基于蔡氏电路的混沌电路分析
唐永洪，付云峰，王德玉
（哈尔滨工业大学能源科学与工程学院飞行器动力工程，哈尔滨，150001）
摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究，并运用multisim10.0软件进行仿真。测定有源非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。同时分析了电感值为15mH下出现的变异双二倍周期、变异单二倍周期、对称倍周期、死区等低电感参数下的新特性，以及典型蔡氏电路混沌现象随电感变化的关系，并简单描述了混沌电路在保密通信、自动控制等领域的应用。
关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言
混沌是本世纪最重要的科学发现之一，被誉为是继相对论和量子力学后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代[1]。混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性，在非线性科学、信息科学、保密通信、混沌密码以及其他工程领域获得了广泛的应用，已成为非线性电路与系统的一个热点课［2］。
非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，在非线性电路中能够得到很好的混沌实验结果，蔡氏混沌电路[3-5]就是一个典型的混沌电路。我们在模拟蔡氏混沌电路观察混沌现象时，由于实验的条件不能得到精确控制，而混沌电路又对初始条件具有高度的敏感性，以至于实验现象不明显。因此本文采用multisim10.0对电路进行仿真[6]，在理想条件观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。
1混沌概念及其相关特征
1.1混沌和吸引子的定义
混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。
混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。
奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳
定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。
1.2混沌的基本特征
混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。
2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
2.1蔡氏电路的构成
蔡氏电路是一个典型的混沌电路。蔡氏电路实验电路图如图1所示。电路中的电感
L和电容C
1、C
2
并联构成一个振荡电路。R
是一个有源非线性负电阻元件，电感L和电
容C
2
组成一损耗可以忽略的谐振回路；可变
电阻R和电容C
1
串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
图1.蔡氏电路图
图2.有源非线性负电阻伏安特性曲线
蔡氏电路的状态方程式为：
C1dUc1/dt=G（Uc2－Uc1）－gUc1
C2dUc2/dt=G(Uc1－Uc2)+i L
Ldi L/dt= －Uc2
式中U
C1
,U
C2
分别为电容C
1
,C
2
上的电压；i
l 为电感L上的电流，G=1/R
为电导；g为R 的伏安特性函数。
当R为线性电阻时，g为常数，电路为
一般振荡电路，此时把C
1
和C
2
两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，显示的图形是椭圆形；当R为非线性负电阻时，其伏安特
性如图2，此时把C
1
和C
2
两端的电压分别输入到示波器的x,y轴，调节G的值就会观察到不同的混沌现象。
2.2有源非线性负电阻的实现
非线性负电阻的实现是混沌电路的关键，蔡氏混沌电路中采用两个运算放大器（型号为TL082CD）和六个配置电阻来实现。电路图如图3。
图3.有源非线性负电阻的实现
电路参数：
R1=3.3kΩ，R2=22kΩ,R3=22kΩ,
R4=2.2kΩ,R5=220Ω,R6=220Ω，V1=15V,
V2=15V。
2.3有源非线性负电阻的伏安特性
测定有源非线性负电阻的伏安特性，有两种方法：一种是逐步改变电源电压（-12V 至+12V），利用电压表、电流表测量负电阻两端的伏安特性；另一种是利用IV分析仪（自提供可变电源），自动测量电路的伏安
特性，并显示图形。在这里，我们采用第二种方法。实验电路图如图4，有缘非线性负电阻伏安特性曲线如。
图4.IV分析仪测量有源非线性负电阻伏安特性电
路图
图5. 有源非线性负电阻伏安特性曲线
3混沌电路实验特性
选取在L=15mH条件下分析混沌电路特性，实验电路图如图6。电路参数：L=15mH，C1=0.01uF，C2=0.1uF，R7为3kΩ可变电阻。
通过模拟实验可以看出，随着R7阻值的减小，将依次出现以下混沌现象，参见图7：
单吸引子（R7=2000Ω）：电路接通，振荡电路工作，引发出单吸引子。此时R7两端的电压Uc1最终趋近于一个固定值，Uc2=0，振荡电路趋近于稳定状态（混沌吸引子中的点状态）。
图6.典型蔡氏混沌电路图
