第七章 空间解析几何
一、选择题
1. 在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限
2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面
3.直线3
12
14
1:
1+=+=-z y x l 与??
?=-++=-+-0
201:2z y x y x l ,的夹角是 [ C ]
A. 4
π
B.
3
π
C. 2
π
D. 0
4. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+
D. x z y 422±=+
6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13
-
B.
13
C. 23
-
D.
23
7. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程
222
2
2
x y z a
b
+
=表示的是 [ B ]
A.椭圆抛物面
B.椭圆锥面
C. 椭球面
D. 球面
9. 已知a
={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ]
A. 3
B.3
1-
C. -1
D.1
10.已知,a b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D
A. 2
2
2
()a b a b =? B. 2
2
2
()a b a b ?=? C. 2
2
()()a b a b ?=? D. 2
2
2
2
()()a b a b a b ?+?=
11.直线1l 的方程为03130290
x y z x y z ++=??
--=?,直线2l 的方程为03031300
x y z x y z ++=??
--=?,则1l 与
2l 的位置关系是 D
A.异面
B.相交
C.平行
D.重合
12.已知A 点与B 点关于XOY 平面对称,B 点与C 点关于Z 轴对称,那么A 点与C 点是 C
A.关于XOZ 平面对称
B.关于YOZ 平面对称
C.关于原点对称
D.关于直线x y z ==对称
13.已知A 点与B 点关于YOZ 平面对称,B 点与C 点关于X 轴对称,那么A 点与C 点 C A.关于XOZ 平面对称 B.关于XOY 平面对称 C.关于原点对称 D.关于直线x y z ==对称 14. 下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的 C
A.2221x y z ++=
B.221x y z ++=
C.21x y z ++=
D.221x y z ++= 15. 已知,a b 为不共线向量,则下列等式正确的是 C
A.2
a a a = B. 2()a a
b a b ??= C. 2()a b b ab ??= D. 222()a b a b =? 16.已知向量(1,2,1)a =,(3,4,3)b =--,那么以,a b 为两边的平行四边形的面积是 B A.20
B. C.10
D.17.已知直线l 方程230
3450x y z x y z ++=??++=?
与平面π方程20x z -++=,那么l 与π的位置关系
是C
A. l 在π内
B. l 垂直于π
C. l 平行于π
D.不能确定
18.两向量,a b 所在直线夹角4
π
,0ab <,那么下列说法正确的是 B
A. ,a b 夹角
4
π
B. ,a b 夹角
34
π C. ,a b 夹角可能
34
π或
4
π
D.以上都不对
19.已知||1=a
,||=
b (,)4
π=a
b ,则||+=a b (D ). (A) 1
(B) 1+ (C) 2
(D)
20.设有直线3210:21030
x y z L x y z +++=??
--+=?及平面:4220x y z π-+-=,则直线L ( C )。
(A) 平行于π (B) 在π上 (C) 垂直于π (D) 与π斜交
21.双曲线22
145
0x z y ?-=?
??=?
绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为( A ).
(A)
22
2
14
5x y z
+-
= (B)
2
22
145
x
y z +-
=
(C)
2
2
()
14
5
x y z
+-
= (D)
2
2
()
14
5
x
y z +-
=
22.点(,,)a b c 关于y 轴对称的点是( D ).
(A) (,,)a b c --- (B) (,,)a b c -- (C) (,,)a b c - (D) (,,)a b c -- 23.已知{4,3,4},{2,2,1}=-=a b ,则()Prj =b a (A ). (A) 2 (B) 2-
(C)
6
(D) 6-
24.221x y -=在空间表示 ( D ).
(A) 双曲线 (B) 双曲面 (C) 旋转双曲面 (D) 双曲柱面 25.设a 与b 为非零向量,则?=a b 0是( C ).
