第一章函数
习题1－1 1．下列各组函数是否相同？为什么？
(1) f( x
)=
x
与
g( x)
tan(arctan x)
(2) f ( x)x2 ,x0
x3 ,x0
与
x3， x0 g( x)
x2， x
(3)?( x)x
与g(x)1 x
(4) y
f ( x)与s f (t)
解 (1) 因为对x
∈ (- ∞, +∞ ), f ( x)与g (x) 都有定义,且
f (x) x tan(arctanx)g( x)
所以两个函数相同 .
(2)因为两个函数的对应规则不同 ,所以两个函数不同 .
x
f ( x)
D1D( f )x R且x0}
(3) 因为函数x 的定义域为
而函数 g( x) 的定义域为D2D( f )R
所以由 D1≠D2知,两个函数为不相同的函数 .
(4)两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.
2．求下列函数的定义域:
(1)y x21(2)y lg(3x)
x1
1x ,x0
(3)y 1 x(4)y x,0x2
x2
1
x2,2x
解（ 1）由偶次根式的定义可知 , x应满足关系式x210
故函数的定义域为
D( f ) ( , 1)
(1, ).
3 x 0
(2）由关系式
x 1 0
解得 1 x
3 .
故函数的定义域为
D( f )
(1, 3) .
(3) 要使该函数有意义 ,
x
应满足关系式
1 x 2
1 x 0
解得
x
1, x
1
.故函数的定义域为
D ( f )= ( 1,1) (1, ) .
（4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故
D( f
)=( - ∞ , 0)∪[0, 2] ∪ (2, +∞ )=( - ∞ , +∞).
3.已知 f ( x)
1 ,求 f (0), f (2), f (
x), f (2 x) 1, f ( 1
2 ), f (2 h),
x
x f ( x h), f (x h)
f ( x) 其中 h
0.
h
f (0)
1
1
解 当 x
022.
=0时,
f (2)
1 1
当 x
2
2 4 .
=2时,
f ( t)
1
f (
1
当
x
2 t ,
x)
= - t 时 ,
所以
2 x .
f (2t)
1
f (2 x) 1
2x 3 当
x
2( x 1) .
2t
2
, 所以 2 t 时 ,
1 1 t
1
f ( )
1 2t
1 x
t
1 2
当 x = t
(t ≠ 0)时 ,
t
f ( )
1 2 x .
, 所以
x
f (2 h)
1
当
x
4 .
2
h
时 ,
h
f (t
h)
1
f ( x h)
1 当
x
t
x h 2 .
h
时 ,
t
h 2
, 所以
f ( x h)
f ( x)
1
故
h
( x
h 2)( x 2) .
4．求下列函数的值.
f ( x)x ，
x1, 求f (0), f (1 a), f ( 1.5). 1
2x，x1 (1)3
f ( arcsin
1 (2) f ( x)sin x ，求).
2
解(1) 当x
=0 时, f(0)=1.
当 1 + a < 1 时 , 即 a < 0 时, f (1 a) 2 a
.
当 1 + a > 1, 即 a < 0 时 ,
f (1 a) 2a 5
f (1 a)
2 a, a0 52a, a0
即
当x
= - 1.5<1 时 , 有 `
f ( 1.5)
0.5 .
(2) 因为f (x)
sin x ，
f ( arcsin 1111 )sin( arcsin )sin(arcsin).
所以2222
5.求函数的定义域:
(1)若f ( x)
的定义域是 [- 4， 4]，求
f (x
2
)
的定义域 ;
(2) 若f ( x)
的定义域是 [0， 3 a] (a > 0) ，求
f ( x a) f (x a)
的定义域;
(3)若f ( x)
的定义域是 [0， 1]，求
f (l
g x)
的定义域 ;
(4)若f (1 x)
的定义域是 [ - 1， 1],求
f ( x)
的定义域 .