N倍周期（N=1，2，3，4，5，6……，如一倍周期R7=1850Ω；二倍周期R7=1780Ω）：逐渐减小电阻R7，将出现倍周期分岔，倍周期最终趋近于稳定极限环状态，环数为N值。
奇异（怪）吸引子（R7=1700Ω）：奇异吸引子，包括单漩涡混沌吸引子和双漩涡混沌吸引子，奇异吸引子带有明显的混沌特性，即分数维结构，阵发性，不稳定性（对初始条件的敏感性）。从Uc1-Uc2图上可以看出，单漩涡混沌吸引子具有一个不稳定的中心，所有的状态均围绕这个中心旋转、靠近，但是始终无法到达中心点。双漩涡混沌吸引子则具有两个旋转中心。一次引发混沌吸引子状态，总是先从外围开始，围绕旋转中心收缩，意图无限靠近旋转中心，使之达到稳定状态，但是在某一个状态中，又突然脱离收缩趋势，继续在在最大状态与最小状态的范围内做不确定的运行，且具有明显的边界，即进入奇异吸引子状态。任何一个微小的扰动（初始状态改变），都可能引起本质的改变。而它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。表现出既吸引又排斥的混沌状态。
极限环（R7≤1290Ω）：该状态是由双吸引子转变而成，电感L越小，转变过程越明显。最终达到一个极限状态，即为极限环。极限环类似于一倍周期，同一倍周期一样具有一个稳定的状态。
与一倍周期不同的是，极限环有明显的拐点，而一倍周期具有连续性。没有突变的过程。
一般来讲，蔡氏电路的电感L选择范围为17mH~23mH之间，在这个范围内能明显的观察到以上各类混沌状态。而我们通过模拟研究发现，对于高于L 高于23mH及低于17mH的蔡氏混沌电路，还有一些比较奇特的状态。以L=15mH时的蔡氏电路为例。当R7=1380Ω时，出现由极限双漩涡混沌吸引子变异而来的双向二周期稳定状态，笔者称之为变异双二倍周期该状态下能有稳定的二周期性，如图7；同时也保留了双吸引子和极限环的边界轮廓特性。在变异双二倍周期之后，继续减小R7的阻值，会观察到由单漩涡吸引子演变而来的变异单二倍周期。继续减小，会依次出现稳定的六倍、四倍、二倍、一倍周期，这些稳定的倍周期状态，与高阻值时的倍周期状态几乎一致，如同状态与阻值成对称分布一样。在观察低阻值下的二倍周期、一倍周期引发过程，可以看到，有一个明显的突变过程。在某一时刻，Uc2突然升高，然后短时间内达到稳定状态，开始成周期性分布。
单吸引子，趋近于点一倍周期（稳定极限环，下同）
奇异吸引子演变的变异单二倍周期变异单二倍周期波形图
此外，在R7=1300Ω时，会存在一个死区，即此时的Uc1、Uc2几乎为零，图
8所示。对于高电感的电路，在此阻值时，没有死区存在，但是引发的极限环具有明显的延迟。低电感时，当阻值跳过1300欧的临界点时，出现常规的极限环，此时与任何混沌电路的极限环一致。
对比不同电感L下的混沌现象。可以看
出，对于同一阻值R7时，随着电感值L的
增加，混沌现象提前，图10所示。此外，
随L值的增大，出现极限环的临界阻值R7
值逐渐增大，双吸引子向极限环的渐变过程
越来越不明显。对于高电感值L的混沌电路，
不仅有明显的混沌状态提前，同时也伴随着
倍周期、吸引子的边界化，如图9所示。
L=10mH，R7=2kΩ，不完全单吸引子R7=1200Ω
4混沌电路的几种应用
基于混沌电路的特性，它在许多领域中有重要的应用。但由于目前混沌学仍处于研究阶段，故其应用并不完善，出现的一些问题还有待解决。
1．保密通信中的应用：使强度更大的混沌信号和真实信号同步，由于混沌信号具有信号频谱宽、类似噪声、随机不可预测等特性，当真实信号被混沌信号所掩盖时，攻击者就很难从传输信号中分离出原始真实信号。另外要求收发两端使用相同的混沌系统以及系统参数和状态初值，使系统同步并输出相同的混沌信号，以便正确地恢复信号[5]。
2．自动控制中的应用：考察非线性混沌系统的输出信号与输入信号的自反馈耦合，或者从系统外部强迫注入某一周期信号，或者直接将系统自身的输出信号取出一部分经过一定的时间延迟后再反馈到原混沌系统中去．作为控制信号，通过调节控制因子及控制信号的大小实现稳定控制。
3．传感应用：混沌具有初值敏感性, 当其结构参数稳定时,初始值与动力轨道在一
定的时间内是一一对应的, 而且对于微小的初值变化, 其运动轨迹就会出现指数分离。若初值细微变化是由混沌系统中的传感元件随被测参数变化而引起的, 则轨迹之间的巨大差异就能直接反映被测参数的大小。这种混沌型传感器具有很高的灵敏度和分辨率, 特别适用于微应变、微应力的测量；微量变化物参数的测量。
结论
本文介绍了混沌的基本概念及其应用，并对一种典型的蔡氏混沌仿电路用multisim10.0进行仿真。通过调节可变电阻，改变电感感抗，达到改变电路状态的目的。实验发现，改变初始电路参数时，在混沌现象中电路是非周期性的，时而稳定，时而混乱，虽然出现平衡点，但并不稳定。在理想实验条件下观察到了不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。同时也发现了低电感参数下新发现的变异稳定周期以及对称周期、死区等现象。随着混沌电路电感L 值的逐渐减小，混沌现象提前，边界化也越来越明显。以上混沌电路的诸多特性是线性电路所不能做到的。基于混沌电路的这些特性，它将在许多应用领域有重要的应用，更多的应用将依赖于对混沌理论的研究和实验分析。
结束语
本次基于典型蔡氏电路的混沌电路研究得到了杨威老师和安捷伦电子实验室老师的大力支持和帮助，虽然实际实验中因为混沌电路初始条件的高度敏感性而未能获得成功，在此依然对各位老师致以诚挚的谢意。同时对各位小组成员的努力表示感谢。