(A) =a b 的充要条件 (B) ⊥a b 的充要条件 (C) //a b 的充要条件 (D) //a b 的必要但不充分条件 26.设平面方程为0A x C z D ++=,其中,,A C D 均不为零,则平面( B ). (A) 平行于x 轴 (B) 平行于y 轴 (C) 经过x 轴 (D) 经过y 轴
27. 已知等边三角形A B C ?的边长为1,且BC =a ,CA =b ,AB =c
,则
?+?+?=a b b c c a (
D ). (A)
12
(B)
32
(C) 12
-
(D) 32
-
28.点M(2,-3,1)关于坐标原点的对称点是( A )
(A) (-2,3,-1) (B) (-2,-3,-1)
(C) (2,-3,-1) (D) (-2,3,1) 29.平面2x-3y-5=0的位置是( B )
(A) 平行于XOY 平面 (B) 平行于Z 轴 (C) 平行于YOZ 平面 (D) 垂直于Z 轴 30.点A(-2,3,1)关于Y 轴的对称点是( D ) (A) (2,-3,1) (B) (-2,-3,-1)
(C) (2,3,-1) (D) (2,-3,-1)
31.过点(0,2,4)且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是( C )
(A) ??
?
?
?=-=z y z x 24 (B) ??
?
?
?
=--=-0342x z y
(C) 1
43
22
-=
-=
-z y x
(D) 04)2(32=-+-+-z y x
32.二个平面14
z 3
y 2x =++
和
2x+3y-4z=1位置关系是( A ) (A )相交但不垂直 (B )重合 (C.)平行但不重合
(D.)垂直
33. 过点(2,0,-3)且与直线??
?=+-+=-+-0
12530742z y x z y x 垂直的平面方程是( A )
(A) 0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x (B) 0)3(4)0(2)2(=++---z y x (C) 0)3(2)0(5)2(3=+--+-z y x (D) 0)3(11)0(14)2(16=-++++-z y x
34. 向量{}c b a ,,=α与三坐标轴的夹角分别为γβα,,,则α的方向余弦中的
βcos =( A )
(A)
c b a b
2
22++ (B)
c b a b
++ (C) c b a b
++± (D)
c b a b
2
22++±
35. 已知曲面方程 2
22
2b
y a
x z +
-= (马鞍面),这曲面与平面 h z = 相截,其截痕是空间
中的( B )
A. 抛物线;
B. 双曲线;
C. 椭圆;
D. 直线。 36. 点(3,1,2)关于XOZ 平面的对称点是( B )
(A) (-3,1,2) (B) (3,-1,2) (C) (3,1,-2) (D) (-3,-1,2)
37. 曲线??
?==-0
369422z y x 绕X 轴旋转一周,形成的曲面方程是( C )
(A) ()36942
22=-+y z x (B) ()()
36
9422
22=+-+z y z x
(C) (
)
369422
2=+-z y x (D) 36
942
2=-y x
38. 准线为XOY 平面上以原点为圆心、半径为2的圆周,母线平行于Z 轴的圆柱面方程是( B )
(A) 02
2=+y x (B) 42
2
=+y x
(C) 0422=++y x (D)
422
2=++z y x 39. 球面k z y x 22
2
2=++与a z x =+的交线在XOY 平面上的投影曲线方程是(
D )
(A) ()k
z y z a 22
22=++- (B) ()?????==++-02
222z k z y z a
(C)
()
k x a y x 22
2
2
=-++ (D) ()??
?==-++0
2
222z k x a y x
40. 向量α={}A A A z Y x ,,、β={}B B B Z Y X ,,垂直的充分必要条件是( A ) (A) α·β=0 (B) α×β=0
(C) B A B A B A z
z y
y x
x
== (D) α-β=0
二、填空题
1. ,7,4,3=+==b a b a 则 =-b a
1
2. 有曲面方程
z q
y
p
x
22
2
=+
,当pq<0时, 方程表示的曲面称为双曲抛物面
3. 母线平行于x 轴且通过曲线?????=+-=++0
16
2222222z y x z y x 的柱面方程是16322=-z y
4. 已知a
,b
,c 都是单位向量,且满足a
+b
+c
=0, 则=?+?+?a c c b b a
2
3-
5、XOZ 平面内曲线2x z =绕X 轴旋转,所得曲面方程为 422
x y z =+
6.已知向量(1,2,3)O A = ,向量(2,3,4)O B =
,那么三角形O A B 的面积是
2
7、已知平面1:230x y z π+++=与2:310x y z π-+-+=,则其夹角为
arccos
33
8.点(1,2,0)-在平面上210x y z +-+=的投影为 522(,,)333
-
9.设有直线1158:
1
2
1
x y z L --+=
=
-与26:23
x y L y z -=??+=?,则1L 与2L 的夹角为3π
10.已知||2=a ,||2=b , 3
(,)π
=a
b ,则23=-u a b 的模||=u
11. 已知向量 k j i a ++=23 与 j i b 32-=,则 =?)3()2(b a 0 ; =?b a
3213i j k +-
12、平面x+2y-z+3=0和空间直线
1
21
13
1-=
-+=
-z y x 的位置关系是 直线在平面上
13. 过点(2,-3,6)且与Y 轴垂直的平面为 3-=y ,此点关于XOY 平面的对称点是 ()6,3,2-- ,它与原点的距离为 7 三:计算与证明
1.求过点M(3, 1 -2)且通过直线
1
2
35
4z y x =+=-的平面方程
解:设N(4, -3, 0), )1,2,5(=s
, 由已知,
)2,4,1(-=MN 是所求平面内的向量
又设所求平面的法向量是n ,取s MN n
?=,
即: k j i k
j i n
22981
2
5
241++-=-=
故,所求平面的方程为:-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0 即:-8x+9y+22z+59=0 2.求与直线1L :
1
3523z y x =-=+相交且与直线2L :
1
4
75
10z y x =
+=
-相交, 与直线
3L :
1
3
7
18
2-=-=
+z y x 平行的直线方程
解:将1L ,2L 分别化为参数方程:
?????=+=-=t z t y t x 5332, ??