解 (1) 因为f ( x)
中的x满足- 4≤x≤4
所以 f ( x2 ) 中的 x 2必须满足4x 24
,即2x2 .
故函数f ( x
2
)
的定义域是 [- 2, 2].
(2) 欲使函数有定义 ,须且只需使 f ( x a) 和 f (x a)
同时有定义 , 于
是
0x a3a
0)
( a
即a≤x≤ 2a.
故函数 f ( x a) f (x a)
的定义域为 [a, 2a].
(3)因为 f (lg x)中的lg x,必须满足0 lg x 1
,即 1≤
x
≤ 10.
故函数 f (lg x)
的定义域为 [1,10].
(4)由f (1 x)
的定义域为 [ - 1， 1], 得 - 1≤x≤ 1
即0≤1 x
≤ 2
故函数f ( x)
的定义域为[0, 2].
6.设函数f (x)
对一切正数都满足方程 f ( xy) = f ( x) + f ( y) .试证下列各式：
（1） f (1)0
f (
1
) f (x)（ 2）
x
f ( x
) f ( x) f ( y)
（ 3）
y
证(1) 在已知方程中 ,令x =1, y
=1,得
f (1) f (1) f (1) 2 f (1)即f (1)0 .
y1 f (1) f ( x) f ( 1 ) 0
(2) 在已知方程中 ,令x
, 则x
f (1
)f ( x)
即x.
1
(3) 在已知等式中 ,x
不变 ,而将 y 用
y
代换 ,得
f ( x
) f ( x) f (
1
) y y
将 (2) 式代入上式 ,得
f ( x
) f ( x) f ( y)
y.
f ( x)
x k
kx 2 2 kx 2
的定义域是 (- ∞， +∞ ).
7. 当为何值时
f ( x)x
解当k2
,此时函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).
时,
当k
0 时,只要kx22kx20 ,
即(2k) 2
4 2k 0
,也就是 0< k <2 时 ,函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).
f ( x)x k
2 2 kx 2 的定义域是(-∞，+∞).
故当 0≤ k <2 时 , 函数kx
习题1－2
1.判断下列函数的单调性：
(1)y(1)x(2)y log2x
2
1 x2
(3)y x ln x(4)y
解 (1)
y (1)x1 1.
对于指数函数2，底数 2，故是单调减函数 .
(2)对于对数函数y
log 2
x
,
底数
2 1,
故是单调增函数
.
(3) 因为y x ln x
的定义域为（0，+∞）,对于x 1, x2（0，+∞），当x1 有 f ( x1 ) f ( x2 )x1ln x2x2ln x2 x1x2ln x 1 x2 x1x20,ln x 10 f ( x2 ) 0 由假设知x2，得f ( x 1 ) 即 f (x1 )f ( x 2 ) .所以y x ln x 在（ 0，+∞）上是单调增函数 . （4）因为y x2在（- ∞， 0）上是减函数，而在（0，+∞）上是增函数，所以 y 1 x2 在（ - ∞， 0）上为增函数，而在（0， +∞）上为减函数 . 2.指出下列函数的奇偶性： (1) y x33x a x a x (3) y x (5)y x sin 1 , x x 解(1) 因为对x (2) y lg 1 x1x 1 1x (4) y 1x， x0 1x， x0 0(6) y x cos x sin x.（ -∞， +∞），均有 f ( x) ( x)33( x)(x33x) f ( x)所以该函数为奇函数. （2）因为x ( 1,1),均有 f ( x)l g 1 x lg 1 x f ( x) 1x1x 所以该函数为奇函数. （3）因为对于x（-∞，0）∪（0，+∞）,均有 f (x)a x a x a x a x f ( x) x x 所以该函数为偶函数 . （4）因为当x >0,即x 0 时，有 f (x)1(x) 1x ,而当 x ≤0,即- x ≥0时，有 f ( x)1(x)1x , f (x) f ( x) 1x,x0 1x,x0 于是 所以该函数f ( x) 为偶函数 . （ 5）因为x（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞），均有 f (x)( x)sin( 1 )xsin 1 f ( x) x x 所以该函数f ( x) 为偶函数 . (6) 因为x （-∞,+∞）,均有 f (x)( x) cos(x) sin(x) x cos x sin x( x cos x sin x) f (x) 所以该函数f ( x) 为奇函数 . 