参考文献：
[1]王诗斌，谢胜曙. 混沌及混沌电路的研究. 国外电子测量技术，2004，（5）. [2] 冯朝文,蔡理,康强. 基于单电子器件的混沌电路研究. 物理学报,2008,(10). [3]蒋国平，陈艳云. 蔡氏混沌非线性电路及其频率特性的研究. 电气电子教学学报，2002，（10）.
[4] 李小春，朱双鹤，王国红，曹国雄，黄河. 混沌信号产生电路的研究. 空军工程大学学报(自然科学版),2001,(10)
[5] 王玉芳,杨峰. 一个非自治混沌电路的同步实现及其保密通信应用. 山东师范大学学报(自然科学版),2007,(3)
[6] 刘英明，马艳萍，王东方. 混沌电路的仿真研究. 佳木斯大学学报( 自然科学版),2006,(6).
蔡氏电路的Matlab混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
研究生课程论文(2018-2018学年第二学期> 蔡氏混沌非线性电路的研究 研究生：***
蔡氏混沌非线性电路的研究 *** 摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract：This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’scircuit was a typical chaos circuit,and theoretical analysis and simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwould generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab ,mathematical model of Chua’s circuit were programmed and simulatedto realize the synchronization of dual and single cochlear volume．At the same time, behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly． Key words：chaos phenomenon；Chua’S circuit；simulation 引言： 混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20 世纪三大重要基础
西安交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
非线性电路混沌及其同步控制 【摘要】 本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。 【关键词】 混沌现象有源非线性负阻蔡氏电路混沌同步费根鲍姆常数 一．【引言】 1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实
验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。 二．【实验原理】 1.有源非线性负阻 一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v呈线性变化，所谓正阻，即I-U是正相关，i-v曲线的 斜率 u i ? ? 为正。相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两 端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。 一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。本实验才有如图1所示的负阻抗变换器电路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现。 图1 有源非线性负阻内部结构 用电路图3以测试有源非线性负阻的i-v特性曲线，如图4示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，
蔡氏电路系统仿真平台的研究 齐春亮，张兴国 (兰州大学信息科学与工程学院 甘肃 兰州 730000) E-mail:jichl03@https://www.doczj.com/doc/5915662267.html, 摘要：本文在对蔡氏电路进行了分析的基础上，结合实际试验中的主要现实困难，研究了蔡氏一类非线性混沌电路仿真系统的结构化设计与系统动态演示方法，通过建立结构化仿真实验平台，减轻了蔡氏电路研制者的筛选元器件的负担，同时增强了人机交互功能。 关键词：蔡氏电路,结构化,可视化仿真 1.概述 现代非线性科学是人类科学文化的重要组成部分，而混沌又是现代非线性科学的重要组成部分，混沌理论为非线性系统的研究提供了简单有效的模型。1983年，美国贝克莱(Berkeley)大学的蔡少棠教授(Leon.o.Chua)发明了蔡氏电路(Chua ’s Circuit)，蔡氏电路因其简洁性和代表性而成为研究非线性电路中混沌的典范[1][2]。蔡氏电路是由电阻﹑电容和 电感及“蔡氏二极管”组成的三阶自治电路，在满足以下条件时能够产生混沌现象[3]：（a) 非线性元件不少于一个（b)线性有效电阻不少于一个（c)储能元件不少于三个。符合以上标准的最简单电路，就是混沌电路之一—典型蔡氏电路。 一个具体的典型蔡氏电路相空间的动力学方程为 ???? ??????=+==???2212221)11)211Vc L 1i )Vc (Vc C G C 1Vc (Vc C 1Vc (Vc C G Vc dt d i dt d f dt d L L 及 ))((2 1)(1111E V E V G G V G V f I C C b a C b C ??+?+== 蔡氏电路的运动形态因元件参数值的不同而有本质的不同，可以把电路元件参数值看作控制参数而使蔡氏电路工作在不同的状态。现在以其中的线性电阻R （方程中的G=1/R ）为 1
