第4课时
圆的轴对称性（2）
【知识要点】
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
课内同步精练
●A组基础练习
1．填空：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E.
(1)若CD⊥AB，则有、、；
(2)若AE = EB，则有、、；
，则有、、.
(3)若AC BC
2．若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm，其弦心距等于8cm，则cm.
3. 如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D．
已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为cm.
4. 已知：如图，在⊙O中M, N分别为弦AB, CD的中点，AB=CD, AB不平行于CD．
求证：∠AMN=∠CNM
●B组提高训练
4. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽
AB=600mm，求油的最大深度．
5. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽
AB=600mm ，求油面的最大深度．
课外拓展练习
●A组基础练习
1. 给出下列命题：(l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(3 )平分弦的直线必过圆心；(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（)
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm, CD=6cm, 则AC的长为
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
第4题
3. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，若要得到结论AB⊥CD ，还
需添加的条件是（不要添加其他辅助线） ( )
A.AC AD =
B. BC BD =
C.CE = DE
D.以上条件均可
4. 如图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ．若AC = 8cm , DE = 2cm ，则OD 的长为 .
5. 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度 AB 是 .
6. 如图，水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.5m ，其中水面宽AB=0.6m ，则水的最大深度为 ．
7. 如图，⊙O 的直径AB 平分弦CD, CD =10cm, AP ：PB=1 : 5．求⊙O 的半径．
●B组提高训练
8. 在美国的亚利桑那州有一个巨大的石坑，它的直径为1280m，深180m，据说它是在数千
年以前，由一个巨大的陨石落在地上砸出来的．请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？
9. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD，点O是CD的圆心，E为CD的中点，OE交CD于点F.
已知CD=600m, EF=100m，求这段弯路的半径.
10. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，
船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
3.2 圆的轴对称性(2) 教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和 作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育. 教学重点和难点 垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点. 教学方法：类比启发 教学辅助：投影片 教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式： 题设结论 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤. 提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点. 求证：CD⊥AB，. 分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD. 证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB， 又因为CD是直径，所以 2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得： (2)若选①④为题设，可得： 3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2. 在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37) 学生答 接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，
圆的对称性 温故知新： 1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点 A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD 1、圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论： 平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心， DE的度数． CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒ AD、⌒
【例3】如图，在同圆中，若⌒ AB＝2⌒ CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ． A. AB＞2CD B. AB＜2CD C. AB＝2CD D. 不能确定 【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径． 【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？
【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？ 课堂练习 1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58° 2．下列结论中，正确的是( ) A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B ．等弧所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．长度相等的两条弧是等弧 3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60° 4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝ 60°，则∠COD 的度数是________． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝
5.2 圆的对称性（二） 班级姓名学号 学习目标 1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设 （1）圆是轴对称图形吗？ （2）你是如何验证的？ 设计意图1、体验折叠是验证轴对称图形的非常好的方法。 2、确信圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径所在的直线，这样的对称轴有无数条。 圆是轴对称图形，我们这节课就来研究与圆的轴对称有关的性质。 二、探索与发现 如图，AB是⊙O的直径，画弦CD⊥AB，垂足为P，探索图形中的相等关系。 你是如何发现的？ 教学设计： 经历从感性到理性的认知过程 通过观察操作说理等方法获取结论。 垂径定理 文字语言：_________________________________________________________。 符号语言： 。 三、例题讲解 2cm，你能求出圆心O到CD的距离吗？例1. 已知：如图，直径AB⊥CD，⊙O的半径为2cm，若弦CD=3 例2. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D.AC与BD相等吗？为什么？
四、及时巩固： 1．如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？ 2.填空 （1）如图，已知⊙O 的半径为13cm ，AB 为⊙O 的一条弦,点O 到AB 的距离为5cm ，则AB=____. （2）如图，已知⊙O 的直径为10cm 中，弦AB=8cm ，P 是AB 上的一个动点。ＯＰ长度的范围是 。 （3）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（4，2），点A 的坐标为（2，0）则点B 的坐标为_________． 第（1）题 第（2）题 第（3）题 五、应用与拓展： 1．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图所示，已知污水水面宽度为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问修理人员应准备半径多大的管道？ 思考: 如果水面宽度由60cm 变为80cm ，那么污水面下降了多少厘米? 2. (思维拓展)已知⊙O 的半径为5cm ，点P 是⊙O 内一点,OP=4cm ，则过点P 的所有弦中，最短弦的长为多少cm? 过点P 的所有弦中，长度为整数的弦有几条? O B A P O B A
3.2 圆的轴对称性（一） 教学目标 知识目标 1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、?弦心距及半径之间关系的证明和计算． 能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力． 情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识． 教学重点难点 重点：探索圆的轴对称性和圆的性质． 难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用． 课堂教与学互动设计 【创设情境，引入新课】 复习提问：（1）什么是轴对称图形？ （2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？ （3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？──引入新课 【合作交流，探究新知】 一、自主探索 1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，?然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？ 2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴． 二、合作学习 1．在圆形纸片（如图3-3-1所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？
图3-3-1 2．请你用命题的形式表达你的结论． 3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明． 4．圆的性质（垂径定理）： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 三、概括性质 1．直径垂直于弦. .????直径平分弦直径平分弦所对的弧 例如：CD 是直径，AB ⊥CD EA=EB ，CA CB =，DA DB =． 2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，图3-3-1中，?点C?是AB 的中点，D 是ADB 的中点． 【例题解析，当堂练习】 例1 （课本例1）已知AB （如图3-3-2），用直尺和圆规求作这条弧的中点． 图3-3-2 练一练 如图3-3-3，同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆交于C ，D 两点，判断线段AC 与BD 的大小关系，并说明理由．
《圆的对称性》教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； （2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法 （1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高； （2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观 经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣． 教学重难点 重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解． 难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程 一、创设情境，导入新课 问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ （如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）． 问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠． 今天我们继续来探究圆的对称性． 问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径． 问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？ 忆一忆： 1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．