3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期. （ 1）f ( x) =|sin x |(2) f (x) = x cos x f ( x T) f ( x)T 之最小正值为π因. f ( x) 是以 π为周期的周期函数 . (2) 设 f ( x T) f (x) , 则 ( x T ) cos(x T ) x cos x 当 x = 0 时 , 由 TcosT = 0, 得 T 1 = 2 ; 当 x = 2 时 , (T )cos(T ) 0,得 T 2 . 由 2 2 由 于 f ( x) 不 满 足 x D ( f ) ,T 均 为 唯 一 正 值 , 即 T 随 x 的 变 化 而 变 , 所 以 f ( x) x c o sx 不是周期函数 . 4. 证明函数 ( x) x 2 x 1在 (0, ) 上是单调增函数 . 证 因为 x 1 , x 2 (0, )且 x 1 x 2 均有 f ( x ) f ( x ) (x 2 x 1) ( x 2 x 2 1) 1 2 1 1 2 ( x 1 x 2 )( x 1 x 2 1) 而 x 1 x 2 0时, x 1 x 2 1 0, 所以 f (x 1 ) f ( x 2 ) 0, 即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故 f (x) 为单调增函数 . 5. f ( x) 为定义在（ - 1，1）上的奇函数，若 f (x) 在（ 0， 1）内是单调增函数 , 证明在 （- 1， 0）内也单调递增 . 证 对于 x 1, x 2 （- 1， 0） ,设 x 1< x 2，由已知得 f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 2 )且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) , 其中 - x 1, - x 2 （ 0，1） . 则 f ( x 1 ) 即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) [ f ( x 1 ) f ( x 2 )] 0 f ( x 2 ) 故 f (x) 在（ - 1， 0）内也单调递增 . 6 * . 证明 y x cos x 不是周期函数 . 证 因为 D( ) = [0,+ ∞ ) , 不是以原点为中心的对称集合 ,所以 f ( x) x cos x 不是周期 函数 . f ( x) 1 7. x 2 2x 5 在其定义域内是有界的 . 证明函数 证 因为 x 2 2x 5 (x 1)2 4 4 1 1 2 2x 5 4 所以 x 故由函数有界的定义知，函数 f ( x) 在其定义域内是有界的 . 8. 设函数 f ( x) 的定义域为（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞）且满足 af ( x) bf ( 1 ) c x x , 其中 a ， b ，c 均为常数， |a| ≠|b| . 证明 f ( x) 为奇函数 . 1 证 在已知等式中，用 x 代替 x , 得 1 ) b f( x) c x a f( x af (x) bf ( 1 ) c x x af ( 1 ) bf ( x) cx 解方程组 x , 得 ( a bx 2 )c 1 2 (a 2 b 2 ) f ( x) x a 2 b f ( (a bx 2 )c 1 (a bx 2 ) c f ( x) x) x a 2 b 2 x( a 2 b 2 ) 因为 所以 f (x) 为奇函数 . 9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和 . 