数学思想与方法课程考核说明
考核说明
数学思想方法是广播电视大学专升本开放教育小学教育专业学生的一门重要的必修课，其全国统一的结业考试(期末考试)是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校小学教育专业的专升本水平。因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试对数学思想方法的认识，对数学思想方法教学的特点的掌握，以及将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学的能力。
期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点。考核方式包括形成性考核和课程终结考试。
第一部分课程考核基本说明
一、考核对象
中央广播电视大学本科开放教育小学教育专业学生。
二、考核方式
本课程的考核采取两种形式：形成性考核和课程终结性考试。课程总成绩按百分制计算，形成性考核占30%，课程终结性考试70%。
1．形成性考核：包括课堂讨论、教案设计、学习心得与练习做题。
2．课程终结考试：形式为期末闭卷考试。
三、考核依据
本课程终结考试的命题依据是根据中央广播电视大学本科开放教育小学教育专业教学计划、数学思想与方法课程教学大纲、以及数学思想与方法课程文字教材（顾泠沅主编，朱成杰副主编中央广播电视大学出版社出版）。考核说明中的考核知识与考核要求不得超出课程教学大纲与教材的范围与要求。
四、形考形式和要求
1．形考形式：形考形式有四种——课堂讨论、教案设计、学习心得、练习做题。
2．形考要求：
（1）．课堂讨论：讨论人数最少不得低于5人，最多不得高于20人，人数多的班级可以分组进行讨论。安排的4次讨论活动，可以视当地具体情况，由教学点任意选择其中的两次。
（2）．教案设计：自拟题目进行教学案例设计。可针对不同的年级选择教学内容，要充分注意教材中所提到的各种数学方法运用。可以参考教材的第13章。教案设计完成后要进行小组交流。小组交流为5人一组，相互评论。
（3）．学习心得：学生可以根据实际的教学进度，选择自己感兴趣的内容撰写学习心得。
（4）．练习做题：计算题要求解答过程；简答题只要答出要点即可；论述题要求有所展开，并有自己的见解。
五、终考要求和形式
1．终考要求
本课程终结考试为期末闭卷考试，考生不得携带任何形式的参考资料和电子读物或工具。
2．组卷原则
期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在
此基础上突出重点。根据教材所涵盖的有关知识内容，涉及教材内容不少于75%。
3
4．考核方式：
考核方式为期末闭卷考试。笔答，满分为100分，由中央电大统一命题，在同一时间全国统考。考试时间总共为90分钟。试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例大致为4:4:2。试题类型分为：填空题、简述题、计算题和论述题。填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；简述题要求给出简要的答案；计算题要求写出运算过程与答案；论述题要求写出具有论点与论据的详细论述等。四种题型分数的百分比大致为：填空题30%，判断题10%，简答题30%，解答题30%。
（课程终结性考试成绩=期末闭卷考试成绩×70%。）
5．答题时限：90分钟。
六、课程综合成绩记分方法
课程综合成绩=形成性考核总成绩+期末闭卷考试成绩×70%。
1．形成性考核总成绩：
形成性考核总成绩满分为30分。其中四种形式所占比例分别为：课堂讨论占5分，教案设计占5分，学习心得占10分，记分作业占10分。
两次课堂讨论、一次教案设计、二次学习心得、四次作业练习，每次均按百分制计算。各次获得的成绩按所占比例叠加，合并为形成性考核总成绩。即：
形成性考核总成绩
=两次课堂讨论平均成绩5%+教案设计成绩5%+两次学习心得平均成绩10%
+四次练习做题平均成绩10%
2．终结性考试成绩：终结性考试成绩=期末闭卷考试成绩×70%。
七、样题（见所附样题）
第二部分考核内容和考核要求
第一章数学思想与方法的两个源头
（一）考核知识点：
《几何原本》的形成、内容、特点和意义；
《九章算术》的形成、内容、特点和意义。
（二）考核要求：
熟练掌握《几何原本》和《九章算术》形成的原因和基本内容。
掌握《几何原本》和《九章算术》数学思想的意义。
了解《几何原本》和《九章算术》的特点。
第二章数学思想与方法的几次重要突破
（一）考核知识点：
算术的局限性与代数产生的必然性；
常量数学的局限性，变量数学的产生及其意义；
欧氏几何的局限性，非欧几何、解析几何的产生及其意义；
确定数学的局限性，随机数学的产生、发展及其意义。
（二）考核要求:
了解算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性；
了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展；
了解确定数学与随机数学的区别；
掌握变量数学产生的意义、随机数学产生的意义；
熟练掌握变量数学产生的过程、解析几何与欧氏几何的区别；
第三章数学的真理性*
（本章不考）
第四章现代数学的发展趋势
（一）考核知识点：
数学的统一性；
自然科学的数学化、社会科学的数学化；
数学机械化、计算数学的发展、新学科的发展。
（二）考核要求：
了解数学的统一性；
了解数学在自然科学和社会科学中的广泛应用；
理解数学机械化产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展；
掌握科学的数学化、数学机械化的发展；
了解计算机促进数学中新学科的发展。
第五章概括与抽象
（一）考核知识点：
抽象、抽象过程、数学抽象的特征、常用的数学抽象方式；
概括、概括过程、概括与抽象的关系。
（二）考核要求：
了解抽象、概括的含义以及概括与抽象的关系；
熟练掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式；
理解抽象与概括的区别。
第六章猜想与反驳
（一）考核知识点：
归纳、归纳推理的形式、猜想、归纳猜想；
类比、类比推理的形式、类比的种类、类比猜想；
反例反驳、反例在教学中的应用、猜想能力的培养。
（二）考核要求：
理解归纳、类比的含义及其推理形式。
熟练掌握归纳猜想、类比猜想以及举反例在教学中应用；
掌握类比猜想、反例反驳、猜想能力培养
第七章演绎与化归
（一）考核知识点：
公理方法、公理体系、形式化、公理方法的作用和意义；
化归方法、化归方法的基本原则、实现化归的常用途径、化归方法在教学中的应用。
（二）考核要求：
了解公理方法、化归方法的含义；
理解公理方法的作用和意义；
掌握化归方法的基本原则和实现化归的常用途径；
熟练掌握化归方法及其应用；
第八章计算与算法
（一）考核知识点：
计算、计算工具的发展、计算的意义；
算法、算法的特点、算法的意义。
（二）考核要求：
了解计算、算法；
了解计算工具的发展；
理解计算的意义、算法的意义；
掌握算法的特点。
第九章应用与建模
（一）考核知识点：
数学模型、数学模型方法、数学建模举例、数学建模的基本步骤；
数学模型在数学教学中的作用、几个重要的数学模型、数学模型方法的现代应用。
（二）考核要求：
了解数学模型、数学模型方法的含义；
熟练掌握数学模型方法、建模的基本步骤及其在数学教学中的作用；
掌握几个重要的数学模型。
第十章其他方法
（一）考核知识点：
分类方法、分类的标准、现象分类和本质分类、分类方法的应用；
数形结合方法、数形结合方法的应用；
特殊化方法、特殊化方法的应用、特殊化与一般化的辩证关系。
（二）考核要求：
了解分类方法、数形结合方法、特殊化方法的含义；
理解现象分类、本质分类以及特殊化与一般化的辩证关系；
掌握特殊化方法的应用；
熟练掌握分类方法、数形结合方法。
第十一章数学思想与方法与素质教育
（一）考核知识点：
我国数学教育的现状、数学教育效益的思考、国际国内数学教育改革情况；
数学知识与数学思想与方法的关系、数学思想与方法与素质教育的关系；
数学思想与方法教学的现状及其思考、加强数学思想与方法教学。
（二）考核要求：
了解我国数学教育取得的成就及存在的问题、国内外数学教育的改革情况；
熟练掌握理解数学知识与数学思想与方法的关系；
