因式分解专题培优
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
因式分解的一般方法及考虑顺序：
1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；
(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；
(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；
(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；
(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例题1 分解因式：
(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；
(2)x3－8y3－z3－6xyz；
(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；
(4)a7－a5b2+a2b5－b7．
例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．
例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．
对应练习题 分解因式：
2211(1)94n n x x y +-
+；
(2) x 10+x 5－2
42233222
3(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++
(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5
(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2
(6) (a -b )2-4(a -b -1)
（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1
二、分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
例题1 分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.
例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102
对应练习题 分解因式：
1、bc ac ab a -+-2
2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例题3 分解因式：ay ax y x ++-22
例题4 分解因式：2222c b ab a -+-
对应练习题 分解因式：
3、y y x x 392
2
--- 4、yz z y x 22
2
2
---
综合练习题 分解因式：
（1）3
2
2
3
y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）1816962
22-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 2
22244+--
（7）2
22y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+
（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++
（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++
（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-
（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x
三、十字相乘法 1、十字相乘法
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++进行分解. 特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和.
例题1 分解因式：652++x x
例题2 分解因式：672+-x x
对应练习题 分解因式：
(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
(4)22-+x x (5)1522
--y y (6)24102--x x
（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例题3 分解因式：101132+-x x
对应练习题 分解因式：
（1）6752
-+x x （2）2732
+-x x
（3）317102
+-x x （4）101162++-y y
（三）二次项系数为1的齐次多项式 例题4 分解因式：221288b ab a --
分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.
1 8b
1 －16b 8b +(－16b )= －8b
对应练习题 分解因式：
(1)2
2
23y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x
对应练习题 分解因式：
（1）2
2
4715y xy x -+ （2）8622+-ax x a
综合练习题 分解因式：
（1）17836--x x （2）2
2
151112y xy x --
（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2
+--+b a b a
（5）222265x y x y x -- （6）263442
2++-+-n m n mn m
（7）3424422---++y x y xy x （8）2
222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
（9）10364422-++--y y x xy x （10）2
222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++
思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2
222
2、双十字相乘法
定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式.
条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =
（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221 即： 1a 1c 1f
2a 2c 2f
B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221 则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 2
2))((222111f y c x a f y c x a ++++
例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x
（2）61362
2-++-+y x y xy x
解：（1）291032
2-++--y x y xy x
应用双十字相乘法： x y 5- 2
x y 2 1-
xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2
∴原式=)12)(25(-++-y x y x
（2）61362
2
-++-+y x y xy x
应用双十字相乘法： x y 2- 3
x y 3 2-
xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32
∴原式=)23)(32(-++-y x y x
对应练习题 分解因式：
（1）6722
2
-+--+y x y xy x （2）2
2
2
27376z yz xz y xy x -+---
3、十字相乘法进阶
例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y
例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---
四、主元法
例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x
对应练习题 分解因式：
(1)613622-++-+y x y xy x (2)6722
2-+--+y x y xy x
(3)273762
2--+--y x y xy x (4)3635562
2-++-+b a b ab a
五、换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．
例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++
例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x
分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.
例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .
例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．
例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-
提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.
例题7 分解因式：272836+-x x
例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-
例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y
例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a
例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．
分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．
例题11 分解因式：262234+---x x x x
分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.
例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6． 例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x
对应练习题 分解因式：
（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122
2
3
4
x x x x x +++++
（3）2005)12005(20052
2
---x x （4）2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20
（9）2
2
2
2
2
2
)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1
（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333
（12）21
(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-
（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-
六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
例题1 分解因式：x 3－9x +8．
例题2 分解因式：
(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．
对应练习题 分解因式：
（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++
（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++
（5）4
44)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++
（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；
（13）a 5＋a ＋1 (14)5642
2
-++-y x y x
(15)ab b a 4)1)(1(22---
七、待定系数法
例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x
分析：原式的前3项2
2
6y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为
)2)(3(n y x m y x +-++
对应练习题 分解因式：
（1）273762
2
--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20
（3）2910322-++--y x y xy x （4）675232
2+++++y x y xy x
例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.
（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.
（3）已知：p y x y xy x +-+--146322
2能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.
（4）k 为何值时，25322
2
+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.
八、余式定理（试根法）
1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的
多项式值，用()c f 表示.
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，
余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r
3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a
b f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.
当2
()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2
111()9()6()78333
f -=?-+?--=-.
4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式
?0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式?0)(=a
b
f .
整系数一次因式检验法：
设f(x)＝011
1c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b
为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,
c b c a n
（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f
例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？
(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4
例题2 把下列多项式分解因式：
(1)453
+-x x
(2) 642
3
++-x x x (3) 24532
3
-++x x x （4）10272592
3
4
++++x x x x （5）3
1212165234--++
x x x x
课后作业
分解因式： （1）x 4＋4
（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21
（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3
（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(2
2
+++++x x x x （17）2
2
2
2
15)4(8)4(x
x x x x x ++++++
（18）2
2
2
2
2
2
)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4
（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）64123
3
-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .
（24）
1)1()2+-+ab b a （ （25）2
22
2
2
2
4
)
()(2b a x b a x -++-
（26）))(()()(3
3
3
3
3
3
y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）6
3
3
6
21619y y x x --
（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032
3
4
5
++---x x x x x
因式分解的应用
1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.
2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．
3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.
4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.
5、求证：139792781--能被45整除.
6、求证：146+1能被197整除．
7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2
能被9整除． 8、已知2
2
2y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．
12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；
(2)1995219951993199519951996
3232－－＋－?．
14、求积()()()()()11131124113511461198100＋
＋＋＋＋????? ()1199101
＋?的整数部分？
15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=0
16、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．
17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2
]的值．
18、已知012
=++x x ，求14
8
++x x 的值．
19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .
20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 33
3
3
=++，证明这个三角形是等边三
角形．
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结 果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-???，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。 解 ：
因式分解强化训练 因式分解常用方法： 1、 提公因法 ：：ma+mb+mc=m(a+b+c) 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x -2x –x 解： x -2x -x=x(x -2x-1) 2、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 下面再补充两个常用的公式： (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例2、已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 3、分组分解法 （一）分组后能直接提公因式 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3 223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--
整式的加减、乘除及因式分解 整式加减 一、知识点回顾 1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充：单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5……单项式系数和次数：系数：次数： 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x-2最高的项就是一次项3x ，这个多项式的次数是1，它是一次二项式 4、整式的概念：单项式与多项式统称整式 二、整式的加减 1、同类项：所含字母相同，相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项。 合并同类项：把多项式中同类项合并在一起，叫做合并同类项。合并同类项时，把同类 项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号． 3、整式加减的运算法则 （1）如果有括号，那么先去括号。 （2）如果有同类项，再合并同类项。 整式乘除及因式分解 一、幂的运算： 1、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 3、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 5、零指数；10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算：
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法． 一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例题1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7．
新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则． 那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）． 即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017
6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 二．填空题（共7小题） 7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为． 8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：． 9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是． 10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是． 11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2= ． 12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论： ①2★（﹣2）=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab ④若a★b=0，则a=1或b=0． 其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）． 13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．
3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
第二章 整式的乘法 【知识点归纳】 1.同底数幂相乘， 不变， 相加。a n.a m = (m,n 是正整数) 2.幂的乘方， 不变， 相乘。(a n )m = (m,n 是正整数) 3.积的乘方，等于把 ，再把所得的幂 。 (ab)n = (n 是正整数) 4.单项式与单项式相乘，把它们的 、 分别相乘。 5.单项式与多项式相乘，先用单项式 ，再把所得的积 ，a （m+n ）= 6.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘 ，再把所得的积 ，（a+b ）（m+n ）= 。 7.平方差公式，即两个数的 与这两个数的 的积等于这两个数的平方差（a+b ）（a-b ）= 8.完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 。（a+b ）2= ,（a-b ）2= 。 9.公式的灵活变形： （a+b ）2+（a-b ）2= ，（a+b ）2-（a-b ）2= ， a 2+b 2=（a+b ）2- ， a 2+ b 2=（a-b ）2+ ，（a+b ）2=（a-b ）2+ ， （a-b ）2=（a+b ）2- 。 【例1】若代数式22(26)(2351)x ax y bx x y +-+--+-的值与字母x 的取值无关，求代数 式234a -+2221 2(3)4b a b --的值 【例2】已知两个多项式A 和B ， 43344323,321,n n n A nx x x x B x x x nx x +-+=+-+-=-++--试判断是否存在整数n ，使A B -是五次六项式？
【例3】已知,,x y z 为自然数，且x y <，当1999,2000x y z x +=-=时，求x y z ++的所有值中最大的一个是多少？ 【例4】如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为7,那么当2x =时,该式的值是 . 【例5】已知a 为实数,且使323320a a a +++=,求199619971998(1)(1)(1)a a a +++++的值. 【例6】（1）已知2x+2=a ，用含a 的代数式表示2x ； （2）已知x=3m +2，y=9m +3m ，试用含x 的代数式表示y ． 【例7】我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b ）（a+b ）=2a 2+3ab+b 2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式： ． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b ）（a+3b ）=a 2+4ab+3b 2．
因式分解 一、因式分解的概念： 因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式（）的形式。 二、因式分解的方法： 1、提公因式法： （1）公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； （2）提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 （3）注意：①提取完公因式后，看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致，可用来检验是否漏项； ②提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ③如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法： 运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ ②完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝ a2－2ab＋b2＝ 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab= 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点： 题型一: 概念的理解： 例1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说出理由。 （1）、()ay ax y x a +=+ （2）、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax （4）、2 22 )1(12x x x x +=++ （5）、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x