证 设 f ( x) 是定义在对称区间 I 上的任意一个函数 , 而 f ( x) 2 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 2 2 2 f ( x) f ( x) , F 2 (x) f ( x) f ( x) ( x I ) 则令 F 1 (x) 2 2 因为 x I ,均有 x I , 且 F 1( f ( x) f (x) F 1( x) x) 2 F 2( f ( x) f ( x) F 2 ( x) x) 2 即 F 1 ( x)与 F 2 ( x)分别是对称区间 I 上的偶函数与奇函数, 且 f ( x)F 1 ( x) F 2 ( x) 故函数 f ( x) 可表示为偶函数 F 1 ( x )与奇函数 F 2 ( x )之和 . 习题 1－3 1． 1． 求下列函数的反函数及其定义域： (1) y x 2 (2) y 1 lg( x 1) x 2 (3) y 2 4 x 2 , 0 x 2 y 5x 1 2x 2, 2 x (4) 4 解 （ 1）由所给函数解出 x , 得 x 2( y 1) y 1 y 2( x 1) 1) 交换 x, y 得 , 反函数 x 1( x . (2) 由已知函数解出 x ,得 x 10( y 1) 1 交换 x, y 得 , 反函数 y 1 0(x 1 ) 1 (-∞ , +∞). (3) 当 0≤ x ≤ 2 时 , 由 y 2 4 x 2 (0 y 2) 得 x4 y y 2 当 2< x ≤ 4 时 , 由 y 2x 2 (2 y 6) ,得 1 x ( y 2) 2 所以原函数的反函数为 y f 1 ( x) 4x x 2 ， 0 x 2 1 ( x 2) ， 2 x 6 2 其定义域为 [0，6]. x 1 ( y 1) （4）由所给函数解出 5 x, 得 1 1) ( , ) 交换 x, y 得 , 反函数 y( x 5 . 2． 2． 下列函数是由那些简单函数复合而成的 . (1) y 1 sin x (2) y sin 2 x (3) y e cos 2 x (4) y (1 lg x) 3 解（ 1）该函数是由幂函数 y u ,u 1 v,以及正弦函 数 v sin x 复合而成的 . （ 2）该函数是由幂函数 y = u 2 与正弦函数 u sin x 复合而成 . （ 3）该函数是指数函数 y e u , 幂函数 u v 2 及余弦函数 v cosx 复合而成的 . (4) 该函数是由幂函数 y u 3 , 对数函数 u 1 lg x 复合而成 . 3. 已知 f ( x) x 2 , g( x) 2x , 求f [ g( x)]，g[ f ( x)], f [ f ( x)], g[ g( x)]. 解 由复合函数定义 , 得 f [ g ( x)] (2 x )2 4x , g[ f ( x)] 2 x 2 f [ f (x)] ( x 2 ) 2 x 4 , g[g ( x)] 2 2x 。 f ( x) x 1 , x 1 4. 2x 1, x 1，求 f ( x 1) . 设 解 因为当 x +1<1 ， 即 x <0 时， ( x +1)= x +2 当 x +1 1，即 x 0 时， ( x +1)=2 x +3 f ( x 1) x 2, x 2 x 3, x 0 . 所以 5. 已知 f ( x) e x 2 , f [ (x)] 1 x ，且 (x) ≥ 0，求 (x) 及其定义域 . 解 由已知 f [ (x)] e 2 ( x ) , f [ (x)] 1 x, 得 e 2 ( x ) 1 x 即 2 ( x) ln(1 x) 由 (x) 0, 得 ( x) ln(1 x) ,于是 ln(1 x) ，即 x 0 时，函 数 (x) 有意义 .故函数 (x) 的定义域是 (- ∞ , 0]. 6. 设 f (2 x 1) x 2 ，求 f ( x) . 2x 1 t, 则x 1 (t 1) f ( t) 1 (t 1)2 解 令 2 ,于是 4 f ( x) 1 ( x 1)2 . 即 4 7.函数 y f ( x) 的反函数 x f 1 ( y) 的定义域是否可由其反函数 x f 1( y) 的表达式来 确定？试举例说明． 答 否. 例如, 函数 f ( x) x 1 的定义域为 [0, + ∞ ], 值域为 [1, + ∞ ]. 而它的反函数 y = ( x +1) 2 的定义域应为原函数的值域 [1, +∞ ] . 但是从反函数的表达式来说 , 其定义域是 R, 可见不能通过反函数 x f 1( y) 的表达式来确定反函数的定义域. y 4x 3 8. x 3 的值域. 