熟练掌握数学思想与方法与素质教育的关系；
理解加强数学思想与方法教学的重要性。
第十二章数学思想与方法教学
（一）考核知识点：
数学思想与方法频数分布、数学思想与方法频数分布的启示；
学生理解数学思想与方法的主要阶段；
数学思想与方法教学的特点、数学思想与方法教学的注意事项。
（二）考核要求：
了解数学思想与方法的频数分布；
理解数学思想与方法频数分布的启示；
掌握学生理解数学思想与方法的主要阶段；
掌握数学思想与方法教学的特点及注意事项；
第十三章数学思想与方法教学案例
（一）考核知识点：
化归方法、数学模型方法、归纳猜想、综合方法在教学中应用。
（二）考核要求：
熟练掌握化归方法、数学模型方法、归纳猜想的教学案例中体现的数学思想与方法教学特点；
掌握数学思想与方法综合应用的特点。
第三部分试题类型及规范解答举例
一、填空题(每题3分)
1．《几何原本》思想方法的特点是封闭的演绎体系、抽象化的内容、公理化的方法。(容易题)
2．设A是解决问题D的一种算法，若以表示用计算A求规模为n的问题D所需要的运算次数，则刻划了计算A的复杂程度。(中等题)
二、判断题(每题4分)
1．在特定的条件下，特殊情况能与一般情况等价。(是)(容易题)
2．完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。(是)(容易题)
三、简答题(每题10分)
1．叙述强抽象的含义，并举一例。(容易题)
答：强抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。从逻辑上讲，这种抽象主要表现为“种加类差”的形式，抽象得到的结论类属于原概念。例如将“一元”、“一次”两个特征加入“方程”概念中，就可由强抽象得到一元一次方程的概念。
2．为什么数形结合方法在数学中有非常广泛的应用？(中等题)
答：因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的。既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展进程中，数与形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各学科之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。
四、解答题(20分)(较难题)
1．根据下列材料设计一个教学片断。
材料：观察每行的前四个数，想一想接下去应该填什么数。
(1)2，10，18，26，，；
(2)95，90，85，80，，。
(要求：①教学过程要比较具体，并且有一定的层次；②要有数学思想方法教学内容) 解：将教学过程设计成如下三个层次：
①做第一行时，教师引导学生观察相邻两数之间的关系：第二个数减第一个数的差是8，第三个数减第二个数的差是8，第四个数减第三个数的差也是8。由此经过归纳可以猜想出规律：后一个数减前一个数的差都是8。然后再按这个规律填写出后面的数为34，42。
②做第二行时，教师可先回顾上题的解题步骤：观察前四个数中相邻两数之间的关系，然后通过归纳猜想找出规律，最后再根据规律在空格处填上相应的数。让学生自己独立解题，对有困难的学生适当进行指导。
③学生做完此题，教师再和学生共同概括出解答这类问题的基本步骤：
观察相邻两数关系归纳猜想规律根据规律填数
引导学生领悟归纳猜想思想方法。
（以下为以往内容仅供参考）
考核内容和考试要求
第一章数学思想方法的两个源头
(一)考核知识点
《几何原本》的形成《几何原本》的基本内容《几何原本》思想方法的特点《几何原本》思想方法的意义《九章算术》的形成《九章算术》的基本内容《九章算术》思想方法的特点《九章算术》思想方法的影响(二)考核要求
1．了解《几何原本》、《九章算术》形成的原因和基本内容。
2．理解《几何原本》、《九章算术》数学思想方法的特点和意义
第二章数学思想方法的几次突破
(一)考核知识点
算术的局限性代数的产生
代数体系结构的形成常量数学的局限性
解析几何的产生函数概念的出现
微积分的产生变量数学的意义
确定数学的局限性随机数学的产生与发展
随机数学的意义
(二)考核要求
1．了解算术的局限性、常量数学的局限性、确定数学的局限性
2．了解变量数学产生的过程和随机数学的发展。
3．理解变量数学产生的意义、随机数学产生的意义。
4．掌握确定数学与随机数学的区别。
第三章数学的真理性
本章为选学内容，不列入考核范围。
第四章现代数学的发展趋势
(一)考核知识点
数学的统一性自然科学的数学化
社会科学的数学化数学机械化
计算数学的发展
(二)考核要求
1．了解数学的统一性。
2．了解数学在自然科学和社会科学中的应用。
3．了解数学机械化的产生、发展及其意义。
4．了解计算机对数学发展的促进。
第五章抽象与概括
(一)考核知识点
抽象抽象过程数学抽象的特征常用的数学抽象方式概括概括过程
概括与抽象的关系
(二)考核要求
1．了解抽象、概括的含义。
2．掌握抽象过程、概括过程和常用的数学抽象方式。
3．了解抽象与概括的关系。
第六章猜想与反驳
(一)考核知识点
归纳法不完全归纳法完全归纳法
数学猜想归纳猜想类比法
类比的类型类比猜想反例反驳
反例在教学中的应用
猜想能力培养
(二)考核要求
1．理解归纳法、类比法的含义
2．掌握不完全归纳法、完全归纳法以及类比法的推理形式。3．理解不完全归纳法与完全归纳法的区别。
4．了解类比的类型及类比误区。
5．掌握归纳猜想、类比猜想及猜想能力的培养。
6．熟练掌握反例在教学中的应用。
第七章演绎与化归
(一)考核知识点
演绎推理公理方法具体公理体系
抽象公理体系形式公理体系公理方法的作用
化归方法化归方法的基本原则
化归方法的应用
(二)考核要求
1．掌握演绎推理及其主要形式。
2．了解公理方法、化归方法的含义。
3．了解具体公理体系、抽象公理体系和形式公理体系的区别。4．理解公理方法的作用。
5．熟练掌握化归方法的基本原则及化归方法在教学中的应用
第八章计算与算法
(一)考核知识点
计算计算工具
计算的意义算法的特点
计算复杂性算法的意义
(二)考核要求
1．了解计算、算法的含义。
2．了解计算工具发展的几个主要阶段。
3．了解算法的特点，会用程序框图表述问题的算法。
4．理解计算的意义、算法的意义。’
5．理解计算复杂性，并了解多项式算法、指数型算法。
第九章应用与建模
(一)考核知识点
数学模型数学模型方法(MM方法)
数学建模数学模型在教学中的作用
交轨模型方程模型
鸽笼原理数学模型方法的现代应用
(二)考核要求
1，了解数学模型的含义、分类及其特性。
2．了解数学模型方法的含义及其解题步骤。
3．理解数学建模，并掌握数学建模的基本步骤。
4．理解数学模型在教学中的作用。
5．掌握交轨模型、方程模型、鸽笼原理并能加以应用
6．了解数学模型方法的历史及其现代应用。
第十章其他方法
(一)考核知识点
分类及其要素现象分类、本质分类
分类的原则分类方法的应用
数形结合方法数形结合方法的应用
“数形结合”的局限性特殊化
特殊化解决问题的过程特殊化方法的应用
特殊化与一般化的辩证关系
(二)考核要求
1．了解分类方法、特殊化方法的含义。
2．了解数形结合方法的含义及其局限性。
3．理解现象分类、本质分类以及特殊化与一般化的辩证关4．掌握特殊化方法解决问题的框图表示及其应用。
5．熟练掌握分类方法、数形结合方法的应用。
第十一章数学思想方法与素质教育
(一)考核知识点
数学教育效益
数学知识
数学思想方法
数学思想方法与素质教育
国际国内数学教育改革概述
数学思想方法教学现状
加强数学思想方法教学
(二)考核要求
1．了解我国数学教育的现状及国内外数学教育改革的情况
2．理解数学知识、数学思想方法以及两者之间的关系。
3．理解数学思想方法与素质教育的关系。
4．了解数学思想方法教学的现状，理解加强数学思想方法教学的重要性。
第十二章数学思想方法教学
(一)考核知识点
数学思想方法频数分布
数学思想方法教学的主要阶段
数学思想方法教学的原则
数学思想方法教学的注意事项
(二)考核要求
1．了解数学思想方法频数分布。
2．理解数学思想方法教学的主要阶段。
3．熟练掌握数学思想方法教学的原则及注意事项
第十三章数学思想方法教学案例
(一)考核知识点
化归方法教学案例
归纳猜想教学案例
数学模型方法教学案例
(二)考核要求
1．了解化归方法教学案例、归纳猜想教学案例、数学模型方法教学案例的内容。
2．熟练掌握三个教学案例中体现的小学数学思想方法教学特点.