2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧． 3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角． 二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？ 学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条． 知识点二：圆的中心对称性． 问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 做一做： 在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．
圆的对称性—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系； 2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用. 【要点梳理】 要点一、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴． 圆是中心对称图形，对称中心为圆心． 要点诠释： 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 要点二、与圆有关的概念 1.弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 证明：连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2.弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧 AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5.2圆的对称性（2） 2012、10、31 主备人：陈根涛 班级 姓名 一、 学习目标 1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关 的计算和证明. 2．过程与方法： 经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究 几何图形的各种方法. 3．情感态度与价值观： 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严 谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神. 学习重点：垂径定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明. 二、 知识准备 学生自学p 113-p 114页内容完成下列填空 1、 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.圆有 对称轴。 2、 如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为E ． 则有AE=_____， _____= ， ____= ． 3、 ⊙O 直径为8，弦AB ＝4 2 ，则∠AOB ＝＿＿＿＿＿。 4、 ⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是 （ ） A ．3≤OM ≤5 B ．4≤OM ≤5 C ．3＜OM ＜5 D ．4＜OM ＜5 三、学习内容 问题一、圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? （你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．） 操作：①在圆形纸片上任画一条直径； ②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？ 结论： 问题二、按下面的步骤做一做: 1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重 合． 2．得到一条折痕CD ． 3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是 两条折痕的交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如右图． （一）、在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢? （AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD =BD ，因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重 合．） （二）、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） （三）．在上述操作过程中，你会得出什么结论? A O B C D M A O B C D M
第4课时 圆的轴对称性（2） 【知识要点】 1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． 2．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 课内同步精练 ●A组基础练习 1．填空：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E. (1)若CD⊥AB，则有、、； (2)若AE = EB，则有、、； ，则有、、. (3)若AC BC 2．若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm，其弦心距等于8cm，则cm. 3. 如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D． 已知BC=8cm, DE=2cm ，则AB的长为cm. 4. 已知：如图，在⊙O中M, N分别为弦AB, CD的中点，AB=CD, AB不平行于CD． 求证：∠AMN=∠CNM ●B组提高训练 4. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度． 5. 在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽
AB=600mm ，求油面的最大深度． 课外拓展练习 ●A组基础练习 1. 给出下列命题：(l )垂直于弦的直线平分弦；(2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心；(4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（) A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C, D两点，AB=10cm, CD=6cm, 则AC的长为 A. 0. 5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm 第4题 3. 如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB与CD相交于点E，若要得到结论AB⊥CD ，还
3.2 圆的轴对称性（1） 学目标 １．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教学关键 理解圆的轴对称性． 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是： 复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知． 教学方法：类比 启发 教学辅助：多媒体 教学过程： 一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ； 2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ． 提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ． A B C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
第三十二讲 圆的定义与圆的对称性 【知识要点】 （1）在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆.定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径.以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”,读作“圆O ”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上 点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为 d ，那么 点在圆外d r ?>；点在圆上d r ?=；点在圆内d r ?< 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条 （1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 （2A 、B 为端点 的弧记作 AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ” 大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧
2 圆的对称性 一、选择题（共10小题） 1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（） A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，） 2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4 3．下列说法： ①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2 ②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（） A．0B．1C．2D．3
4．（2013?邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（） A．B．2RsinαC．D．R sinα 5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（） A．3＜r＜5 B．3＜r≤4C．4＜r≤5D．无法确定 6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（） A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm 7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（） A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定 8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（） A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm 9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）
《圆的对称性》习题 一、选择题 1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（） A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等 2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（） A.正方形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.圆 3.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（） A.51° B.56° C.68° D.78° 第3题图第4题图第5题图 4.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝（） A.150° B.75° C.6° D.15° 5.如图，AB是⊙O直径，C、D在直径AB的同旁，连接AD、DC、BC，若BC＝CD ＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（） A.5π cm B. 6πcm C.9πcm D.8π cm 二、填空题 6.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD ＝________. 第6题图第7题图第8题图 7.如图，已知AB是⊙O直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，∠BOC＝60°，则
∠COD的度数是______度. 8.如图，若∠1＝∠2，那么AB与BC________相等.（填一定、一定不、不一定）. 9.弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧AB所对的圆心角等于________度. 三、解答题 10.如图，在⊙O中，CD为⊙O直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点（不与O、D重合）. 求证：AE＝BE. 11.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB分别交于E、F，且AE＝BF. 求证：AC＝BD. 12.如图，已知AB、CD是⊙O直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E. （1）求证：BE＝DF； （2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.