求函数 4x 3 3 3y 2 函数 y x 4 的定义域为 解 x 3 的反函数 y 2 D ( f 1) [0, 2] (2, ) 4x 3 y 3 的值域为 [0,2] ∪ (2,+∞ ). 故函数 x 9．已知函数 y f ( x) 与 y g ( x) 的图形对称于直线 y=x ，且 f ( x) e x e x e x e x 求函数 g( x )的表达式． 解 根据题意知 y f ( x) 与 y g ( x) 互为反函数，而 f (x) 的反函数为 f 1 ( x) 1 ln 1 x 2 1 x 所以 g(x) 1 ln 1 x ( x R 且x 1) 2 1 x f ( x) 8x ,求 f 1 (4). 10．设 x 1 f ( x) 8x 1 解 将 y = 4 代入函数 x 1 ，求出 x 的值即为 f (4) . 4 8x 1 x 1 , 解得 x 由 1 . 故 f (4) 1. 习题 1－4 1.求下列函数的定义域： y x 2 x 6 arcsin 2x 1 (1)7 (2) y log x 1 (16x2 ) （3） y= log 2[log 3(log 4x)] 解（ 1）因为要使函数有意义，x必须满足x2x60 12x1 1 7 x 或 2 3x 即3x4 所以函数的定义域D( f )[3, 2] [3, 4] . (2)要使函数有意义 , x必须满足 x 1 0 x 1 1 16x2 0 x 1 x0 即4x 4 所以函数的定义域D( f )( 1,0) (0, 4) D. (3)要使函数有意义 , x必须满足 log3 log 4 x 0 即 log4x 1 ,从而要求 x >4.所以函数的定义域为 D( f ) (4,) . 2.设 f ( x)arcsin x ，求f (0),f ( 1), f ( 3 ), f ( 2 ), f (1) 22的值 . 因为 f ( x)arcsin x [ 2 ,] 解的定义域为 [- 1,1], 值域为2所以 f ( x)arcsin x f (1)arcsin(1) 2 f ( 3 )arcsin3 3 22 f (2 ) arcsin( 2 ) 224 f (1) arcsin1 2. f ( x) f (1a) f (1 a2 ) 0求实数 a 的范围 . 解因为 f (1a) f (1a2 )0 , 且函数f (x)为奇函数 , 所以 f (1 a) f (1 a2 ) f ( a21) 0 由f (x) 在 [- 1,1] 上为减函数 ,得 a211a 11a1 1a211 解之 ,得 a 的取值范围为 (1, 2 ]. sin a, tan b且,(,3),试求 , . 4.2 已知2 ,(3 ) , 解由于22,于是 2222 且sin() sin a,tan() tan b 解之, 得arc sin a,arc tan b 即arc sin a,arc tan b . 5．已知函数y f ( x) 的图形，作出下列各函数的图形： (1)y f ( x)(2) y f (x)(3) y f ( x). 解 (1）y f ( x)的示意图形见图1－1 所示 （2）y f ( x) 的示意图形见图1－2 所示 . （3）y f ( x) 的示意图形见图1－3 所示 . 图 1－1图1－1 3 2 f (x)f ( 1 ) x2 , 求f ( x). 6. 已知x 1 x 解令 t 将其代入已知条件, 得2 f ( 1 ) f (t )1 t t 2 2 f ( x) 1 x 2 f ( ) x 2 f ( 1 ) f ( x)1 解方程组x x2 f ( x)1 (2 x21) 得3x2. 7．设函数f ( x) 的图形如图1－4 所示 , 试写出其表达式，并做出函数 y f ( x) 的图形. 解由所给图形知函数的表达式为 － 4图 1 x,2x1 f ( x)1,1x0 1,0x2 x x3,2x3 因y f ( x) 的图形与 f ( x) 的图形关于 x 轴对称 ,故 y f ( x) 图形如图1－5 所示 . 8．已知f 1 (log a x) 解令t log a x ，则 x a t 于是f 1 (t )a 2 t1 y ,由此得 y > 1 且t 1 log a ( y1) 2 14 1．将长度为100cm 的金属丝分成两段，第一段围成一个正方形，第二段围成一个圆，设第一段长度为a，正方形与圆的面积之和为S, 试将 S 表示成 a 的函数 . 