试题类型及规范解答举例
一、填空题(每题3分)
1．《几何原本》思想方法的特点封闭的演绎体系,抽象化的内容,公理化的方法. (容易题) 2．设A是解决问题D的一种算法，若以f A(D，n)表示用计算A求规模为n的问题D所需要的运算次数,则f A(D，n)刻划了计算A的复杂程度.(中等题)
二、判断题(每题2分)
1．在特定的条件下，特殊情况能与一般情况等价。(是)(容易题)
2．完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。(是)(容易题)
三、简答题(每题6分)
1．叙述强抽象的含义，并举一例。(容易题)
答：强抽象就是指通过把一些新的特征加入到某一概念中而形成新概念的抽象过程。从逻辑上讲，这种抽象主要表现为‘‘种加类差”的形式，抽象得到的结论类属于原概念。例如将“一元”、“一次’’两个特征加入“方程”概念中，就可由强抽象得到一元一次方程的概念.
2. 为什么数形结合方法在数学中有非常广泛的应用?(中等题)
答：因为数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，而现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的。既不存在有数无形的客观对象，也不存在有形无数的客观对象。因此，在数学发展进程中，数与形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。充分运用数形结合方法解决数学问题，对于沟通代数、三角、几何各学科之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力具有重要作用。
四、解答题(15分)(较难题)
1．根据下列材料设计一个教学片断。
材料：观察每行的前四个数，想一想接下去应该填什么数。
(1)2，10，18，26，，
(2)95，90，85，80，，
(要求：①教学过程要比较具体,并有一定的层次②要有数学思想方法教学内容)
解：将教学过程设计成如下三个层次：
①做第一行时，教师引导学生观察相邻两数之间的关系：第二个数减第一个数的差是8，第三个数减第二个数的差是8，第四个数减第三个数的差也是8。由此经过归纳可以猜想出规律：后一个数减前一个数的差都是8。然后再按这个规律填写出后面的数为34，42。
②做第二行时，教师可先回顾上题的解题步骤：观察前四个数中相邻两数之间的关系，然后通过归纳猜想找出规律，最后再根据规律在空格处填上相应的数。让学生自己独立解题，对有困难的学生适当进行指导。
③学生做完此题，教师再和学生共同概括出解答这类问题的基本步骤：
观察相邻两数关系一归纳猜想规律一根据规律填数
引导学生领悟归纳猜想思想方法。
样卷
一，填空题(本题共30分)
1. 《九章算术》思想方法的特点是
2. 抽象的含义：抽象是对同类事物
3. 在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件
4. 化归方法的三个要素是
5. 算法可分为两大类.
6. 任何分类都必须遵循下列原则:
7. 数学的研究对象大致可以分成如下两类
8. 所谓特殊化是指在研究问题时，的思想方法。
9. 小学数学思想方法教学的主要阶段是：.
10．三段论是演绎推理的主要形式，三段论由组成。
二、判断题(本题10分)
1．中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。
2．《几何原本》是人类历史上最早的演绎的公理化体系。
3．微积分的建立标志着变量数学的诞生。
4．完全归纳法的一般推理形式是：
设S={ A1, A2,---, An,---}由于A1具有属性p，A2具有属性p，…An具有属性p，因此推断集合S中的每一个对象都具有属性p。
5．如果某一问题存在算法，并且进一步构造出这个算法，就一定能够求出该问题的解。
三、简答题(本题30分)
1．简述确定性现象、随机现象的特点以及确定数学的局限
2. 什么是数学的统一性?法国的布尔巴基学派是如何实现数学的统一
3．简述数学建模的基本步骤。
4．什么是类比猜想?并举一个例子。
5．简述化归方法的和谐化原则。
四、解答题(本题30分)
1．运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。这是为什么?请阐述你的理解。
2．以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断.(要求: ①教学过程要比较具体,有一定的定的层次；②要有数学思想方法教学内容)
数学思想与方法期末复习指导
第一章数学思想与方法的两个源头
学习要求
1．知道《几何原本》和{九章算术》形成的原因和基本内容；
2．理解《几何原本》和(九章算术》数学思想的特点和意义。
主要内容指导
一、《几何原本》思想方法的体例及特点
《几何原本》共有十三篇，第一篇到第四篇是关于平面几何——直线形和圆的理论，第五篇是比例论，第六篇讲平面相似形，第七、八、九篇则阐述算术(数论)，第十篇是关于“不可通约量”的理论，第十一、十二、十三篇是关于立体几何的理论和“穷竭法”。从内容
上来看，可以说，包括了当时希腊数学各个方面的成就。《几何原本》思想方法上的特点，可以表述如下。
(1)封闭的演绎体系
《几何原本》就是一个最早的标准的演绎体系：由少数不定义的概念，如点、线、平面等等，和不证明的命题——公理与公设——出发，在需要的地方，定义出相应的概念，按着一定的逻辑规则，演绎出所有其他命题来。在《几何原本》的演绎体系中，公理是最一般的命题，它们是一系列演绎推理的前提，这个体系的所有其他命题，都是从公理(通过适当的定义)推导出来的。除了推导所需要的逻辑规则外，《几何原本》的由一系列公理、定义、定理等构成的数学理论体系，原则上不必依赖于其他东西。当然；在实际上，《几何原本》
在某些地方背离了这个原则：证明某些命题时运用了公理和逻辑规则之外的“直观”。但是，那只是个别的地方，并不影响体系的大局；而且，正是作为《几何原本》的“缺陷”而受到了人们的指责的，后来的人们按欧几里得的原意，不断地在体系中排除直观，得到更严格
的数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本》的这种思想原则和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。
(2)抽象化的内容
《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所由之产生的那些现实原型。比如在《几何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是《几何原本》的基本倾向。
(3)公理化的方法
作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。
二、《九章算术》思想方法的体例及特点
《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法．它具有如下的特点。
(1)开放的归纳体系
《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若于个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。
《九章算术》的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型采解决的多种应用问题。通过九章的内容，可以看出它是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系，通过这些章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。
《九章算术》是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。《九章算术》之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本，而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造新的数学理论，在中国古代封建社会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。不仅如此，《九章算术》的开放性、应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。
(2)算法化的内容
前面我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出
问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注、校基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。
算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。
要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。
还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。
(3)模型化的方法
从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。
从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。《九章算术》中体现了这一生产发展过程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。《九章算术》各章都由相应的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模型化方法的另一个侧面——由模型到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。
模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。
反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。
在模型化的方法中，各个数学模型之间的联系是什么呢?当然有实际原型之间的联系的反映，但就数学中表述出来的模型以及针对模型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通过计算工具——算筹——所产生的联系。算筹的实际可应用性和布列算筹的规则——《九章算术》中没有谈及——就是各种模型以及各种算法之间的联系且还是《九章算术》所隐含的数学上的前提，这一点是一个要进深入研究的课题。
思考题：《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点是什么?它们的重要历史意义是什么?