???=-=+=λλλz y x 74105 对于某个t 及λ值, 各得1L ,2L 上的一点,分别记为t M ,λM 则 向量λM M t =[(2t-3)-(5λ+10)]i+[(3t+5)-(4λ-7)]j+(t-λ)k =(2t-5λ-13)i+(3t-4λ+12)j+(t-λ)k 令向量λM M t 平行于3L , 即有
1
-t 7
12
+ 4-3t 8
13
- 5-2t λλλ==
解得 t=2
25-
,于是t M (-28,2
65-, 2
25-
)
故 所求直线为:
1225
z 7
265y 8
28x +=
+
=
+
3.直线L 过点M(2, 6,3), 平行于平面π:x-2y+3z-5=0且与直线1L :
2
68
25
2-=--=--z y x 相交, 求L 的方程
解:过点M 平行于π的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0
即: x-2y+3z=0 再求它与直线1L 的交点, 将1L 写成参数方程:
x=2-5t, y=2-8t , z=6+2t 代入上述平面方程得: t=-1 所以交点为P(7, 10, 4), 又L 过M, P 两点 故: L 的方程为
3
-43-z 6
-106-y 2
-72x ==-
即:
13-z 46-y 5
2x ==-
4.求过直线
12
11
x y z
-==
-,且平行于直线
12
1
2
x y z +=
=
-的平面方程。
解:设平面法向量(,,)a b c ,则有方程20220
a b c a b c +-=??
+-=?
解得020c a b =??+=?
,于是可取法向量(1,2,0)-
所以平面方程为(1)20x y --+=
5、设,a b 是平面上两个不共线的非零向量,c a b λμ=+为已知非零向量,求,λμ
解:方程两边同与,a b 作数量积得22
a c a a
b b
c a b b
λμλμ?=+?
?=+?? ,解此两元一次方程组,得
2
2
2
a c a
b b
c b
a
a b a b b
λ=
, 2
2
2
a
ac ab bc a
ab ab
b
μ=
。
6.求直线210
:2220x y z l x y z +++=??--+=?
在平面330x y z --+=上的投影
解:设平面束方程为(21)(222)0x y z x y z λμ++++--+=
其法向量为(2,2,2)λμλμλμ+--,于是由题意有
3(2)(2)(2)0λμλμλμ+----=,即470λμ+=
取7,4λμ=-=。直线方程为330
10151510x y z x y z --+=??---+=?
7.求原点到直线2340:23450
x y z l x y z +++=??
+++=?的垂线与垂足,垂线要求参数方程。
解:设π为过原点且垂直于l 的平面,则π的一个法向量与l 的方向一致。
l 的方向:233112(
,,)(1,2,1)3
44
22
3
=--。
π的方程20x y z -+-=
将其与l 方程联立,解得垂足坐标2
14(,,)333-
-
于是垂线参数方程231343x t y t z t ?
=??
?
=-??
?=-?
?
.
8.已知直线一般方程为2340
46510x y z x y z --+=??-+-=?