解设正方形的面积为S1, 圆的面积为 S2,则 S( a )2 ,S(100 a )2(100 a) 2 14224 S S S[ a2(100a)2]( cm) 2 于是12164. 2．某企业拟建一个容积为v 的长方形水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的 2 倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域. 解设四周单位面积的造价为a,总价为 y,底边长为 x, 则 2v24av y2ax4x2x a2ax x（ x 0). 3.某产品的产量为 x 吨，固定成本为 b（b>0）元，每生产一个单位产品总成本增加 a（ a>0）元，试将总成本 C 及平均成本 C 表示为 x 的函数 . 解总成本函数 C = b + ax C a b C x(x> 0). 平均成本函数x 4．某厂生产的 150 克袋装方便面，每袋出厂价为0.3 元，销量总在一 万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。据统计， 每袋降低 3 分钱，市场需求量增加约0.3 万袋，试求价格为p 时的需求量 Q d，并求出当 p = 0.21 时的需求量 . 解设线性需求函数为Q d a bp(a0, b 0且 为常数)， a0.3b1 由题意得方程组a0.27b 1.3 得 a = 4, b = 10.故所求线性需求函数为 Q d 410 p 于是当 p = 0.21时 , Q d = 1.9，即当价格为0.21 时，需求量为 1.9 万袋 . 5. 已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p* . Q d 1002 2010 p 3 p, Q s ， (1)3 （ 2）p22Q2114, p Q s 3 d 解设市场均衡价格P*，则由等式 Q d(p) = Q S(p), 得 100 2 p2010 p （1）33 即 P*=5. （ 2）将 Q s = p - 3 , 代入p2 2Q d2 114, 解得 P* = 8. 6．设销售商品的总收入R 是销售量x 的二次函数 .已知 x = 0 ，2，4 时，相应的 R = 0 ，6，8.试确定 R 与 x 的函数关系 . 解由题意设总收入 R 与 x 的函数关系为 R ax2 bx c 将x=0. R=0； x=2, R=6 ；x=4, R=8 分别代入关系式中，得 c0 64a2b c 816a4b c a 1 4 , c0. , b 即2故所求总收益函数为 R 1 x24x 2. ７．某产品年产量为x 台，每台售价180 元，当年产量在300 台以内 时，可以全部售出；当年产量超过300台时 .经广告宣传后可以多售出200 台 ,每台平均广告费 20 元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将本年的销售收入R 表示为年产量x 的函数. 解由题意知 当x≤ 300 时，收入 R = 180x (元 ) 当300 当500 故本年销售收入 R 为年产量 x 的函数为 180x,0x300 R6000 160x,300x500 86000,x500 . ８．某种玩具定价５元／件，每月可售出1000 件 , 若每件售价降低0.01 元,则可多售出 10 件 .试将总收入表示为多售出件数的函数. 解设总收入为 R，多售出件数为x 件，则每件应降低0.01（x元）10 R ( 50.0 1 ) 5 0 0x0 420. 001 10 x）( 1 0 0 0x x 于是总收入 所以将总收入 R 表示为多售出件数 x 的函数关系为 . 2 （元） R = 5000 + 4 x - 0.001x 9. 某种彩色电视机每台售价为1500 元, 每月可销售 2000 台 ,每台售价 降 50 元时 ,每月可增销 100 台 ,试求该电视机的需求函数 . 解 电视机的需求量为 Q d ，价格为 p 则需求函数为 Q d a bp (a 0, b 0 且为常数 ) 将 p = 1500, Q d = 2000; p = 1450, Q d = 2100 分别代入需求函数中 , 得 2000 a 1500b 2100 a 1450b 即 a = 5000, b = 2. 所以该电视的需求函数为 Q d 5000 2 p ( p 1500）. 综合习题一 1. 