第二章数学思想与方法的几次重要突破
学习要求
1．知道算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性；2．了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展
3．理解变量数学产生的意义、确定数学与随机数学的区别、随机数学产生的意义。
主要内容指导
一、代数学的发展
文艺复兴运动是一场伟大的思想解放运动，也是科学的复兴和发展的运动。科学的发展既是这场运动的结果，又是它的一个极大的推动力。
1543年，哥白尼发表了著名的《天体运行论》，提出了宇宙的日心说。这一发现当然是
由于航海和贸易活动对天文观测的需要，因为原来的托勒密的地心说已越来越与观测事实不符，而且计算复杂，不能满足人们的需要了。这一发现对人的思想的解放也是一个十分重要的因素，因为它证明了宗教迷信的荒谬。1609年开普勒提出了行星运动三大定律，使天文计算更加准确。
文艺复兴也是数学科学的复兴。人们继承了从“大翻译运动”所重新得到的古希腊数学，作了大量的创造性工作，使数学思想有了重要的新发展。
12世纪初,欧几里得的《几何原本》由布思的阿德尔哈德(英国,.Adelhard of Bath,1120年)从阿拉伯文译成拉丁文,后来成为欧洲中世纪大学的标准教科书。但是，在文艺复兴中首先得到发展的却是由阿拉伯人传来的代数学的思想方法，整个16世纪以至于17世纪的数学都表现出这种倾向。这一时期代数学的发展有如下几个重要的成果。
(1)采用印度一阿拉伯数字
印度一阿拉伯数字就是我们现代通用的数字，它用10个数码1，2，3，4，5，6，7，8，9，0就可以表示任何数。当然，现在采用的形式是经过漫长的历史发展的结果。这种数字最初产生于印度，印度人对数学的一大贡献是认识了零并发明了“0”号。8世纪左右，这种数字传人阿拉伯世界，经阿拉伯人的改造，于12世纪传人欧洲。欧洲人当时认为是从阿拉伯人传来的，称为“阿拉伯数字”，至今仍有这种称呼。但由于封建社会的保守性和宗教势力的抵制，长时期没有推行开，直到13世纪末(1299年)意大利佛罗伦萨的法令中仍禁止银行使用印度一阿拉伯数字，有的国家直到16世纪还在抵制它。不过，到文艺复兴时期，大多数国家都采用了这种数字。
印度一阿拉伯数字的采用为数学思想方法带来了重大的变革。首先是使记数和算术运算得以简化；其次，印度一阿拉伯数字的采用又在数学中引人了笔算法。这对数学的发展也具有重要的意义。罗马数字太复杂，也不适合笔算，罗马人用算盘来计算。运用计算工具进行计算最著称的还是中国人，算筹和算盘在计算工具史中占有重要的地位，但正是由于计算工具先进，中国古代并没有发展起笔算来，只是用笔把计算结果记在纸上。笔算固然不如算器算得快，但却能保留计算过程，使人们得以深入研究计算的过程和计算的实质。—方面，为创造更有效的计算工具打下基础；另一方面，关于计算的理论也是在采用笔算后才取得较好的发展的。计算方法在数学中的广泛应用，与笔算的引人也有重要的关系。
(2)系统采用数学符号
我们现在通用的数学符号体系，就是在这个时期奠定了基础的。许多数学符号，是在这一时期发明或开始采用的。例如‘+’号和“—”号最早见于1484年德累斯顿手稿中，1489年捷克人维德曼(Widman)首先在印刷书籍中采用了这种记号。其他符号也纷纷出现了，这对发展数学符号体系具有特殊意义。符号表示一个完全抽象的东西，如a+b=b+a，这里的符号(字母)是表示某一指定了的运算对象，而这种对象具有上式所表示的更一般的性质。另一方面，一个符号一个意思，因而保证我们能正确无误地指明我们想指明的那一类对
象，这无疑提高了我们的统摄一类对象的抽象能力。例如我们说“形如a+的数”，不用符号大概很难表达出来，表达不出也就是实际上没有“掌握”它们。所以数学符号所代表的抽象能力是数学发展中不可缺少的。
其次，数学符号便于进行变换操作，而这种变换操作是对符号所表示的数学概念进行深入认识的基本方式。例如现代数学中对某一集合的认识实际上在于按其性质进行分类，即根据变换操作找出它在这一性质之下的所有等价的形式(等价类)等等。这是数学中认识数学概念的基本方式。
(3)数学基础的新起点
这一时期的数学逐渐脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法。这一方面是
因为古希腊人在数学中虽然不承认直观．并力图排除直观，但实际上他们的公理法是依赖于感性直观及对这种直观的信念的。文艺复兴时，数学进一步向抽象发展了多就无法依赖这些由感性直观及对直观的信念得来的东西了。这时人们“所关注的新东西是属于现在所谓代数和分析这些数学部门，他们思想里的基本概念是函数依赖的概念，尽管他们一开始不能用抽象的一般性来表达这种概念，他们完全是被一种要求解决力学问题的欲望所鼓舞．例如他们遗留给我们的‘变元，这个术语就表明了这一点。”这样一来，代数学倒被人认为是依据人们的感性直观得来的一种按某种规则操作符号的技巧。但是代数学的依据究竟是什么呢?这是从代数学产生就令人感到兴趣又感到困惑的问题，这就产生了新的基础问题。当然，这时的数学还无法解决这个问题，它是在19世纪解决的。但问题的提出仍有重大的意义：人们得到了本质上不同于古希腊数学基础的新数学，实际上是进入了新的抽象层次。
二、解析几何的产生
人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。而解析几何的产生，通常以笛卡儿《几何学》一文(发表于1637年的《方法论》的附录)为标志。
解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线。这些科学的发展都提出研究各种曲线的要求，最起码的是画出这些曲线。笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。实际上，笛卡儿在《方法论》的另两个附录《论折光》和《流星论》中分别探讨了透镜曲线和气象的一些问题。
(1)解析几何的基本思想
解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。
(2)解析几何的意义
解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。
●在数学中弓I入了变量概念
建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。
●提供了一种解决一般问题的方法
古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。如果能够按条件作出所求图形，则称这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。
●为数学思想的发展开辟了新的天地
欧几里得《几何原本》建立了第一个数学理论体系，在数学思想发展中占有重要的地位。解析几何的建立则把数学理论推向一个新的高度，为新数学思想的发展开辟了新天地。
首先是数学概念得到进一步概括。例如“曲线”概念，古希腊人只限于能用一些简单工具(直尺、圆规及少数其他机械)作出来的图形。而解析几何则把“曲线”概括为任意的几何图形，只要它们对应的代数方程是由变量x，y的有限次代数运算所构成的。这样，开辟
了用代数方法研究几何问题的新思路。
其次，再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路。笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对(x，y)之间的对应，按同样的思想，不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组(x，y，z)之间的对应关系。现实的空间仅限于三维，由于解析几何中采用了代数方法，平面上的点对应于有序实数对，空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可以与此类比，构成一个四维空间，由此类推，提出了高维空间的理论。这是现代数学极重要的思想，开拓了数学的新领域。
●揭示了数学内在的统一性
虽然在欧几里得那里几何和算术(代数)是不加区分的，但他主要是应用后来称之为几何学的方法来处理各种数学问题。16世纪代数学有了较大的发展，但人们把代数和几何严格地区分开来。例如塔尔塔利亚坚持要区别数的运算和几何图形的运算，韦达也认为数的利学和几何量的科学是平行的，但是有区别的，连牛顿也反对把几何和代数混淆起来。这种情况反映了数学的分化和各学科深入发展的需要。
解析几何把几何和代数结合起来，几何概念可用代数方式表示，几何的目标，可通过代数达到；反过来，给代数语言以几何的解释，使代数语言变得直观，易于理解。解析几何是近代统一数学的第一次尝试，它符合数学发展的规律，所以它有力地促进了数学理论的发展和数学在科学及实践中的应用。
三、微积分产生的影响
文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大的发展,到17世纪已达到相当程度，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求就必须有相应的科学知识，例如流体力学(与矿井的通风和排水有关)，机械力学等都有了突飞猛进的发展，资本主义社会的商品生产、贸易活动占有重要的地位，与此相关的是海运事业的发展，而向外扩张的军事需要，也促进了航海的发展。航海需要精确而方便地确定位置(经纬度)、预报气象，天文学因而发展起来，对经纬度测量的需要使人们进行了这样一些研究：(1)对月亮与太阳及某一恒星距离的计算；(2)对木星卫星蚀的观察；(3)对月球穿越子午圈的观测；(4)摆钟及其他航海时计在海上的应用等等。由于这些研究，产生了近代力学、天文学等的系统理论。
所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求表现为一些亟待数学解决的问题，这些问题可以分为四种类型：(1)已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速度表为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。(2)已知曲线求其切线。这不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求：物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。(3)已知函数求函数的极大值和极小值。这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点、抛射体的最大射程和最大高度等问题都可归结为这种类型的问题。(4)求曲线的长度。这是以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计算行星扫过的面积为代表；求物体的重心、求两个天体之间的引力等问题。
(1)微积分的初步思想
17世纪牛顿和莱布尼茨所创建的微积分的主要思想就是用求导数和求积分的方法来解决前面提出的四种类型的问题。
●牛顿的微积分思想