非线性电路课程报告 电气工程学院 蔡氏混沌电路的MATLAB仿真 摘要： 混沌是非线性系统中的常见现象。本文应用MATLAB软件对蔡氏电路进行了仿真分析，并对仿真结果作了讨论，指出了这种研究方法的应用前景。
关键词： 蔡氏电路混沌动力学吸引子系统仿真 1.引言 作为一种普遍存在的非线性现象, 混沌的发现对科学的发展具有深远的影响。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为,即：一个可由确定性方程描述的非线性系统,其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性, 我们就认为该系统存在混沌现象.混沌具有三个特点:随机性;遍历性;规律性。混沌有一个很重要的性质:系统行为对初始条件非常敏感。混沌理论是架起确定论和概率论两大理论体系之间的桥梁，与相对论、量子力学一起被称为20世纪物理学的三大革命。近年来，混沌现象及其应用成为一个研究热点，学者们对混沌在通讯工程、电子工程、生物工程、经济学等领域中的应用进行着广泛的研究。许多学者通过非线性电路对混沌行为进行了广泛地研究, 其中最典型的是蔡氏电路,它是能产生混沌行为的最小、最简单的三阶自治电路。 在电路与系统领域，由于蔡氏电路的提出，对混沌理论及其应用的研究也变得十分活跃。蔡氏混沌电路是一个物理结构及数学模型都相对简单的混沌系统，然而它也是一个典型的混沌电路，对蔡氏电路的研究有助于理解混沌的演化过程及其了解混沌相关特性。由于混沌动力学系统的复杂性，绝大多数混沌动力学系统难以用已知的函数表示其通解，所以通过数值计算对混沌行为的时空演化进行描述是研究混沌的一种重要方法。 MATLAB软件是以矩阵计算为基础的数值计算、模型仿真的优秀数学工具。借助MATLAB软件强大的数值计算及仿真能力，使得对许多复杂的混沌系统的研究变得相对容易和直观。 本文对其进行深入的数学分析；在MATIAB环境下，建立了该电路的仿真模型，通过改变电路中的线性电阻值和系统状态变量初始值，对其非线性动力学行为进行仿真分析。分析结果表明：在此种蔡氏电路中，可以观测到混沌产生的全过程。 2.蔡氏混沌电路 蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统,该混沌系统也常被用来进行混沌理论及应用方面的研究。该电路使用三个储能元件和一个分段线性电阻,电路如图1所示。可以把电路分为线性部分和非线性部分.其中线性部分包括:电阻R、电感L(含内阻r)和两个电容C1 与C2;非线性部分只有一个分段线性电阻R n,其伏安特性如图2所示。非线性电阻是压控非线性电阻，它具有分段的伏安特性。
交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统 对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
蔡氏电路仿真分析 学院：电气工程学院 班级：硕6036 姓名：张东海 学号：3116312053
目录 1.基本分析 (2) 2.MATLAB仿真 (5)
蔡氏电路 蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和及其丰富的混沌动力学行为。 1.基本分析 蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明了在满足以下条件时能够产生混沌现象。 (1) 非线性元件不少于1 个； (2) 线性有效电阻不少于1 个； (3) 储能元件不少于3 个。 根据以上条件，在图1.1中给出蔡氏电路方框图。图中R 为线性有效电阻，L 、C 1、C 2为储能元件，R N 为非线性元件。图2.2给出非线性电阻伏安特性曲线。 图1.1 蔡氏电路方框图 图1.2 非线性电阻伏安特性曲线 对于图2.1提出的蔡氏电路，其状态方程推导如下 12112122121()()1()(1)C C C C C C C L L C du C u u g u dt R du C u u i dt R di L u dt ?=--???=-+???=-?? 其中函数1()C g u 是分段线性函数，其形式为：
