分式方程及分式应用题
【知识点归纳】
知识点一、分式方程
1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
《1》理解分式方程的有关概念
例1 指出下列方程中，分式方程有（ ）
①21123x x -=5 ②223x x -=5
x 2-5x=0
x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．
《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。（易错点））
例2 解方程：10030
7
x x =
-.
例3. 解关于x 的方程
x a b c x b c b x c a
b a b
c --+--+--=>30()，， 解：原方程化为：x a b c x b c b x c a
b
---+---+---=1110
即x a b c c x b c a a x c a b b
---+---+---=0
∴---++=>>>∴
++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b c
x a b c x a b c
111
000
11100 ，，
说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式
x a b c ---。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程
的结构特征，才能找到合适的办法。
例4. 解关于x 的方程。
ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0
解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 2
2
2
2
2
2
+++=+++++()()()
()()()()
a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b
22220
2
+-+=+-=+≠∴=-
+
说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
练习1. 解关于x 的方程
x m n x n m
-=-11
，其中m n m n ≠≠≠00，，。
练习2. 解关于x 的方程()()a a x x a --+=-1422。
例5． （2011安徽芜湖，5，4分） 分式方程
253
22x x x
-=
--的解是（ ）. A ．2x =- B ．2x =
C ．1x =
D ．12x x ==或
例 6. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a
b b a 1
1-=
?，若1)1(1=+?x ，则x 的值为
A ．23
B ．31
C ． 21
D ． 2
1-
例7. （2011四川成都，13,4分） 已知1=x 是分式方程
x
k
x 311=+的根，则实数k =___________.
《3》分式方程的增根问题
例8. （2011黑龙江绥化，18，3分）分式方程()()2111
+-=--x x m x x 有增根，则m 的值
为（ ）
A 、0和1
B 、1
C 、1和－2
D 、3
例9. （2011湖北襄阳，16，3分）关于x 的分式方程1131=-+-x
x m 的解为正数，则m 的取值范围是 .
练习 已知关于x 的方程
x x m
x --=
-323
有一个正整数解，求m 的取值范围。
知识点二、分式方程应用题
分式方程应用题四步骤
1，设未知数
一般是问什么就设什么。
如果问题中有两个并列的，则一般设前面那个为x,把后面那个用x 来表示。
如果问题问的量设为x 之后题目中其他的量不容易用来表示，则设题目中容易表示其他量的量为x ，然后把其他的量用x 表示出来即可。（如第13题要设衬衫的单价而不能设总盈利，设衬衫的单价为x 列出方程，求出x ，再用x 来求出总盈利） 2，找等量关系，从而列方程
列方程最重要的是找到等量关系，找到什么等于什么之后，用x 来表示等号两边的量即可得到方程。那找等量关系的关键在哪呢？如何一眼看出等量关系呢？其实，非常简单。那就是找到这个题要达到的结果，那句话就是等量关系，所以找等量关系关键就是找到“题目要达到的那句话”。这句话一般都就是问题的前面那句话，如果不是，再到其他位置找。
3，解分式方程
第一步是去分母。注意是去分母，而不是通分。去分母的关键就是方程两边同时乘上所有的分母的最小公倍数。这样可以直接去掉所有的分母。 第二步就是去括号了，利用乘法分配率化简。
第三步移项。把所有含x 的项移到一边，不含x 的项移到另一边。 第四步合并同类项。 第五步把x 的系数化为1.
第六步：检验。检验结果是否让方程中的分母为零，为零则无意义。
解方程一定要严格按照以上步骤，每一步都达到每一步的结果。基本所有的分式方程就用以上五步就可以解出。 不要把一步分成两步，去括号那一步就要去掉所有的括号，而不要分成两步来写，如果你认为要计算的太多一步得不到去括号的结果，那就在演草纸上算，把整个去括号的结果写上去即可。
4，当然，最后写上答案就完成了。
【精讲精练】
例1、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价
是多少元？（利润=售价-进价，利润率
100% =?
利润
进价）
思路：第一步：设进价为x元，
第二步，找等量关系。这个题要的那句话就是“从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%”。可知等号的一边是原来的利润，另一边是后来的利润提高5%。再利
用利润的公式得出方程式。
第三步：解方程
第四步：写答案
解：设这种计算器原来每个的进价为x元， 1分
根据题意，得4848(14)
1005100
(14)
x x
x x
---
?+=?
-
%
%%%
%
． 5分
解这个方程，得40
x=． 8分
经检验，40
x=是原方程的根． 9分
答：这种计算器原来每个的进价是40元． 10分
练习1、（2009，福州）整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
例2、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第
五次提速后少用
7
1
8
小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公
里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？
练习2、（2009，新疆）甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字？
例3、甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．
练习3、（2009，达州）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.求改进设备后平均每天耗煤多少吨？
例4、A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道．已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？
练习4、（2009南充）在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨．先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做3天刚好完成这项任务．已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需要多少天？
【课后训练】
1. 解下列分式方程：
2. a 为何值时，关于x 的方程x x a a +-=
-+1223
5
的解等于零？
3. 如果a 、b 为定值，关于x 的一次方程
3326
kx a x bk
+=+
-，无论取何值，它的根总是1，求a 、b 的值。
4、（2010广东河池非课改，8分）某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒
装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．
5、（2010辽宁沈阳课改，10分）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，
乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项
工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4
5，求甲、乙两个施工队单独完成此
项工程各需多少天？