牛顿提出的思想有两个新的内容。(1)通过考虑在x点处的面积的瞬时增量得出面积的表达式，而不采取过去的那种用无限小面积之和来求面积的表达式的方法。也就是说，牛顿把确定变化率作为基本的步骤，换言之，以导数作为基本概念来定义积分。(2)他证明了过
去被看成无限小面积之和的面积能够通过一点的变化率由微分(求导数)的逆过程得到，这一事实就是我们现在所说的微积分基本定理
●莱布尼茨的微积分思想
与牛顿同时，莱布尼茨也独立地建立了微积分理论。他是从求曲线的切线和求曲边梯形面积着手研究的。他注意到求曲线的切线时需要确定曲线的纵坐标之差和横坐标之差的比，而求曲边梯形的面积则要确定曲线的纵坐标之和。他最先认识到，作为求和过程的积分是微分的逆，牛顿已用反微分求面积，莱布尼茨则正确地表述了求和与微分的关系。莱布尼茨还创造了现在通用的微分和积分的符号，提出了主要的求导法则等。
莱布尼茨的微积分思想与牛顿的微积分思想是有差异的，但是互补的，形成了后来的微积分学。牛顿是从无穷小增量之比出发作为求流数(或导数)的手段，他是从流的变化率来考虑的，这里实际要用到无穷小增量之比的极限(但牛顿并没有得到极限概念，所以产生了一系列问题)；而莱布尼茨则直接用了和的无穷小增量(即现代的微分)求出它们的关系。这个差别反映了牛顿是从力学应用着手的，变化率源于速度、加速度等力学问题的要求；莱布尼茨是一个哲学家，他的无穷小增量(微分)的思想与他的哲学单子(物质的最终的微粒)论观点是不无关系的。关于积分的理解，他们两个人也各有侧重，牛顿把‘‘流’’定义为给定的流数所由生成的量，或者说是流数的逆，实际上是以导数为基础的，牛顿以求导过程及其逆来解决各种问题；莱布尼茨则主要从求和出发，所以他的重点是定积分．而牛顿重点研究的是不定积分。
思考题：解析几何的核心思想是什么? 它的历史意义是什么?促使微积分产生的科学问题有哪几类?
第三章(本章不考)
第四章现代数学的发展趋势
学习要求
1．知道数学的统一性；
2．知道数学在自然科学和社会科学中的广泛应用；
3．知道数学机械化产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展
主要内容指导
一、现代数学发展的特点
1．更高的抽象性
在纯粹数学领域中，集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推动了纯粹数学向更高的抽象化发展。
20世纪初，康托尔创立的集合论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，例如，它可以是任意性质的元素集合，诸如函数的集合、曲线的集合等。集合论作为一种语言被应用于数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念的深刻变革，从而导致新的数学分支的建立，实变函数和泛函分析即是明显的例子。
法国数学家勒贝格(H．1ebeqeue)利用以集合论为基础的“测度”概念而建立了与柯西和黎曼积分不同的“勒贝格积分”。在勒贝格积分的基础上，进一步推广导数等微积分基本概念，进而重建了如微积分基本定理等微积分中的基本事实，从而形成了新的数学分支——实变函数论；受集合论的影响，空间和函数这两个基本概念发生了进一步的变革，空间被理解为某种约束某类元素关系的空间结构的集合，即空间是某种结构的集合，而函数的概念则
被推广为两个空间(包括一个空间到它自身)之间的元素的对应(映射)关系，其中将函数映为实数(或复数)的对应关系就是通常所称的‘‘泛函”。实变函数和泛函分析成为现代分析学的两大支柱。
在20世纪公理化方法向各个数学领域渗透。抽象代数是应用公理化方法把代数理论进行抽象化的杰出成就。代数学中公理化方法的系统运用是在希尔伯特关于几何基础的工作出现之后，受希尔伯特的直接影响，诺特(EmmyNoether，1882—1935)及其学派确立了公理化方法在代数领域中的地位，诺特在一篇论文中用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环的理论墓础，它是现代抽象代数开始的标志。抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。
2．更深入的墓础探讨
随着集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖论(通俗的形式即所谓的“理发师悖论”)的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，引起了关于数学基础的一系列问题。例如：(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在公理系统中不出现悖论。(2)如何理解“数学的存在”。(3)有无实无限，如何理解实无限。
(4)数学的基础是什么。
对这些问题的不同回答，形成了数学基础中的各种学派。其中3个学派——逻辑主义、直觉主义和形式主义，对后来数学基础的发展产生了较大的影响．对这些学派的基本观点将在后面内容中详细介绍，这里不予赘述。三大学派在20世纪前30年间非常活跃，相互争论非常激烈。现在看来，这三大学派都未能对数学基础问题做出令人满意的解答。但他们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。并促使数学基础作为一门数学分支学科得到前所未有的发展，其中最重要的方向就是数理逻辑。三大学派在基础问题上积累的深刻的结果，都被纳人数理逻辑研究的范畴而极大地推动了现代数理逻辑的形成与发展。3．更强的统一性
20世纪以来，不同学科之间的相互渗透、结合更为广泛。不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。
20世纪可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代。特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已成为当代数学的一股强大潮流。应用数学的这个新时代具有以下几方面的特点。
(1)数学的应用几乎扩展到所有的知识领域
19世纪70、80年代，恩格斯曾经对数学应用状况做过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了，在物理学中多半是尝试性的和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零”。然而经过一个世纪的发展，数学的应用远远超出了恩格斯的估计。数学正向人类的一切知识领域进军。数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学的时代也已一去不复返．除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在崭露头角，与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学，等等。
(2)纯数学几乎所有的分支都获得了应用(其中最抽象的一些分支也参与了渗透)拓扑学是一门抽象学科，离实际应用似乎还很遥远。然而在今天的物理学、生物学和经济学中，拓扑学正在扮演重要角色。数论曾经被英国数学家哈代看成是“无用”和“清白”的学科。但1982年以来，哈代所钟爱的“清白”学问数论，已经在密码技术、卫星信号传播、计算机
科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用，事实上，单就在物理学中获得应用数学而言，所涉及的抽象数学分支就包括了微分拓扑学、代数拓扑学、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学等。
(3)现代数学对生产技术的应用更为直接
以往数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学，再由这些科学提供技术进步的基础。20世纪下半叶以来，数学科学与生产技术的相互作用逐渐加强，直接应用数学到生产技术中的例子屡见不鲜，数学在两个方面对科学技术发挥着作用。一个方面是用数学模型系统地取代了各种各样的试验，其效果是无可比拟的节省，适用于各种复杂情况，而且绝对安全。例如，要用风洞设计飞机零件，就得先到机械车间造一个模型，再送人风洞里去观测它的各种性能。而使用数学模型则只要在计算机键盘上轻轻敲击，输入各种参数就行了。今天在空中飞行的现代飞机，都是这类计算机辅助设计的产物。对于像航天飞机这样的特殊飞行，数学模型方法尤其不可缺少。要训练航天飞机飞行员，总不能随便把航天飞机发射升空，进行实际演习．所以必须采用数学模型模拟航天飞机起飞和着陆时的空气动力学方程，用超级计算机立时解出，最后由飞行员按计算机提供的情况做灵巧控制。因此用数学模型进行这种太空试验不仅节约、有效、安全，而且是惟一的选择。这样的例子很多，如涉及原子裂变、聚变以及化学反应等，当然只能做数学模型。
另一个方面是应用数学来帮助处理大量的观测数据。例如，在天文、海洋、气象方面，每天都会产生亿万个数据，如不及时处理，就会失去时效。一个最为人们熟知的例子是“CT”扫描，即x射线分层扫描系统．这一诊断技术的关键，是将X射线透视获得的数据，用计算机加以重新处理，而用到的数学工具正是微分方程、调和分析和拉东变换。当人们在享受这些现代文明成就时，却不知道“数学，正是数学，才使这些先进技术得以实现”。
另外，在20世纪后半叶，由于计算机的出现和广泛渗透，也使应用数学本身以及计算数学获得前所未有的发展。
二、现代计算机所具有的5个基本特点
1．运算能力
计算机内部有个承担运算的部件，叫做运算器，它是由一些数学逻辑电路构成的。由于电子速度非常快，因此计算机每秒钟能进行几十亿次乃至数万亿次加减运算。
2．计算精度
数字式电子计算机用离散的数字信号形式模拟自然界的连续物理量，这无疑存在一个精度问题。现在一般的计算机都能达到15位有效数字，通过一定的手段可以实现任何精度要求。
3．记忆能力
在计算机中有一个承担记忆智能的部件，称为存储器。计算机存储器的容量可以做得很大，能存储大量数据，除了能记住能各种数据信息外，存储器还能记住加入这些数据的程序。
4．逻辑判断能力
逻辑判断能力就是因果关系分析能力，分析命题是否成立以便作出相应对策。计算机的逻辑判断能力是通过程序实现的，可以让它做各种复杂的推理。
5．自动执行程序的能力
计算机是个自动化电子装置，在工作过程中不需人工于预，能自动执行存放在存储器中的程序。程序是人经过仔细规划事先安排好了的，一旦设计好并将程序输入计算机后，向计算机发出命令，随后，它便成为人的替身，不知疲倦地工作着。
计算机的这些特点为数学的运用和发展开拓了新的场所。如分形几何、突变数学等现代数学分支的发展和应用均离不开计算机。
思考题：现代数学有什么特点?计算机对人类社会发展的贡献是什么?
中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