11111()()()2 C b C a b C C g u G u G G u E u E =+-?+-- 作变量代换： 12 22 221,,,,1 C C L u u i x y z E E EG C C tG C C LG G R ταβ=== ==== 式（1）可以写为如下形式 [] ()(2)dx y x f x d dy x y z d dz y d αττ βτ?=--???=--???=-?? 式（2）即是蔡氏电路的标准方程形式。 其中()f x 可表示为如下形式 10101 01(),1(),1(),1m x m m x f x m x x m x m m x +-≥??=≤??--≤-? 其中 01,a b m G E m G E == 蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为 101={(,,)| 1} ={(,,)| 1}={(,,)| 1} D x y z x D x y z x D x y z x -≥≤≤- 在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点如下 1011(,0,), (0,0,0), (,0,).P k k D Q D P k k D +--=-∈=∈=-∈ 其中， 1011 m m k m -=+ 在P +、1P -和Q 处的雅可比矩阵分别为：
非线性电路混沌实验 混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象,它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。 混沌研究最先起源于1963年洛伦兹(E.Lorenz)研究天气预报时用到的三个动力学方程,后来又从数学和实验上得到证实。无论是复杂系统,如气象系统、太阳系,还是简单系统,如钟摆、滴水龙头等,皆因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动,即混沌现象。由于电学量(如电压、电流)易于观察和显示,因此非线性电路逐渐成为混沌及混沌同步应用的重要途径,其中最典型的电路是美国加州大学伯克利分校的蔡少棠教授1985年提出的著名的蔡氏电路(Chua ’s Circuit)。就实验而言,可用示波器观察到电路混沌产生的全过程,并能得到双涡卷混沌吸引子。 本实验所建立的非线性电路包括有源非线性负阻、LC 振荡器和RC 移相器三部分；采用物理实验方法研究LC 振荡器产生的正弦波与经过RC 移相器移相的正弦波合成的相图(李萨如图)，观测振动周期发生的分岔及混沌现象。 【实验目的】 观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性；了解非线性电路混沌现象的本质；学会自己制作和测量一个使用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。 【实验原理】 1.非线性电路与非线性动力学 实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R V 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。本实验中所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。 图1非线性电路原理图 图2非线性元件伏安特性 图1电路的非线性动力学方程为： 1121)(1 C C C C U g U U G dt dU C ?--?= L C C C i U U G dt dU C +-?=)(2112 2 (1) 2C L U dt di L -=
基于蔡氏电路的混沌电路分析 唐永洪，付云峰，王德玉 （哈尔滨工业大学能源科学与工程学院飞行器动力工程，哈尔滨，150001） 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究，并运用multisim10.0软件进行仿真。测定有源非线性负电阻的伏安特性曲线，观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，阵发混沌，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。同时分析了电感值为15mH下出现的变异双二倍周期、变异单二倍周期、对称倍周期、死区等低电感参数下的新特性，以及典型蔡氏电路混沌现象随电感变化的关系，并简单描述了混沌电路在保密通信、自动控制等领域的应用。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子 引言 混沌是本世纪最重要的科学发现之一，被誉为是继相对论和量子力学后的第三次物理革命，它打破了确定性与随机性之间不可逾越的分界线，将经典力学研究推进到一个崭新的时代[1]。混沌信号是一种貌似随机而实际却是由确定信号系统产生的信号，混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性，在非线性科学、信息科学、保密通信、混沌密码以及其他工程领域获得了广泛的应用，已成为非线性电路与系统的一个热点课［2］。 非线性电路中的混沌现象是最早引起人们关注的现象之一，在非线性电路中能够得到很好的混沌实验结果，蔡氏混沌电路[3-5]就是一个典型的混沌电路。我们在模拟蔡氏混沌电路观察混沌现象时，由于实验的条件不能得到精确控制，而混沌电路又对初始条件具有高度的敏感性，以至于实验现象不明显。因此本文采用multisim10.0对电路进行仿真[6]，在理想条件观察不同参数条件下出现的倍周期分岔，吸引子，奇异吸引子等一系列不同的混沌现象。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳
蔡氏电路MATLAB混沌仿真