,求其点向式方程。
解:两平面法向量分别为(2,3,1),(4,6,5)---,故直线方向为
311223
(,,)(21,14,0)
6
5
5
4
46
----=---- 令3400,6510
y z x y z --+=?=?
-+-=?,得直线上一点199
(0,
,)217
故点向式方程为
919
72121
14
z y x --=
=--
9.在直线1
:0
x y z l x z +-=??-=?上求一点A ,使得它与原点所决定的直线与l 的夹角为
a r c c o s 3
解:直线l 方向(1,1,1)(1,0,1)(1,0,1)-?-=--
设直线上一点(,1,)A x x ,则(,1,)OA x x =
3
=
,解
此方程得1x =±。
故A 点坐标为(1,1,1)或(1,1,1)--。
10.证明:直线1213:
3
2
6
x y z l -+-==
-及直线221:2
x y l y z +=??
+=-?共面。
证明:2l 的方向向量2{1,2,0}
{0,1,1}
{2,1,1}(2)=?=-n 分,1l 的方向向量
1{3,
2,6}(2)=-n 分。点12(2,1,3),(1,0,2),{1,1,5},A l B l AB =-∈=-∈=--
由于这三
个向量两两不平行,且
123
26()2
110(4)1
1
5
AB -??=-=--n n
分,
所以1l 与2l 共面(因为由上式知2,,AB 1n n
三向量共面)。
证法2:1l 与2l 有交点:(1,1,3)M --,故1l 与2l 共面。 11.求通过直线1121:
2
1
1
x y z l ++-==-及直线221
:2x y l y z +=??+=-?
的平面方程。
解:2l 的方向向量为21{1,2,0}{0,1,1}{2,1,1}//=?=-n n ,所以1l 与2l 平行(3)分。
点11(1,2,1),M l =--∈且易知22(1,0,2)M l =-∈,2M 不在直线1l 上(2)分。故所求平面就是两相交直线1l 与12M M
确定的平面。它的法向量可取为
1
2
121186(3).2
2
3
M M
=?=-=++-i
j k
n n n i j k 分 又1(1,2,1)M =--为已知平面上的点,所求平面的点法式方程为 (1)8(2)
6(1)
x y z +++
+-
=,即86110(2)x y z +++=分。 12.已知A B C ?的两边构成的向量2,32AB BC =+-=++i j k i j k
,求A B C ?的面积。
解:11||||(2),22
A B C
S B A B C A B B C ?=?=?
分 而2
1135(2),3
2
1
AB BC ?=-=-+i j k
i j k
分
所以||AB BC ?=
(2)A B C S ?=
分.
13.求直线224x z y z =+??
=-?在平面0x y z +-=上的投影方程。
解:过直线2
24
x z y z =+??
=-?的平面束方程为
:2(24)0(2)x z y z λπλ--+-+=分.
在λπ中取一个平面与已知平面垂直,则两法向量垂直,故有 {1,,12}{1,1,1}0λλ--?-=分,
即21120,3
λλλ+++==-
。故过已知直线且与已知平面垂直的平面为
32140(2x y z -+-=分 从而直线在平面上的投影即为
32140
(2)0x y z x y z -+-=??
+-=?
分. 14. 求过直线??
?=---=+-0
9230
42z y x z y x 且垂直于平面4x-y+z-1=0的平面方程。
解 设所求的平面的法向量为{A ,B ,C},已知直线的方向数为{m,n,p}
则??
?=--=+-0230
42p n m p n m 有 ???????
==71079n p n m 方向数为{9,7,10}(2分) 又因??
?=+-=++040
1079C B A C B A 有???
????-=-=37313717C B C A 法向量为{17,31,-37}(3分) 直线上有点(0,-1,-4)
平面方程为17x+31(y+1)-37(z+4)=0
15.求过点(3,1,-2)且过直线
12
35
4
z
y x =
+=
-的平面方程。
取直线上一点(-1,-5,-1),设所求平面的法向量为{A ,B ,C} 两点连线的方向数为{4,6,-1}(2分)
有??
?=++=-+0250
64C B A C B A 得???