初中数学思想方法的教学 摘要】在新课程不断深入改革和发展的背景下，教师不应该只注重传授学生基 础知识和基本技巧，更应该注重传授学生一些解决问题的方法以及思想理念，让 学生在掌握基础知识以及基本技巧的过程中，逐渐地养成自己的学习方法和学习 习惯。教师要不断开拓学生的视野，活跃学生的思维，为学生以后的学习和发展 奠定坚实的基础。 关键词：初中数学；数学思想方法；教学 数学思想方法是数学知识形成的过程。数学课程教学中，任何一个数学概念、数学原理都要从感性思维到理性认知，从而延伸出一系列数学发展规律和数学理念。因此，教师在实际的数学课堂教学中，应注意数学思想是教学的核心，必须 予以重视，从多角度加强数学思想方法的渗透。以此，提高学生的数学学习能力。 一、初中数学教学现状 （一）授课模式单一 初中数学授课过程中，大多数采用以教师为核心的授课方法，教育效果差， 如果不动员学生的学习主动性，就难以实现数学教育目标。此外，在实际授课过 程中，一些数学教师逐渐积累了一些经验积累，由于缺少灵活教学思维，容易形 成单一固定教育的模式。这种教学方式尽管对于教育活动发展能够起到一定作用，但限制了教师的思维方式。 （二）教学评价方式存在缺陷 在评估初中生数学能力的时候，通常会使用期末考试的方式，尽管这种评估 方式可以客观地展现初中生在某一阶段的学习成果，但是忽略了对于学习过程的 评估，并在评估过程很难调动学生的热情与积极性，很难培养学生的数学创新思 维以及创新意识，影响初中数学教育发展。 二、数学教学中渗透数学思想方法的具体方式 （一）在知识探索的过程中，融入数学思想方法 在初中数学教学中，培养学生的思想方法是一个过程的培养，而不是解决具 体的一道题。教师培养学生的思想方法，是根据某一种类型的题来说，是解决这 种问题的一种思想。因此，教师应该注重教学的过程，不应该注重教学的结果。 例如，教师在带领学生学习“四边形最大值”的过程中，教师为学生例举出以下的 试题：在长方形ABCD中，已知AB=8、BC=2，分别在长方形的四边截取 AE=AF=CG=CH，这样就可以得到一个平行四边形，提问当点E在什么位置时，平 行四边形的面积最大？在这个过程中，学生很难看出图形有怎样的面积关系。因此，教师引导学生变换一种解题思想，将数形结合思想方向转向型向数转型，将 代数的解题思想应用到几何问题中，带领学生用设置未知数的方式，来解决这道 题中的最大面积。又如，教师在带领学生学习“有理数”时，学生用自己所掌握的 对数的认识不能很好地理解和掌握本节课的知识点。教师就可以将数轴引导到有 理数的课堂教学中，为学生渗透数形结合的思想，这样不仅能够帮助学生很好地 完成本节课的教学任务，而且能帮助学生了解和掌握什么是数形结合的数学思想。（二）利用“函数”数学思想，提高学生的学习能力 什么是函数数学思想？其主要是指利用函数的性质以及概念充分将问题转化，分析和解决问题。方程思想的基本出发点就是问题的数量关系，各个变量之间的
几种重要的数学思想方法 韩晓荣 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 《数学课程标准》在对初中阶段的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、化归思想， 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。我们也常把它称之为“转化思想”。例如：解分式方程转化为解整式方程，解“二元”方程转化为解“一元”方程，解多边形问题转化为解三角形问题等等。 二、数形结合的思想方法 数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现。 三、分类讨论的思想方法 在渗透分类讨论思想的过程中，我认为首要的是分类。比如在《有理数》研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的：在《平面图形的认识》一章中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类。这种思想方法主要可以避免漏解、错解。 四、方程思想 方程思想指借助解方程来求出未知量的一种解题策略。我们知道方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。所以方程思想实际上就是由实际问题抽象为方程过程的数学建模思想。例如利用一元一次方程,一元二次方程能解决好多实际问题。 五、从特殊到一般的思想方法
《小学数学与数学思想方法》读后感 读完《小学数学与数学思想方法》这本书，对数学思想方法有了更系统和更全面的认识。知道了什么是数学思想，什么是数学方法，知道了数学思想与数学方法的内在联系与区别。知道数学思想是数学方法进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而人们选择的数学方法，又要以一定的数学思想为依据。由此可见，数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学，用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学思想方法如此严重，从这本书中还知道了教师如何进行数学思想方法的教学： 重视思想方法目标的落实。 教师在备课撰写教学设计时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来。而不是可有可无或者总是进行渗透，并利用动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。 2.在知识形成过程中体现数学思想方法。 现在的数学课堂教学中，很多教师精讲多练，急于把概念、公式、法则等知识传授给学生，然后按照考试的要 求进行训练，轻视了知识的形成过程。这样，既浪费了时间，又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。我曾经在讲《除法的初步认识—平均分》时，通过让学生动手操作引导他们经历知识的形成过程。读过这本书才知道自己忽略了数学思想方法的渗透，在这个教学过程中，教师可以引导学生感受从直观操作的详尽情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种严重的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。
专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)
数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为
易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，
《数学思想方法》心得体会 宁安市东京城镇小学黄淑伟 我通过对数学思想方法的学习，并结合我在工作中的实际情况，体会到如下心得： 数学的内容、思想、方法和语言广泛渗入自然学科和社会学科，成为现代文化的重要组成部分。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养和重要内容之一。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，而数学思想方法在教学实践方面的应用，更能加强教师的数学思想方法教学意识，更新教学观念，形成有效的数学思想方法教学策略，提高教学水平。 1.数学思想。数学思想是人们对数学科学研究的本质，及规律的深刻认识。它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略、指导原则。它具有导向性、统摄性、迁移性。中学数学教学中的基本数学思想有对应思想（函数思想、数形结合思想），系统与统计思想（整体思想、最优化思想、统计思想），化归与辩证思想（化归思想、转换思想）等。 2.数学方法。数学方法是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。它具有过程性、层次性、可操作性。中学数学教学中的基本数学方法：一是科学认识方法：观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟；二是推理论证方法：综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法、反证法与同一法；三是求解方程：配方法、换元法、消元法、待定系数法、图象法、轴对称法、平移法、旋转法等。
3.数学思想方法。数学思想与数学方法既有差异性，又有同一性。数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。“方法”指向“实践”。数学思想是数学方法的灵魂，它指导方法的运用；数学思想与数学方法同属于数学方法论的范畴，它们有时是等同的，并没有明确的界限。由于数学思想与数学方法的这种特殊关系，我们在中学数学教学中把它们统称为数学思想方法。 4.数学思想方法教学。因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识（概念、定理、公式、性质等）和隐形的数学知识（数学思想方法）这两方面。所以，在教学中，我们不仅应当注意显形的数学知识的传授，而且也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法的分析，我们才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”，就是让学生看到活生生的数学知识的来龙去脉，形成过程，而不是死的数学知识；“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”是指学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。正如波利亚强调：在数学教学中“有益的思考方式、应有的思维习惯”应放在教学的首位。加强数学思想方法教学，必然对提高数学教学的质量起到积极的作用。
高中数学七大数学基本思想方法 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二：数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六：有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 第七：或然与必然的思想
中学数学思想方法教学的主要途径 数学思想的形成发展是数学教学中的关键步骤，是学习数学的精髓之处。数学思想方法是为了培养学生的思维方式和各项能力，提高学生的整体素质。学生作为主体，教师作为指导者，课堂作为思维方式形成的载体，从而实现这一教学目的。本文通过对实现数学思想方法教学的必要性做出分析，提出了实现中学数学思想方法教学的主要途径。 数学思想方法方式中学途径 中学数学思想方法是将数学知识、技能转化成数学能力的途径，它具有构建数学体系和将数学知识应用是实际问题中的作用。数学思想和数学方法都是以数学知识为基础，将知识升华。但是数学思想有引导着数学方法，是数学方法的升华。人们在数学的教学和研究中，将数学思想和数学方法归纳成数学思想方法。 一、中学数学思想方法教学的原则 （一）意识性原则 意识性原则是指在教师在教学中能够自觉地意识到数学体系中所包含的思想方法。很多教师存在着忽视教学思想方法的趋势，这表现在制定教学目标时，对具体的技能技巧没有明确的目标，偏重就题论题，忽略了数学思想方法的引导、形成、提炼、归纳。