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3 蔡氏电路的Matlab 混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
4 摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB 仿真 Abstract This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit ．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words ：chaos phenomenon ；Chua’s circuit ；Simulation
混沌系统的电路实现与仿真分析 1. 设计思路 混沌系统模块化设计方法的主要思路是，根据系统的无量纲状态方程，用模块化设计理念设计相应的混沌电路，其中主要的模块包括：反相器模块、积分器模块、反相加法比例运算模块和非线性函数产生模块。 2. 设计过程 第一步，对混沌系统采用Matlab 进行数值分析，观察状态变量的时序图、相图，观察系统状态变量的动态范围； 第二步，对变量进行比例压缩变换。我们通常取电源电压为±15V ，集成运放的动态范围为±13.5V ，如果系统状态变量的动态范围超过±13.5，则状态变量的动态范围超过了集成运放的线性范围，需要进行比例压缩变换，如没有超出，则不需要进行变换。 举例：变换的基本方法 ?????? ?=== w k z v k y u k x 32 1 代入原状态方程，然后重新定义u →x ，v →y ，w →z 得到的状态方程即为变量压缩后的状态方程。 第三步，作时间尺度变换。将状态方程中的t 变换为τ0t ，其中τ0为时间尺度变换因子，设τ0=1/R 0C 0，从而将时间变换因子与积分电路的积分时间常数联系起来。 第四步，作微分-积分变换。 第五步，考虑到模块电路中采用的是反相加法器，将积分方程作标准化处理。 第六步，根据标准积分方程，可得到相应的实现电路。 第七步，采用Pspice 仿真软件或Multisim 仿真软件对电路进行仿真分析。
3. 设计举例：Lorenz 系统的电路设计与仿真 Lorenz 系统的无量纲归一化状态方程为 bz xy z y xz cx y ay ax x --=--=+-= （1） 其中当a=10，b=8/3，c=28时，该系统可以展现出丰富的混沌行为。 MATLAB 仿真程序如下： function dx=lorenz(t,x) %?¨ò?oˉêy a=10; b=8/3;c=28; %?¨ò??μí32?êy %***************************************** dx=zeros(3,1); dx(1)=a*(x(2)-x(1)); dx(2)=c*x(1)-x(1).*x(3)-x(2); dx(3)=x(1).*x(2)-b*x(3); %*********************************?¨ò?×′ì?·?3ì clear; options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-6,1e-6,1e-6]); t0=[0 500]; x0=[1,0,0]; [t,x]=ode45('Lorenz',t0,x0,options); n=length(t); n1=round(n/2); figure(1); plot(t(n1:n),x(n1:n,1)); %×′ì?xμ?ê±Dòí? xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); ylabel('x1','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','normal'); figure(2); plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3)); %x-z?àí? xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('Z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); figure(3); plot3(x(n1:n,1),x(n1:n,2),x(n1:n,3)); %x-y-z?àí? xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic'); ylabel('y','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');