????=-=92298B C B A 则法向量为{-8,9,22}(2分) 平面方程为-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0
即8x-9y-22z-59=0(2分)
16、一平面过点M (-1,1,2)与z 轴,求该平面方程。
解: 1
12,(3)0(3
)
1
i
j k
n i j x y =-=++=
分所求平面方程为:分
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法,会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影,会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A (2,-2,5),终点为B (-1,6,7),求 (1)AB 分别在x 轴、y 轴上的投影,以及在z 轴上的分向量; (2)AB 的模;(3)AB 的方向余弦;(4)AB 方向上的单位向量. 解:(1)()3,8,2AB =-,AB 分别在x 轴的投影为-3,在y 轴上的投影为8,在z 轴上的 分向量2k ;(2)AB = ;(3)AB ; (4)AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ,且||5a =,||8b =,求||a b +,||a b -. 解:()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =,{8,4,1}b =-,求 (1)平行于向量a 的单位向量; (2)向量b 的方向余弦. 解(1)2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±; (2)2849b =+=,向量b 的方向余弦为:841,,999 -. 4、一向量的终点为B (2,-1,7),该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、-4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解:AB =(4,-4,7)=(2,-1,7)-(x ,y ,z),所以(x ,y ,z)=(-2,3,0); 5、已知{2,2,1}a =-,{3,2,2}b =,求 (1)垂直于a 和b 的单位向量; (2)向量a 在b 上的投影;
1. 过点M o (1,1-,1)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 39.02=+-z y 3. 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57 (. 5.已知:→ → -AB prj D C B A CD ,则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ) A .4 B .1 C . 2 1 D .2 7.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ) A .平行于x 轴 B .平行于y 轴 C .平行于z 轴 D .过z 轴. 8.平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .相交 D .重合 9.直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) A .平行 B .垂直 C .斜交 D .直线在平面内 10.设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为( ) A .5 B . 6 1 C . 51 D .8 1 5.D 7.D 8.B 9.A 10.A . 3.当m=_____________时,532+-与m 23-+互相垂直. 4 . 设 ++=2, 22+-=, 243+-=,则 )(b a p r j c += . 4. 过点),,(382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________. 10.曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线________绕_____________旋转而成的. 3.34-=m ; 4.29 19 9.332212--=+=-x y x ; 10.曲线 1422 =+z y 绕z 轴
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题(6×3分) 1、设直线,平面,那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的() A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数,则等于() . C. D. 4、二次积分交换次序后为() . . 5、若幂级数在处收敛,则该级数在处() A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解,若,则在 处() A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题(7×3分) 1、设=(4,-3,4),=(2,2,1),则向量在上的投影 = 2、设,,那么 3、D为,时, 4、设是球面,则= 5、函数展开为的幂级数为 6、= 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设,其中具有二阶导数,且其一阶导数不为1,求。 2、求过曲线上一点(1,2,0)的切平面方程。 3、计算二重积分,其中 4、求曲线积分,其中是沿曲线由点(0,1)到点(2,1)的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3,求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛,证明级数绝对收敛。 一、单项选择题(6×3分) 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题(7×3分) 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解:令则,故 2、解:令 则 所以切平面的法向量为: 切平面方程为: 3、解:=== 4、解:令,则 当,即在x轴上方时,线积分与路径无关,选择由(0,1)到(2,1)则
《 空 间 解 析 几 何 》 试卷A 班级: 姓名: 学号: 分数: 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求,愿意在考试中遵守《考场规则》,如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 5 页,请先查看试卷有无缺页,然后答题。 一.选择题(每小题3分,共10分) 1. 平面的法式方程是 ( ). A. 0=+++D Cz By Ax B. 1=++r z q y p x C. ()0,1cos cos cos 0cos cos cos 2 2 2 >=++=-++p p z y x γβαγβα其中 D. ()0,1cos cos cos 0 cos cos cos 2 22>=++=+++p p z y x γβαγβα其中 2. 两向量 21,n n 互相垂直的充要条件是 ( ). A. 021=?n n B. 021=?n n C. 21n n λ=. D. 以上都不对 3. 平面 0:11111=+++D z C y B x A π 与平面 0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直 的充要条件是 ( ). A. 2 12 12 1C C B B A A == B. 0212121=++C C B B A A C. 021212121=+++D D C C B B A A D. 以上都不对. 4. 1 11 11 11: n z z m y y l x x l -= -= -与2 22 22 22: n z z m y y l x x l -= -= -是异面直线,则必有 ( ). A.0212121=++n n m m l l B. 0212121≠++n n m m l l C. 021212122 2 1 11 =---z z y y x x n m l n m l D. 02 1212122 2 1 11 ≠---z z y y x x n m l n m l . 5. 若向量γβα ,,线性无关,则在该向量组中必有 ( ) A. 每个向量都可以用其它向量表示。 B. 有某个向量可以用其它向量表示。
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
空间解析几何试卷 一、填空题(本大题共计30分,每空3分。请把正确答案填在横线上) 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ,则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线,反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ,则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行,则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下,点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |,则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