要在备课、教学过程中发现、总结、分析数学思想方法，通过具体的概念、公式综合运用，交替出现，有意识的将数学思想方法渗透其中。比如，不等式的解法与证明。这要运用到数形结合和同解变形，证明不等式则可以运用比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法等。有的不等式还需要综合运用到这些方法，这就要求教师在教学过程中归纳点拨，分析总结，使学生学习并灵活运用数学思想方法。 （二）化隐为显原则 在中学数学中，数学思想跟数学方法同样重要，甚至更甚。化隐为显原则是指教师在授课的过程中将数学思想方法明确地讲解出来，针对教学内容和进度，有计划的进行。在数学难点和重点的讲解时将数学思想方法自然的传授给学生，在单元小结时适当点拨数学思想方法。例如，在讲解不等式的课程之后，可以通过实际例题归纳总结数学方法。比如（x-5）（x-3）>0，可以通过代数解析法、列表法、图解法分别解答，让学生通过这三种解法的比较，总结数学思想方法，在以后的学习中举一反三，运用其中。 （三）系统性原则 数学思想方法像普通的知识教学一样，只有系统性的学习，才能充分的发挥它的作用。在当前的教学中，有一些教师往往忽视了数学思想方法系统性的教育，会忽略学生掌握
中学数学思想方法的教学研究 发表时间：2013-03-14T14:50:22.857Z 来源：《少年智力开发报》2012-2013学年21期供稿作者：盖玉顺 [导读] 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理． 山东省东营市陈庄镇中学盖玉顺 １．数学思想方法教学的意义 美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳 入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二，有利于记忆．布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具．”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力． ２．中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． ３．中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是： （１）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容； （２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握； （３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多； ４．数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 操作——掌握——领悟。对此模式作如下说明： （１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的； （２）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础； （３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提； （４）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会；
浅谈初中数学思想方法的教学 摘要:开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求，它是数学教育教学本身的需要，是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要，是提高学生解题能力的需要。初中数学教学中要注意在知识发生过程中渗透数学思想方法，在思维教学活动过程中挖掘数学思想方法，在问题解决过程中强化数学思想方法，并及时总结以逐步内化数学思想方法。 关键词：数学思想方法中学数学渗透挖掘强化内化 新的《课程标准》突出强调：?在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。?因此，开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求。中学数学知识结构涵盖了辩证思想的理念，反映出数学基本概念和各知识点所代表的实体同抽象的数学思想方法之间的相互关系。数学实体内部各单元之间相互渗透和维系的关系，升华为具有普遍意义的一般规律，便形成相对的数学思想方法，即对数学知识整体性的理解。数学思想方法确立后，便超越了具体的数学概念和内容，只以抽象的形式而存在，控制及调整具体结论的建立、联系和组织，并以其为指引将数学知识灵活地运用到一切适合的范畴中去解决问题。数学思想方法不仅会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作角，而且会对个体的世界观、方法论产生深刻影响，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃。那么，初中数学思想方法有哪些呢? 一、认识初中数学思想方法。初中数学中蕴含多种的数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化的思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。 1、数形结合的思想数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用广泛，灵活巧妙。?数缺形时少直观，形无数时难入微?是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。在数学教学中，许多定律、定理及公式等常可以用图形来描述。而利用图形的直观，则可以由抽象变具体，模糊变清晰，使数学问题的难度下降，从而可以从图形中找到有创意的解题思路。 2、分类讨论的思想象区分为不同种类的数学思想。对数学内容进行分类，可以降低学习难度，增强学习的针对性。因此，在教学中应启发学生按不同的情况去对同一对象进行能够分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。
浅谈数学思想方法教学 发表时间：2015-06-17T17:13:25.433Z 来源：《少年智力开发报》2014-2015学年第13期供稿作者：黄娜 [导读] 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识． 山东郯城县郯城街道办事处初级中学黄娜 一、数学思想方法教学的心理学意义 “不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构．”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理．”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的．”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分．下面从基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义． 第一.“懂得基本原理使得学科更容易理解”．心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习．”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了．下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去．学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容． 第二.有利于记忆．除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记．学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具． 由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的．无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生．” 第三.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”．这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识．曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移．”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中．”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力． 第四.强调结构和原理的学习，“能够缩短‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙．”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义．而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等．因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线． 二、中学数学教学内容的层次 中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识．表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法． 表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识．学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识． 深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识．教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性．那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛．因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质． 三、中学数学中的主要数学思想和方法 数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识．由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高．