圆的轴对称性 教学目标: 1、记忆垂经定理。 2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会 弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。 教学重点：运用垂经定理。 教学设计： 1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学 生兴趣。 2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、 归纳、引出命题、证明命题、形成定理。充分体验探索过程。 3、“1题”是定理证明。让学生能将定理文字表达转化成数 学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个 要素。 “练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦 “知二求二”。 心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求， 5、学生完成本节小结，教师补充小结。 6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导 入提出问题。让学生的兴趣疑问得以解决。 7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。
过程和方法： 教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。情感、态度、价值观： 了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。 教学过程： 〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。 这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。 一复习提问： 〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？ 〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？ 〔生〕圆是轴对称图形。过圆心的直线都是它的对称轴。有无数条轴对称轴。
第三十二讲圆的定义与圆的对称性【知识 要点】 1、圆的定义有以下两种 （1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”. (2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定 长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上 2、点和圆的位置关系 点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点r，这个点到圆心的距离为如果圆的半径是到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.d，那么 ?d?r?d?r?d?r；点在圆内；点在圆上点在圆外3、圆的旋转不变性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质) 圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合. 说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直 线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条 4、与圆有关的概念 ）连接圆上任意两点的线段叫做弦（1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍 ）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A（2、B为端点AB,读作“圆弧AB”或“弧的弧记作AB” 1
圆的对称性知识点 1.连接圆上任意两点的线段叫弦 2.经过圆心的弦叫直经，直径是特殊的弦，也是圆内最长的弦，半径不是弦 3.圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧 4.弦及所对的弧组成的图形叫弓形，弦的中点和所对弧中点的连线叫弓形的高 5.圆心相同，半径不等的两个圆叫同心圆 6.能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆是等圆 7.顶点在圆心的角叫圆心角 8.从圆心到弦的距离叫弦心距 9.圆是轴对称图形，直接所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴 10.圆是中心对称图形，圆心为对称中心 11.垂经定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 12.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 13.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧 14.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦 15.平行弦夹的弧相等 16.根据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1）过圆 心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论 17.定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对 的弦的弦心距相等 18.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦 心距中有一个量相等，那么它们所对的其余各种量都分别相等 圆周角和圆心角知识点 1.圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角． 2.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 3.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 4.圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． 5.同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 6.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． 7.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
第三章圆 《圆的对称性》教学设计说明 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 三、教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗? 通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心． 数学活动二：了解圆心角的定义 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 数学活动三、探索圆心角定理
3.2 圆的轴对称性（1）教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教学关键 理解圆的轴对称性． 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是： 复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知． 一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ； 2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ． 提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合． ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1） A B C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
第三章圆 3.2《圆的对称性》教学设计 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学目标 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的轴对称性和中心对称性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并会用它们之间的关系解题. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧、弦之间关系定理解题。
三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师展示一组图片，谈话导入，把学生带进美丽的圆的世界，学生边听边欣赏着圆的美感。 教师：今天我们来探究圆的对称性。出示课题。 教师展示学习目标，并引导学生明确学习目标。 （二）探究交流，获取新知 数学活动一：认识圆的对称性 教师提问： 1、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2、大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？ 学生：小组合作探究，动手操作，通过折叠自己准备好的圆形纸片的方法可以得出以下结论。 结论：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线(所有经过圆心的直线都是对称轴）,圆有无数条对称轴。 验证方法：折叠 教师：补充说明圆的对称轴的另一种说法。（直径所在的直线都是圆的对称轴。） 教师提问： 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 学生：小组合作学习，动手操作，一生代表边操作演示边汇报学习成果。 教师：边白板演示。
3.2 圆的轴对称性（1） 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教学关键 理解圆的轴对称性． 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是： 复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知． 一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ； 2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ． 提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合， ∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合． ∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA 平分CD 吗？（课内练习1） A B C D O E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