高等数学(下册)考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++?? ∑ ds y x )12 2( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ;(B )???20 1 2 sin π π??θdr r d d ;
北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分)
《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为:2 3 0,1≤ ≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面
第七章 空间解析几何 一、选择题 1.在空间直角坐标系中,点( 1,— 2, 3 )在[D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2 2 2.方程2x y 2在空间解析几何中表示的图形为 [C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 X —1 y + 1 z +1 ” _x + y _1 = 0 3.直线11 j 与 >2 : — —> 的夹角是[C ] 4 2 3 x+y+z-2=0 A Ji n n A.— B. — C.— D. 0 4 3 2 4.在空间直角坐标系中,点(1, 2,3 )关于xoy 平面的对称点是[D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) A. 2 2 2 a b (a ?b) B. a 2 b 2=(a b)2 C. 2 2 (a 叱)=(a b) 2 2 2 2 D. (a *b) (a b) =a b 已知a,b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D 5.将xoz 坐标面上的抛物线 z =4x 绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是 [B ] A. z 2 二 4(x y) B. z 2 _ _4.. x 2 y 2 C. y 2 z 2 =4x D. 2 2 y z = 4x 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 2 C. 3 关于 [B ] A 1 1 A. B.— 3 3 7.在空间直角坐标系中,点( B. (1,-2,3) D. (1,2,-3) A. (-1,2,3) C. (-1,-2,3) 1,2,3) 2 D.— 3 yoz 平面的对称点是[A ] 2 2 8.方程—2 弓二z , a 2 b 2 表示的是[B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D.球面 9.已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2}, 则 proj a b =[ C ] A. 1 3 B. 3 C. -1 D. 1 10.
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 的模是(A ) A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =(1,-1,3), b =(2,-1,2),求c =3a -2b 是( B ) A (-1,1,5). B (-1,-1,5). C (1,-1,5). D (-1,-1,6). 3. 设a =(1,-1,3), b =(2, 1,-2),求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为(A ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB 是( C ) A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L :12 213+= -=z y x 的距离是:( A ) A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是:( D ) A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -,求三角形的面积是:( A ) A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是:( D ) A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x . 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ,则必有( C ); A -+a b =a b ; B =a b ; C 0?a b =; D ?a b =0. 11、设,a b 为非零向量,且a b ⊥, 则必有( C ) A a b a b +=+ B a b a b -=-
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期:2012年 院(系)别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?=-4. 2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=??-(1/y2). 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0. 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于,在x π=处收敛于. 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=?√2. ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ?????.
2003--2004学年第一学期补考试题(卷) 03级数教《空间解析几何》 一、选择题:本大题共10个小题,每小题2分,共20分。在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e 共面,则a , c , e ( ) (A )不一定共面 (B )一定共面 (C )一定不共面 (D )一定共线 2、关于零矢量的描述不正确的是 ( ) (A )模不定 ( B )方向不定 ( C )模为零 ( D )模定方向不定 3、i i j j k k ?+?+?= ( ) (A )0 (B )3 (C )1 (D )0 4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c 的模为 ( ) (A (B )3 (C )0 (D )1 5、平面的法式方程中的常数项必满足 ( ) (A )≤0 (B )≥0 (C )< 0 (D )>0 6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 ( ) (A )任意 (B )与B 异号 (C )与A 异号 (D )与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足 ( ) (A )D 1=D 2=0 (B )D 1=0,D 2≠0 (C )D 1≠0,D 2=0 (D )D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( ) (A )0 (B )1 2 (C )1 7 (D ) 114 9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( ) (A )2 2 2 sin sin sin 1λμν++= (B )2 2 2 cos cos cos 2λμν++= (C )222cos cos cos 1λμν++= (D ) 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-= 10、下列方程中表示双曲抛物面的是 ( ) (A )222x y z += (B )2232x y z -= (C )222x y z -= (D )222x y z += 二、填空题:本大题共10小题,每小题2分,共20分。把答案填在题中横线上。 1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。 2、三矢量不共面的充要条件是 。 3、 叫方向余弦。 4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。 5、给定直线000 : x x y y z z l ---== XYZ 和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。 6、给定直线 111 1111: x x y y z z l X Y Z ---==与2222222 :x x y y z z l ---==XYZ则12l l 与异面的充要条件是 。 7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。 8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。 9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的 有 。 10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。 