我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想．其理由是： （１）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容； （２）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握； （３）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多； （４）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础． 此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透． 数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关．从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等．一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的． 四、数学思想方法的教学模式 数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性．基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式： 操作——掌握——领悟 对此模式作如下说明： （１）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的； （２）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学．“操作”是数学思想、方法教学的基础； （３）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握．学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识
小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求
《初中思想方法与初中数学教学》的作业： 1试述思想方法在初中数学中的作用，在教学中你是如何渗透转化、分类讨论思想和数形结合思想的，请各举一教学片段说明。 在初中数学教学中，渗透转化思想，可以提高学生分析解决问题的能力； 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例
数学思想方法》课程教学大纲 第一部分大纲说明 一、课程的地位、性质与任务 《数学思想方法》是研究数学思想方法及其教学的一门课程。随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为中央广播电视大学小学教育专业的一门重要的必修课。 通过本课程的学习，使学员比较系统地获得对数学思想方法的认识，掌握实施数学思想方法教学的特点，并能运用这些理论指导小学数学教学实践。通过各个教学环节，逐步培养学员实施数学思想方法教学的能力和综合运用所学知识分析问题、解决有关实际问题的能力，为成为适应新世纪需要的高素质的小学教师打下坚实基础。 二、课程主要内容及要求 本课程的主要内容包括：数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、演绎与化归、抽象与概括、猜想与反驳、计算与算法、应用与建模、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。通过本课程的学习，关键在于使学员建构起关于数学思想方法的认知结构，认识数学思想方法的重要性，增强数学思想方法教学的自觉性，提高实施数学思想方法教学的水平和能力。通过“数学思想方法的发展”部分学习，帮助学员了解数学思想方法的源头、几次重要突破和现代数学的发展趋势，并能正确理解数学的真理性，确立动态的、拟经验主义的数学观。通过“数学思想方法例解 " 部分学习，使学员掌握数学教学中常用的数学思想方法及其应用。通过“数学思想方法教学" 部分学习，使学员掌握数学思想方法教学的特点，并能将所学数学思想方法初步应用于小学数学教学。 三、教学媒体 1．文字教材： 文字教材是学生学习课程的主要用书，是学生获得知识和能力的重要媒体，是教和学的根本依据。文字教材名称：《数学思想与方法》（顾泠沅主编，中央电大出版社出版）。 2．音像教材：《数学思想与方法》录像教材共18 讲，由首都师范大学副教授姚芳主讲。 3. 网上学习资源 江苏电大在线中（https://www.doczj.com/doc/559987103.html, ）教学辅导、实施方案、学习自测等；栏目以及中央电大在线（ https://www.doczj.com/doc/559987103.html, ）中与本课程有关的学习资源。 四、教学环节 1. 理论教学环节（课程的基本知识、理论和方法） （1）自学 自学是电大学生获得知识的重要方式 , 自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一 ,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养 . 学生可以通过自学、收
一、简答题 1、分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。 答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。 代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。 它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。 2、比较决定性现象和随机现象的特点，简单叙述确定数学的局限。 二、论述题 1．论述社会科学数学化的主要原因。 2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。 答：第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。 第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。 第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的 历史，斗争的结果就是数学领域的发展。 三、分析题 1．分析《几何原本》思想方法的特点，为什么？ 2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么？ 答：（1）开放的归纳体系 从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。 在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的一般解法；再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综 合起来，就得到整个《九章算术》。 另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算术》。因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。 （2）算法化的内容 《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。 （3）模型化的方法 《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化为数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
小学数学常见数学思想方法归纳与整理 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。 2、转化思想方法： 这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。 3.符号化思想方法： 数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。 4、分类思想方法： 分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 5、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 6、类比思想方法
浅谈初中数学思想方法教学 初中数学教学大纲中明确指出：初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理及其内容所反映出来的数学思想和方法。数学思想和方法在初中数学教学中具有不容忽视的重要地位。数学思想和方法纳入基础知识范畴，足见我国数学教育工作者已对数学思想方法的教学的重要性达成了共识。这不仅是加强数学素养培养的一项举措，也是数学基础教育现代化进程的必然与要求。这是因为数学的现代化教学，是要把数学基础教育建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言。因此，探讨数学思想方法教学的一系列问题，已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。 一、初中数学思想方法教学的必要性 数学思想是具有总结性的奠基性的数学思维成果，初中数学教程蕴含着丰富的数学思想，例如数形结合、化归、函数、方程、分类讨论、符号与变元等等。数学方法是人们采用一定的途径、手段、行为方式表现数学思想的可操作性模式，例如初中数学中的一般性方法有消元法、代入法、图象法、归纳法；特殊性方法有配方法、拆项补项法、平行移动法等等。如果说数学思想是对数学逻辑严密性的高度概括，那么数学方法则是简洁而精确的形式化语言，讲究可操
作性。初中数学将数学思想与数学方法的结合统称为数学思想方法。长期以来，初中数学课堂的数学知识传授多于数学思想方法，数学知识是对数学内容的精华提炼，但如果没有相应的加工改造只是机械似的囫囵吞枣，数学知识便不能被顺利地转化为学生的数学能力。数学思想方法的功能在于涵盖了数学知识结构的辩证理念，是将抽象事物上升为具体的思维过程，不仅是数学知识转化为数学能力的桥梁，还能促成学生思想素质的飞跃，推动数学认知向非数学领域迁移。 二、数学思想方法在初中数学中的应用 1.从初中数学大纲中入手 教师数学知识的传递是从教学大纲中着手的，从这个角度出发，数学思想方法在初中数学教学中的应用就要从这个方面进行。首先，教师需要对教材有个充分的研究和分析，理清教材的体系和脉络；其次，建立好各知识点、知识单元和各类概念中的关系，并对其关系中存在的一般规律和内在规律进行归纳。例如在初中数学因式分解这一问题上，提公因式法、分组分解法等都是重要的教学方法。因此，从掌握这些方法出发，按照知识――方法――思想的顺序，从中提炼出数学思想方法，学生就可以从这个过程中运用这一方法来解决更多的多项式因式方面的问题，并从中形成一套完整的教学范例和模型。 2.以初中数学知识为载体