2.6.3蔡氏电路中混沌现象的观察研究 混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观 察手段。由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。 用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984 年提出的 一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。蔡氏电路的理论模型如图2-70 所示。 R C L C2 100nF C1 10nF 17. H4m R 图2-70蔡氏电路的理论模型 图中，C1、C2 为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电 阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode），具有图2-71 所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。 U R 图2-71蔡氏电路非线性电阻的特性 实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72 所示，由双运放与 6 只 线性电阻构成。 I R R 3 22kΩR6 220Ω A1 LM224 A1 LM224 U R R1R2 22kΩ R4 2.2kΩ R5 220Ω 3.3kΩ 图2-72由双运放构成的蔡氏二极管 将图2-70 所示电路中的R C 分成两电阻串联，R c = R1 + R2 ， 即 其中R2 = 1kΩ， 1 是1kΩR 的可调电位器。 我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。
蔡氏混沌电路分析与仿真 1 蔡氏电路 混沌理论自20世纪70年代以来已成为许多不同学科领域的研究热点。粗略地说，混沌是发生在确定性系统中的一种不确定行为，或类似随机的行为。混沌运动是另一种非周期运动。混沌的一个显著特点是：状态变量的波形对状态变量的初始值极为敏感，或者说初始值对波形有重大影响。 混沌现象广泛的存在于非线性电路中，其中比较典型并已得到深入研究的电路是二阶非自治铁磁谐振电路和称为蔡氏电路的三阶自治电路。 蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌动力学行为。近二十年来，通过人们对蔡氏电路的深入研究和探索，发现蔡氏电路呈现出丰富的混沌动力学行为，蔡氏电路已在保密通信领域获得了一定的应用。 蔡氏电路如图1所示，它是一个三阶自治电路，由两个线性电容、一个线性电感、一个线性电阻和一个电压控制型的非线性电阻元件构成。非线性电阻的伏安特性如图2所示。 u C2 R R + - u R 图1 蔡氏电路 R 图2 压控型非线性电阻伏安关系 2 基本分析 对图1所示蔡氏电路推导其状态方程，分别以u C1, u C2和i L为变量列写KCL和KVL方程，其方程组如下所示：
221 21 12 2 10 C C C L C C C R L C du u u C i dt R u u du C i R dt di u L dt -?+=???-?=+? ??=-??? 式中，i R = g(u R )。 整理上述各式，且令u C1=x, u C2=y, i L =z ，取电路中各参数的值为L=7/100 H, C 1=1/9 F, C 2=1 F, R 0=1 Ω, k 0= -8/7, k 1= -5/7。方程可变换为标准的蔡氏方程，即为： [()]dx a y f x dt dy x y z dt dz by dt ?=-???=-+???=-?? 其中， 10101 01()...........(1)()............................(1)() (1) m x m m x f x m x x m x m m x +-≥?? =≤??--≤-? 式中，a=9, b=100/7, m 0= -1/7, m 1=2/7。 3 计算机仿真 蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为 D 1= {(x, y, z) │ x ≥1} D 0= {(x, y, z) ││x │≤1} D -1= {(x, y, z) │ x ≤-1} 在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点，平衡点如下： P + = (1.5, 0, -1.5) ∈ D 1 Q = (0, 0, 0) ∈ D 0 P - = (-1.5, 0, 1.5) ∈ D -1 对于平衡点P +和P -，两个平衡点具有相同的状态方程，其平衡点处的雅克比矩阵为： 18/7 901110100/70A -????=-?? ??-?? 利用Matlab 求解其相应的特征根，可以得到方程在平衡点P +和P -处的特征值为一个实 数值和一对共轭复数值。其中一个实数值为： 3.9421P λ=- 而一对共轭复数值为：
计算机课程设计报告 基于Matlab的非线性电路混沌 实验仿真 姓名：任华西 学院：测试与光电信息工程 班级：100851 指导老师：陈常婷
摘要 混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动。而混沌对于非线性动力学的研究有着非常重要的作用，本文结合非线性电路的混沌的课堂教学，设计了Matlab/Simulink仿真实验,研究蔡氏电路的模拟仿真过程。本文首先通过对非线性电路（蔡氏电路）与非线性动力学进行了阐述和分析，建立非线性动力学方程，然后利用Matlab/Simulink软件进行仿真，研究系统波形图、单吸引子、双吸引子、相面图以及在不同的非线性电阻的导纳下的不同形状。达到了预期的实验效果，基于Matlab/Simulink对非线性电路混沌的仿真对学生对非线性电路实验混沌适应实验的理解有着较大的参考价值。 关键词非线性电路混沌现象Matlab/Simulink仿真