选择填空： （ 1）函数 y=arcsin(ln x ) 的定义域为（ ）. ① [1， e] ② [e - 1 ③ [-1，1] ④ [1， +∞ ]. ， e] （ 2）设 f (x) 是定义在 , 的偶函数， g( x )是定义在 , 的奇函数，则下列函数中（ ）是奇函数 . ① f [ g( x)] ② g[ f ( x)] ③ f [ f (x)] ④ g[ g( x)] . （ 3）设函数 y g (x) 16 x 2 的定义域是 [- 4， - π ] ∪ [0， π]， 则 g( x ) = ( ). ① sin x ② cos x ③ tan x ④ cot x . 1 （4）设 f ( x) 1 x ， g(x) e x 1,则 f [ g 1 (x)] = ( ). ① 1+ln( x 2 +1) ② 1+ e x 1 1 1 ③ 1 ln( x 2 1) ④ 1 ln( x 2 1) . (5) f( x )=| x sin x |e cos x ， x ∈ (-∞， +∞ )是（） . ①有界函数②单调函数 ③周期函数④偶函数 . 解（1）② ;（2）④ ;（3）① ;（4）③ ;(5) ④. 2.已知y f (x) 在 R 上有定义，且已知在 x0 时函数图形如图 1－6 所示： （ 1）y f ( x) 是否为偶函数？如果是， 请写出y f ( x) 的具体表达式，并作出 x <0 时函数的图形 . （ 2） y = f ( x) 是否为奇函数？如果是，请图 1－6 写出 y =f ( x) 的具体表达式，并作出函数的图形；如果不是请说明理由. 解（ 1）y f (x) 是偶函数. k ( x3) ， x3 3 1 x 3 ，3x1 22 x，1x0 f (x) x ， 0x ( k 0) 11 1x 3 ，1x3 22 k( x3)， 3x 3 当x<0时，函数如图1－7: （2）不是 . 因为在x = 0 已成多值函数 . 3. 根据下列图形判断函数的单调性 . 图 1－7 － 8图 1－ 9 图 1 答（ a）图 1－ 8是减函数； － 9 是增函数 . (b) 图 1 4．下列各图形是否为以x 为自变量的函数图形，若是，找出图形所表示函数的定义域及值域. 图 1－10图 1－11 答（ 1）图 1－10 是函数的图形， D (f ) = [ - 3, 2], Z( f ) = [ - 2, 2]. (2) 图 1－11 不是函数的图形，因它是多值对应. 1，x1 f ( x)0，x 1 , g( x) e x , 5. 设1，x1求f [ g( x)] 、 g[ f (x)] 并作出这两个函数的图形 . 1 ,x0 f [ g( x) ]0, x0 解1, x0－ ,如图112所示. e ,x1 g[ f (x ) ]1,x1 e 1 ,x1 －13所示. ，如图 1 f [ f ( x)]11x 111(1 1 ) f ( x)x f { f [ f ( x)]} f ( x) 1 1 1 x 所以 f ( f { f [f ( x)]}) f [ f(x)]x 1 )11 1x f ( 1 f (x) f ( x)1x 即x1. 7.设f ( x) 是奇函数，且当 x≥0时， f ( x) 2x 1 ，求 f ( x) ，并判断它是否有反函数， 若有反函数则求出其反函数 . 高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值 ③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。 当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 第二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义 域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切） 《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 ２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 ２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．高中数学函数知识点总结
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