把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例：计算123 268 - 1368 1368 分析：算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。 456 987 1368 解: 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。 举一反三： 1、分解因式： (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是： (1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。 解： 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解： 一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。 解： (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自 然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解： 5、中考点拨： 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式：4q(1 p)3 2( p 1)2 解：
整式乘除与因式分解培优精练专题答案 一．选择题（共9小题） 222 2．（2014?盘锦）计算（2a2）3?a正确的结果是（） 7776 可． 解：原式= =4a7， 故选：B． 22 ．3D．2 故选：B． 4．（2014?拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（） A．2，0 B．4，0 C． 2，D． 4， 运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m， ∴， 解得．
5．（2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（） A．B．C．1＜k＜2 D．k＞2 解：甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积=a（a﹣b）， =， ∵a＞b＞0， ∴， ∴1＜k＜2． 故选：C． 6．（2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A．B．C．D．无法确定 解：∵a+=， ∴两边平方得：（a+）2=10， 展开得：a2+2a?+=10， ∴a2+=10﹣2=8， ∴（a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6， ∴a﹣=±，
7．已知，则代数式的值等于（） A．B．C．D． 分析： 先判断a是正数，然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式，开方即可求解． 解：∵， ∴a＞0，且﹣2+a2=1， ∴+2+a2=5， 即（+|a|）2=5， 开平方得，+|a|=． 故选C． 8．（2012?滨州）求1+2+2+2+…+2的值，可令S=1+2+2+2+…+2，则 2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012 ．D． 根据题目提供的信息，设S=1+5+5+5+…+5，用5S﹣S整理即可得解． 解：设S=1+5+52+53+...+52012，则5S=5+52+53+54+ (52013) 因此，5S﹣S=52013﹣1， S=． 故选C． 9．（2004?郑州）已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A．4B．3C．2D．1
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2)，求a+b的值． 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形，而恒等式 中的对应项系数是相等的，从而可以求出 a 和 b，于是问题便得到解 决． 解
2 2
由题意得：x +ax+b=(x+1)(x-2)，所以
2
2
x +ax+b=x -x-2， 从而得出 a=-1，b=-2， 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3． 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法． 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab． 此多项式的各项都有因式 2ab，提取 2ab 即可． 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1)． 用“提公因式法”分解因式，操作时应注意这样几个问题：首
2 2 2 2
先， 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积，即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式，否则达不到因式 分解的要求；其次，用“提公因式法”分解因式，所得结果应是：最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积． 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式，则商式为 1，这个 1 千万不能
丢掉． 本例题中，各项的公因式有 2，a，b，2a，2b，ab，2ab等．其中 2ab 是它们的最高公因式，故提取 2ab．作为因式分解后的一个因式，另 一个因式则是分别用 6a b，4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和， 其中-2ab÷2ab=-1，这个-1 不能丢． 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y． 将-x-y 变形为-(x+y)，于是多项式中各项都有公因式 x+y，提
2 2
取 x+y 即可． 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1)． 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则． 因式分解 64x -1． 64x 可变形为(8x ) ，或变形为(4x ) ，而 1 既可看作 1 ，也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ，这样，本题可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分 解． 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
1.若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-，求 x y -的值。______ 6．因式分解： （1）.提公因式法： a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 （2）.公式法： 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a ）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：（1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+
一、选择题 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b ) 2．如果305)(22--=+++?x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6 3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－2 4．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( ) ①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 7．=-+1032x x __________． 8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________， b ＝__________． 9．=--3522 x x (x －3)(__________)． 10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22 ____)(____(_____)+=++a m n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题 14．把下列各式分解因式： （1）6724+-x x ； （2）3652 4--x x ； （3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --； （5）234456a a a --； （6）4 22469374b a b a a +-． 15．把下列各式分解因式： （1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； （3）2222)332()123(++-++x x x x ； （4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ； （6）48)2(14)2(2++-+b a b a ． 16．把下列各式分解因式： （1）b a ax x b a +++-2)(2； （2）))(()(222q p q p pq x q p x -+++-； （3）81023222-++--y x y xy x ； （4）310434422-+---y x y xy x ； （5）120)127)(23(22-++++x x x x ； （6）4222212)2)((y y xy x y xy x -++++． 17．已知6019722 3+--x x x 有因式2x －5，把它分解因式． 18．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．
《因式分解》知识演练 分解因式【考点演练】 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)( 2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- 3、)1)(1(12-+=-x x x 4、c b a x c bx ax ++=++)( 5、12a 2b =3a ·4ab 6、(x +3）（x －3）=x 2－9 7、4x 2+8x －1=4x (x +2)－1 8、2 1ax －2 1ay =21a (x －y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-9 10、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x 1 ) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 提公因式法【考点演练】 1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。 2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ） A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=- B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y a C 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 、 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A 、 22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） A 、(a -2)(m 2+m ) B 、(a -2)(m 2-m ) C 、 m (a -2)(m -1) D 、m (a -2)(m+1)