目录 摘要 (3) 1 混沌的概述 (4) 1.1 混沌现象的概述 (4) 1.2 混沌电路综述 (5) 2 混沌理论基础 (5) 2.1 混沌的基本定义 (5) 2.2 混沌的基本特征 (5) 2.3 混沌理论的基本概念 (7) 3 蔡氏电路的分析与仿真 (8) 3.1 蔡氏电路的分析 (9) 3.2计算机仿真 (10) 4 结论 (15) 致谢 (16) 参考书目 (16)
1混沌的概述 1.1混沌现象概述 混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动，长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解。于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。该学科涉及非常广泛的科学范围从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。 与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对“正常”事物“正常”现象的认识转向对“反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；“多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的“非常规”现象产生所采用的“非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的“常规”，出现所谓各种“奇异吸引子”现象等。 混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。举个例子，生态学家对某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增减。如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的“罗杰斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn）(其中k是依赖于生态条件的常数，“n+1”是脚标）可以用于在给定Po，k条件下，预报群体数的长期性态。如果将常数k处理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后，“罗杰斯蒂映射”所构成的动力系统就进入混沌状态。 混沌（Chaos）也作混沌，指确定性系统产生的一种对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。浑沌与分形(fractal)和孤子(soliton)是非
2.6.3 蔡氏电路中混沌现象的观察研究 混沌是自然界客观存在的一种现象，而混沌电路是至今为止最方便有效的一种实验观察手段。由于混沌现象对电路参数的极度敏感性，用一般电路实验手段来观察，其参数调节比较困难，相比之下在Multisim 环境下进行仿真观察是非常容易实现的。 用来实现混沌现象的混沌电路很多，其中以著名的美藉华裔学者蔡少棠1984年提出的一种三阶非线性自治电路（称之蔡氏电路）最为典型。该电路具有电路结构简单，混沌现象丰富等特点，因而得到了广泛的学术研究和工程应用。蔡氏电路的理论模型如图2-70所示。 R R L 17.4m 图2-70 蔡氏电路的理论模型 图中，C 1、C 2为两个线性电容，L 为线性电感，R C 为线性电阻，而R 则为一非线性电阻（R 习惯被称之为蔡氏二极管，Chua’s diode ），具有图2-71所示的压控特性，R 可由五段分段线性的线性电阻构成。 图2-71 蔡氏电路非线性电阻的特性 实现该非线性电阻R 的方案也很多，典型的电路之一如图2-72所示，由双运放与6只线性电阻构成。 图2-72 由双运放构成的蔡氏二极管 将图2-70所示电路中的R C 分成两电阻串联，即21R R R c +=，其中2R =Ωk 1，1R 是Ωk 1的可调电位器。 我们就可以在基于上述参数的蔡氏电路上，通过Multisim 的仿真，清楚的观察到倍周期分岔、阵发混沌以及奇怪吸引子等一系列混沌所特有的现象。 U R
1．编辑原理图 首先编辑非线性电阻R构成电路，如图2-73 (a)所示。在这个图中取用两个输入接线端，是为了把该电路设置成如图2-73 (b)所示的R子电路。 (a) (b) 图2-73 Multisim中编辑出的非线性电阻R及其子电路 子电路的创建方法是在选中图中所有的部分（按住鼠标，拖一个把该电路部分全部包围进去的方框，如电路窗口中仅有这部分电路，也可选择Edit/Select All命令），启动Place/Replace by Subcricuit命令，即可得。设置子电路的目的是使蔡氏电路的电路图形更加简洁。 接着编辑蔡氏电路原理图，如图2-74所示，其中就调用了前面已编辑好的子电路R。 图2-74 Multisim环境下的蔡氏电路原理图 由于蔡氏电路中混沌现象的出现对电阻R C的敏感性，故要打开R1的属性（Potentiometer）对话框，对其Value页中的Increment由5％的缺省值改为1％。 2．仿真操作 （1）混沌信号时域波形的观察 在仪表工具栏中选中示波器XSC1并连接到电路中，如图2-75所示。