三、判断题:本大题共10小题,共10分,正确的打”√”,错误的打”×”。 1、若a ,b 共线, b ,c 共线,则a ,c 也共线。 ( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。 ( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b |。 ( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。 ( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。 ( ) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。 ( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。 ( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。 ( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。 ( ) 10、将抛物线220 y pz x ?=?=?绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=( ) 四、解答题:本大题共5小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ,的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周,所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10.已知,a b 为不共线向量,则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11.直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?,直线2l 的方程为
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1.已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0. 计算 a b b c c a . 解:因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向,且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 , b c 0 , c a 0 所以 a b b c c a 0 2.已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|. 解: |a b| a b cos 3 (1) |a b| a bsin 4 ( 2) (1)2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4.已知向量 x 与 a (,1,5, 2) 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标. 解:设 x 的坐标为 x,y,z ,又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线,则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 (2) 又 x 与 a 共线, x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6.已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程. 解:因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等,设动点坐标为 M x,y,z ,则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7. 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标. 解: abc r 且它们两两所成的角相等,设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8.已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3), (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥 A BCD 的体积. x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
《高等数学一(下)》期末考试模拟试题 一、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,满分20分)。 1.函数()3x f x =的一个原函数是 13ln 3 x ( ) A .正确 B .不正确 2.定积分 1 1 430 d d x x x x >? ? ( ) A .正确 B .不正确 3.( )是2 sin x x 的一个原函数 ( ) A .2 2cos x - B . 2 2cos x C .2 1cos 2 x - D . 21 cos 2 x 4.设函数0 ()sin ,x f x tdt = ? 则()f x '= ( ) A .sin x B . sin x - C .cos x D . cos x - 5.微分方程x y e '=的通解是( ) ( ) A .x y Ce -= B . x y e C -=+ C .x y Ce = D . x y e C =+ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,满分16分)。 1. 21 9dx x =+? .
2. ()cos ,f x dx x C =-+?,则()f x '= . 3. 定积分 20 cos d 1sin x x x π =+? . 4.微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 三、计算下列各题(本大题共5个小题,每小题8分,共40分) 1.求不定积分 cos 2cos sin x dx x x -?. 2.求不定积分 ? . 3.已知()f x 的一个原函数是2 x e -,求()xf x dx '?. 4.求定积分 4 x ? . 5.求定积分 1 x xe dx ? 四、(8分)求椭圆22 221x y a b +=绕x 轴旋转构成的旋转体的体积. 五、(8分)求方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解. 六、(8分)求方程22 sin y y x x x '-=的通解.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号:12307229 学时:22 学分:1.5 课程类别:限制性选修课 面向对象:小学教育专业本科学生 课程英语译名:Interspace Analytic Geometry(2) 一、课程的任务和目的 任务:本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论,正确地理解和使用向量代数知识,并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线(面)与方程相对应的观念,熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法,训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的:通过本课程的学习,使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法,培养学生的抽象思维能力及空间想象力,培养学生用代数方法处理几何问题的能力,提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础,为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 (一)平面与空间直线(14学时) 1.教学内容与要求:本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程,能判别空间有关点、直线与平面的位置关系,能熟练计算它们之间的距离与交角。 2.教学重点:根据条件求解平面和空间直线的方程,及点、直线、平面之间的位置关系 3.教学难点:求解平面和空间直线的方程。 4. 教学内容: (1)平面的方程(2课时):掌握空间平面的几种求法(点位式、三点式、点法式、一般式)。 (2)平面与点及两个平面的相关位置(2课时):掌握平面与点的位置关系及判定方法;掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 (3)空间直线的方程(2课时):掌握空间直线的几种求法(点向式、两点式、参数式、一般式、射影式)。 (5)直线与平面的相关位置(2课时):掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 (6)空间两直线的相关位置(2课时):掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 (7)空间直线与点的相关位置(2课时):掌握直线与点的位置关系及判定方法。 (8)平面束(2课时):掌握平面束的定义(有轴平面束和平行平面束),并能根据题意求平面束的方程。