已知线性方程组??? ??=-+=-+=-+3 53231 4321 321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？ 2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中： ???? ? ??--=211111112A 3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。 4．给定离散数据 试求形如3bx a y +=的拟合曲线。 5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。 6．证明求积公式： ? +++-≈3 1 ) 5 3 2(5)2(8)532(5[91)(f f f dx x f
是Gauss 型求积公式。 7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。 三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α； 2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题： ?? ?∈=='] ,[,)(),(b a x a y y x f y α 的差分公式： ?? ??????? =++==++=+α 0121211) 32 ,32() ,()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法； 2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？ ?1 0sin xdx
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
数值分析2006 — 2007学年第学期考试 课程名称：计算方法 A 卷 考试方式：开卷[] 闭卷[V ] 半开卷[] IV 类 充要条件是a 满足 二、（18分）已知函数表如下 1?设 f(0) = 0, f (1) =16 , f( 2) =46，则 f [0,1]= ,f[0,1,2]二 2 ?设 AJ <2 -3 -1 ，则X ，A := A 1 1 j — 3 ?计算积分 xdx ，取4位有效数字。用梯形公式求得的近似值为 "0.5 （辛普森）公式求得的近似值为 ，用 Spsn 4?设f （x ）二xe x -3，求方程f （x ） =0近似根的牛顿迭代公式是 ，它的收 敛阶是 5 ?要使求积公式 1 1 [f (x)dx 拓一(0) + A , f (x 1)具有2次代数精度，则 捲= _________________ , 0 4 6 ?求解线性方程组 x 1 ax 2 = 4 , 12_3 （其中a 为实数）的高斯一赛德尔迭代格式收敛的 10 11 12 13 In x 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649
三、(20分)构造如下插值型求积公式，确定其中的待定系数，使其代数精度尽可能高, 并指出所得公式的代数精度。 2 f (x)dx ： A o f (0) A f (1) A2f(2) o
X 2 4 6 8 y 2 11 28 40 五、（14分）为求方程X ’ -X 2 -1 =0在X o =1.5附近的一个根，将方程改写为下列等价 形式，并建立相应的迭代公式: 试问上述两种迭代公式在 x 0 =1.5附近都收敛吗？为什么？说明理由。 （1）X =1 ?丄，迭代公式 X 1 X k 1 = 1 - X k （2） X 2二1 ，迭代公式 X —1 2 （X k ）； X k 1
数值分析期末试题 一、填空题（20102=?分） （1)设??? ? ? ??? ??---=28 3 012 251A ，则=∞ A ______13_______。 （2)对于方程组?? ?=-=-3 4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ?? ? ? ??05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的 3 1倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1)(1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021 A ，则条件数=∞ )(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2 -- x x 改写为 )1ln(2 ++ -x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3 1 3 1 ∑== i i x f y 。 二、（10分）证明：方程组? ?? ??=-+=++=+-1 211 2321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ???? ? ?????---=05 .05 .01015.05.00J B J B 的特征多项式为
研究生《数值分析》教学大纲 课程名称：数值分析 课程编号：S061005 课程学时：64 学时 课程学分： 4 适用专业：工科硕士生 课程性质：学位课 先修课程：高等数学，线性代数，计算方法，Matlab语言及程序设计 一、课程目的与要求 “数值分析”课是理工科各专业硕士研究生的学位课程。主要介绍用计算机解决数学问题的数值计算方法及其理论。内容新颖，起点较高，并加强了数值试验和程序设计环节。通过本课程的学习，使学生熟练掌握各种常用的数值算法的构造原理和过程分析，提高算法设计和理论分析能力，并且能够根据数学模型，提出相应的数值计算方法编制程序在计算机上算出结果。力求使学生掌握应用数值计算方法解决实际问题的常用技巧。 二、教学内容、重点和难点及学时安排： 第一章? 数值计算与误差分析( 4学时) 介绍数值分析的研究对象与特点，算法分析与误差分析的主要内容。 第一节数值问题与数值方法 第二节数值计算的误差分析 第三节数学软件工具----MATLAB 语言简介 重点：误差分析 第二章? 矩阵分析基础( 10学时) 建立线性空间、赋范线性空间、内积空间的概念，为学习以后各章打好基础。矩阵分解是解决数值代数问题的常用方法，掌握矩阵的三角分解、正交分解、奇异值分解，并能够编写算法程序。 第一节? 矩阵代数基础
第二节? 线性空间 第三节? 赋范线性空间 第四节? 内积空间和内积空间中的正交系 第五节矩阵的三角分解 第六节矩阵的正交分解 第七节矩阵的奇异值分解 难点：内积空间中的正交系。矩阵的正交分解。 重点：范数，施密特(Schmidt) 正交化过程，正交多项式，矩阵的三角分解, 矩阵的正交分解。 第三章? 线性代数方程组的数值方法( 12学时) 了解研究求解线性代数方程组的数值方法分类及直接法的应用范围。高斯消元法是解线性代数方程组的最常用的直接法，也是其它类型直接法的基础。在此方法基础上加以改进，可得选主元的高斯消元法、按比例增减的高斯消元法，其数值稳定性更高。掌握用列主元高斯消元法解线性方程组及计算矩阵的行列式及逆，并且能编写算法程序。掌握矩阵的直接三角分解法：列主元LU 分解，Cholesky分解。了解三对角方程组的追赶法的分解形式及数值稳定性的充分条件。掌握矩阵条件数的定义，并能利用条件数判别方程组是否病态以及对方程组的直接方法的误差进行估计。 迭代解法是求解大型稀疏方程组的常用解法。熟练掌握雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法及SOR 方法的计算分量形式、矩阵形式，并能在计算机上编出三种方法的程序用于解决实际问题。了解极小化方法：最速下降法、共轭斜量法。迭代法的收敛性分析是研究解线性代数方程组的迭代法时必须考虑的问题。对于上述常用的迭代法，须掌握其收敛的条件。而对一般的迭代法，掌握其收敛性分析的基本方法和主要结果有助于进一步探究新的迭代法。 第一节求解线性代数方程组的基本定理 第二节高斯消元法及其计算机实现 第三节矩阵分解法求解线性代数方程组 第三节? 误差分析和解的精度改进 第四节? 大型稀疏方程组的迭代法 第五节? 极小化方法 难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR 迭代法。
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公